概率的基本性質(zhì)

3.1.3概率的基本性質(zhì)

1.________________________叫做互斥事件(或稱________________________).(1)“互斥”所研究的是兩個或多個事件的關(guān)系;(2)因為每個事件總是由幾個基本事件(不同的幾個結(jié)果)組成,從集合的角度講,互斥事件就是它們的交集為_______,也就是沒有共同的基本事件(相同結(jié)果).不可能同時發(fā)生的事件

互不相容事件空集在一次試驗中A與B必有一個發(fā)生,那么A與B(1)“對立”所研究的是互斥事件中兩個事件的非此即彼的關(guān)系;

(3)對立事件A與B應(yīng)滿足兩個條件________且__________;(4)對立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是對立事件;(5)對立事件是指兩個事件,而互斥事件可能有多個.3.事件A與事件B互斥時,則P(A∪B)=________.特例,若A與B為對立事件,則P(A)=__________,P(A∪B)=________,P(A∩B)=________.

A∩B=?A∪B=U(U為全集)P(A)+P(B)

1-P(B)

1

0

概率加法定理兩互斥事件的和的概率,等于這兩事件的概率的和,即P(A+B)=P(A)+P(B).更一般地,有限個彼此互斥事件的和的概率,等于這些事件的概率的和,即

A

BB包含事件A集合B包含集合AA=B事件A與事件B相等集合A與集合B相等A∪B(或A+B)事件A與事件B的并集合A與集合B的并A∩B(或AB)事件A與事件B的交集合A與集合B的交A∩B=?事件A與事件B互斥集合A與集合B的交為空集A∩B=?

A∪B=U事件A與事件B對立集合A與集合B互為補(bǔ)集題型一互斥?對立事件的判斷例1:某縣城有兩種報紙甲?乙供居民訂閱,記事件A為“只訂甲報”,事件B為“至少訂一種報”,事件C為“至多訂一種報”,事件D為“不訂甲報”,事件E為“一種報紙也不訂”.判斷下列每對事件是不是互斥事件,如果是,再判斷它們是不是對立事件.(1)A與C;(2)B與E;(3)B與D;(4)B與C;(5)C與E.分析:利用互斥事件?對立事件的定義.解:(1)由于事件C“至多訂一種報”中有可能只訂甲報,即事件A與事件C有可能同時發(fā)生,故A與C不是互斥事件.(2)事件B“至少訂一種報”與事件E“一種報也不訂”是不可能同時發(fā)生的,故B與E是互斥事件.由于事件B不發(fā)生可導(dǎo)致事件E一定發(fā)生,且事件E不發(fā)生會導(dǎo)致事件B一定發(fā)生,故B與E還是對立事件.(3)事件B“至少訂一種報”中可能只訂乙報,即有可能不訂甲報,也就是說事件B發(fā)生,事件D也可能發(fā)生,故B與D不互斥.(4)事件B“至少訂一種報”中有這些可能:“只訂甲報”“只訂乙報”“訂甲?乙兩種報”.事件C“至多訂一種報”中有這些可能:“什么也不訂”“只訂甲報”“只訂乙報”.由于這兩個事件可能同時發(fā)生,故B與C不是互斥事件.

