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§3.4基本不等式:1。2002年國際數(shù)學(xué)大會(ICM-2002)在北京召開,此屆大會紀(jì)念封上的會標(biāo)圖案,其中央正是經(jīng)過藝術(shù)處理的“弦圖”它標(biāo)志著中國古代的數(shù)學(xué)成就,又像一只轉(zhuǎn)動著的風(fēng)車,歡迎來自世界各地的數(shù)學(xué)家。問題引入2.趙爽利用弦圖證明勾股定理的過程32002年國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)吳國的數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖4B5A探究:面積間的一些相等關(guān)系或不等關(guān)系?DCEFGH新課探究則正方形ABCD的面積是_
a2+b2,這4個直角三角形的面積之和是
2ab
,>67問題1:不等式成立的條件形的角度數(shù)的角度(當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立),新課探究8一般地,對于任意實數(shù),我們有當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立重要不等式:9新課探究啟發(fā)引導(dǎo),形成概念活動二:深入探究,揭示課題10由代換思想提出問題如果a,b都是非負(fù)數(shù),那么,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立。我們把 稱為基本不等式,也叫均值不等式。11基本不等式:當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立.算術(shù)平均數(shù)
幾何平均數(shù)代數(shù)意義:兩個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)幾何意義:?如果a,b都是非負(fù)數(shù),那么12問題三:基本不等式的幾何解釋②如何用a,
b表示CD?CD=
①如何用a,
b表示OD?OD=___如圖,
AB是圓的直徑,
O為圓心,點C是AB上一點,
AC=a,
BC=b. 過點C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD、OD.③OD與CD的大小關(guān)系怎樣?
OD_
≥
_CD幾何意義:半徑不小于弦長的一半ADBEOCab13若
,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,取“=”號代數(shù)意義:兩個正數(shù)算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)幾何意義:圓的半徑不小于弦長的一半基本不等式:14當(dāng)且僅當(dāng)a
=b時,等號成立.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立.基本不等式:重要不等式:注意:(1)不同點:兩個不等式的適用范圍不同。(2)相同點:當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立。15例1 設(shè)a,b均為正數(shù),證明 不等式證明 因為a,b均為正數(shù),由基本不等式,可知也即當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立16Aa
O
C
b
BF提示:發(fā)現(xiàn)運算結(jié)構(gòu),應(yīng)用不等式例
1.試判斷 與
2
的大小關(guān)系?如果將條件“x>0”
去掉,上述結(jié)論是否仍然成立?18發(fā)現(xiàn)運算結(jié)構(gòu),應(yīng)用不等式與2變式1.試判斷的大小關(guān)系?在結(jié)論成立的基礎(chǔ)上,條件“a>0,b>0”可以變化嗎?19從而21對基本不等式,用語言文字可敘述為:兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。從幾何的角度可敘述為:圓的半徑不小于弦長的一半。從數(shù)列的角度可敘述為:兩個正數(shù)的等差中項不小于
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