第1章 有限元基本理論

第一章有限元基本理論平衡方程幾何方程物理方程邊界條件物理系統(tǒng)有限元離散單元的位移場(chǎng)(假定單元內(nèi)位移函數(shù))單元節(jié)點(diǎn)關(guān)系求解區(qū)域的位移場(chǎng)、應(yīng)力場(chǎng)簡(jiǎn)單化1.1有限元分析(FEA)有限元分析

是利用數(shù)學(xué)近似的方法對(duì)真實(shí)物理系統(tǒng)（幾何和載荷工況）進(jìn)行模擬。它利用簡(jiǎn)單而又相互作用的元素，即單元，用有限數(shù)量的未知量去逼近無(wú)限未知量的真實(shí)系統(tǒng)。定義1.2有限單元法的基本思想將連續(xù)的結(jié)構(gòu)離散成有限個(gè)單元，并在每一單元中設(shè)定有限個(gè)節(jié)點(diǎn)，將連續(xù)體看作只在節(jié)點(diǎn)處相連接的一組單元的集合體。選定場(chǎng)函數(shù)的節(jié)點(diǎn)值作為基本未知量，并在每一單元中假設(shè)一近似插值函數(shù)，以表示單元中場(chǎng)函數(shù)的分布規(guī)律。利用力學(xué)中的某種變分原理去建立用以求節(jié)點(diǎn)未知量的有限單元法方程，將一個(gè)連續(xù)域中有限自由度問(wèn)題化為離散域中有限自由度問(wèn)題。1.3物理系統(tǒng)舉例幾何體

載荷

物理系統(tǒng)結(jié)構(gòu)熱電磁1.3.1平衡方程1.3.2幾何方程1.3.3物理方程(本構(gòu)方程)拉梅系數(shù)體積應(yīng)變剪切模量1.3.4邊界條件應(yīng)力邊界條件位移邊界條件1.4有限元模型真實(shí)系統(tǒng)有限元模型

有限元模型是真實(shí)系統(tǒng)理想化的數(shù)學(xué)抽象。定義1.5自由度(DOFs)自由度(DOFs)

用于描述一個(gè)物理場(chǎng)的響應(yīng)特性。結(jié)構(gòu)DOFs

結(jié)構(gòu)位移

熱

溫度電電位流體壓力

磁磁位

問(wèn)題

自由度ROTZUYROTYUXROTXUZ定義1.6節(jié)點(diǎn)和單元節(jié)點(diǎn):空間中的坐標(biāo)位置，具有一定自由度和存在相互物理作用。單元:一組節(jié)點(diǎn)自由度間相互作用的數(shù)值、矩陣描述（稱(chēng)為剛度或系數(shù)矩陣)。單元有線(xiàn)、面或?qū)嶓w以及二維或三維的單元等種類(lèi)。有限元模型由一些簡(jiǎn)單形狀的單元組成，單元之間通過(guò)節(jié)點(diǎn)連接，并承受一定載荷。載荷載荷定義1.6節(jié)點(diǎn)和單元(續(xù))信息是通過(guò)單元之間的公共節(jié)點(diǎn)傳遞的。分離但節(jié)點(diǎn)重疊的單元A和B之間沒(méi)有信息傳遞（需進(jìn)行節(jié)點(diǎn)合并處理）具有公共節(jié)點(diǎn)的單元之間存在信息傳遞

...AB........AB...1node2nodes1.6節(jié)點(diǎn)和單元(續(xù))節(jié)點(diǎn)自由度是隨連接該節(jié)點(diǎn)

單元類(lèi)型變化的。JIIJJKLILKIPOMNKJIL三維桿單元(鉸接)UX,UY,UZ三維梁?jiǎn)卧猆X,UY,UZ,ROTX,ROTY,ROTZ二維或軸對(duì)稱(chēng)實(shí)體單元UX,UY三維四邊形殼單元UX,UY,UZ,ROTX,ROTY,ROTZ三維實(shí)體熱單元TEMPJPOMNKJIL三維實(shí)體結(jié)構(gòu)單元UX,UY,UZ1.7單元形函數(shù)FEA僅僅求解節(jié)點(diǎn)處的DOF值。單元形函數(shù)是一種數(shù)學(xué)函數(shù)，規(guī)定了從節(jié)點(diǎn)DOF值到單元內(nèi)所有點(diǎn)處DOF值的計(jì)算方法。因此，單元形函數(shù)提供出一種描述單元內(nèi)部結(jié)果的“形狀”。單元形函數(shù)描述的是給定單元的一種假定的特性。單元形函數(shù)與真實(shí)工作特性吻合好壞程度直接影響求解精度。真實(shí)的二次曲線(xiàn).節(jié)點(diǎn)單元二次曲線(xiàn)的線(xiàn)性近似

