山西省長治市二中2024屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

山西省長治市二中2024屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知橢圓的右焦點和右頂點分別為F，A，離心率為，且，則n的值為（）A.4 B.3C.2 D.2．函數(shù)的最小值是（）A.3 B.4C.5 D.63．已知命題,命題,，則下列命題中為真命題的是A. B.C. D.4．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓C的中心為原點，焦點，均在y軸上，橢圓C的面積為，且短軸長為，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.5．意大利數(shù)學(xué)家斐波那契，以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”，，，，，，，，…，在實際生活中很多花朵的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列在物理化學(xué)等領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用.已知斐波那契數(shù)列滿足：，，，若，則等于（）A. B.C. D.6．在中，角、、所對的邊分別是、、.已知，，且滿足，則的取值范圍為（）A. B.C. D.7．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，已知，，則的公差為（）A.2 B.3C.4 D.58．若，都是實數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件9．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A.8 B.16C. D.10．在等比數(shù)列中，若是函數(shù)的極值點，則的值是（）A. B.C. D.11．已知集合A＝{x|－2≤x≤0}，B＝{－2，－1，0，1}，則A∩B＝()A.{－2，－1，0，1} B.{－1，0，1}C.{－2，－1} D.{－2，－1，0}12．已知函數(shù)，在上隨機取一個實數(shù)，則使得成立的概率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．拋物線的聚焦特點：從拋物線的焦點發(fā)出的光經(jīng)過拋物線反射后，光線都平行于拋物線的對稱軸.另一方面，根據(jù)光路的可逆性，平行于拋物線對稱軸的光線射向拋物線后的反射光線都會匯聚到拋物線的焦點處.已知拋物線，一條平行于拋物線對稱軸的光線從點向左發(fā)出，先經(jīng)拋物線反射，再經(jīng)直線反射后，恰好經(jīng)過點，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________.14．已知，空間直角坐標(biāo)系中，過點且一個法向量為的平面的方程為.用以上知識解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩個平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為___________.15．已知春季里，甲地每天下雨的概率為，乙地每天下雨的概率大于0，且甲、乙兩地下雨相互獨立，則春季的一天里，已知乙地下雨的條件下，甲地也下雨的概率為___________.16．某人實施一項投資計劃，從2021年起，每年1月1日，把上一年工資的10%投資某個項目.已知2020年他的工資是10萬元，預(yù)計未來十年每年工資都會逐年增加1萬元；若投資年收益是10%，一年結(jié)算一次，當(dāng)年的投資收益自動轉(zhuǎn)入下一年的投資本金，若2031年1月1日結(jié)束投資計劃，則他可以一次性取出的所有投資以及收益應(yīng)有__________萬元.（參考數(shù)據(jù)：，，）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖所示，在四棱錐中，平面，底面是等腰梯形，．且（1）證明：平面平面；（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值18．（12分）為了解某市家庭用電量的情況，該市統(tǒng)計局調(diào)查了若干戶居民去年一年的月均用電量（單位：），得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）估計月均用電量的眾數(shù)；（2）求a的值；（3）為了既滿足居民的基本用電需求，又提高能源的利用效率，市政府計劃采用階梯電價，月均用電量不高于平均數(shù)的為第一檔，高于平均數(shù)的為第二檔，已知某戶居民月均用電量為，請問該戶居民應(yīng)該按那一檔電價收費，說明理由.19．（12分）已知橢圓C經(jīng)過，兩點（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線l與C交于P，Q兩點，M是PQ的中點，O是坐標(biāo)原點，，求證：的邊PQ上的高為定值20．