四川省成都市新都第一中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試試題含解析

四川省成都市新都第一中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．?dāng)?shù)列滿足且，則的值是（）A.1 B.4C.－3 D.62．已知公差不為0的等差數(shù)列中，（m，），則mn的最大值為（）A.6 B.12C.36 D.483．已知點，和直線，若在坐標(biāo)平面內(nèi)存在一點P，使，且點P到直線l的距離為2，則點P的坐標(biāo)為（）A.或 B.或C.或 D.或4．已知函數(shù)，則等于（）A.0 B.2C. D.5．若方程表示焦點在y軸上的雙曲線，則k的取值范圍是（）A. B.C. D.6．設(shè)變量滿足約束條件，則的最大值為（）A.0 B.C.3 D.47．兩圓與的公切線有（）A.1條 B.2條C.3條 D.4條8．已知點、為橢圓的左、右焦點，若點為橢圓上一動點，則使得的點的個數(shù)為（）A. B.C. D.不能確定9．橢圓的離心率為（）A B.C. D.10．雙曲線C：的漸近線方程為（）A. B.C. D.11．已知向量，且與互相垂直，則k=（）A. B.C. D.12．已知等差數(shù)列中，，則（）A.15 B.30C.45 D.60二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，則___________.14．若把英語單詞“”的字母順序?qū)戝e了，則可能出現(xiàn)的錯誤有______種15．已知是雙曲線上的一點，是上的兩個焦點，若，則的取值范圍是_______________16．機動車駕駛考試是為了獲得機動車駕駛證的考試，采用全國統(tǒng)一的考試科目內(nèi)容及合格標(biāo)準(zhǔn)，包括科目一理論考試、科目二場地駕駛技能考試、科目三道路駕駛技能考試和科目四安全文明常識考試共四項考試，考生應(yīng)依次參加四項考試，前一項考試合格后才能報名參加后一項考試，考試不合格則需另行交費預(yù)約再次補考．據(jù)公安部門通報，佛山市四項考試的合格率依次為，，，，且各項考試是否通過互不影響，則一位佛山公民通過駕考四項考試至多需要補考一次的概率為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面橫線上，并解答.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且___________.（1）求角的大??；（2）已知，，點在邊上，且，求線段的長.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.18．（12分）如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，和分別是和的中點，點在直線上，且.（1）證明：無論取何值，總有；（2）是否存在點，使得平面與平面所成角為？若存在，試確定點的位置；若不存在，請說明理由.19．（12分）已知函數(shù)（1）求的圖象在點處的切線方程；（2）求在上的最大值與最小值20．（12分）如圖，點分別在射線，上運動，且（1）求；（2）求線段的中點M的軌跡C的方程；（3）直線與，軌跡C及自上而下依次交于D，E，F(xiàn)，G四點，求證：21．（12分）如圖，在四棱錐中中，平面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，.（1）求證：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.22．（10分）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知，經(jīng)過點的直線與橢圓交于、兩點，若原點到直線的距離為，且，求直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)題意，由于，可知數(shù)列是公差為-3的等差數(shù)列，則可知d=-3,由于=，故選A2、C【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，再應(yīng)用基本不等式求mn的最大值，注意等號成立條件.【詳解】由題設(shè)及等差數(shù)列的性質(zhì)知：，又m，，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.所以mn的最大值為.故選：C3、C【解析】設(shè)點的坐標(biāo)為，根據(jù)，點到直線的距離為，聯(lián)立方程組即可求解.【詳解】解：設(shè)點的坐標(biāo)為，線段的中點的坐標(biāo)為，，∴的垂直平分線方程為，即，∵點在直線上，∴，又點到直線：的距離為，∴，即，聯(lián)立可得、或、，∴所求點的坐標(biāo)為或，故選：C4、D【解析】先通過誘導(dǎo)公式將函數(shù)化簡，進而求出導(dǎo)函數(shù)，然后算出答案.【詳解】由題意，，故選：D.5、B【解析】由條件可得，即可得到答案.【詳解】方程表示焦點在y軸上的雙曲線所以，即故選：B6、A【解析】先畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，然后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，即可求出目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】解：滿足約束條件的可行域如下圖所示：由，可得，因為目標(biāo)函數(shù)，即，表示斜率為，截距為的直線，由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過時截距取得最小值，即取得最大值，所以的最大值為，故選：A.7、D【解析】求得圓心坐標(biāo)分別為，半徑分別為，根據(jù)圓圓的位置關(guān)系的判定方法，得出兩圓的位置關(guān)系，即可求解.【詳解】由題意，圓與圓，可得圓心坐標(biāo)分別為，半徑分別為，則，所以，可得圓外離，所以兩圓共有4條切線.故選：D.8、B【解析】利用余弦定理結(jié)合橢圓的定義可求得、，即可得出結(jié)論.【詳解】在橢圓中，，，，則，，可得，所以，，解得，此時點位于橢圓短軸的頂點.