中考數(shù)學(xué)平行四邊形練習(xí)題及解析

中考數(shù)學(xué)平行四邊形練習(xí)題及解析一、選擇題1．已知，以AB為一邊作正方形ABCD，使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè)．當(dāng)∠APB=45°時(shí)，PD的長(zhǎng)是()；A． B． C． D．52．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿著線段AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)A、D重合)，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)D出發(fā)沿著線段DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)D、C重合)，點(diǎn)E與點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度相同．BE與AF相交于點(diǎn)G，H為BF中點(diǎn)，則有下列結(jié)論：①∠BGF是定值；②BF平分∠CBE；③當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到AD中點(diǎn)時(shí)，GH=；④當(dāng)C△AGB=時(shí)，S四邊形GEDF=a2，其中正確的是()A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①④3．將個(gè)邊長(zhǎng)都為1cm的正方形按如圖所示的方法擺放，點(diǎn)分別是正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，則2019個(gè)正方形重疊形成的重疊部分的面積和為()A． B． C． D．4．如圖，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)(且點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF中點(diǎn).設(shè)AM的長(zhǎng)為x，則x的取值范圍是()A．4≥x＞2.4 B．4≥x≥2.4 C．4＞x＞2.4 D．4＞x≥2.45．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)G是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，且CG=CB，連接BG，取BG上任意一點(diǎn)H，分別作HM⊥AC于點(diǎn)M，HN⊥BC于點(diǎn)N，若正方形的邊長(zhǎng)為2，則HM+HN的值為（）A． B．1 C． D．6．如圖，在中，，依次是上的五個(gè)點(diǎn)，并且，在三個(gè)結(jié)論：（1）；（2）；（3）之中，正確的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．7．如圖，在ABCD中，AD=2AB，，垂足在線段上，、分別是、的中點(diǎn)，連接，、的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②：③；④.其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)8．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，以AB、BC、DC為邊向外作正方形，其面積分別為、、，若=3，=8，則的值為（）A．22 B．24 C．44 D．489．如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，E是邊CD的中點(diǎn)，將沿AE對(duì)折至，延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，連接則BG的長(zhǎng)（）A．1 B．2 C． D．310．如圖，點(diǎn)在同一條直線上，正方形、正方形的邊長(zhǎng)分別為為線段的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（）A． B．C． D．二、填空題11．如圖，以RtABC的斜邊AB為一邊，在AB的右側(cè)作正方形ABED，正方形對(duì)角線交于點(diǎn)O，連接CO，如果AC=4，CO=，那么BC=______．12．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝6，BC＝4，∠A＝120°，E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在平行四邊形ABCD的邊上，若△AEF為等腰三角形，則EF的長(zhǎng)為_____．13．已知在矩形中，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，且當(dāng)時(shí)，________________．14．如圖，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，DH⊥AE于點(diǎn)H，連接BH并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F，連接DE交BF于點(diǎn)O，下列結(jié)論：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE；⑤AB＝HF，其中正確的有_____．15．如圖，在平行四邊形ABCD，AD＝2AB，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，連接EF、CF，則下列結(jié)論：①∠BCD＝2∠DCF；②EF＝CF；③S△CDF＝S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF，－定成立的是_________．(把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上)16．如圖，有一張矩形紙條ABCD，AB＝10cm，BC＝3cm，點(diǎn)M，N分別在邊AB，CD上，CN＝1cm．現(xiàn)將四邊形BCNM沿MN折疊，使點(diǎn)B，C分別落在點(diǎn)，上．在點(diǎn)M從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的過(guò)程中，若邊與邊CD交于點(diǎn)E，則點(diǎn)E相應(yīng)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為_____cm．17．如圖，菱形的邊長(zhǎng)是4，，點(diǎn)，分別是，邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，，重合），且，若，，與相交于點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為________．18．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E為AD的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DE＝DC，點(diǎn)P為邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，且PC⊥PG，PG＝PC，點(diǎn)F為EG的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，則CF的最小值為___________19．如圖，菱形的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，若將菱形繞點(diǎn)以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則第秒時(shí)，菱形兩對(duì)角線交點(diǎn)的坐標(biāo)為__________．20．