新高考數(shù)學(xué)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用多選題及答案

新高考數(shù)學(xué)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用多選題及答案一、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用多選題1．關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，在處的切線方程為B．若函數(shù)在上恰有一個(gè)極值，則C．對任意，恒成立D．當(dāng)時(shí)，在上恰有2個(gè)零點(diǎn)【答案】ABD【分析】直接逐一驗(yàn)證選項(xiàng)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，即可判斷A選項(xiàng)；利用分離參數(shù)法，構(gòu)造新函數(shù)和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、最值，即可判斷BC選項(xiàng)；通過構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來解決零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，即可判斷D選項(xiàng).【詳解】解：對于A，當(dāng)時(shí)，，，所以，故切點(diǎn)為（0，0），則，所以，故切線斜率為1，所以在處的切線方程為：，即，故A正確；對于B，，，則，若函數(shù)在上恰有一個(gè)極值，即在上恰有一個(gè)解，令，即在上恰有一個(gè)解，則在上恰有一個(gè)解，即與的圖象在上恰有一個(gè)交點(diǎn)，，，令，解得：，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以極大值為，極小值為，而，作出，的大致圖象，如下：由圖可知，當(dāng)時(shí)，與的圖象在上恰有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)在上恰有一個(gè)極值，則，故B正確；對于C，要使得恒成立，即在上，恒成立，即在上，恒成立，即，設(shè)，，則，，令，解得：，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以極大值為，，所以在上的最大值為，所以時(shí)，在上，恒成立，即當(dāng)時(shí)，才恒成立，所以對任意，不恒成立，故C不正確；對于D，當(dāng)時(shí)，，，令，則，即，作出函數(shù)和的圖象，可知在內(nèi)，兩個(gè)圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，考查分離參數(shù)法的應(yīng)用和構(gòu)造新函數(shù)，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值最值、零點(diǎn)等，考查化簡運(yùn)算能力和數(shù)形結(jié)合思想.2．設(shè)函數(shù)，，下列命題，正確的是（）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減B．不等關(guān)系成立C．若時(shí)，總有恒成立，則D．若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)【答案】AC【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷A選項(xiàng)的正誤；由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性比較、的大小關(guān)系，可判斷B選項(xiàng)的正誤；分析得出函數(shù)在上為減函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求出的取值范圍，可判斷C選項(xiàng)的正誤；分析出方程在上有兩個(gè)根，數(shù)形結(jié)合求出的取值范圍，可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對于A選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t.由，可得，由，可得.所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以，，即，又，所以，，整理可得，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，若時(shí)，總有恒成立，可得，構(gòu)造函數(shù)，則，即函數(shù)為上的減函數(shù)，對任意的恒成立，即對任意的恒成立，令，其中，.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.所以，，，C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，，則，由于函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，令，可得，則函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，如下圖所示：當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題.3．函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)、，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．若，則只有一個(gè)零點(diǎn) D．存在，使得【答案】ACD【分析】利用極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷A選項(xiàng)的正誤；取，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷B選項(xiàng)的正誤；分、兩種情況討論，分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象可判斷C選項(xiàng)的正誤；計(jì)算出函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】，則.對于A選項(xiàng)，由題意可知，關(guān)于的二次方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，則，可得，A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，且當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，由，可得或；由，可得.所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，由，可得，此時(shí)，函數(shù)的極大值為，極小值為，且，如下圖所示：由圖可知，此時(shí)函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)；當(dāng)時(shí)，由，可得或；由，可得.