因此，滿足條件的點的個數(shù)為.故選：B.9、D【解析】根據(jù)橢圓方程先寫出標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程寫出便可得到離心率.【詳解】解：由題意得：，，故選：D10、D【解析】根據(jù)給定的雙曲線方程直接求出其漸近線方程作答.【詳解】雙曲線C：的實半軸長，虛半軸長，即有，而雙曲線C的焦點在y軸上，所以雙曲線C的漸近線的方程為，即.故選：D11、C【解析】利用垂直的坐標(biāo)表示列方程求解即可.【詳解】由與互相垂直得，解得故選：C.12、D【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可知，從而可求出結(jié)果.【詳解】解：根據(jù)題意，可知等差數(shù)列中，，則，所以.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5【解析】根據(jù)空間向量的數(shù)量積運算的坐標(biāo)表示運算求解即可.【詳解】解：因為，，所以.故答案為：14、23【解析】先計算該單詞所有字母能夠組成的所有排列情況，然后減去正確的，即是可能出現(xiàn)錯誤的情況.【詳解】因為“”四個字母組成的全排列共有（種）結(jié)果，其中只有排列“”是正確的，其余全是錯誤的，故可能出現(xiàn)錯誤的共有（種）.故答案為：23.15、【解析】由題意，,.故答案為.16、【解析】至多需要補考一次，分5種情況分別計算后再求和即可.【詳解】不需要補考就通過的概率為；僅補考科目一就通過的概率為；僅補考科目二就通過的概率為；僅補考科目三就通過的概率為；僅補考科目三就通過的概率為，一位佛山公民通過駕考四項考試至多需要補考一次的概率為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）若選①，則根據(jù)正弦定理，邊化角，結(jié)合二倍角公式，求得，可得答案；若選②，則根據(jù)余弦定理和三角形面積公式，將化簡，求得，可得答案；若選③，則切化弦，化簡可得到的值，求得答案；（2）由余弦定理求出，進而求得,設(shè)，，在中用余弦定理列出方程，求得答案.【小問1詳解】若選①，則根據(jù)正弦定理可得：，由于,，故，則；若選②，則，即，則，而，故；若選③，則，即，則，而，故；【小問2詳解】如圖示：,故，故,在中，設(shè)，則，則，即，解得，或（舍去）故.18、（1）證明見解析；（2）不存在，理由見解析.【解析】（1）以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，計算得出，即可得出結(jié)論；（2）計算出平面的一個法向量，利用空間向量法可得出關(guān)于的方程，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）因為平面，，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，，，所以，，則，因此，無論取何值，總有；（2），設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，所以，平面的一個法向量為，易知平面的一個法向量為，由題意可得，整理可得，，此方程無解，因此，不存在點，使得平面與平面所成的角為.19、（1）；（2）最大值與最小值分別為與【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率即可求出結(jié)果；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進而結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求出最值.【詳解】（1）因為，所以所以所以的圖象在點處的切線方程為，即（2）由（1）知令，則；令，則所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以又，所以所以在上的最大值與最小值分別為與20、（1）2（2）（3）證明見詳解【解析】（1）用兩點間的距離公式和三角形的面積公式，結(jié)合已知直接可解；（2）根據(jù)中點坐標(biāo)公式，結(jié)合（1）中結(jié)論可得；（3）要證，只需證和的中點重合，直接或利用韋達(dá)定理求出中點橫坐標(biāo)，證明其相等即可.【小問1詳解】記直線的傾斜角為，則，易得所以因為，所以，整理得：【小問2詳解】設(shè)點M的坐標(biāo)為，則即，由（1）知，所以，即【小問3詳解】要證，只需證和的中點重合，記D，E，F(xiàn)，G的橫坐標(biāo)分別為，易知直線的斜率（當(dāng)時與漸近線平行或重合，此時與雙曲線最多一個交點）則解方程組，得解方程組，得將代入，得所以因為所以所以和的中點的橫坐標(biāo)相等，所以和的中點重合，記其中點為N，則有，即21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)平面得到，結(jié)合得到證明。（2）建立空間直角坐標(biāo)系，計算各點坐標(biāo)，計算平面的法向量，根據(jù)向量的夾角公式得到答案?！拘?詳解】由于平面，平面，所以，由于，又，所以平面【小問2詳解】兩兩垂直，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為設(shè)平面的一個法向量為，由，得，故可取所以所以二面角的平面角的余弦值22、（1）；（2）.【解析】（1）由已知條件可得出關(guān)于、、的方程組，求出這三個量的值，由此可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分析可知直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程為，由點到直線的距離公式可得出，設(shè)點、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由可得出，代入韋達(dá)定理求出、的值，由此可得出直線的方程.【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為，則，解得，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）若直線斜率不存在，則直線過原點，不合乎題意.所以，直線的斜率存在，設(shè)斜率為