如圖，矩形紙片ABCD，AB=5，BC=3，點(diǎn)P在BC邊上，將△CDP沿DP折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，PE，DE分別交AB于點(diǎn)O，F(xiàn)，且OP=OF，則AF的值為______．三、解答題21．綜合與實(shí)踐．問(wèn)題情境：如圖①，在紙片中，，，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，沿剪下，將它平移至的位置，拼成四邊形．獨(dú)立思考：（1）試探究四邊形的形狀．深入探究：（2）如圖②，在（1）中的四邊形紙片中，在．上取一點(diǎn)，使，剪下，將它平移至的位置，拼成四邊形，試探究四邊形的形狀；拓展延伸：（3）在（2）的條件下，求出四邊形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)；（4）若四邊形為正方形，請(qǐng)仿照上述操作，進(jìn)行一次平移，在圖③中畫出圖形，標(biāo)明字母，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論，直接寫出你的結(jié)論．22．如圖正方形，與相交于點(diǎn)（不與、重合）．（1）如圖（1），當(dāng)，①求證：；②求證：；（2）如圖（2），當(dāng)，邊長(zhǎng)，，求的長(zhǎng)．23．如下圖1，在平面直角坐標(biāo)系中中，將一個(gè)含的直角三角板如圖放置，直角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，．（1）旋轉(zhuǎn)操作：如下圖2，將此直角三角板繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為．（2）問(wèn)題探究：在圖2的基礎(chǔ)上繼續(xù)將直角三角板繞點(diǎn)O順時(shí)針，如圖3，在AB邊上的上方以AB為邊作等邊，問(wèn)：是否存在這樣的點(diǎn)D，使得以點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形構(gòu)成為菱形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D所有可能的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）動(dòng)點(diǎn)分析：在圖3的基礎(chǔ)上，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)P，如圖4，若點(diǎn)F是邊OB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是射線PF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，求OM的長(zhǎng)．24．正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是正方形ABCD對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B，O，D重合），連接CP并延長(zhǎng)，分別過(guò)點(diǎn)D，B向射線作垂線，垂足分別為點(diǎn)M，N．（1）補(bǔ)全圖形，并求證：DM＝CN；（2）連接OM，ON，判斷OMN的形狀并證明．25．如圖，在正方形中，是邊上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），連接，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．（1）求證：；（2）用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．26．社團(tuán)活動(dòng)課上，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)探索了這樣的一個(gè)問(wèn)題：如圖，，點(diǎn)為邊上一定點(diǎn)，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，以為一邊在∠MON的內(nèi)部作正方形，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)（在點(diǎn)、之間），交與點(diǎn)，試探究的周長(zhǎng)與的長(zhǎng)度之間的等量關(guān)系該興趣小組進(jìn)行了如下探索：（動(dòng)手操作，歸納發(fā)現(xiàn)）（1）通過(guò)測(cè)量圖、、中線段、、和的長(zhǎng)，他們猜想的周長(zhǎng)是長(zhǎng)的_____倍．請(qǐng)你完善這個(gè)猜想（推理探索，嘗試證明）為了探索這個(gè)猜想是否成立，他們作了如下思考，請(qǐng)你完成后續(xù)探索過(guò)程：（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)則又四邊形正方形，，則在與中，（類比探究，拓展延伸）（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，直接寫出線段、、與長(zhǎng)度之間的等量關(guān)系為．27．如圖平行四邊形ABCD，E，F(xiàn)分別是AD，BC上的點(diǎn)，且AE＝CF，EF與AC交于點(diǎn)O．（1）如圖①．求證：OE＝OF；（2）如圖②，將平行四邊形ABCD（紙片沿直線EF折疊，點(diǎn)A落在A1處，點(diǎn)B落在點(diǎn)B1處，設(shè)FB交CD于點(diǎn)G．A1B分別交CD，DE于點(diǎn)H，P．請(qǐng)?jiān)谡郫B后的圖形中找一條線段，使它與EP相等，并加以證明；（3）如圖③，若△ABO是等邊三角形，AB＝4，點(diǎn)F在BC邊上，且BF＝4．則＝（直接填結(jié)果）．28．在平面直角坐標(biāo)中，四邊形OCNM為矩形，如圖1，M點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，n），已知m，n滿足．（1）求m，n的值；（2）①如圖1，P，Q分別為OM，MN上一點(diǎn)，若∠PCQ＝45°，求證：PQ＝OP+NQ；②如圖2，S，G，R，H分別為OC，OM，MN，NC上一點(diǎn)，SR，HG交于點(diǎn)D．若∠SDG＝135°，，則RS＝______；（3）如圖3，在矩形OABC中，OA＝5，OC＝3，點(diǎn)F在邊BC上且OF＝OA，連接AF，動(dòng)點(diǎn)P在線段OF是（動(dòng)點(diǎn)P與O，F(xiàn)不重合），動(dòng)點(diǎn)Q在線段OA的延長(zhǎng)線上，且AQ＝FP，連接PQ交AF于點(diǎn)N，作PM⊥AF于M．試問(wèn)：當(dāng)P，Q在移動(dòng)過(guò)程中，線段MN的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若不變求出線段MN的長(zhǎng)度；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．29．如圖，銳角，，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，以為邊作，使，．（1）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接（如圖①）①請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系；②試判斷四邊形的形狀，并證明；（2）若，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接（如圖②），那么（1）②中的結(jié)論是否任然成立？若成立，請(qǐng)給出證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．30．如圖，在平行四邊形中，的平分線交于點(diǎn)E，交的延長(zhǎng)線于F，以為鄰邊作平行四邊形。（1）證明平行四邊形是菱形；（2）若，連結(jié)，①求證：；②求的度數(shù)；（3）若，，，M是的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)?！