(5)由(4)的分析,事件E“一種報紙也不訂”只是事件C的一種可能,事件C與事件E有可能同時發(fā)生,故C與E不互斥.規(guī)律技巧:互斥事件是不可能同時發(fā)生的事件,而對立事件不僅不能同時發(fā)生而且必須有一個發(fā)生,故對立事件一定是互斥事件,而互斥事件不一定是對立事件.只要找出各個事件包含的所有的結(jié)果,它們之間能不能同時發(fā)生便很容易知道,這樣便可判定兩事件是否互斥.在互斥的前提下,看兩事件中是否必有一個發(fā)生,可判斷是否為對立事件.變式訓(xùn)練1:一個射手進(jìn)行一次射擊,試判斷下列事件哪些是互斥事件?哪些是對立事件?事件A:命中環(huán)數(shù)大于7環(huán);事件B:命中環(huán)數(shù)為10環(huán);事件C:命中環(huán)數(shù)小于6環(huán);事件D:命中環(huán)數(shù)為6?7?8?9?10環(huán).解:事件A與事件C互斥(不可能同時發(fā)生);事件B與事件C互斥;事件C與事件D互斥.因為事件C與事件D至少有一個發(fā)生,所以事件C與事件D是對立事件.題型二互斥?對立事件的概率例2:一盒中裝有各色球12只,其中5只紅球?4只黑球?2只白球?1只綠球.從中隨機(jī)取出1球,求:(1)取出1球是紅球或黑球的概率;(2)取出的1球是紅球?黑球或白球的概率.分析:可按互斥事件和對立事件求概率的方法,利用公式進(jìn)行求解.解:解法1:(1)從12只球中任取1球得紅球有5種取法,得黑球有4種取法,得紅球或黑球共有5+4=9種不同取法,任取1球有12種取法.所以任取1球得紅球或黑球的概率為(2)從12只球中任取一球得紅球有5種取法,得黑球有4種取法,得白球有2種取法.從而得紅?黑或白球的概率為解法2:(利用互斥事件求概率)記事件A1={任取1球為紅球};A2={任取一球為黑球};A3={任取一球為白球};A4={任取1球為綠球},則根據(jù)題意知,事件A1?A2?A3?A4彼此互斥,由互斥事件概率公式得.(1)取出1球為紅球或黑球的概率為

(2)取出1球為紅球或黑球或白球的概率為解法3:(利用對立事件求概率的方法)(1)由解法2知,取出1球為紅球或黑球的對立事件為取出一白球或綠球,即A1∪A2的對立事件為A3∪A4,所以取得1紅球或黑球的概率為(2)A1∪A2∪A3的對立事件為A4,規(guī)律技巧:1.“互斥”和“對立”事件很容易搞混.互斥事件是指兩事件不可能同時發(fā)生,對立事件是指互斥的兩事件中必有一個發(fā)生.2.求復(fù)雜事件的概率通常有兩種方法:一是將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和;二是去求對立事件的概率,進(jìn)而再求所求事件的概率.變式訓(xùn)練2:

某家庭電話在家中有人時,打進(jìn)的電話響第一聲時被接的概率為0.1,響第二聲時被接的概率為0.2,響第三聲被接的概率為0.3,響第4聲時被接的概率為0.3,那么電話在響前4聲內(nèi)被接的概率是多少?解:記電話響第i聲時被接為事件Ai(i=1,2,3,4),電話響第5聲之前被接為事件A,由于A1?A2?A3?A4彼此互斥,所以P(A)=P(A1∪A2∪A3∪A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)=0.1+0.2+0.3+0.3=0.9.題型三概率的實(shí)際應(yīng)用例3:某公務(wù)員去開會,他乘火車?輪船?汽車?飛機(jī)去的概率分別為0.3?0.2?0.1?0.4.(1)求他乘火車或乘飛機(jī)去的概率;(2)求他不乘輪船去的概率;(3)如果他去的概率為0.5,請問他有可能是乘何種交通工具去的?分析:分清事件之間是互斥關(guān)系還是對立關(guān)系,然后套用相關(guān)公式.解:(1)記“他乘火車去”為事件A1,“他乘輪船去”為事件A2,“他乘汽車去”為事件A3,“他乘飛機(jī)去”為事件A4,這四個事件不可能同時發(fā)生,故它們彼此互斥,故P(A1+A4)=P(A1)+P(A4)=0.3+0.4=0.7.(2)設(shè)他不乘輪船去的概率為P,則P=1-P(A2)=1-0.2=0.8.(3)由于0.3+0.2=0.5,0.1+0.4=0.5,1-(0.3+0.2)=0.5,1-(0.4+0.1)=0.5,故他有可能乘火車或乘輪船去,也有可能乘汽車或乘飛機(jī)去.規(guī)律技巧:

