山西省朔州一中2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

山西省朔州一中2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)等差數(shù)列前項(xiàng)和為，若是方程的兩根，則（）A.32 B.30C.28 D.262．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則下列判斷正確的是（）A.在區(qū)間上，函數(shù)增函數(shù) B.在區(qū)間上，函數(shù)是減函數(shù)C.為函數(shù)的極小值點(diǎn) D.2為函數(shù)的極大值點(diǎn)3．已知，若是函數(shù)一個(gè)零點(diǎn)，則的值為()A.0 B.C.1 D.4．某商場(chǎng)有四類(lèi)食品，其中糧食類(lèi)、植物油類(lèi)、動(dòng)物性食品類(lèi)以及果蔬類(lèi)分別有40種、10種、30種、20種，現(xiàn)從中抽取一個(gè)容量為20的樣本進(jìn)行食品安全檢測(cè).若采用分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類(lèi)與果蔬類(lèi)食品種數(shù)之和是（）A.4 B.5C.6 D.75．若“”是“”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的值為（）A.1 B.C.或1 D.或6．古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，只可惜對(duì)這一定義歐幾里得沒(méi)有給出證明.經(jīng)過(guò)了500年，到了3世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯篇》中，完善了歐幾里得關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并對(duì)這一定義進(jìn)行了證明.他指出，到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線；當(dāng)時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線.現(xiàn)有方程表示的曲線是雙曲線，則的取值范圍為（）A. B.C. D.7．已知、是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則（）A.2 B.3C.4 D.58．已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則等于（）A.0 B.1C.2 D.49．?dāng)?shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）A. B.C. D.10．過(guò)點(diǎn)P(2，1)作直線l，使l與雙曲線－y2＝1有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線l共有A.1條 B.2條C.3條 D.4條11．橢圓中以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線斜率為（）A. B.C. D.12．某班進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)測(cè)試，全班學(xué)生的成績(jī)都落在區(qū)間內(nèi)，其成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，若該班學(xué)生這次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)的估計(jì)值為，則的值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓的右頂點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_____.14．斐波那契數(shù)列，又稱(chēng)“兔子數(shù)列”，由數(shù)學(xué)家斐波那契研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)引入．已知斐波那契數(shù)列滿足，，，若記，，則________．（用，表示）15．如圖，把橢圓的長(zhǎng)軸八等分，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線交橢圓的上半部分于，，，七個(gè)點(diǎn)，是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則的值為_(kāi)_________16．從某校隨機(jī)抽取某次數(shù)學(xué)考試100分以上（含100分，滿分150分）的學(xué)生成績(jī)，將他們的分?jǐn)?shù)數(shù)據(jù)繪制成如圖所示頻率分布直方圖．若共抽取了100名學(xué)生的成績(jī)，則分?jǐn)?shù)在內(nèi)的人數(shù)為_(kāi)__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為（1）求△ABC的外接圓M的方程；（2）設(shè)直線與圓M交于兩點(diǎn)，求|PQ|的值18．（12分）設(shè)點(diǎn)P是曲線上的任意一點(diǎn)，k是該曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率（1）求k的取值范圍；（2）求當(dāng)k取最大值時(shí)，該曲線在點(diǎn)P處的切線方程19．（12分）已知；.（1）若為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若為假命題，為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）某企業(yè)為響應(yīng)“安全生產(chǎn)”號(hào)召，將全部生產(chǎn)設(shè)備按設(shè)備安全系數(shù)分為A，兩個(gè)等級(jí)，其中等設(shè)備安全系數(shù)低于A等設(shè)備.