緟⒖即鸢浮?**試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、選擇題1．A解析：A【解析】【分析】過(guò)P作PB的垂線，過(guò)A作PA的垂線，兩條垂線相于與E，連接BE，由∠APB=45°可得∠EPA=45°，可得△PAE是等腰直角三角形，即可求出PE的長(zhǎng)，根據(jù)角的和差關(guān)系可得∠EAB=∠PAD，利用SAS可證明△PAD≌△EAB，可得BE=PD，利用勾股定理求出BE的長(zhǎng)即可得PD的長(zhǎng).【詳解】過(guò)P作PB的垂線，過(guò)A作PA的垂線，兩條垂線相交與E，連接BE，∵∠APB=45°，EP⊥PB，∴∠EPA=45°，∵EA⊥PA，∴△PAE是等腰直角三角形，∴PA=AE，PE=PA=2，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠EAP=∠DAB=90°，∴∠EAP+∠EAD=∠DAB+∠EAD，即∠PAD=∠EAB，又∵AD=AB，PA=AE，∴△PAD≌△EAB，∴PD=BE===2，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)并正確作出輔助線是解題關(guān)鍵.2．A解析：A【解析】【分析】根據(jù)題意很容易證得△BAE≌△ADF，即可得到AF=BE，利用正方形內(nèi)角為90°，得出AF⊥DE,即可判斷①，②無(wú)法判斷，③根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可求解.④根據(jù)△BAE≌△ADF，即可得到S四邊形GEDF即可求解.【詳解】①證明：∵E在AD邊上(不與A.D重合),點(diǎn)F在DC邊上(不與D.C重合).又∵點(diǎn)E.F分別同時(shí)從A.

D出發(fā)以相同的速度運(yùn)動(dòng)，∴AE=DF，∵四邊形ABCD是正方形，∴在△BAE和△ADF中，∴△BAE≌△ADF(SAS)，∴∠1=∠2，∵∴即∠BGF是定值；正確.②無(wú)法判斷與的大小，BF平分∠CBE；錯(cuò)誤.③當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到AD中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到CD中點(diǎn)，GH=正確.④△BAE≌△ADF,則S四邊形GEDF當(dāng)C△AGB=時(shí)，S四邊形GEDF=a2，故S四邊形GEDF=a2，錯(cuò)誤.故選A.【點(diǎn)睛】考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等，掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.3．B解析：B【解析】【分析】根據(jù)題意可得，陰影部分的面積是正方形的面積的，已知兩個(gè)正方形可得到一個(gè)陰影部分，則n個(gè)這樣的正方形重疊部分即為n-1陰影部分的和．由此即可解答.【詳解】由題意可得一個(gè)陰影部分面積等于正方形面積的，即一個(gè)陰影部分的面積為如圖，5個(gè)這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為×4，∴n個(gè)這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為×（n-1），∴2019個(gè)正方形重疊形成的重疊部分的面積和為×（2019-1）=．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到n個(gè)這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和的計(jì)算方法，難點(diǎn)是求得一個(gè)陰影部分的面積．4．D解析：D【解析】【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理求出△ABC是直角三角形，得出四邊形AEPF是矩形，求出AM=EF=AP，求出AP≥4.8，即可得出答案．【詳解】解：連接AP．∵AB=6，AC=8，BC=10，∴AB2+AC2=36+64=100，BC2=100，∴AB2+AC2=BC2，∴∠BAC=90°，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP=∠AFP=∠BAC=90°，∴四邊形AEPF是矩形，∴AP=EF，∵∠BAC=90°，M為EF中點(diǎn)，∴AM=EF=AP，當(dāng)AP⊥BC時(shí)，AP值最小，此時(shí)S△BAC=×6×8=×10×AP，AP=4.8，即AP的范圍是AP≥4.8，∴2AM≥4.8，∴AM的范圍是AM≥2.4（即x≥2.4）．∵P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P和C重合時(shí)，AM=4，∵P和B、C不重合，∴x＜4，綜上所述，x的取值范圍是：2.4≤x＜4．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了垂線段最短，三角形面積，勾股定理的逆定理，矩形的判定的應(yīng)用，直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是求出AP的范圍和得出AM=AP．5．A解析：A【分析】連接CH，過(guò)G點(diǎn)作GP⊥BC于點(diǎn)P，根據(jù)將轉(zhuǎn)化為GP的長(zhǎng)，再由等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可得解.【詳解】連接CH，過(guò)G點(diǎn)作GP⊥BC于點(diǎn)P，如下圖所示：由題可知：，，∵∴∵CG=CB，∴∵四邊形ABCD是正方形，正方形的邊長(zhǎng)為2∴，∴∵GP⊥BC∴是等腰直角三角形∴∴，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的面積求法，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵.6．B解析：B【分析】先根據(jù)平行四邊形性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)可得是的角平分線，是的角平分線，結(jié)論（2）正確．再利用結(jié)論（2）可得，即可判斷結(jié)論（1）（3）錯(cuò)誤，【詳解】解：設(shè)，則，，，，，在中，，，∴，，同理可得：，，∴，，故（2）正確；∵，，∴，即，∴所以與不垂直，故（1）不正確；∵，，∴，即，∴故（3）不正確；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等，證明是的角平分線，是的角平分線是解題關(guān)鍵．7．C解析：C【分析】由點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，結(jié)合ABCD的性質(zhì)，得FD=CD，即可判斷①；先證?AEF??DHF，再證?ECH是直角三角形，即可判斷②；由EF=HF，得，由，CE⊥CD，結(jié)合三角形的面積公式，即可判斷③；設(shè)∠AEF=x，則∠H=x，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，得∠FCH=∠H=x，由FD=CD，∠DFC=∠FCH=x，由FG∥CD∥AB，得∠AEF=∠EFG=x，由EF=CF，∠EFG=∠CFG=x，進(jìn)而得到，即可判斷④．【詳解】∵點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，∴2FD=AD，∵在ABCD中，AD=2AB，∴FD=AB=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠BCF，∴∠DCF=∠BCF，即：，∴①正確；∵AB∥CD，∴∠A=∠FDH，∠AEF=∠H，又∵AF=DF，∴?AEF??DHF（AAS），∴EF=HF，∵，∴CE⊥CD，即：?ECH是直角三角形，∴=EH，∴②正確；∵EF=HF，∴∵，CE⊥CD，垂足在線段上，∴,∴,∴，∴③錯(cuò)誤；設(shè)∠AEF=x，則∠H=x，∵在Rt?ECH中，CF=FH=EF，∴∠FCH=∠H=x，∵FD=CD，∴∠DFC=∠FCH=x，∵點(diǎn)F，G分別是EH，EC的中點(diǎn)，∴FG∥CD∥AB，∴∠AEF=∠EFG=x，∵EF=CF，∴∠EFG=∠CFG=x，∴∠DFE=∠DFC+∠EFG+∠CFG=3x，∴．