由于一次不會乘坐兩種交通工具,因此各事件間彼此互斥,故可考慮互斥事件概率公式.帶有“不”“不大于”等否定字眼的常可用對立事件概率公式.變式訓(xùn)練3:

經(jīng)統(tǒng)計,某儲蓄所一個窗口等候的人數(shù)及相應(yīng)概率如下:排隊人數(shù)012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04(1)至多2人排隊等候的概率是多少?(2)至少3人排隊等候的概率是多少?解:記在窗口等候的人數(shù)為0,1,2,分別為事件A?B?C,則A?B?C彼此互斥,(1)至多2人排隊等候的概率為:P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)至少3人排列等候的概率為:1-P(A∪B∪C)=1-0.56=0.44.答案:B2.下列各組事件中,不是互斥事件的是()A.一個射手進(jìn)行一次射擊,命中環(huán)數(shù)大于8與命中環(huán)數(shù)小于6B.統(tǒng)計一個班級數(shù)學(xué)期中考試成績,平均分?jǐn)?shù)低于90分與平均分?jǐn)?shù)高于90分C.播種菜籽100粒,發(fā)芽90粒與發(fā)芽80粒D.檢查某種產(chǎn)品,合格率高于70%與合格率為70%解析:讀題易知,C不是互斥事件.答案:C3.從裝有兩個紅球和兩個白球的口袋內(nèi)任取兩個球,那么互斥而不對立的兩個事件是()A.至少有一個白球,全是白球B.至少有一個紅球,都是紅球C.恰有一個白球,恰有兩個白球D.至少有一個白球,至少有一個紅球解析:結(jié)合互斥事件與對立事件的定義知,對于C中恰有一個白球,即1白1紅,與恰有兩個白球是互斥事件,但不是對立事件.因為還有兩個紅球的情況,故選C.答案:C4.某產(chǎn)品分甲?乙?丙三級,其中乙?丙兩級均屬次品,若生產(chǎn)中出現(xiàn)乙級品的概率為0.03,丙級品的概率為0.01,則對成品抽查一件抽得正品的概率為()A.0.96B.0.98C.0.97D.0.09解析:設(shè)抽查1件,抽得正品為事件A,則P(A)=1-0.03-0.01=0.96.答案:A答案:A7.某人在打靶中,連續(xù)射擊2次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是__________________.兩次都不中靶8.某產(chǎn)品分一?二?三級,其中一?二級是正品,若生產(chǎn)中出現(xiàn)正品的概率是0.98,二級品的概率是0.21,則出現(xiàn)一級品和三級品的概率分別是________,________.0.770.02解析:由題意知,出現(xiàn)一級品的概率為0.98-0.21=0.77,出現(xiàn)三級品的概率是1-0.98=0.02.9.在擲骰子試驗中,可以定義很多事件,例如:A={出現(xiàn)1點(diǎn)},B={出現(xiàn)3點(diǎn)或5點(diǎn)},C={出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)},D={出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)}.試說明以上四個事件的關(guān)系,并寫出兩兩的運(yùn)算結(jié)果.解:(1)A與B互斥,A包含于C,A與D互斥,B包含于C,B與D互斥,C與D對立.(2)A∩B=?,A∪B=C.A∩C=A,A∪C=C.A∩D=?,A∪D={出現(xiàn)1點(diǎn)或出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)}.B∩C=B,B∪C=C.B∩D=?,B∪D={出現(xiàn)3點(diǎn)或5點(diǎn)或出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)}.C∩D=?,C∪D=U(U表示必然事件}.10.在某一時期內(nèi),一條河流某處的年最高水位在各個范圍內(nèi)的概率如下表:計算在同一時期內(nèi),河流這一處的年最高水位在下列范圍內(nèi)的概率:(1)[10,16)(m);(2)[8,12)(m);(3)水位不低于14m.解:設(shè)水位在[a,b)范圍的概率為P([a,b)),由于水位在各范圍內(nèi)對應(yīng)的事件是互斥的.由加法概率公式得: