簡(jiǎn)單的三角恒等變換5

能運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式、兩角和與差三角函數(shù)公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換3.5簡(jiǎn)單的三角恒等變換1．降冪公式

sinαcosα＝

sin2α；sin2α＝

2．半角公式3．Asinx＋Bcosx＝

sin(x＋φ)，sinφ＝

cosφ＝

1．若tan則cosx值為(

)

解析：cosx＝

答案：B2．已知450°<α<540°，則 的值是(

)

A．－sin

B．cos

C．sin

D．－cos

解析：原式＝

∵450°<α<540°，∴225°<

<270°.∴原式＝－sin

.

答案：A

3．已知函數(shù)f(x)＝cos2 等于(

)

解析：f(x)＝cos2

－sin2

＝－sin2x，

∴f

＝－sin

答案：B

4．若sin 則cos2θ＝________.

解析：∵sin

＝cosθ＝

∴cos2θ＝2cos2θ－1＝2×

答案：－

對(duì)恒等式的證明，應(yīng)遵循化繁為簡(jiǎn)的原則，從左邊推到右邊或從右邊推到左邊，也可以用左右歸一，變更論證等方法．常用定義法、化弦法、化切法、拆項(xiàng)拆角法、“1”的代換法、公式變形法等，要熟練掌握基本公式，善于從中選擇巧妙簡(jiǎn)捷的方法．【例1】求證：

＝sinα＋cosα.

證明：證法一：左端＝ ＝sinα＋cosα＝右端則原恒等式成立．

證法二：設(shè)sinα＋cosα＝t，則左端＝

＝t＝右端則原恒等式成立．

變式1.求證：tanα＋tanβ＋tanγ－

＝tanα·tanβ·tanγ.

證明：左端＝

因此原恒等式成立.通過(guò)三角恒等變換可解決三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值和證明等問(wèn)題，解決問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)簡(jiǎn)單說(shuō)就是統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、降底次數(shù)，同時(shí)要注意符號(hào)問(wèn)題。特別應(yīng)注意角與角之間的關(guān)系，用已知角表示未知角，用特殊角表示未知角等．

【例2】已知sinx＋cosx＝－(135°<x<180°)． 求 的值．

解答：∵sinx＋cosx＝－

∴1＋2sinxcosx＝

即1＋sin2x＝

∴sin2x＝－

.又∵270°<2x<360°， ∴cos2x＝

∴原式＝

＝

變式2.求值：

解答：原式＝

＝

＝

解決三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)問(wèn)題很大程度上可通過(guò)三角恒等變換將函數(shù)轉(zhuǎn)化為y＝Asin(ωx＋φ)的形式，進(jìn)而可解決函數(shù)的周期、奇偶性、單調(diào)性和作函數(shù)圖象等問(wèn)題．

【例3】已知函數(shù)f(x)＝sin

x∈R(其中ω>0)．

(1)求函數(shù)f(x)的值域；

(2)若對(duì)任意的a∈R，函數(shù)y＝f(x)，x∈(a，a＋π]的圖象與直線(xiàn)y＝－1有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，試確定ω的值(不必證明)，并求函數(shù)y＝f(x)，x∈R的單調(diào)增區(qū)間．

解答：(1)f(x)＝

sinωx＋

cosωx＋

sinωx－

cosωx－(cosωx＋1)

＝2

－1＝2sin

由－1≤sin

≤1，得－3≤2sin

－1≤1.可知函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇－3,1]．

(2)由題設(shè)條件及三角函數(shù)圖象和性質(zhì)可知，y＝f(x)的周期為π，又由ω>0，得

＝π，即得ω＝2.于是有f(x)＝2sin

－1，再由2kπ－

(k∈Z)，解得kπ－

≤x≤kπ＋

所以y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間為

(k∈Z)．

變式3.若函數(shù)的最大值為2，試確定常數(shù)a的值．解答：f(x)＝

其中角φ滿(mǎn)足sinφ＝.由已知，有

＝4.解之得a＝±

【方法規(guī)律】1．本節(jié)重點(diǎn)是二倍角公式的靈活運(yùn)用(包括“正用”、“逆用”、“變形用”等)．難點(diǎn)是綜合運(yùn)用各組公式進(jìn)行三角恒等變形．如何創(chuàng)造條件使用各組公式是活用公式的關(guān)鍵，角的變換是重點(diǎn)．2．公式的熟練與準(zhǔn)確應(yīng)用，要依靠理解內(nèi)涵，明確公式的內(nèi)在聯(lián)系，通過(guò)應(yīng)用加深理解，不可機(jī)械記憶．3．要重視對(duì)于問(wèn)題中角、函數(shù)名及其整體結(jié)構(gòu)的分析，提高公式選擇的恰當(dāng)性，有利于縮短運(yùn)算程序，提高解題效率．4．角的變換體現(xiàn)出將未知轉(zhuǎn)化為已知的思想方法，這是解決三角中有關(guān)角的變換問(wèn)題常用的數(shù)學(xué)方法之一.

(本題滿(mǎn)分12分)已知△ABC的面積為3，且滿(mǎn)足0≤AB·AC≤6.設(shè)AB和AC的夾角為θ.(1)求θ的取值范圍；(2)求函數(shù)f(θ)＝2sin2

cos2θ的最大值與最小值.

解答：(1)設(shè)△ABC中角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則由已知條件可得

bcsinθ＝3,0≤bccosθ≤6，可得tanθ≥1，又∵θ∈(0，π)，∴θ∈

【答題模板】(2)f(θ)＝2sin2

cos2θ＝

cos2θ

＝(1＋sin2θ)－

cos2θ＝sin2θ－

cos2θ＋1

＝2sin

＋1.

∵θ∈

∴2≤2sin

＋1≤3.

即當(dāng)θ＝時(shí)，f(θ)max＝3；當(dāng)θ＝時(shí)，f(θ)min＝2.

【分析點(diǎn)評(píng)】1.高考中對(duì)三角恒等變換的考查，主要是靈活運(yùn)用各組公式，要重視角的變換，重視公式的變形，將未知向已知轉(zhuǎn)化，突出轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)方法．2．為了使問(wèn)題的形式更新穎