∴④正確．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形和直角三角形的性質(zhì)定理的綜合，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，是解題的關(guān)鍵．8．C解析：C【分析】根據(jù)已知條件得到AB＝，CD＝，過(guò)A作AE∥CD交BC于E，則∠AEB＝∠DCB，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到CE＝AD，AE＝CD＝2，由已知條件得到∠BAE＝90°，根據(jù)勾股定理得到BE＝，于是得到結(jié)論．【詳解】∵S1＝3，S3＝8∴AB＝，CD＝過(guò)A作AE∥CD交BC于E則∠AEB＝∠DCB∵AD∥BC∴四邊形AECD是平行四邊形∴CE＝AD，AE＝CD＝∵∠ABC+∠DCB＝90°∴∠AEB+∠ABC＝90°∴∠BAE＝90°∴BE＝∵BC＝2AD∴BC＝2BE＝∴S2＝故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，能正確作輔助線構(gòu)造直角三角形是解決此題的關(guān)鍵．9．B解析：B【分析】首先證明AB=AF=AD，然后再證明∠AFG=90°，接下來(lái)，依據(jù)HL可證明△ABG≌△AFG，得到BG=FG，再利用勾股定理得出GE2=CG2+CE2，進(jìn)而求出BG即可．【詳解】解：在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，∵將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，又∵AG=AG，在Rt△ABG和Rt△AFG中，∴△ABG≌△AFG（HL）；∴BG=FG（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等），設(shè)BG=FG=x，則GC=6-x，∵E為CD的中點(diǎn)，∴CE=EF=DE=3，∴EG=3+x，∴在Rt△CEG中，32+（6-x）2=（3+x）2（勾股定理），解得x=2，∴BG=2，故選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的綜合應(yīng)用、三角形全的判定和性質(zhì)以及翻折變換的性質(zhì)，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)線段相等是解題關(guān)鍵．10．B解析：B【分析】連接BD、BF，由正方形的性質(zhì)可得：∠CBD=∠FBG=45°，∠DBF=90°，再應(yīng)用勾股定理求BD、BF和DF，最后應(yīng)用“直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半”可求得BH．【詳解】如圖，連接BD、BF，∵四邊形ABCD和四邊形BEFG都是正方形，∴AB=AD=2，BE=EF=3，∠A=∠E=90°，∠ABD=∠CBD=∠EBF=∠FBG=45°，∴∠DBF=90°，BD=2，BF=3，∴在Rt△BDF中，DF==，∵H為線段DF的中點(diǎn)，∴BH=DF=.故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形邊的關(guān)系、勾股定理、直角三角形性質(zhì)等，解題關(guān)鍵添加輔助線構(gòu)造直角三角形．二、填空題11．8【分析】通過(guò)作輔助線使得△CAO≌△GBO，證明△COG為等腰直角三角形，利用勾股定理求出CG后，即可求出BC的長(zhǎng)．【詳解】如圖，延長(zhǎng)CB到點(diǎn)G，使BG=AC．∵根據(jù)題意，四邊形ABED為正方形，∴∠4=∠5=45°，∠EBA=90°，∴∠1+∠2=90°又∵三角形BCA為直角三角形，AB為斜邊，∴∠2+∠3=90°∴∠1＝∠3∴∠1+∠5=∠3+∠4，故∠CAO＝∠GBO，在△CAO和△GBO中，故△CAO≌△GBO，∴CO＝GO=，∠7=∠6，∵∠7+∠8=90°，∴∠6+∠8=90°，∴三角形COG為等腰直角三角形，∴CG=，∵CG=CB+BG，∴CB=CG－BG=12－4=8，故答案為8．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意建立正確的輔助線以及掌握正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．12．3或3或【分析】△AEF為等腰三角形，分三種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)和30°直角三角形性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)作于，是的中點(diǎn)，，，，，，，，，，當(dāng)時(shí)，如圖2，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，圖2在平行四邊形中，，，，，，，，，，，，，，，，；當(dāng)時(shí)，如圖3，圖3，綜上所述：的長(zhǎng)為或3或．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，利用分類討論思想解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．13．或【分析】根據(jù)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，分兩種情況：1.P、Q點(diǎn)位于線段上；2.P、Q點(diǎn)位于線段的延長(zhǎng)上，再通過(guò)三角形全等得出相應(yīng)的邊長(zhǎng)，最后根據(jù)勾股即可求解.【詳解】解：當(dāng)P點(diǎn)位于線段BC上，Q點(diǎn)位于線段CD上時(shí):∵四邊形ABCD是矩形∴∠BAP=∠CPQ，∠APB=∠PQC∵∴∴PC=AB=，BP=BC-PC=3-=∴AP==當(dāng)P點(diǎn)位于線段BC的延長(zhǎng)線上，Q點(diǎn)位于線段CD的延長(zhǎng)線上時(shí):∵四邊形ABCD是矩形∴∠BAP=∠CPQ，∠APB=∠PQC∵∴∴PC=AB=，BP=BC+PC=3+=∴AP==故答案為：或【點(diǎn)睛】此題主要考查三角形全等的判定及性質(zhì)、勾股定理，熟練運(yùn)用判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.14．①②③④【分析】①根據(jù)角平分線的定義可得∠BAE=∠DAE=45°，可得出△ABE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AEAB，從而得到AE=AD，然后利用“角角邊”證明△ABE和△AHD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BE=DH，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠ADE=∠AED=67.5°，根據(jù)平角等于180°求出∠CED=67.5°，從而判斷出①正確；②求出∠AHB=67.5°，∠DHO=∠ODH=22.5°，然后根據(jù)等角對(duì)等邊可得OE=OD=OH，判斷出②正確；③求出∠EBH=∠OHD=22.5°，∠AEB=∠HDF=45°，然后利用“角邊角”證明△BEH和△HDF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BH=HF，判斷出③正確；④根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DF=HE，然后根據(jù)HE=AE﹣AH=BC﹣CD，BC﹣CF=BC﹣（CD﹣DF）=2HE，判斷出④正確；⑤判斷出△ABH不是等邊三角形，從而得到AB≠BH，即AB≠HF，得到⑤錯(cuò)誤．