四川省成都石室天府2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

四川省成都石室天府2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．甲，乙、丙、丁、戊共5人隨機(jī)地排成一行，則甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的概率為（）A. B.C. D.2．直線在y軸上的截距是A. B.C. D.3．新型冠狀病毒（2019-NCoV）因2019年武漢病毒性肺炎病例而被發(fā)現(xiàn)，2020年1月12日被世界衛(wèi)生組織命名，為考察某種藥物預(yù)防該疾病的效果，進(jìn)行動物試驗，得到如下列聯(lián)表：患病未患病總計服用藥104555未服藥203050總計3075105下列說法正確的是（）參考數(shù)據(jù)：，0.050.013.8416.635A.有95%的把握認(rèn)為藥物有效B.有95%的把握認(rèn)為藥物無效C.在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為藥物無效D.在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為藥物有效4．如果，，那么直線不經(jīng)過的象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限5．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.6．設(shè)是雙曲線與圓在第一象限的交點(diǎn)，，分別是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.7．已知等比數(shù)列的前n項和為，公比為q，若，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.8．設(shè)集合，集合，當(dāng)有且僅有一個元素時，則r的取值范圍為（）A.或 B.或C.或 D.或9．已知，若是函數(shù)一個零點(diǎn)，則的值為()A.0 B.C.1 D.10．已知橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為，若橢圓上不存在點(diǎn)，使得是鈍角，則橢圓離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.11．一盒子里有黑色、紅色、綠色的球各一個，現(xiàn)從中選出一個球.事件選出的球是紅色，事件選出的球是綠色.則事件與事件（）A.是互斥事件，不是對立事件 B.是對立事件，不是互斥事件C.既是互斥事件，也是對立事件 D.既不是互斥事件也不是對立事件12．當(dāng)實(shí)數(shù)，m變化時，的最大值是（）A.3 B.4C.5 D.6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在正四棱錐中，為棱PB的中點(diǎn)，為棱PD的中點(diǎn)，則棱錐與棱錐的體積之比為______14．已知命題：平面上一矩形ABCD的對角線AC與邊AB和AD所成角分別為，則，若把它推廣到空間長方體中，體對角線與平面，平面，平面所成的角分別為，則可以類比得到的結(jié)論為___________________.15．將一枚質(zhì)地均勻的骰子，先后拋擲次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和為的概率是________.16．已知數(shù)列的前項和為，且，若點(diǎn)在直線上，則______；______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知：圓是的外接圓，邊所在直線的方程為，中線所在直線的方程為，直線與圓相切于點(diǎn).（1）求點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求圓的方程.18．（12分）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)為，橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓C上（1）求橢圓C的方程；（2）點(diǎn)T為橢圓C上的點(diǎn)，若點(diǎn)T在第一象限，且與x軸垂直，過T作兩條斜率互為相反數(shù)的直線分別與橢圓C交于點(diǎn)M，N，探究直線的斜率是否為定值？若為定值，請求之；若不為定值，請說明理由19．（12分）某校高二年級全體學(xué)生參加了一次數(shù)學(xué)測試，學(xué)校利用簡單隨機(jī)抽樣的方法從甲班、乙班各抽取五名同學(xué)的數(shù)學(xué)測試成績（單位：分）得到如下莖葉圖，若甲、乙兩班數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等且平均數(shù)也相等.（1）求出莖葉圖中m和n的值：（2）若從86分以上（不含86分）的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名，求此兩人都來自甲班的概率.20．（12分）設(shè)四邊形為矩形，點(diǎn)為平面外一點(diǎn)，且平面，若，.（1）求與平面所成角的大??；（2）在邊上是否存在一點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由；（3）若點(diǎn)是的中點(diǎn)，在內(nèi)確定一點(diǎn)，使的值最小，并求此時的值.21．（12分）如圖，正方形與梯形所在的平面互相垂直，，，|AB|＝|AD|＝2，|CD|＝4，為的中點(diǎn)（1）求證：平面平面；（2）求二面角的正切值22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，側(cè)面PAD是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中點(diǎn)（1）證明：平面PCD；（2）若PB與底面ABCD所成角的正切值為，求二面角的正弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】先求出所有的基本事件，再求出甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的基本事件，根據(jù)古典概型的概率公式求解即可【詳解】甲，乙、丙、丁、戊共5人隨機(jī)地排成一行有種方法，甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的排法為先將甲、乙捆綁在一起，再與戊進(jìn)行排列，然后丙、丁從3個空中選2個空插入，則共有種方法，所以甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的概率為，故選：A2、D【解析】在y軸上的截距只需令x=0求出y的值即可得出.【詳解】令x=0，則y=-2，即直線在y周上的截距為-2，故選D.3、A【解析】根據(jù)列聯(lián)表計算，對照臨界值即可得出結(jié)論【詳解】根據(jù)列聯(lián)表，計算，由臨界值表可知，有95%的把握認(rèn)為藥物有效，A正確故選：A4、A【解析】將直線化為，結(jié)合已知條件即可判斷不經(jīng)過的象限.【詳解】由題設(shè)，直線可寫成，又，，∴，，故直線過二、三、四象限，不過第一象限.故選：A.5、B【解析】由題意可知且，構(gòu)造函數(shù)，可得出，由函數(shù)的單調(diào)性可得出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，可得出關(guān)于的不等式，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，則且，由已知可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，由已知，所以，，可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，則.當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，則，所以，，解得.故選：B.6、B【解析】先由雙曲線定義與題中條件得到，，求出，，再由題意得到，即可根據(jù)勾股定理求出結(jié)果.【詳解】解：根據(jù)雙曲線定義：，，∴，∴，，，∴是圓的直徑，∴，中，，得故選【點(diǎn)睛】本題主要考查求雙曲線的離心率，熟記雙曲線的簡單性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.7、D【解析】根據(jù)，可求得，然后逐一分析判斷各個選項即可得解.【詳解】解：因為，所以，因為，所以，所以，故A錯誤；又，所以，所以，所以，故BC錯誤；所以，故D正確.故選：D.8、B【解析】由已知得集合M表示以點(diǎn)圓心，以2半徑左半圓，與y軸的交點(diǎn)為，集合N表示以點(diǎn)為圓心，以r為半徑的圓，當(dāng)圓C與圓O相外切于點(diǎn)P，有且僅有一個元素時，圓C過點(diǎn)M時，有且有兩個元素，當(dāng)圓C過點(diǎn)N，有且僅有一個元素，由此可求得r的取值范圍.【詳解】解：由得，所以集合M表示以點(diǎn)圓心，以2半徑的左半圓，與y軸的交點(diǎn)為，集合表示以點(diǎn)為圓心，以r為半徑的圓，如下圖所示，當(dāng)圓C與圓O相外切于點(diǎn)P時，有且僅有一個元素時，此時，當(dāng)圓C過點(diǎn)M時，有兩個元素，此時，所以，當(dāng)圓C過點(diǎn)N時，有且僅有一個元素，此時，所以，所以當(dāng)有且僅有一個元素時，則r的取值范圍為或，故選：B.9、A【解析】首先根據(jù)題意求出，然后設(shè)函數(shù)，利用以及的單調(diào)性，并結(jié)合對數(shù)運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意可知，，所以，不妨設(shè)，()，故，從而，易知在上單調(diào)遞增，故，即，從而.故選：A.10、C【解析】點(diǎn)P取端軸的一個端點(diǎn)時，使得∠F1PF2是最大角．已知橢圓上不存在點(diǎn)P，使得∠F1PF2是鈍角，可得b≥c，利用離心率計算公式即可得出【詳解】∵點(diǎn)P取端軸的一個端點(diǎn)時，使得∠F1PF2是最大角已知橢圓上不存在點(diǎn)P，使得∠F1PF2是鈍角，∴b≥c，可得a2﹣c2≥c2，可得：a∴故選C【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍).11、A【解析】根據(jù)事件的關(guān)系進(jìn)行判斷即可.【詳解】由題意可知，事件與為互斥事件，但事件不是必然事件，所以，事件與事件是互斥事件，不是對立事件.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查事件關(guān)系的判斷，考查互斥事件和對立事件概率的理解，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可知可以表示單位圓上點(diǎn)到直線的距離，利用圓的性質(zhì)結(jié)合圖形即得.【詳解】由題可知，可以表示單位圓上點(diǎn)到直線的距離，設(shè)，因直線，即表示恒過定點(diǎn)，根據(jù)圓的性質(zhì)可得.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)圖形可求出與棱錐的體積之比，即可求出結(jié)果【詳解】如圖所示：棱錐可看成正四棱錐減去四個小棱錐的體積得到，設(shè)正四棱錐的體積為，為PB的中點(diǎn)，為PD的中點(diǎn)，所以，而，同理，故棱錐的體積的為，即棱錐與棱錐的體積之比為故答案為：.14、【解析】先由線面角的定義得到，再計算的值即可得到結(jié)論【詳解】在長方體中，連接，在長方體中，平面，所以對角線與平面所成的角為，對角線與平面所成的角為,對角線與平面所成的角為，顯然，，，所以,，故答案為：15、【解析】將向上的點(diǎn)數(shù)記作，先計算出所有的基本事件數(shù)，并列舉出事件“出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和為”所包含的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可計算出所求事件的概率.