企業(yè)定時(shí)對(duì)生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行檢修，并將部分等設(shè)備更新成A等設(shè)備.據(jù)統(tǒng)計(jì)，2020年底該企業(yè)A等設(shè)備量已占全體設(shè)備總量的30%.從2021年開(kāi)始，企業(yè)決定加大更新力度，預(yù)計(jì)今后每年將16%的等設(shè)備更新成A等設(shè)備，與此同時(shí)，4%的A等設(shè)備由于設(shè)備老化將降級(jí)成等設(shè)備.（1）在這種更新制度下，在將來(lái)的某一年該企業(yè)的A等設(shè)備占全體設(shè)備的比例能否超過(guò)80%？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）至少在哪一年底，該企業(yè)的A等設(shè)備占全體設(shè)備的比例超過(guò)60%.（參考數(shù)據(jù)：，，）21．（12分）為了了解某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品情況，從該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品隨機(jī)抽取了一個(gè)容量為200的樣本，測(cè)量它們的尺寸（單位：），數(shù)據(jù)分為，，，，，，七組，其頻率分布直方圖如圖所示.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求200件樣本中尺寸在內(nèi)的樣本數(shù)；（2）記產(chǎn)品尺寸在內(nèi)為等品，每件可獲利6元；產(chǎn)品尺寸在內(nèi)為不合格品，每件虧損3元；其余的為合格品，每件可獲利4元.若該機(jī)器一個(gè)月共生產(chǎn)2000件產(chǎn)品.以樣本的頻率代替總體在各組的頻率，若單月利潤(rùn)未能達(dá)到9000元，則需要對(duì)該工廠設(shè)備實(shí)施升級(jí)改造.試判斷是否需要對(duì)該工廠設(shè)備實(shí)施升級(jí)改造.22．（10分）在數(shù)列中，，點(diǎn)在直線上.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記的前項(xiàng)和為，且，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)給定條件利用韋達(dá)定理結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)計(jì)算作答.【詳解】因是方程的兩根，則又是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，于是得，所以.故選：A2、D【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系可求解.【詳解】對(duì)于A，在區(qū)間，，故A不正確；對(duì)于B，在區(qū)間，，故B不正確；對(duì)于C、D，由圖可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以為函數(shù)的極大值點(diǎn)，故C不正確，D正確.故選：D3、A【解析】首先根據(jù)題意求出，然后設(shè)函數(shù)，利用以及的單調(diào)性，并結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意可知，，所以，不妨設(shè)，()，故，從而，易知在上單調(diào)遞增，故，即，從而.故選：A.4、C【解析】按照分層抽樣的定義進(jìn)行抽取.【詳解】按照分層抽樣的定義有，糧食類(lèi)：植物油類(lèi)：動(dòng)物性食品類(lèi)：果蔬類(lèi)=4:1:3:2，抽20個(gè)出來(lái)，則糧食類(lèi)8個(gè)，植物油類(lèi)2個(gè)，動(dòng)物性食品類(lèi)6個(gè)，果蔬類(lèi)4個(gè)，則抽取的植物油類(lèi)與果蔬類(lèi)食品種數(shù)之和是6個(gè).故選：C.5、B【解析】利用定義法進(jìn)行判斷.【詳解】把代入，得：，解得：或.當(dāng)時(shí)，可化為：，解得：，此時(shí)“”是“”的充要條件，應(yīng)舍去；當(dāng)時(shí)，可化為：，解得：或，此時(shí)“”是“”的充分不必要條件.故.故選：B6、C【解析】對(duì)方程進(jìn)行化簡(jiǎn)可得雙曲線上一點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線之比為常數(shù)，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】已知方程可以變形為，即，∴其表示雙曲線上一點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線之比為常數(shù)，又由，可得，故選：C.7、C【解析】依據(jù)橢圓和雙曲線定義和題給條件列方程組，得到關(guān)于橢圓的離心率和雙曲線的離心率的關(guān)系式，即可求得的值.【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，令，不妨設(shè)則，解之得代入，可得整理得，即，也就是故選：C8、A【解析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后代值計(jì)算即可【詳解】因?yàn)椋?故選：A9、A【解析】根據(jù)規(guī)律，總結(jié)通項(xiàng)公式，即可得答案.【詳解】根據(jù)規(guī)律可知數(shù)列的前三項(xiàng)為，所以該數(shù)列一個(gè)通項(xiàng)公式為故選：A10、B【解析】利用幾何法，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，得出符合條件的結(jié)論.【詳解】由雙曲線的方程可知其漸近線方程為y＝±x，則點(diǎn)P(2，1)在漸近線y＝x上，又雙曲線的右頂點(diǎn)為A(2，0)，如圖所示．