【詳解】∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AEAB．∵ADAB，∴AE=AD．在△ABE和△AHD中，∵，∴△ABE≌△AHD（AAS），∴BE=DH，∴AB=BE=AH=HD，∴∠ADE=∠AED（180°﹣45°）=67.5°，∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AED=∠CED，故①正確；∵∠AHB（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（對(duì)頂角相等），∴∠OHE=∠AED，∴OE=OH．∵∠DOH=90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°，∴∠DOH=∠ODH，∴OH=OD，∴OE=OD=OH，故②正確；∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，∴∠EBH=∠OHD．在△BEH和△HDF中，∵，∴△BEH≌△HDF（ASA），∴BH=HF，HE=DF，故③正確；由上述①、②、③可得CD=BE、DF=EH=CE，CF=CD﹣DF，∴BC﹣CF=（CD+HE）﹣（CD﹣HE）=2HE，所以④正確；∵AB=AH，∠BAE=45°，∴△ABH不是等邊三角形，∴AB≠BH，∴即AB≠HF，故⑤錯(cuò)誤；綜上所述：結(jié)論正確的是①②③④．故答案為①②③④．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并仔細(xì)分析題目條件，根據(jù)相等的度數(shù)求出相等的角，從而得到三角形全等的條件或判斷出等腰三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．15．①②④【分析】①根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可判斷；②延長(zhǎng)EF，交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明，得出，進(jìn)而得出，從而利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可判斷；③由，得出，從而可判斷正誤；④設(shè)，利用三角形內(nèi)角和定理分別表示出∠DFE和∠AEF，從而判斷正誤．【詳解】①∵點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，∴．∵在平行四邊形ABCD中，AD＝2AB，，，，∴∠BCD＝2∠DCF，故①正確；②延長(zhǎng)EF，交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，∵四邊形ABCD是平行四邊形，，，∵點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，∴．在和中，．，，，，故②正確；③∵，∴．，故③錯(cuò)誤；④設(shè)，則，，，．，，故④正確；綜上所述，正確的有①②④，故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握這些性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵．16．【分析】探究點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡，尋找特殊位置解決問(wèn)題即可．【詳解】如圖1中，當(dāng)點(diǎn)M與A重合時(shí)，AE＝EN，設(shè)AE＝EN＝xcm，在Rt△ADE中，則有x2＝32+（9﹣x）2，解得x＝5，∴DE＝10﹣1-5＝4（cm），如圖2中，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到MB′⊥AB時(shí)，DE′的值最大，DE′＝10﹣1﹣3＝6（cm），如圖3中，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B′落在CD時(shí)，DB′（即DE″）＝10﹣1﹣＝（9﹣）（cm），∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡E→E′→E″，運(yùn)動(dòng)路徑＝EE′+E′B′＝6﹣4+6﹣（9﹣）＝（）（cm）．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題．17．或【分析】連接AC交BD于O，由菱形的性質(zhì)可得AB=BC=4，∠ABD=30°，AC⊥BD，BO=DO，AO=CO，可證四邊形BEGF是菱形，可得∠ABG=30°，可得點(diǎn)B，點(diǎn)G，點(diǎn)D三點(diǎn)共線，由直角三角形性質(zhì)可求BD=4，AC=4，分兩種情況討論，利用等腰三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】如圖，連接AC交BD于O，∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)是4，∠ABC=60°，∴AB=BC=4，∠ABD=30°，AC⊥BD，BO=DO，AO=CO，∵EG∥BC，F(xiàn)G∥AB，∴四邊形BEGF是平行四邊形，又∵BE=BF，∴四邊形BEGF是菱形，∴∠ABG=30°，∴點(diǎn)B，點(diǎn)G，點(diǎn)D三點(diǎn)共線，∵AC⊥BD，∠ABD=30°，∴AO=AB=2，BO=，∴BD=，AC=4，同理可求BG=BE，即BE=，若AD=DG'=4時(shí)，∴BG'=BD-DG'=，∴BE'；若AG''=G''D時(shí)，過(guò)點(diǎn)G''作G''H⊥AD于H，∴AH=HD=2，∵∠ADB=30°，G''H⊥AD，∴DG''=2HG''，∵，解得：HG''，DG''=2HG''，∴BG''=BD-DG''=，∴BE''=，綜上所述：BE為或．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，利用分類討論思想解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．18．【分析】由正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，得出AB=BC=4，∠B=90°，得出AC=，當(dāng)P與D重合時(shí)，PC=ED=PA，即G與A重合，則EG的中點(diǎn)為D，即F與D重合，當(dāng)點(diǎn)P從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑為DF，由D是AE的中點(diǎn)，F(xiàn)是EG的中點(diǎn)，得出DF是△EAG的中位線，證得∠FDA=45°，則F為正方形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，CF⊥DF，此時(shí)CF最小，此時(shí)CF=AG=．【詳解】解：連接FD∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∴AB=BC=4，∠B=90°，∴AC=，當(dāng)P與D重合時(shí)，PC=ED=PA，即G與A重合，∴EG的中點(diǎn)為D，即F與D重合，當(dāng)點(diǎn)P從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的軌跡為DF，∵D是AE的中點(diǎn)，F(xiàn)是EG的中點(diǎn)，∴DF是△EAG的中位線，∴DF∥AG，∵∠CAG=90°，∠CAB=45°，∴∠BAG=45°，∴∠EAG=135°，∴∠EDF=135°，∴∠FDA=45°，∴F為正方形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，CF⊥DF，此時(shí)CF最小，此時(shí)CF=AG=；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（-，0）【分析】先計(jì)算得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)依次求出點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)坐標(biāo)，得到變化的規(guī)律即可得到答案．