【詳解】將骰子先后拋擲次，出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)記作，則基本事件數(shù)為，向上的點(diǎn)數(shù)之和為這一事件記為，則事件所包含的基本事件有：、、，共個基本事件，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用古典概型的概率公式計算概率，解題時一般要列舉出相應(yīng)的基本事件，遵循不重不漏的基本原則，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、①.；②.【解析】根據(jù)等差數(shù)列的定義，結(jié)合等差數(shù)列前項和公式、裂項相消法進(jìn)行求解即可.【詳解】因為點(diǎn)在直線上，所以，所以數(shù)列是以，公差為的等差數(shù)列，所以；因為，所以，于是，故答案為：；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）A（1,7）,（2）【解析】（1）與的的交點(diǎn)為點(diǎn)D,與的的交點(diǎn)為點(diǎn)A,聯(lián)立解方程即可得出結(jié)果.（2）設(shè)圓P的圓心P為，由，，計算求解即可得出點(diǎn)坐標(biāo)，由求得半徑，進(jìn)而可得出圓的方程.【小問1詳解】由題可得：與的的交點(diǎn)為點(diǎn)D,故由，解得：，故與的的交點(diǎn)為點(diǎn)A,，解得：，故A（1，7）【小問2詳解】設(shè)圓P的圓心P為，由與圓相切于點(diǎn)A，且的斜率為,則即，即，①又圓P為的外接圓，則BC為圓P的弦，又邊BC所在直線的科率為,故根據(jù)垂徑定理，有進(jìn)而，即②，聯(lián)立①②，解得：，即故，則圓P的方程為：.18、（1）；（2）直線的斜率為定值，且定值為.【解析】（1）根據(jù)橢圓的離心率及所過的點(diǎn)求出橢圓參數(shù)a、b，即可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）由題設(shè)得，法一：設(shè)為，聯(lián)立橢圓方程應(yīng)用韋達(dá)定理求M坐標(biāo)，根據(jù)與斜率關(guān)系求N的坐標(biāo)，應(yīng)用兩點(diǎn)式求斜率；法二：設(shè)為，，聯(lián)立橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理及得到關(guān)于參數(shù)m、k的方程，即可判斷是否為定值.【小問1詳解】由題意，則，又，所以橢圓C方程為，代入有，解得，所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】由題設(shè)易知：，法一：設(shè)直線為，由，消去y，整理得，因為方程有一個根為，所以M的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)，故M為，用代替k，得N為，所以，故直線的斜率為定值法二：由已知直線的斜率存在，可設(shè)直線為，，由，消去y，整理得，所以，而，又，代入整理得，所以，即，若，則直線過點(diǎn)T，不合題意，所以．即，故直線的斜率為定值.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，設(shè)直線方程并聯(lián)立橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理及得到關(guān)于直線斜率的方M、N程，或求出的坐標(biāo)，應(yīng)用兩點(diǎn)式求斜率.19、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)莖葉圖得甲班中位數(shù)為，由此能求出，根據(jù)由，且，能求出.（2）甲班86分以上有2人，乙班86分以有2人，從86分以上(不含86分)的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名，用列舉法寫出基本事件總數(shù)，再利用古典概型的概率計算公式即可求解.【小問1詳解】根據(jù)莖葉圖可知1班中位數(shù)為86，則，又∵，且故【小問2詳解】由（1）可知，甲班86分以上有2人，乙班86以上有2人設(shè)甲班86分以上2人為，，乙班86分以上2人為，，從中任取兩名同學(xué)共有，，，，,共有6組基本事件，且每組出現(xiàn)都是等可能的記：“從86分以上（不含86分）的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名，兩人都來自甲班”為事件M，事件M包括：共1個基本事件，由古典概型的計算概率的公式知∴所以兩人都來自甲班的概率為20、（1）（2）存在，距離為（3）位置答案見解析，【解析】（1）利用線面垂直的判定定理證明平面，然后由線面角的定義得到PC與平面PAD所成的角為，在中，由邊角關(guān)系求解即可.（2）假設(shè)BC邊上存在一點(diǎn)G滿足題設(shè)條件，不放設(shè)，則，再根據(jù)得，進(jìn)而得答案.（3）延長CB到C'，使得C'B=CB，連結(jié)C'E，過E作于E'，利用三點(diǎn)共線，兩線段和最小，得到，過H作于H'，連結(jié)HB，在中，求解HB即可.【小問1詳解】解：因為平面，平面，所以，又因為底面是矩形，所以，又平面，所以平面，故與平面所成的角為，因為，，所以故直線PC與平面PAD所成角的大小為；【小問2詳解】解：假設(shè)BC邊上存在一點(diǎn)G滿足題設(shè)條件，不妨設(shè)，則因為平面，到平面的距離為所以，即因為代入數(shù)據(jù)解得，即，故存在點(diǎn)G，當(dāng)時，使得點(diǎn)D到平面PAG的距離為；【小問3詳解】解：延長CB到C'，使得C'B=CB，連結(jié)C'E，過E作于E'，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時等號成立，故，過H作于H'，連結(jié)HB，在中，，，所以.21、（1）見解析；（2）.【解析】(1)證明BC⊥平面BDE即可；(2)以D為原點(diǎn)，DA、DC、DE分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，求平面BMD和平面BCD的法向量，利用法向量的求二面角的余弦，再求正切﹒【小問1詳解】∵A