雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

2.3.2雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)Ⅰ、教學(xué)目標(biāo)：1．了解雙曲線的范圍、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)、實(shí)軸、虛軸、漸近線等概念。2．類比橢圓幾何性質(zhì)的研究方法，自主研究并獲得雙曲線的幾何性質(zhì)。在經(jīng)歷探究雙曲線的幾何性質(zhì)的過(guò)程中，體會(huì)由數(shù)論形的一般方法。

Ⅱ、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：1．雙曲線的幾何性質(zhì)：范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、實(shí)軸、虛軸、漸近線。2．進(jìn)一步理解、運(yùn)用、感悟從代數(shù)角度研究幾何的思想和方法。教學(xué)難點(diǎn)：1、虛軸的感性接受；2、代數(shù)角度研究幾何的思想和方法Ⅲ、教學(xué)過(guò)程一、復(fù)習(xí)引入：1、復(fù)習(xí)上節(jié)課所講授的雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程.師生活動(dòng)：復(fù)習(xí)橢圓的范圍、對(duì)稱性是從橢圓方程

的哪些代數(shù)特性獲得的？

橢圓的頂點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸、中心是如何定義的？類比橢圓幾何性質(zhì)的研究，從雙曲線方程，你可以獨(dú)立發(fā)現(xiàn)哪些幾何性質(zhì)？有沒(méi)有雙曲線所特有的性質(zhì)？二、講授新課問(wèn)題1如何研究雙曲線的幾何性質(zhì)？師生活動(dòng)：類比橢圓幾何性質(zhì)的研究方法，對(duì)雙曲線

的幾何性質(zhì)進(jìn)行研究．（分別從“形”的角度和“數(shù)”的角度分析）追問(wèn)1：雙曲線的范圍、頂點(diǎn)、對(duì)稱性？師生活動(dòng)：類比橢圓的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)的研究，通過(guò)方程研究雙曲線的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)．（1）范圍“形”的角度：觀察雙曲線，可以直觀發(fā)現(xiàn)雙曲線上的（）的橫坐標(biāo)的范圍是，或，縱坐標(biāo)的范圍是．

“數(shù)”的角度：根據(jù)方程①，得到，或；．

由（）的范圍，可以發(fā)現(xiàn)雙曲線不是封閉的曲線．雙曲線位于直線及其左側(cè)，以及直線及其右側(cè)的區(qū)域，并且兩支都向外無(wú)限延伸．

（2）對(duì)稱性“形”的角度：雙曲線既關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，又關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

“數(shù)”的角度：

用-x代x，-y代y，-x，-y，分別代x，y，方程的形式不變，所以雙曲線關(guān)于坐標(biāo)軸、原點(diǎn)對(duì)稱．

雙曲線的對(duì)稱中心叫做雙曲線的中心.

（3）頂點(diǎn)“形”的角度：從圖形直觀上可以發(fā)現(xiàn)雙曲線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)和，與軸沒(méi)有公共點(diǎn)．這與橢圓不同

“數(shù)”的角度：令y=0，得到x=a或x=-a，所以和，令x=0,,沒(méi)有實(shí)數(shù)解。

追問(wèn)2：能否類比橢圓把B1（0，－b），B2（0，b）兩點(diǎn)畫(huà)在軸上？線段有何幾何意義？

師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖，學(xué)習(xí)線段稱為雙曲線的虛軸，△是直角三角形，且，，，線段叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)等于叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)；線段叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)等于叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng).并且在緊接著的漸近線的研究中就要用到它．

追問(wèn)3：在雙曲線－＝1位于第一象限的曲線上畫(huà)一點(diǎn)M，測(cè)量點(diǎn)M的橫坐標(biāo)以及它到直線－＝1的距離d，向右拖動(dòng)點(diǎn)M，觀察與d的大小關(guān)系，你發(fā)現(xiàn)了什么？

師生活動(dòng)：通過(guò)GGB軟件作圖，在向右拖動(dòng)點(diǎn)M時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)越來(lái)越大，d越來(lái)越小，但是d

始終不等于

0.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A1，A2作y軸的平行線x＝±3，經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)B1，B2作x軸的平行線y＝±2，四條直線圍成一個(gè)矩形，矩形的兩條對(duì)角線所在直線的方程是．可以發(fā)現(xiàn)，雙曲線的兩支向外延伸時(shí)，與兩條直線逐漸接近，但永遠(yuǎn)不相交．一般地，雙曲線（,）的兩支向外延伸時(shí)，與兩條直線逐漸接近，我們把這兩條直線叫做雙曲線的漸近線．實(shí)際上，雙曲線與它的漸近線無(wú)限接近，但永遠(yuǎn)不相交。對(duì)圓錐曲線來(lái)說(shuō)，漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)．利用雙曲線的漸近線來(lái)畫(huà)雙曲線特別方便，只要作出雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)和兩條漸近線，就能較為精確地畫(huà)出它的圖形追問(wèn)4：已知雙曲線方程如何求漸進(jìn)線方程？對(duì)于雙曲線（,），令

追問(wèn)5：在雙曲線方程（,）中，如果，漸進(jìn)線是什么？

師生活動(dòng)：此時(shí)方程變?yōu)?，雙曲線的實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)都等于．這時(shí)，四條直線圍成正方形，漸近線方程為，它們互相垂直，并且平分雙曲線的實(shí)軸和虛軸所成的角．實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線．

追問(wèn)6：雙曲線的離心率是什么？與橢圓類似，雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比

，叫做雙曲線的離心率．因?yàn)?，所以雙曲線的離心率追問(wèn)7：橢圓的離心率刻畫(huà)了橢圓的扁平程度，雙曲線的離心率刻畫(huà)雙曲線的什么幾何特征？師生活動(dòng)：類比橢圓的離心率，我們猜想雙曲線的離心率刻畫(huà)的也是某種“扁平程度”．由

可知，當(dāng)逐漸增大時(shí)，逐漸增大，即雙曲線的漸近線

的斜率逐漸增大，此時(shí)雙曲線的“張口”逐漸增大，反之也成立．此時(shí)的“扁平程度”描述的是雙曲線的“張口大小”．因此，雙曲線的離心率刻畫(huà)了雙曲線的“張口”大?。?/p>

追問(wèn)8：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)？師生活動(dòng)：類比焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，讓學(xué)生得到焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).三、例題分析例1

求雙曲線9y2－16x2＝144的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程．解：把雙曲線的方程

9y2－16x2＝144

化為標(biāo)準(zhǔn)方程

.

由此可知，實(shí)半軸長(zhǎng)a＝4，虛半軸長(zhǎng)b＝3；

，焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0，－5），（0，5）；離心率；

漸近線方程為．

例2

求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（1）焦點(diǎn)在x軸上，實(shí)軸長(zhǎng)是10，虛軸長(zhǎng)是8；

（2）焦點(diǎn)在y軸上，焦距是10，虛軸長(zhǎng)是8；

解：（1）設(shè)雙曲線方程為

，由題意可知，

所以雙曲線方程為：（2）設(shè)雙曲線方程為

，由題意可知，c=5,b=4

所以a=3,雙曲線方程為：

四、課堂小結(jié)（1）

知識(shí)要點(diǎn)

（2）

研究方法：1．類比2.數(shù)學(xué)結(jié)合五、課后練習(xí)P124

練習(xí)1，2，3

教學(xué)設(shè)計(jì)二

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)以及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.由于雙曲線的相關(guān)內(nèi)容和學(xué)習(xí)方法與橢圓具有高度的相似性，因此，可以通過(guò)與橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)進(jìn)行類比，通過(guò)學(xué)生合作討論獲得雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的學(xué)習(xí)方法.下面通過(guò)幾個(gè)教學(xué)片段呈現(xiàn)如何通過(guò)與橢圓相關(guān)內(nèi)容的聯(lián)想類比來(lái)實(shí)現(xiàn)雙曲線簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的自然構(gòu)建.片段1

類比橢圓的幾何性質(zhì)，確定研究的具體內(nèi)容.師：上一節(jié)課我們根據(jù)實(shí)驗(yàn)在黑板上畫(huà)出了雙曲線，并建立坐標(biāo)系得出了它的標(biāo)準(zhǔn)方程.大家認(rèn)為關(guān)于雙曲線還可以研究什么？你是怎么想到的？生1：研究雙曲線的性質(zhì).在學(xué)習(xí)橢圓時(shí)，我們先學(xué)了橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程，后面學(xué)了它的幾何性質(zhì).師：學(xué)習(xí)橢圓的幾何性質(zhì)有什么用？學(xué)習(xí)雙曲線的幾何性質(zhì)又有什么用呢？生2：可以讓我們更準(zhǔn)確地畫(huà)出橢圓和雙曲線.師：還記得我們研究了橢圓的哪些幾何性質(zhì)？是如何研究的？生3：研究了橢圓的長(zhǎng)軸與短軸的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)及離心率.生4：通過(guò)研究橢圓的方程得出性質(zhì).師：猜想雙曲線的幾何性質(zhì)有哪些？如何進(jìn)行研究？生5：類比橢圓，應(yīng)該也有長(zhǎng)軸與短軸的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)等，可以從特