所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為、，單調(diào)遞增區(qū)間為，由，可得，此時(shí)，函數(shù)的極小值為，極大值為，且，如下圖所示：由圖可知，此時(shí)函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，由題意可知，、是方程的兩根，由韋達(dá)定理可得，，，取，則，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，，，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題.4．（多選）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．若，則函數(shù)沒有極值B．若，則函數(shù)有極值C．若函數(shù)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是D．若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【答案】ABD【分析】先對進(jìn)行求導(dǎo)，再對進(jìn)行分類討論，根據(jù)極值的定義以及零點(diǎn)的定義即可判斷.【詳解】解：由題意得，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)單調(diào)遞減，沒有極值，又當(dāng)x趨近于0時(shí)，趨近于，當(dāng)x趨近于時(shí)，趨近于，∴有且只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在上，，單調(diào)遞減，在上，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得極小值，同時(shí)也是最小值，∴，當(dāng)x趨近于0時(shí)，趨近于，趨近于，當(dāng)x趨近于時(shí)，趨近于，當(dāng)，即時(shí)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，綜上可知ABD正確，C錯(cuò)誤．故選：ABD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：(1)直接求零點(diǎn)：令，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)；(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)；(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．5．某同學(xué)對函數(shù)進(jìn)行研究后，得出以下結(jié)論，其中正確的是（）A．函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱B．對定義域中的任意實(shí)數(shù)x的值，恒有成立C．函數(shù)的圖象與x軸有無窮多個(gè)交點(diǎn)，且每相鄰兩交點(diǎn)的距離相等D．對任意常數(shù)，存在常數(shù)，使函數(shù)在上單調(diào)遞減【答案】BD【分析】由函數(shù)奇偶性的定義即可判斷選項(xiàng)A；由函數(shù)的性質(zhì)可知可得到，即，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)判斷單調(diào)性，進(jìn)而求得最值即可判斷選項(xiàng)B；函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為且，可判斷選項(xiàng)C；求導(dǎo)分析時(shí)成立的情況，即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】對于選項(xiàng)A：函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以為偶函?shù)，即函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：由A選項(xiàng)可知為偶函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，所以，可得到，即，可設(shè)，，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即恒成立，故選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C：函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，交點(diǎn)與間的距離為，其余任意相鄰兩點(diǎn)的距離為，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：，可化為ex(cosx－sinx)，不等式兩邊同除以得，，當(dāng)，，，區(qū)間長度為，所以對于任意常數(shù)m>0，存在常數(shù)b>a>m，，，使函數(shù)在上單調(diào)遞減，故D選項(xiàng)正確；故選：BD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值的步驟：①寫定義域，對函數(shù)求導(dǎo)；②在定義域內(nèi)，解不等式和得到單調(diào)性；③利用單調(diào)性判斷極值點(diǎn)，比較極值和端點(diǎn)值得到最值即可.6．在單位圓O：上任取一點(diǎn)，圓O與x軸正向的交點(diǎn)是A，將OA繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OP所成的角記為，若x，y關(guān)于的表達(dá)式分別為，，則下列說法正確的是（）A．是偶函數(shù)，是奇函數(shù)；B．在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；C．在上恒成立；D．函數(shù)的最大值為.【答案】ACD【分析】依據(jù)三角函數(shù)的基本概念可知，，根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可判斷A、B；根據(jù)輔助角公式知，再利用三角函數(shù)求值域可判斷C；對于D，，先對函數(shù)求導(dǎo)，從而可知函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得當(dāng)，時(shí)，函數(shù)取得最大值，結(jié)合正弦的二倍角公式，代入進(jìn)行運(yùn)算即可得解．【詳解】由題意，根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，，，對于A，函數(shù)是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，故A正確；對于B，由正弦，余弦函數(shù)的基本性質(zhì)可知，函數(shù)在上為減函數(shù)，函數(shù)在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)時(shí)，，故C正確；對于D，函數(shù)，求導(dǎo)，令，則；令，則，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)即，時(shí)，函數(shù)取得極大值，又當(dāng)即，時(shí)，，所以函數(shù)取得最大值，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：考查三角函數(shù)的值域時(shí)，常用的方法：（1）將函數(shù)化簡整理為，再利用三角函數(shù)性質(zhì)求值域；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值.7．