滿足條件的直線l有兩條：x＝2，y－1＝－(x－2)【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)直線與雙曲線的公共點(diǎn)有一個(gè)的條件，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)，結(jié)合圖形，得出結(jié)果，屬于中檔題目.11、A【解析】先設(shè)出弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，分別代入橢圓方程，兩式相減后整理即可求得弦所在的直線的斜率【詳解】設(shè)弦的兩端點(diǎn)為，，代入橢圓得兩式相減得，即，即，即，即，弦所在的直線的斜率為，故選:A12、A【解析】根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，即可求得結(jié)果.【詳解】由題意有，得，又由，得，解得，，有故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式建立函數(shù)關(guān)系，借助二次函數(shù)計(jì)算最值作答.【詳解】橢圓的右頂點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)，則，即，且，于是得，因，則當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為.故答案為：14、【解析】由已知兩式相加求得，得，得到，從而得到，，利用可得答案.【詳解】因?yàn)?，由，，得，所以，得，因?yàn)?，所以，，所以，，所以?故答案為：.15、28【解析】設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為由橢圓的幾何性質(zhì)可知：，同理可得，且，故,故答案為.16、30【解析】根據(jù)頻率分布直方圖中所以小矩形面積和為1，可得a值，根據(jù)總?cè)藬?shù)和頻率，即可得答案.【詳解】因?yàn)轭l率分布直方圖中所以小矩形面積和為1，所以，解得，所以分?jǐn)?shù)在內(nèi)的人數(shù)為.故答案為：30三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)出圓的一般方程，根據(jù)的坐標(biāo)滿足圓方程，待定系數(shù)，即可求得圓方程；（2）根據(jù)（1）中所求圓方程，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，即可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】設(shè)圓M的方程為，因?yàn)槎荚趫A上，則，解得，故圓M的方程為，也即.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，圓M的圓心坐標(biāo)為，半徑為，點(diǎn)M到直線的距離故.18、（1）（2）【解析】（1）先求導(dǎo)數(shù)再求最值即可求解答案；（2）由（1）確定切點(diǎn)，從而也確定的斜率就可以求切線.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，所以k的取值范圍為【小問(wèn)2詳解】由（1）知，此時(shí)，即，所以此時(shí)曲線在點(diǎn)P處的切線方程為19、（1）；（2）.【解析】解不等式求得為真、為真分別對(duì)應(yīng)的解集；（1）由為真可得全真，兩解集取交集可得結(jié)果；（2）由和的真假性可得一真一假，則分為真假和假真兩種情況求得解集.【小問(wèn)1詳解】若為真，則，即，即，所以或，若為真，則，所以，因?yàn)闉檎婷}，所以均為真命題.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【小問(wèn)2詳解】若為假命題，為真命題，則一真一假，若真假，則，解得或，若假真，則，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.20、（1）A等設(shè)備量不可能超過(guò)生產(chǎn)設(shè)備總量的80%，理由見(jiàn)解析；（2）在2025年底實(shí)現(xiàn)A等設(shè)備量超過(guò)生產(chǎn)設(shè)備總量的60%.【解析】(1)根據(jù)題意表示出2020年開(kāi)始，經(jīng)過(guò)年后A等設(shè)備量占總設(shè)備量的百分比為，求出，根據(jù)的范圍進(jìn)行判斷；(2)令＞即可求解.【小問(wèn)1詳解】記該企業(yè)全部生產(chǎn)設(shè)備總量為“1”，2020年開(kāi)始，經(jīng)過(guò)年后A等設(shè)備量占總設(shè)備量的百分比為，則經(jīng)過(guò)1年即2021年底該企業(yè)A等設(shè)備量，，可得，又所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，可得，所以，顯然有，所以A等設(shè)備量不可能超過(guò)生產(chǎn)設(shè)備總量的80%.【小問(wèn)2詳解】由，得.因?yàn)閱握{(diào)遞減，又，，所以在2025年底實(shí)現(xiàn)A等設(shè)備量超過(guò)生產(chǎn)設(shè)備總量的60%.21、（1）件；（2）需要對(duì)該工廠設(shè)備實(shí)施升級(jí)改造.【解析】（1）根據(jù)評(píng)論分布直方圖面積之和為1列等式計(jì)算得，用200乘以?xún)?nèi)頻率即可得出答案；（2）根據(jù)題意計(jì)算等品件，不合格品有件，進(jìn)而得合格品有件，根據(jù)題意計(jì)算其利潤(rùn)與9000比較判定需要對(duì)該工廠設(shè)備實(shí)施升級(jí)改造.【詳解】解：（1）因?yàn)?，解得，所?00件樣本中尺寸在內(nèi)的樣本數(shù)為（件）.（2）由題意可得，這批產(chǎn)品中優(yōu)等品有件，這批產(chǎn)品中不合格品有件，這批產(chǎn)品中合格品有件，元.所以該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品一個(gè)月所獲