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C：y2=4x經(jīng)過點A（1，2），直線l：y=kx+b與拋物線C交于M，N兩點.（1）若，求直線l的方程；（2）當(dāng)AM⊥AN時，若對任意滿足條件的實數(shù)k，都有b=mk+n（m，n為常數(shù)），求m+2n的值.21．（12分）已知，以點為圓心圓被軸截得的弦長為.（1）求圓的方程；（2）若過點的直線與圓相切，求直線的方程.22．（10分）已知橢圓的一個頂點為，離心率為（1）求橢圓C的方程；（2）若直線l與橢圓C交于M、N兩點，直線BM與直線BN的斜率之積為，證明直線l過定點并求出該定點坐標(biāo)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)橢圓方程及其性質(zhì)有，求解即可.【詳解】由題設(shè)，，整理得，可得.故選：B2、D【解析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性求最小值【詳解】由，得，因為，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，故選：D3、D【解析】命題是假命題，命題是真命題，根據(jù)復(fù)合命題的真值表可判斷真假.【詳解】因為，故命題是假命題，又命題是真命題，故為假，為假，為假，為真命題，故選D.【點睛】復(fù)合命題的真假判斷有如下規(guī)律：（1）或：一真比真，全假才假；（2）且：全真才真，一假比假；（3）：真假相反.4、C【解析】設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)已知條件，求得，即可求得結(jié)果.【詳解】因為橢圓的焦點在軸上，故可設(shè)其方程為，根據(jù)題意可得，，故可得，故所求橢圓方程為：.故選：C.5、A【解析】利用可化簡得，由此可得.【詳解】由得：，，即.故選：A.6、D【解析】利用正弦定理邊角互化思想化簡得出，利用余弦定理化簡得出，結(jié)合，根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)性可求得的取值范圍.【詳解】且，所以，由正弦定理得，即，，，所以，，則，由余弦定理得，，則，由于雙勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，所以，.因此，的取值范圍為.故選：D.【點睛】本題考查三角形內(nèi)角余弦值的取值范圍的求解，考查了余弦定理以及正弦定理邊角互化思想的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.7、B【解析】由以及等差數(shù)列的性質(zhì)，可得的值，再結(jié)合即可求出公差.【詳解】解：，得，，又，兩式相減得，則.故選：B.8、A【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可得正確選項.【詳解】若，則，可得，所以，可得，故充分性成立，取，，滿足，但，無意義得不出，故必要性不成立，所以是的充分不必要條件，故選：A.9、C【解析】畫出直觀圖，利用椎體體積公式進(jìn)行求解.【詳解】畫出直觀圖，為四棱錐A-BCDE，其中BC=4，BE=2，AE=2，且BE，AE，DE兩兩垂直，故體積為.故選：C10、B【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的極值點，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極值點，因為，且所以，故選：B11、D【解析】根據(jù)集合交集的運算法則計算即可.【詳解】∵A＝{x|－2≤x≤0}，B＝{－2，－1，0，1}，則A∩B＝{－2，－1，0}.故選：D.12、B【解析】首先求不等式的解集，再根據(jù)區(qū)間長度，求幾何概型的概率.【詳解】由，得，解得，在區(qū)間上隨機取一實數(shù)，則實數(shù)滿足不等式的概率為故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)拋物線的聚焦特點，經(jīng)過拋物線后經(jīng)過拋物線焦點，再經(jīng)直線反射后經(jīng)過點，則根據(jù)反射特點，列出相關(guān)方程，解出方程即可.【詳解】設(shè)光線與拋物線的交點為，拋物線的焦點為，則可得：拋物線的焦點為：則直線的方程為：設(shè)直線與直線的交點為，則有：解得：則過點且垂直于的直線的方程為：根據(jù)題意可知：點關(guān)于直線的對稱點在直線上設(shè)點，的中點為，則有：直線垂直于，則有：點在直線上，則有：點在直線上，則有：化簡得：又故故答案為：【點睛】直線關(guān)于直線對稱對稱，利用中點坐標(biāo)公式和直線與直線垂直的特點建立方程，根據(jù)題意列出隱含的方程是關(guān)鍵14、【解析】由題意分別求出這三個平面的法向量，設(shè)直線的方向向量為，由直線與平面與的法向量垂直，得出，由向量的夾角公式可得答案.【詳解】由，解得，即直線與平面的交點坐標(biāo)為平面的方程為，可得所以平面的法向量為平面的法向量為，的法向量為設(shè)直線的方向向量為，則，即取，設(shè)直線與平面所成角則故答案為：15、##0.5【解析】根據(jù)條件概率求概率的方法即可求得答案.