2022年安徽中考數(shù)學第10題的解法賞析與教學啟示 論文

2022年安徽省中小學教育教學論文評選2022年安徽中考數(shù)學第10題的解法賞析與教學啟示摘2022年安徽省中考數(shù)學試卷第10題選擇壓軸題的解法養(yǎng)。關(guān)鍵詞：安徽中考，等邊三角形，最值問題，數(shù)學核心素養(yǎng)一、試題呈現(xiàn)年安徽省中考數(shù)學第10O是邊長為6的等邊△ABC的中心，點P在△ABC外，△ABC,△PAB,△PBC,△PCA的面積分別記為S0,S1,S2,S3.若S1+S2+S3=2S0,則線段OP的最小值是（）A.332

B.532

C.33

D.732線段最值類型問題，題目給出的條件是隱性的，需要學生將題目條件中的S1+S2+S3=2S0，轉(zhuǎn)化為2S△BPC=S△ABC，利用面積法進而得到動點P到AC的距離，P的軌跡為一條平行于邊長AC的平行線，再利用“垂線段最短”來求得線段OP的最小值.二、解法探究由條件可知，點O為△ABC為等邊三角形的中心，由于等邊三角形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，所以中心點O是等邊三角形的重心，內(nèi)心，外心，也是垂心，四心重合于一點.而點P是三角形外的一個動點，所以確定好點P的軌跡是解題的關(guān)鍵，圍繞已知條件S1+S2+S3=2S0展開解法研究，可得到如下解法.2022年安徽省中小學教育教學論文評選解法1：如圖1，第一類情形，設(shè)點P在BC的外側(cè)（且距離BC較近時），AD⊥BC交BC于點S△ABP+S△BPC+S△APC=2S△ABC,而S△ABP+S△APC=S△ABC+S△BPC，可得2S2=S0，又因為△BPC和△ABCP到BC的距離是點A到BC的邊長為PG=1AD=163=2 2 233P在平行于BC距離為332 2POPmin=OD+DP=1AD+31AD=

33353.2 2 2圖1 圖2如圖3，第二類情形，設(shè)點P在AC的外側(cè)（且距離AC較遠時），因為S1+S2+S3=2S0，而S2=S1+S3+S0，即S2=3S0，PG=3AD=93,當O、A、P三點共2 2 2線時，如圖4，OP有最小值，此時OP=73,綜上所述OPmin=53,故選B.2 2圖3 圖4解法2：如圖5，過點P作PF⊥AB，PG⊥BC,PH⊥AC，設(shè)等邊△ABC的高為h,則2022年安徽省中小學教育教學論文評選1 1 1 1S1+S2+S3= AC?PH+ BC?PG= S1+S2+S3=2S0，2 2 2 21 1所以 BC?h,于是有又因為S1+S3-S2=S0，2 2所以1AB?PF+1BC?PG-1AC?PH=1BC?h,所以PF+PH-PG=h.②由①和②可得2 2 2 2PG=1h,后面解法與解法1相同.2圖5 圖6解法總結(jié)：本題題干簡潔明了，將幾何推理和運算相結(jié)合，作為最值問題，圖P運動的軌跡是圍繞在等邊三角形ABC外圍的六邊形，而解題時由于點P是動點，位置具有不確定性，要求學生多畫圖大膽分析，結(jié)合動點最值的基本模型，才能找到解題思路。三、追本溯源回首安徽省近幾年的中考數(shù)學試題，一直保持穩(wěn)中求變，推陳出新的風格，題就選自滬科版八年級上冊第153頁的C組復習題第2題，通過變式、推廣、改編而成.教材原題已知：等邊三角形ABC.(1)PP向三邊所在直線作垂線為垂足.求證：PD+PE+PF等于定值；(2)若點P在△ABC外時，情況如何？答案解析：(1)如圖7，設(shè)△ABC的高為h,當P為三角形內(nèi)任一點時，2022年安徽省中小學教育教學論文評選PD+PE+PF=h；(2)如圖8，△ABC外被三邊所在直線分成6個部分，當點P在第①部分內(nèi)時有PD+PF-PE=h,當點P在第②部分內(nèi)時有PD-PF-PE=h.點P在其余四個部分內(nèi)可類似計算（由于篇幅有限，證明過程省略）圖7 圖8 圖9世紀意大利數(shù)學家維維安尼發(fā)現(xiàn)等角形的高.而涉及該定理的試題也有很多，在此列舉幾個變式題組練習，供大家研究.變式1如圖為邊長為2的等邊三角形ABCP點分別作PD+PE+PF等于( )圖10 圖11A．32