【詳解】∵菱形的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，∴對(duì)角線的交點(diǎn)D的坐標(biāo)是（2,2），∴，將菱形繞點(diǎn)以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)1次后坐標(biāo)是（0，），旋轉(zhuǎn)2次后坐標(biāo)是（-2,2），旋轉(zhuǎn)3次后坐標(biāo)是（-，0），旋轉(zhuǎn)4次后坐標(biāo)是（-2，-2），旋轉(zhuǎn)5次后坐標(biāo)是（0，-），旋轉(zhuǎn)6次后坐標(biāo)是（2，-2），旋轉(zhuǎn)7次后坐標(biāo)是（,0），旋轉(zhuǎn)8次后坐標(biāo)是（2,2）旋轉(zhuǎn)9次后坐標(biāo)是（0，，由此得到點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)是8次一個(gè)循環(huán)，∵，∴第秒時(shí)，菱形兩對(duì)角線交點(diǎn)的坐標(biāo)為（-，0）故答案為：（-，0）．【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，直角坐標(biāo)系中點(diǎn)坐標(biāo)的變化規(guī)律，根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)依次求出旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)得到變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．20．【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出DC=DE、CP=EP，由“AAS”可證△OEF≌△OBP，可得出OE=OB、EF=BP，設(shè)EF=x，則BP=x、DF=5-x、BF=PC=3-x，進(jìn)而可得出AF=2+x，在Rt△DAF中，利用勾股定理可求出x的值，即可得AF的長(zhǎng)．【詳解】解：∵將△CDP沿DP折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，∴DC=DE=5，CP=EP．在△OEF和△OBP中，,∴△OEF≌△OBP（AAS），∴OE=OB，EF=BP．設(shè)EF=x，則BP=x，DF=DE-EF=5-x，又∵BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC=BC-BP=3-x，∴AF=AB-BF=2+x．在Rt△DAF中，AF2+AD2=DF2，∴（2+x）2+32=（5-x）2，∴x=∴AF=2+=故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，解題時(shí)常常設(shè)要求的線段長(zhǎng)為x，然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長(zhǎng)度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．三、解答題21．（1）矩形；（2）菱形；（3）；（4）見解析【分析】（1）由平移推出，即可證得四邊形是平行四邊形，再根據(jù)，得到即可得到結(jié)論；（2）由平移推出，證得四邊形是平行四邊形，根據(jù)得到，再根據(jù)勾股定理求出AF=5=AD，即可證得四邊形是菱形；（3）先利用勾股定理求出，再根據(jù)菱形的面積求出；（4）在BC邊上取點(diǎn)E，連接AE，平移△ABE得到△DCF，可得四邊形AEFD是平行四邊形.【詳解】(1)四邊形是矩形，在中，，，由平移可知：，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴四邊形是矩形；(2)四邊形是菱形，在矩形中，，，由平移可知：，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，在，，∴，∴四邊形是菱形；(3)連接,在中，，，∴，∴；(4)在BC上取一點(diǎn)E，連接AE，平移△ABE得到△DCF，可得四邊形AEFD是平行四邊形.【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定定理，菱形的判定及性質(zhì)，平移的性質(zhì)的應(yīng)用，勾股定理.22．（1）①證明見解析；②證明見解析；（2）．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，①由正方形的性質(zhì)可得，，，即可證明四邊形DGHM是平行四邊形，可得DM=GH，由可得∠EDM=90°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)可得，利用ASA可證明△ADE≌△CDM，可得DE=DM，即可證明DE=GH；②由①得DM=DE，根據(jù)勾股定理可得EM=DE，利用三角形三邊關(guān)系即可得結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)作DN//GH交于點(diǎn)，作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，可證明四邊形為平行四邊形，可得，，根據(jù)勾股定理可求出CN的長(zhǎng)，利用AAS可證明，可得，，根據(jù)平行線的性質(zhì)∠EDN=45°，根據(jù)角的和差故選可得∠MDE=∠EDN，利用SAS可證明，即可證明，設(shè)，利用勾股定理可求出x的值，進(jìn)而利用勾股定理求出DE的值即可得答案．【詳解】（1）如圖（1），過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，EM，①∵四邊形為正方形，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∴DM=GH，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∴．②在中，∠EDM=90°，∴，∵，∴，∴，在中，，∵，∴．（2）如圖（2），過(guò)點(diǎn)作DN//GH交于點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形，∴，，∵，，，∴，∴，作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，在和中，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，在和中，∴，∴，即，設(shè)，則BE=4-x，在中，，解得：，∴．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系及勾股定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理，并正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．23．