變化率問題導(dǎo)數(shù)的概念

3.1.1變化率問題與導(dǎo)數(shù)的概念引言：

導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一.它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大（小）值等問題最一般、最有效的工具，如：一、已知物體運動的路程作為時間的函數(shù),求物體在任意時刻的速度與加速度等;二、求曲線的切線;三、求已知函數(shù)的最大值與最小值;四、求長度、面積、體積和重心等。問題1氣球膨脹率

在吹氣球的過程中,可發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加得越來越慢.從數(shù)學(xué)的角度,如何描述這種現(xiàn)象呢?

氣球的體積V(單位:L)與半徑r(單位:dm)之間的函數(shù)關(guān)系是若將半徑r表示為體積V的函數(shù),那么當(dāng)空氣容量V從0L增加到1L,氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為當(dāng)空氣容量V從1L增加到2L,氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為

隨著氣球體積逐漸變大,它的平均膨脹率逐漸變小思考?當(dāng)空氣容量從V1增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少?問題2高臺跳水

在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時間t(單位:s)存在函數(shù)關(guān)系：

如果用運動員在某段時間內(nèi)的平均速度描述其運動狀態(tài),那么:在0≤t≤0.5這段時間里,在1≤t≤2這段時間里,顯然，在不同的時間段里他的運動狀態(tài)也不同；探究：

結(jié)論：平均速度不能反映他在整體時間里的運動變化情況，所以需要用瞬間速度來描述運動狀態(tài).定義:平均變化率:式子稱為函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率.令△x=x2–x1,△f=f(x2)–f(x1),則注意：式子中△x是一個整體符號，而不是△與x相乘，△x的值可正、可負，但△x的值不能為0，練習(xí):1.質(zhì)點運動規(guī)律s=t2+3，則在時間（3，3+△t△）中，相應(yīng)的平均速度=_________.2.已知函數(shù)f(x)=2x+1,分別計算在下列區(qū)間上f(x)的平均變化率.(1)[–3,–1];(2)[0,5].3.已知函數(shù)f(x)=–x2+x的圖象上的一點A(–1,–2)及臨近一點B(–1+Δx,–2+Δy),則Δy/Δx=()A3B3Δx–(Δx)2C3–(Δx)2D3-ΔxD由上可知：在高臺跳水運動中,平均速度不能反映他在這段時間里運動狀態(tài)，需要用瞬時速度描述運動狀態(tài)。我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.

又如何求這瞬時速度呢?求：從2s到(2+△t)s這段時間內(nèi)跳水運動員的平均速度.△t<0時,在[2+△t,2]這段時間內(nèi)△t>0時,在[2,2+△t]這段時間內(nèi)當(dāng)△t=–0.01時,當(dāng)△t=0.01時,當(dāng)△t=–0.001時,當(dāng)△t=0.001時,當(dāng)△t=–0.0001時,當(dāng)△t=0.0001時,△t=–0.00001,△t=0.00001,△t=–0.000001,△t=0.000001,…………當(dāng)△t取不同值時，的變化情況如下：發(fā)現(xiàn)：當(dāng)△t趨近于0時,即無論t從小于2的一邊,還是從大于2的一邊趨近于2時,平均速度都趨近于一個確定的值–13.1.

從物理的角度看,時間間隔|△t|無限變小時,平均速度就無限趨近于t=2時的瞬時速度.因此,運動員在t=2時的瞬時速度就是–13.1.表示“當(dāng)t=2,△t趨近于0時,平均速度趨近于確定值–13.1”.探究:1.運動員在任意一時刻t0的瞬時速度怎樣表示?2.函數(shù)f(x)在x=x0

處的瞬時變化率又該怎樣表示?定義:函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率是稱為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù),記作或,即注意:由導(dǎo)數(shù)的定義可知,求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的一般步驟:求函數(shù)的改變量2.求平均變化率3.求極值簡記為：一差、二化、三極限例1、設(shè)函數(shù)分f(x)=x2-1，求:（1）當(dāng)自變量x由1到1.1時，自變量的增量△x;（2）當(dāng)自變量x由1到1.1時，函數(shù)的增量△y;（3）當(dāng)自變量x由1到1.1時，函數(shù)的平均變化率;（4）函數(shù)在x=1處的瞬時變化率（即導(dǎo)數(shù)）。例題2

將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品,需要對原油進行冷卻和加熱.如果第xh時,原油的溫度(單位:)為f(x)=x2–7x+15(0≤x≤8).計算第2h和第6h,原油溫度的瞬時變化率,并說明它們的意義.解:在第2h和第6h時,原油溫度的瞬時變化率就是和根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,所以,同理可得

在第2h和第6h時,原油溫度的瞬時變化率分別為–3和5.它說明在第2h附近,原油溫度大約以3/h的速率下降;在第6h附近,原油溫度大約以5/h的速率上升.練習(xí)：12、求y=x2在x=1處的導(dǎo)數(shù).小