B．3

C．2 D．23變式2如圖外有一點落在∠BACP到BC、CA、AB的距離分別為h1,h2,h3,且滿足h2+h3-h1=6,那么等邊三角形的面積為( )2022年安徽省中小學教育教學論文評選A．43

B．83

C．93

D．123變式3若點P是等邊△ABC所在平面內(nèi)一點，且點P到三邊所在直線的距離分別為2、3、6．請直接寫出等邊△ABC的高的所有可能 .通過變式探究，可以進一步認識圖形的本質(zhì)特征，體驗幾何模型在解決問題中的重要作用.因動點而產(chǎn)生的軌跡常見的有以下幾種情形：(1)到線段兩端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上；(2)到角的兩邊距離相等的點，在這個角的角平分線上；(3)到定點距離等于定長的點，在以定點為圓心，定長為半徑的圓上；(4)對已知線段，張角等于定角的點，在以已知線段為弦，所含圓周角等于定角的兩段弓形弧上.而解決最值問題通常用到兩點之間，線段最短或者尋解題規(guī)律.下面展示兩道關(guān)于最值問題的經(jīng)典試題，以饗讀者.例1（安徽省2017年第1012,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3,動點P△PAB S矩形ABCD滿足S =1 ,則點P到A,B兩點距離之和△PAB S矩形ABCD3

C.52

41圖12 圖13解題思路：此題與2022年安徽省第10題選擇題有異曲同工之妙，都是由面13所示可得到點P是在平行于AB且距離AB為2的直線上運動.例2（安徽省2016年第10中,AB⊥BC,AB=6,BC=4.P內(nèi)部的一個動點,且滿足∠PAB=∠PBC.則線段CP長的最小值為( )圖14 圖152022年安徽省中小學教育教學論文評選32

B.2 C.813

D.121313解題思路：如圖15所示,以AB為直徑作☉O,由AB⊥BC,∠PAB=∠PBC,得∠APB=90°,∴點P在☉O上.連接OP,當點O,P,C在一條直線上時,線段CP的長最小.四、教學啟示隨著2022年版最新課程標準的頒布，學業(yè)水平考試的質(zhì)量標準也進一步規(guī)導向的義務(wù)教育數(shù)學課程學業(yè)質(zhì)量的全面考査.為此筆者提出以下建議：1.關(guān)注《課程標準》變化，挖掘教材資源讓基礎(chǔ)知識和技能的學習走過場，死記硬背，導致缺乏對數(shù)學概念的真正理解.變式、改編，通過不同問題情境的變化，讓學生全方位地認識數(shù)學概念的本質(zhì)，將教材的示范作用發(fā)揮到最大化.2.重視數(shù)學語言轉(zhuǎn)化，提高解題素養(yǎng)數(shù)學離不開解題，解題是具有創(chuàng)造性的工作，波利亞在《數(shù)學的發(fā)現(xiàn)——對解題的理解、研究和講授》中認為：“解題是一種本領(lǐng)，就像游泳、滑雪、彈鋼琴一樣，你只能夠靠模仿和實踐才能學到它.”幾何教學中要抓住像平行線、中號語言和圖形語言相互轉(zhuǎn)化的能力，經(jīng)歷幾何對象的基本研究過程.例如2021年和2022年的選擇題第10題，題干中都不再給出圖形，需要學生自己動手畫圖，所以只有學生平時擅于作圖，熟練駕馭數(shù)學語言，解題思路才能更加清晰.3.增強思維品質(zhì)培養(yǎng)，深化命題研究2022年安徽省中小學教育教學論文評選進學生演繹推理能力的發(fā)展.當然教師要提高自己的試題命制水平，深入學習命題策略，通過對試題的條件、結(jié)論或圖形的變化，得到一些具有價值的新問題，讓學生能夠舉一反三，培養(yǎng)思維的靈活性和敏捷性.參考文獻[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.[2]劉