（1）（，）；（2）存在，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，3）或（，1）或（0，-1）；（3）OM=或【分析】（1）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥y軸于D，利用30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半和勾股定理求出OB，再利用30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半和勾股定理求出BD和OD即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意和等邊三角形的性質(zhì)分別求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，然后根據(jù)菱形的頂點(diǎn)順序分類討論，分別畫出對(duì)應(yīng)的圖形，根據(jù)菱形的對(duì)角線互相平分即可分別求出結(jié)論；（3）利用30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半和勾股定理求出OP和BP，然后根據(jù)直角三角形的直角頂點(diǎn)分類討論，分別畫出對(duì)應(yīng)的圖形，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、平行四邊形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的判定及性質(zhì)求解即可．【詳解】解：（1）如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥y軸于D由圖1中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，，∠AOB=90°∴OA=1，AB=2OA=2由勾股定理可得OB=∵將此直角三角板繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∴∠BOD=30°∴BD=∴OD=∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，）故答案為：（，）；（2）在圖2的基礎(chǔ)上繼續(xù)將直角三角板繞點(diǎn)O順時(shí)針，此時(shí)點(diǎn)A落在y軸上，點(diǎn)B落在x軸上∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，0）∵△ABC為等邊三角形∴∠ABC=60°，AB=BC=AC=2∴∠OBC=90°∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（a，b）如圖所示，若四邊形ABCD為菱形，連接BD，與AC交于點(diǎn)O∴點(diǎn)O既是AC的中點(diǎn)，也是BD的中點(diǎn)∴解得：∴此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，3）；當(dāng)四邊形ABDC為菱形時(shí)，連接AD，與BC交于點(diǎn)O∴點(diǎn)O既是AD的中點(diǎn)，也是BC的中點(diǎn)∴解得：∴此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，1）；當(dāng)四邊形ADBC為菱形時(shí)，連接CD，與AB交于點(diǎn)O∴點(diǎn)O既是AB的中點(diǎn)，也是CD的中點(diǎn)∴解得：∴此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-1）；綜上：點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，3）或（，1）或（0，-1）；（3）∵OB=，∠ABO=30°∴OP=OB=∴BP=當(dāng)∠OMB=90°時(shí)，如下圖所示，連接BM∵F為OB的中點(diǎn)∴PF=，MF=，OF=BF∴PF=MF∴四邊形OPBM為平行四邊形∴OM=BP=；當(dāng)∠OBM=90°時(shí)，如下圖所示，連接OM，∴∠PBM=∠PBO＋∠OBM=120°∵點(diǎn)F為OB的中點(diǎn)∴FP=FB∴∠FPB=∠FBP=30°∴∠BMP=180°－∠PBM－∠FPB=30°∴∠BMP=∠BPM∴BM=BP=在Rt△OBM中，OM=；綜上：OM=或．【點(diǎn)睛】此題考查的是直角三角形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定及性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，掌握30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半、勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定及性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．24．（1）見解析；（2）MON為等腰直角三角形，見解析【分析】（1）如圖1，由正方形的性質(zhì)得CB＝CD，∠BCD＝90°，再證明∠BCN＝∠CDM，然后根據(jù)“AAS”證明△CDM≌△CBN，從而得到DM＝CN；（2）如圖2，利用正方形的性質(zhì)得OD＝OC，∠ODC＝∠OCB＝45°，∠DOC＝90°，再利用∠BCN＝∠CDM得到∠OCN＝∠ODM，則根據(jù)“SAS”可判斷△OCN≌△ODM，從而得到ON＝OM，∠CON＝∠DOM，所以∠MON＝∠DOC＝90°，于是可判斷△MON為等腰直角三角形．【詳解】（1）證明：如圖1，∵四邊形ABCD為正方形，∴CB＝CD，∠BCD＝90°，∵DM⊥CP，BN⊥CP，∴∠DMC＝90°，∠BNC＝90°，∵∠CDM+∠DCM＝90°，∠BCN+∠DCM＝90°，∴∠BCN＝∠CDM，在△CDM和△CBN中，∴△CDM≌△CBN，∴DM＝CN；（2）解：△OMN為等腰直角三角形．理由如下：如圖2，∵四邊形ABCD為正方形，∴OD＝OC，∠ODC＝∠OCB＝45°，∠DOC＝90°，∵∠BCN＝∠CDM，∴∠BCN﹣45°＝∠CDM﹣45°，即∠OCN＝∠ODM，在△OCN和△ODM中，∴△OCN≌△ODM，∴ON＝OM，∠CON＝∠DOM，∴∠MON＝∠DOC＝90°，∴MON為等腰直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；正方形的兩條對(duì)角線相等，互相垂直平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)；兩條對(duì)角線將正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，同時(shí)，正方形又是軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸．也考查全等三角形的判定與性質(zhì)．25．（1）詳見解析；（2），理由詳見解析【分析】1）如圖1，連接DF，根據(jù)對(duì)稱得：△ADE≌△FDE，再由HL證明Rt△DFG≌Rt△DCG，可得結(jié)論；（2）如圖2，作輔助線，構(gòu)建AM=AE，先證明∠EDG=45°，得DE=EH，證明△DME≌△EBH，則EM=BH，根據(jù)等腰直角△AEM得：，得結(jié)論；【詳解】證明：（1）如圖1，連接，∵四邊形是正方形，∴，，∵點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，∴≌，∴，，∴，在和中，∵∴≌（），∴；（2），理由是：如圖2，在線段上截取，使，∵，∴，由（1）知：，，∵，∴，∴，∴，即，∵，∴，是等腰直角三角形，∴，，∴，在和中，∴≌∴，中，，，∴，∴；【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理，對(duì)稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是利用正方形的性質(zhì)得到相等的邊和相等的角，證明三角形全等，作出輔助線也是解決本題的關(guān)鍵．26．（1）2；（2）證明見解析過(guò)程；（3）AE+EF-AF=2OA．