角邊角定理和角角邊定理2

三角形全等的判定定理本課內容本節(jié)內容3.4子目內容3.4.2角邊角定理和角角邊定理返回

如圖3-34，在△ABC和中，BC=，∠B=∠B′，∠C=∠C′，你能通過平移、旋轉和軸反射使的像與△ABC重合嗎？△ABC與全等嗎？探究圖3-34

角邊角定理有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等(可簡寫成“角邊角”或“ASA”).結論例3

如圖3-35所示，小強測量河寬AB時，從河岸的A點沿著和AB垂直的方向走到C，并在AC的中點E立一根標桿，然后從C點沿著和AC垂直的方向走到D，使D，E，B恰好在一直線上.于是小強說：“CD的長就是河的寬.”你能說出這個道理嗎？圖3-35ABECD舉例證明：在△AEB和△CED中，因為∠EAB=∠ECD=90°，

AE=CE，

∠AEB=∠CED，(對頂角相等)所以△AEB

≌△CED.（ASA）于是AB=CD.(全等三角形對應邊相等)因此，CD的長就是河的寬度.

圖3-35圖3-36例4

如圖3-36中，已知△ABC≌

，CF，，分別是∠ACB和

的角平分線.

求證：.舉例圖3-36(全等三角形對應角相等)證明：因為△ABC≌

，所以，(全等三角形對應邊相等)

∠A=∠A′，，又因為∠1=∠ACB，

∠2=，所以，∠1=∠2.在△AFC

和中因為∠A=∠A′，，

∠1=∠2，所以△AFC

≌.（）所以CF=.(全等三角形對應邊相等)你能在小括號內寫出這兩個三角形全等的理由嗎？ASA

從例4中，你能得出什么樣的結論？說一說全等三角形對應角的角平分線相等.1.如圖3-37，觀察圖中的三角形.小強說：“圖中有兩個三角形全等.”你認為小強的判斷對嗎？請說明理由.證明：小強的判斷是對的，在△ABC和△FDE中因為∠B=∠D，BC=DE，∠C=∠E，所以△ABC≌△FDE(ASA).圖3-37練習

如圖3-38，在△ABC和中，如果BC=，∠A=∠A′，∠B=∠B′.那么△ABC和

是全等三角形嗎？圖3-38動腦筋在△ABC和

中，如果∠A=∠A′，

∠B=∠B′，由三角形內角和性質可得∠C=∠C′.又因為，

∠B=∠B′，由“角邊角”判定定理則有

≌

角角邊定理有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等(可簡寫成“角角邊”或“AAS”).結論例5

如圖3-39中，已知BE//DF，∠B=∠D，

AE=CF.求證：△ADF≌△CBE.圖3-39證明：因為BE//DF，所以∠1

=∠2.()因為AE=CF，即AF=CE.在△ADF和△CBE中，因為∠D=∠B，

∠1=∠2，

AF=CE，所以△ADF≌△CBE.（）所以AE+EF=CF+FE，AAS兩直線平行，內錯角相等舉例圖3-40例6

如圖3-40中，已知△ABC

≌

，BE，

分別是對應邊AC和邊上的高.

求證：BE=.舉例圖3-40證明：因為△ABC≌

，所以，(全等三角形對應邊相等)∠A=∠A′，(全等三角形對應角相等)因為BE⊥AC，，所以又因為∠A=∠A′，，所以△AEB≌

.(AAS)所以

從例6中，你能得出什么樣的結論？說一說全等三角形對應邊上的高相等.2.如圖3-41，已知∠1=∠2，AD=AE.

觀察該圖，找出圖中：（1）所有的全等三角形；（2）所有相等的線段和相等的角.答:△ACD與△ABE，

△BOD與△COE.答:相等的線段：AB=AC，AD=AE，

BO=CO，BD=CE，DO=EO，DC=EB.

相等的角：∠1=∠2，∠D=∠E，∠BOD=∠COE，∠DBO=∠ECO.圖3-41練習3.等腰三角形兩腰上的高相等嗎？為什么？答:相等，因為在△ABC中，AB=AC，

BD⊥AC，CE⊥AB，所以∠1=∠2=90°.

又因為∠A=∠A，所以△ADB△AEC(AAS).

所以BD=CE.

即等腰三角形兩腰上的高相等.練習想一想，還有其他的證明方法嗎？3.

已知，在△