第1章 有限元基本理論

第一章有限元基本理論平衡方程幾何方程物理方程邊界條件物理系統(tǒng)有限元離散單元的位移場(假定單元內位移函數(shù))單元節(jié)點關系求解區(qū)域的位移場、應力場簡單化1.1有限元分析(FEA)有限元分析

是利用數(shù)學近似的方法對真實物理系統(tǒng)（幾何和載荷工況）進行模擬。它利用簡單而又相互作用的元素，即單元，用有限數(shù)量的未知量去逼近無限未知量的真實系統(tǒng)。定義1.2有限單元法的基本思想將連續(xù)的結構離散成有限個單元，并在每一單元中設定有限個節(jié)點，將連續(xù)體看作只在節(jié)點處相連接的一組單元的集合體。選定場函數(shù)的節(jié)點值作為基本未知量，并在每一單元中假設一近似插值函數(shù)，以表示單元中場函數(shù)的分布規(guī)律。利用力學中的某種變分原理去建立用以求節(jié)點未知量的有限單元法方程，將一個連續(xù)域中有限自由度問題化為離散域中有限自由度問題。1.3物理系統(tǒng)舉例幾何體

載荷

物理系統(tǒng)結構熱電磁1.3.1平衡方程1.3.2幾何方程1.3.3物理方程(本構方程)拉梅系數(shù)體積應變剪切模量1.3.4邊界條件應力邊界條件位移邊界條件1.4有限元模型真實系統(tǒng)有限元模型

有限元模型是真實系統(tǒng)理想化的數(shù)學抽象。定義1.5自由度(DOFs)自由度(DOFs)

用于描述一個物理場的響應特性。結構DOFs

結構位移

熱

溫度電電位流體壓力

磁磁位

問題

自由度ROTZUYROTYUXROTXUZ定義1.6節(jié)點和單元節(jié)點:空間中的坐標位置，具有一定自由度和存在相互物理作用。單元:一組節(jié)點自由度間相互作用的數(shù)值、矩陣描述（稱為剛度或系數(shù)矩陣)。單元有線、面或實體以及二維或三維的單元等種類。有限元模型由一些簡單形狀的單元組成，單元之間通過節(jié)點連接，并承受一定載荷。載荷載荷定義1.6節(jié)點和單元(續(xù))信息是通過單元之間的公共節(jié)點傳遞的。分離但節(jié)點重疊的單元A和B之間沒有信息傳遞（需進行節(jié)點合并處理）具有公共節(jié)點的單元之間存在信息傳遞

...AB........AB...1node2nodes1.6節(jié)點和單元(續(xù))節(jié)點自由度是隨連接該節(jié)點

單元類型變化的。JIIJJKLILKIPOMNKJIL三維桿單元(鉸接)UX,UY,UZ三維梁單元UX,UY,UZ,ROTX,ROTY,ROTZ二維或軸對稱實體單元UX,UY三維四邊形殼單元UX,UY,UZ,ROTX,ROTY,ROTZ三維實體熱單元TEMPJPOMNKJIL三維實體結構單元UX,UY,UZ1.7單元形函數(shù)FEA僅僅求解節(jié)點處的DOF值。單元形函數(shù)是一種數(shù)學函數(shù)，規(guī)定了從節(jié)點DOF值到單元內所有點處DOF值的計算方法。因此，單元形函數(shù)提供出一種描述單元內部結果的“形狀”。單元形函數(shù)描述的是給定單元的一種假定的特性。單元形函數(shù)與真實工作特性吻合好壞程度直接影響求解精度。真實的二次曲線.節(jié)點單元二次曲線的線性近似

(不理想結果).21.7單元形函數(shù)(續(xù))節(jié)點單元DOF值二次分布..1節(jié)點單元線性近似(更理想的結果)真實的二次曲線.....3節(jié)點單元二次近似(接近于真實的二次近似擬合)

(最理想結果)..41.7單元形函數(shù)(續(xù))DOF值可以精確或不太精確地等于在節(jié)點處的真實解，但單元內的平均值與實際情況吻合得很好。這些平均意義上的典型解是從單元DOFs推導出來的（如：結構應力、熱梯度）。nodalsolutionelementsolutionUX,UY,UZ,ROTX,ROTY,ROTZσ、ε、E1.7單元形函數(shù)(續(xù))如果單元形函數(shù)不能精確描述單元內部的DOFs，就不能很好地得到導出數(shù)據(jù)，因為這些導出數(shù)據(jù)是通過單元形函數(shù)推導出來的。當選擇了某種單元類型時，也就十分確定地選擇并接受該種單元類型所假定的單元形函數(shù)。在選定單元類型并隨之確定了形函數(shù)的情況下，必須確保分析時有足夠數(shù)量的單元和節(jié)點來精確描述所要求解的問題。1.8直桿受自重作用的拉伸問題1.8直桿受自重作用的拉伸問題(續(xù))就整個直桿來說，位移函數(shù)U(x)是未知的，但對每一單元可以近似地假設一位移函數(shù)，它在結點上等于結點位移。此處，假設單元中的位移按線性分布，即：1.8直桿受自重作用的拉伸問題(續(xù))有了位移插值函數(shù)，就可以按材料力學公式求出應變和應力用節(jié)點位移表示的公式：

1.8直桿受自重作用的拉伸問題(續(xù))外載荷與結點的平衡方程為第i個結點上承受的外載荷1.8直桿受自重作用的拉伸問題(續(xù))假定將直桿分割成3個單元，每個單元長為a=L/3，則對結點2，3，4列出的平衡方程為：1.8直桿受自重作用的拉伸問題(續(xù))1.8直桿受自重作用的拉伸問題(續(xù))聯(lián)立求解線性代數(shù)方程組得：1.9有限單元法解題的一般步驟結構的離散化選擇位移模式建立平衡方程求解節(jié)點位移計算單元中的應力和應變1.9.1結構的離散化將分析的結構物分割成有限個單元體，使相鄰的單元體僅在節(jié)點處相連接，而以如此單元的結合體去代替原來的結構。1.9.2選擇位移模式(形函數(shù))首先對單元假設一個位移差值函數(shù)，或稱之為位移模式，得到用節(jié)點位移表示單元體內任一點的唯一的關系式有了位移模式，就可利用幾何關系和應力-應變關系表出用單元節(jié)點位移表示單元中應變和應力的表達式1.9.3三角形單元的形函數(shù)基本假定：假定單元內的位移可以用一個比較簡單的函數(shù)來表示，如線性插值函數(shù)。這在單元劃分比較密的情況下是合理可行的。1.9.3三角形單元的形函數(shù)(續(xù))將三角形單元的3個頂點的2個方向位移代入位移函數(shù)可求出6個待定系數(shù)。即可用節(jié)點的位移表示內部任意一點的位移：1.9.4建立平衡方程可