對于定義在上的函數(shù)和定義在上的函數(shù)，若直線同時(shí)滿足：①，，②，，則稱直線為與的“隔離直線”.若，，則下列為與的隔離直線的是（）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)隔離直線的定義，函數(shù)的圖象總在隔離直線的下方，的圖象總在隔離直線的上方，并且可以有公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象和函數(shù)的單調(diào)性，以及直線的特征，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】根據(jù)隔離直線的定義，函數(shù)的圖象總在隔離直線的下方，的圖象總在隔離直線的上方，并且可以有公共點(diǎn)，由函數(shù)，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，，此時(shí)函數(shù)的點(diǎn)處的切線方程為，且函數(shù)的圖象在直線的下方；又由函數(shù)，可得，單調(diào)遞增，因?yàn)椋院瘮?shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即，此時(shí)函數(shù)的圖象在直線的上方，根據(jù)上述特征可以畫出和的大致圖象，如圖所示，直線和分別是兩條曲線的切線，這兩條切線以及它們之間與直線平行的直線都滿足隔離直線的條件，所以A，B都符合；設(shè)過原點(diǎn)的直線與函數(shù)相切于點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得切線的斜率為，又由斜，可得，解得，所以，可得切線方程為，又由直線與曲相交，故C不符合；由直線過點(diǎn)，斜率為，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為1，明顯不滿足，排除D.故選：AB.【點(diǎn)睛】對于函數(shù)的新定義試題：（1）認(rèn)真審題，正確理解函數(shù)的新定義，合理轉(zhuǎn)化；（2）根據(jù)隔離直線的定義，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象總在隔離直線的下方，的圖象總在隔離直線的上方.8．若存在實(shí)常數(shù)k和b，使得函數(shù)和對其公共定義域上的任意實(shí)數(shù)x都滿足：和恒成立，則稱此直線為和的“隔離直線”，已知函數(shù)，，（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（）A．在內(nèi)單調(diào)遞增B．和之間存在“隔離直線，且b的最小值為4C．和間存在“隔離直線”，且k的取值范圍是D．和之間存在唯一的“隔離直線”【答案】AD【分析】求出的導(dǎo)數(shù)，檢驗(yàn)在內(nèi)的導(dǎo)數(shù)符號，即可判斷選項(xiàng)A；選項(xiàng)B、C可設(shè)、的隔離直線為，對一切實(shí)數(shù)x都成立，即有，又對一切都成立，，，，根據(jù)不等式的性質(zhì)，求出、的范圍，即可判斷選項(xiàng)B、C；存在和的隔離直線，那么該直線過這個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)隔離直線的斜率為，則隔離直線的方程為，構(gòu)造函數(shù)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值.【詳解】對于選項(xiàng)A：，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；故選項(xiàng)A正確對于選項(xiàng)BC：設(shè)、的隔離直線為，則對一切實(shí)數(shù)x都成立，即有，即，又對一切都成立，則，即，，，，即有且，，可得，同理可得：，故選項(xiàng)B不正確，故選項(xiàng)C不正確；對于選項(xiàng)D：函數(shù)和的圖象在處有公共點(diǎn)，因此存在和的隔離直線，那么該直線過這個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)隔離直線的斜率為，則隔離直線的方程為，即，由，可得對于恒成立，則，只有，此時(shí)直線方程為，下面證明，令，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，取到極小值，極小值是，也是最小值.所以，則當(dāng)時(shí)恒成立.所以和之間存在唯一的“隔離直線”，故選項(xiàng)D正確.故選：AD【點(diǎn)睛】本提以函數(shù)為載體，考查新定義，關(guān)鍵是對新定義的理解，考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值，屬于難題.9．已知.（）A．的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4 B．的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為3C．x軸為曲線的切線 D．若，則【答案】BC【分析】首先根據(jù)得到，分別畫出和的圖像，從而得到函數(shù)的單調(diào)性和極值，再依次判斷選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】，令，得到.分別畫出和的圖像，如圖所示：由圖知：有三個(gè)解，即有三個(gè)解，分別為，，.所以，，為增函數(shù)，，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù)，，，為減函數(shù).所以當(dāng)時(shí)，取得極大值為，當(dāng)時(shí)，取得極小值為，當(dāng)時(shí)，取得極大值為，所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，三個(gè)極值點(diǎn)，A錯(cuò)誤，B正確.因?yàn)楹瘮?shù)的極大值為，所以軸為曲線的切線，故C正確.因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)，為減函數(shù)，所以存在，滿足，且，顯然，故D錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，極值點(diǎn)和切線，屬于難題.10．已知函數(shù)，下列是關(guān)于函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，其中正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn) B．當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn) D．當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)【答案】CD【分析】令y＝0得，利用換元法將函數(shù)分解為f（x）＝t和f（t）＝﹣1，作出函數(shù)f（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．【詳解】令，得，設(shè)f（x）＝t，則方程等價(jià)為f（t）＝﹣