專題23“不動(dòng)點(diǎn)法”處理迭代數(shù)列（教師版）

專題23：“不動(dòng)點(diǎn)法”處理迭代數(shù)列<<<專題綜述>>><<<專題綜述>>>對于一個(gè)函數(shù)f(x)，我們把滿足fm=m的值x=m稱為函數(shù)<<<專題探究>>><<<專題探究>>>題型一：用題型一：用“不動(dòng)點(diǎn)”求數(shù)列通項(xiàng)迭代原理：函數(shù)的迭代圖象，簡稱蛛網(wǎng)圖或者折線圖，函數(shù)y=f(x)和直線y=x共同決定．其步驟如下：1．在同一坐標(biāo)系中作出y=f(x)和y=x的圖像（草圖），并確定不動(dòng)點(diǎn)．（如圖1所示）圖1圖22．在找出不動(dòng)點(diǎn)之后，確定范圍，將不動(dòng)點(diǎn)之間的圖像放大，并找出起始點(diǎn)a13．由a1向y=f(x)作垂直于x軸的直線與y=f(x)相交，并確定交點(diǎn)a4．由a1,a2向y=x作平行于x軸的直線與5．由a2,a2向y=f(x)作垂直于x軸的直線與重復(fù)4，5，直至找到點(diǎn)an,例1（1）設(shè)數(shù)列an滿足a1=1,a（2）已知數(shù)列an滿足a1=3,【思路點(diǎn)撥】（1）若fx=ax+b(a≠0,1)，p是f(x)的不動(dòng)點(diǎn)．?dāng)?shù)列an則an+1-p=a(an-p)（2）設(shè)fx=ax+bcx+d(c≠0,ad－bc≠0)，數(shù)列an滿足an+1=fan,【規(guī)范解析】（1）如上圖1、圖2可得，函數(shù)y=2x+1的不動(dòng)點(diǎn)為1，故y=2x+1滿足y-(-1)=2[x-(-1)]即y+1=2x+1由數(shù)列an,a故可知a∴an+1是公比為2∴an（2）由方程x=7x-2x+4，得數(shù)列an的不動(dòng)點(diǎn)為1an+1所以an-1an-2所以an解得an=1練1已知數(shù)列an滿足an+1=-13【規(guī)范解析】

設(shè)fx=-13x－2又a1=4，∴an+32∴an∴an+3練2設(shè)數(shù)列an滿足8an+1an-16an+1+2an+5=0n≥1,n∈N*,且a1=1,