(不理想結(jié)果).21.7單元形函數(shù)(續(xù))節(jié)點(diǎn)單元DOF值二次分布..1節(jié)點(diǎn)單元線(xiàn)性近似(更理想的結(jié)果)真實(shí)的二次曲線(xiàn).....3節(jié)點(diǎn)單元二次近似(接近于真實(shí)的二次近似擬合)

(最理想結(jié)果)..41.7單元形函數(shù)(續(xù))DOF值可以精確或不太精確地等于在節(jié)點(diǎn)處的真實(shí)解，但單元內(nèi)的平均值與實(shí)際情況吻合得很好。這些平均意義上的典型解是從單元DOFs推導(dǎo)出來(lái)的（如：結(jié)構(gòu)應(yīng)力、熱梯度）。nodalsolutionelementsolutionUX,UY,UZ,ROTX,ROTY,ROTZσ、ε、E1.7單元形函數(shù)(續(xù))如果單元形函數(shù)不能精確描述單元內(nèi)部的DOFs，就不能很好地得到導(dǎo)出數(shù)據(jù)，因?yàn)檫@些導(dǎo)出數(shù)據(jù)是通過(guò)單元形函數(shù)推導(dǎo)出來(lái)的。當(dāng)選擇了某種單元類(lèi)型時(shí)，也就十分確定地選擇并接受該種單元類(lèi)型所假定的單元形函數(shù)。在選定單元類(lèi)型并隨之確定了形函數(shù)的情況下，必須確保分析時(shí)有足夠數(shù)量的單元和節(jié)點(diǎn)來(lái)精確描述所要求解的問(wèn)題。1.8直桿受自重作用的拉伸問(wèn)題1.8直桿受自重作用的拉伸問(wèn)題(續(xù))就整個(gè)直桿來(lái)說(shuō)，位移函數(shù)U(x)是未知的，但對(duì)每一單元可以近似地假設(shè)一位移函數(shù)，它在結(jié)點(diǎn)上等于結(jié)點(diǎn)位移。此處，假設(shè)單元中的位移按線(xiàn)性分布，即：1.8直桿受自重作用的拉伸問(wèn)題(續(xù))有了位移插值函數(shù)，就可以按材料力學(xué)公式求出應(yīng)變和應(yīng)力用節(jié)點(diǎn)位移表示的公式：

1.8直桿受自重作用的拉伸問(wèn)題(續(xù))外載荷與結(jié)點(diǎn)的平衡方程為第i個(gè)結(jié)點(diǎn)上承受的外載荷1.8直桿受自重作用的拉伸問(wèn)題(續(xù))假定將直桿分割成3個(gè)單元，每個(gè)單元長(zhǎng)為a=L/3，則對(duì)結(jié)點(diǎn)2，3，4列出的平衡方程為：1.8直桿受自重作用的拉伸問(wèn)題(續(xù))1.8直桿受自重作用的拉伸問(wèn)題(續(xù))聯(lián)立求解線(xiàn)性代數(shù)方程組得：1.9有限單元法解題的一般步驟結(jié)構(gòu)的離散化選擇位移模式建立平衡方程求解節(jié)點(diǎn)位移計(jì)算單元中的應(yīng)力和應(yīng)變1.9.1結(jié)構(gòu)的離散化將分析的結(jié)構(gòu)物分割成有限個(gè)單元體，使相鄰的單元體僅在節(jié)點(diǎn)處相連接，而以如此單元的結(jié)合體去代替原來(lái)的結(jié)構(gòu)。1.9.2選擇位移模式(形函數(shù))首先對(duì)單元假設(shè)一個(gè)位移差值函數(shù)，或稱(chēng)之為位移模式，得到用節(jié)點(diǎn)位移表示單元體內(nèi)任一點(diǎn)的唯一的關(guān)系式有了位移模式，就可利用幾何關(guān)系和應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系表出用單元節(jié)點(diǎn)位移表示單元中應(yīng)變和應(yīng)力的表達(dá)式1.9.3三角形單元的形函數(shù)基本假定：假定單元內(nèi)的位移可以用一個(gè)比較簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)表示，如線(xiàn)性插值函數(shù)。這在單元?jiǎng)澐直容^密的情況下是合理可行的。1.9.3三角形單元的形函數(shù)(續(xù))將三角形單元的3個(gè)頂點(diǎn)的2個(gè)方向位移代入位移函數(shù)可求出6個(gè)待定系數(shù)。即可用節(jié)點(diǎn)的位移表示內(nèi)部任意一點(diǎn)的位移：1.9.4建立平衡方程可