【詳解】設(shè)A表示“甲地每天下雨”，B表示“乙地每天下雨”，乙地每天下雨的概率為p，則，因為甲乙兩地下雨相互獨立，所以，于是在乙地下雨的條件下，甲地也下雨的概率為.故答案為：.16、24【解析】根據(jù)條件求得每一年投入在最終結(jié)算時的總收入，利用錯位相減法求得總收入.【詳解】由題知，2021年的投入在結(jié)算時的收入為，2022年的投入在結(jié)算時的收入為，，2030年的投入在結(jié)算時的收入為，則結(jié)算時的總投資及收益為：①，則②，由①-②得，，則，故答案為：24三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由線面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）以為坐標(biāo)原點，以，所在直線分別為，軸，以過點垂直于平面的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系．求出平面的一個法向量、平面的法向量，由二面角的空間向量求法可得答案.【小問1詳解】因為四邊形是等腰梯形，，所以，所以，即因為平面，所以，又因為，所以平面，因為平面，所以平面平面【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點，以，所在直線分別為，軸，以過點垂直于平面的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則，所以，，，由（1）可知平面的一個法向量為設(shè)平面的法向量為，因為，，所以得令，則，，所以，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.18、（1）175（2）0.004（3）該居民該戶居民應(yīng)該按第二檔電價收費，理由見解析【解析】（1）在區(qū)間對應(yīng)的小矩形最高，由此能求出眾數(shù)；（2）利用各個區(qū)間的頻率之和為1，即可求出值；（3）求出月均用電量的平均數(shù)的估計值即可判斷.【小問1詳解】由題知，月均用電量在區(qū)間內(nèi)的居民最多，可以將這個區(qū)間的中點175作為眾數(shù)的估計值，所以眾數(shù)的估計值為175.【小問2詳解】由題知：，解得則的值為0.004.【小問3詳解】平均數(shù)的估計值為：，則月均用電量的平均數(shù)的估計值為，又∵∴該居民該戶居民應(yīng)該按第二檔電價收費.19、（1）（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)出橢圓方程，根據(jù)的坐標(biāo)求得橢圓方程.（2）對直線的斜率分成存在和不存在兩種情況進(jìn)行分類討論，求得的邊PQ上的高來證得結(jié)論成立.【小問1詳解】設(shè)橢圓方程為，將坐標(biāo)代入得，所以橢圓方程為.小問2詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時，關(guān)于軸對稱，由于，所以，即，直線與橢圓有兩個交點，符合題意.所以的邊PQ上的高為.當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)直線的方程為，由消去并化簡得①，設(shè)，則，.由于M是PQ的中點且，所以，所以，即，，，.此時①的.原點到直線的距離為.綜上所述，的邊PQ上的高為定值20、（1）（2）3或【解析】（1）由可得，則可得直線為，設(shè)，然后將直線方程代入拋物線方程中消去，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，由可得，三個式子結(jié)合可求出，從而可得直線方程，（2）將直線方程代入拋物線方程中消去，再利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出，再結(jié)合直線方程表示出，由AM⊥AN可得，化簡結(jié)合前面的式子可求出或，從而可可求出的值，進(jìn)而可求得答案【小問1詳解】因為A（1，2），，所以，則直線為，設(shè)，由，得，由，得則，因為，所以，所以，所以，所以，解得，所以直線的方程為，即，【小問2詳解】設(shè)，由，得，由，得，則，所以，，因為AM⊥AN，所以，所以，即，所以，所以，所以或，所以或，所以或21、（1）（2）或【解析】（1）根據(jù)垂徑定理，可直接計算出圓的半徑；（2）根據(jù)直線的斜率是否存在分類討論，斜率不存在時，可得到直線方程為的直線滿足題意，斜率存在時，利用直線與圓相切，即到直線的距離等于半徑，然后解出關(guān)于斜率的方程即可.【小問1詳解】不妨設(shè)圓的半徑為，根據(jù)垂徑定理，可得：解得：則圓的方程為：【小問2詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時，則有：故此時直線與圓相切，滿足題意當(dāng)直線的斜率存在時，不妨設(shè)直線的斜率為，點的直線的距離為直線的方程為：則有：解得：，此時直線的方程為：綜上可得，直線的方程為：或22、（1）；（2）答案見解析，直線