記bn又a1-12a1-54=1-121-54題型二：題型二：用“不動(dòng)點(diǎn)”研究數(shù)列單調(diào)性蛛網(wǎng)圖與數(shù)列的單調(diào)性1：y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間存在兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x1,x2(x1<x2：y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間存在兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x1,x2(x1<x圖3圖4例2（2020屆河北省石家莊市高三五月模擬（七）數(shù)學(xué)（理）試題）已知數(shù)列an滿足：0<a1<1，A．0<a2020<1C．2<a2020<【思路點(diǎn)撥】構(gòu)造函數(shù)f(x)=x+ln(3-x),x∈(0,3)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，可得an<2，再用蜘網(wǎng)圖【規(guī)范解析】令fx由f'x=1-13-x由f'x<0可得fx在可得an≤2，又f2=2恒成立，若an所以an<2，所以數(shù)列且f0=ln由圖象可得0<a所以1<a故選：B．練3（浙江省稽陽聯(lián)誼學(xué)校2020屆高三下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列anan+1=an+1-A．存在n∈NB．存在n∈NC．存在n∈ND．存在n∈N【規(guī)范解析】因?yàn)閍n+1=所以an,a因?yàn)閥=x+1-x2-x+1與y＝x有兩個(gè)交點(diǎn)（0，0如圖所示：可知當(dāng)a1<0時(shí)，數(shù)列遞減，∴a當(dāng)0<a1<1時(shí)，數(shù)列遞增，并且a當(dāng)a1>1時(shí)，數(shù)列遞減，并且an趨向1又當(dāng)x>1時(shí)，y=x+1-則當(dāng)a1>1時(shí)，a2一定小于32，則之后均小于3對于C，可取a1=32，得所以a1-5故選：C.練4（浙江省杭州市第二中學(xué)濱江校區(qū)20212022學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列an滿足an+1=ean-2+1（n∈N*，e為自然對數(shù)的底數(shù)），且對任意的都存在n∈A．a(chǎn)1≤1 B．1≤a1≤2 C規(guī)范解析：設(shè)f(x)=ex-x-1，令f當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí)，f'(x)<0，f(x)當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，f'(x)>0，f(x)故f(x)≥f(0)=0，即ex≥x+1（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)x=0故an+1=ea即an+1要使對任意的M>0都存在n∈N*，使得顯然a1=2時(shí)，當(dāng)a1>2時(shí)，當(dāng)a1<2時(shí)，綜上，a1故選：C.<<<專題訓(xùn)練>>><<<專題訓(xùn)練>>>1.已知數(shù)列an滿足a1=2，a【解析】解方程x=x+2化簡得2x2-2=0則an-1-1又a1∴數(shù)列an-1an+1∴an-1an2.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=A．存在n0∈NB．存在n0∈C．存在n0∈D．存在n0∈【解析】設(shè)fx=lnx-x可知當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，令gx由于g1=因此，fx=x在可知an<2,an<a故選：D.3.已知無窮項(xiàng)數(shù)列an，滿足a1>0，且an+1=A．當(dāng)且僅當(dāng)a1>e時(shí)，數(shù)列aB．存在a1∈1C．當(dāng)a1<e時(shí)，存在n0D．當(dāng)a1>1e【解析】設(shè)函數(shù)fx=x?lnx可得函數(shù)y=xlnx在0,1e且當(dāng)x=1e時(shí)，y=-1且f1an為無窮項(xiàng)數(shù)列，則a1選項(xiàng)A.當(dāng)a1∈0,1e時(shí)，an+1an=lnan選項(xiàng)B.(1)當(dāng)a1∈1,x0由a2∈0,1e，根據(jù)上面對選項(xiàng)(2)當(dāng)a1∈x0,a3=a根據(jù)上面對選項(xiàng)A的分析可知，數(shù)列從第3項(xiàng)起單調(diào)遞增.（3）當(dāng)a1∈x如圖，過點(diǎn)a1,a2作x軸的平行線交直線過點(diǎn)a2,a2x過點(diǎn)a2,a3作x軸的平行線交直線過點(diǎn)a3,a3x依此作下去，可得在開始階段數(shù)列an是遞減的，如圖，其值一定會遞減至0,1若am是第一個(gè)滿足0<am由前面的證明可得，從數(shù)列an從第mm≥2所以a1∈1e,e時(shí)，數(shù)列選項(xiàng)C.當(dāng)a1∈0,1e時(shí)，由選項(xiàng)當(dāng)a1∈1e,e時(shí)，由選項(xiàng)B的推導(dǎo)，可知數(shù)列顯然滿足條件.所以C正確.選項(xiàng)D.由對選項(xiàng)B的判斷過程可知，當(dāng)a1∈1e,e時(shí)，數(shù)列an先減后增，只有前面有限多項(xiàng)的值大于1故選：C4.設(shè)數(shù)列an滿足a1=aa>0,an+1=2【解析】令y=2x,當(dāng)y=x時(shí)，函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)有x0=2x0（1）如圖1所示，當(dāng)0<a<4時(shí)，通過蛛網(wǎng)圖發(fā)現(xiàn)4>a故an<4，故當(dāng)4≤M時(shí)，一定有（2）當(dāng)a=4時(shí)，總有an=4，故當(dāng)4≤M時(shí)，一定有（3）如圖2所示，當(dāng)a>4時(shí)，通過蛛網(wǎng)圖發(fā)現(xiàn)4<a故只需a≤M，一定有an綜上，存在常數(shù)M，使得對于任意的n∈N*，都有圖1圖25.ann∈【解析】令，當(dāng)y=x時(shí)，函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)有（1）如圖4所示，當(dāng)1<a1<3故與題意要求不符合；（2）如圖5所示，當(dāng)0<a1<1（3）如圖6所示，當(dāng)a1>3時(shí)，通過蛛網(wǎng)圖綜上，a1>3或者0<