【分析】（1）通過(guò)測(cè)量可得；（2）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥ON，垂足為點(diǎn)G，由AAS可證△ABO≌△BCG，可得BG=AO，BO=CG，由SAS可證△ABE≌△CBE，可得AE=CE，由線段的和差關(guān)系可得結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥ON，垂足為點(diǎn)G，由AAS可證△ABO≌△BCG，可得BG=AO，BO=CG，由SAS可證△ABE≌△CBE，可得AE=CE，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）△AEF的周長(zhǎng)是OA長(zhǎng)的2倍，故答案為：2；（2）如圖4，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥ON，垂足為點(diǎn)G，則∠CGB=90°，∴∠GCB+∠CBG=90°，又∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∠DBC=∠DBA=45°，則∠CBG+∠ABO=90°，∴∠GCB=∠ABO，在△BCG與△ABO中，，∴△BCG≌△ABO（AAS），∴BG=AO，CG=BO，∵∠AOB=90°=∠CGB=∠CFO，∴四邊形CGOF是矩形，∴CF=GO，CG=OF=OB，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE=CE，∴△AEF的周長(zhǎng)=AE+EF+AF=CE+EF+AF=CF+AF=GO+AF=BG+BO+AF=2AO；（3）如圖5，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥ON于點(diǎn)G，則∠CGB=90°，∴∠GCB+∠CBG=90°，又∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∠DBC=∠DBA=45°，則∠CBG+∠ABO=90°，∴∠GCB=∠ABO，在△BCG與△ABO中，∴△BCG≌△ABO（AAS），∴BG=AO，BO=CG，∵∠AOB=90°=∠CGB=∠CFO，∴四邊形CGOF是矩形，∴CF=GO，CG=OF=OB，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE=CE，∴AE+EF-AF=EF+CE-AF=NB+BO-（OF-AO）=OA+OB-（OB-OA）=2OA．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．27．（1）見解析；（2）FG=EP，理由見解析；（3）【分析】（1）證△ODE≌△OFB（ASA），即可得出OE=OF；（2）連AC，由（1）可知OE=OF，OB=OD，證△AOE≌△COF（SAS），得AE=CF，由折疊性質(zhì)得AE=A1E=CF，∠A1=∠BAD=∠BCD，∠B=∠B1，則∠D=∠B1，證△A1PE≌△CGF（AAS），即可得出FG=EP；（3）作OH⊥BC于H，證四邊形ABCD是矩形，則∠ABC=90°，得∠OBC=30°，求出AC=8，由勾股定理得BC=，則CF=-4，由等腰三角形的性質(zhì)得BH=CH=BC=，則HF=，OH=OB=2，由勾股定理得OF=，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠ODE=∠OBF，∠OED=∠OFB，∵AE=CF，∴AD-AE=BC-CF，即DE=BF，在△ODE和△OFB中，，∴△ODE≌△OFB（ASA），∴OE=OF；（2）FG=EP，理由如下：連AC，如圖②所示：由（1）可知：OE=OF，OB=OD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AC過(guò)點(diǎn)O，OA=OC，∠BAD=∠BCD，∠D=∠B，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（SAS），∴AE=CF，由折疊性質(zhì)得：AE=A1E=CF，∠A1=∠BAD=∠BCD，∠B=∠B1，∴∠D=∠B1，∵∠A1PE=∠DPH，∠PHD=∠B1HG，∴∠DPH=∠B1GH，∵∠B1GH=∠CGF，∴∠A1PE=∠CGF，在△A1PE和△CGF中，，∴△A1PE≌△CGF（AAS），∴FG=EP；（3）作OH⊥BC于H，如圖③所示：∵△AOB是等邊三角形，∴∠ABO=∠AOB=∠BAO=60°，OA=OB=AB=4，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD，∴AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴∠OBC=∠OCB=30°，∵AB=OB=BF=4，∴AC=BD=2OB=8，由勾股定理得：BC==，∴CF=-4，∵OB=OC，OH⊥BC，∴BH=CH=BC=，∴HF=4-，OH=OB=2，在Rt△OHF中，由勾股定理得：OF===，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確尋找全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考?jí)狠S題．28．（1）m＝5，n=5；（2）①證明見解析；②；（3）MN的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化，它的長(zhǎng)度為．【分析】（1）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．（2）①作輔助線，構(gòu)建兩個(gè)三角形全等，證明△COE≌△CNQ和△ECP≌△QCP，由PE＝PQ＝OE+OP，得出結(jié)論；②作輔助線，構(gòu)建平行四邊形和全等三角形，可得?CSRE和?CFGH，則CE＝SR，CF＝GH，證明△CEN≌△CE′O和△E′CF≌△ECF，得EF＝E′F，設(shè)EN＝x，在Rt△MEF中，根據(jù)勾股定理列方程求出EN的長(zhǎng)，再利用勾股定理求CE，則SR與CE相等，所以SR＝；（3）在（1）的條件下，當(dāng)P、Q在移動(dòng)過(guò)程中線段MN的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化，求出MN的長(zhǎng)即可；如圖4，過(guò)P作PD∥OQ，證明△PDF是等腰三角形，由三線合一得：DM＝FD，證明△PND≌△QNA，得DN＝AD，則MN＝AF，求出AF的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題．【詳解】解：（1）∵，又∵≥0，|5﹣m|≥0，∴n﹣5＝0，5﹣m＝0，∴m＝5，n=5．（2）①如圖1中，在PO的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，使NQ＝OE，∵CN＝OM＝OC＝MN，∠COM＝90°，∴四邊形OMNC是正方形，∴CO＝CN，∵∠EOC＝∠N＝90°，∴△COE≌△CNQ（SAS），∴CQ＝CE，∠ECO＝∠QCN，∵∠PCQ＝45°，∴∠QCN+∠OCP＝90°﹣45°＝45°，∴∠ECP＝∠ECO+∠OCP＝45°，∴∠ECP＝∠PCQ，∵CP＝CP，∴△ECP≌△QCP（SAS），∴EP＝PQ，∵EP＝EO+OP＝NQ+OP，∴PQ＝OP+NQ．②如圖2中，過(guò)C作CE∥SR，在x軸負(fù)半軸上取一點(diǎn)E′，使OE′＝EN，得?CSRE，且△CEN≌△CE′O，則CE＝SR，過(guò)C作CF∥GH交OM于F，連接FE，得?CFGH，則CF＝GH＝，∵∠SDG＝135°，∴∠SDH＝180°﹣135°＝45°，∴∠FCE＝∠SDH＝45°，∴∠NCE+∠OCF＝45°，∵△CEN≌△CE′O，∴∠E′CO＝∠ECN，CE＝CE′，∴∠E′CF＝∠E′CO+∠OCF＝45°，∴∠E′CF＝∠FCE，∵CF＝CF，∴△E′CF≌△ECF（SAS），∴E′F＝EF在Rt△COF中，OC＝5，F(xiàn)C＝，由勾股定理得：OF＝＝，∴FM＝5﹣＝，設(shè)EN＝x，則EM＝5﹣x，F(xiàn)E＝E′F＝x+，則（x+）2＝（）2+（5﹣x）2，解得：x＝，∴EN＝，由勾股定理得：CE＝＝，∴SR＝CE＝．故答案為．（3）當(dāng)P、Q在移動(dòng)過(guò)程中線段MN的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化．理由：如圖3中，過(guò)P作PD∥OQ，交AF于D．∵OF＝OA，∴∠OFA＝∠OAF＝∠PDF，∴PF＝PD，∵PF＝AQ，∴PD＝AQ，∵PM⊥AF，∴DM＝FD，∵PD∥OQ，∴∠DPN＝∠PQA，∵∠PND＝∠QNA，∴△PND≌△QNA（AAS），∴DN＝AN，∴DN＝AD，∴MN＝DM+DN＝D