2022-2023學(xué)年河北省武強(qiáng)中學(xué)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省武強(qiáng)中學(xué)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.七位評委為某跳水運動員打出的分?jǐn)?shù)如下：，則這組分?jǐn)?shù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）A.84，85 B.84，84 C.85，84 D.85，85〖答案〗B〖解析〗數(shù)據(jù)按從小到大的順序排一列：所以這組分?jǐn)?shù)中位數(shù)和眾數(shù)分別是84，84，故A，C，D錯誤.故選：B.2.數(shù)據(jù)8，6，5，2，7，9，12，4，12的第40百分位數(shù)是（）A.5 B.6C.7.5 D.8〖答案〗B〖解析〗把這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列可得：2，4，5，6，7，8，9，12，12，因為9×40%＝3.6，所以這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是第4個數(shù)據(jù)6.故選：B3.從一個容量為（，）的總體中抽取一個容量為的樣本，當(dāng)選取簡單隨機(jī)抽樣方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的可能性是，則選取分層隨機(jī)抽樣方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的可能性是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗隨機(jī)抽樣每個個體被抽到的概率相等，選取分層抽樣抽取樣本時總體中每個個體被抽中的概率仍為故選：D4.某學(xué)校為了了解本校教師課外閱讀教育專著情況，對老年、中年、青年教師進(jìn)行了分層抽樣調(diào)查，已知老年、中年、青年教師分別有36人，48人，60人，若從中年教師中抽取了4人，則從青年教師中抽取的人數(shù)比從老年教師中抽取的人數(shù)多（）A.5人 B.4人 C.3人 D.2人〖答案〗D〖解析〗設(shè)從老年教師和青年教師中抽取的人數(shù)分別是x，y.因為老年、中年、青年教師分別有36人，48人，60人，且從中年教師中抽取了4人，所以，解得，則.故選：D.5.某工廠對一批新產(chǎn)品的長度（單位：）進(jìn)行檢測，如圖是檢測結(jié)果的頻率分布直方圖，據(jù)此估計這批產(chǎn)品的眾數(shù)為（）A.20 B.25 C.22.5 D.22.75〖答案〗C〖解析〗這批產(chǎn)品的眾數(shù)為:.故選：C.6.從6個籃球、2個排球中任選3個球，則下列現(xiàn)象中，確定性現(xiàn)象的是（）A.3個都是籃球 B.至少有1個是排球C.3個都是排球 D.至少有1個是籃球〖答案〗D〖解析〗依題意，選出的3個球：“3個都是籃球”與“至少有1個是排球”可能發(fā)生，也可不發(fā)生，它們是隨機(jī)事件，A，B都不是；因只有2個排球，所以選出3個球不可能都是排球，“3個都是排球”是不可能事件，C不是；因只有2個排球，所以選出的3個球至少有1個是籃球，“至少有1個是籃球”是必然事件，D是.故選：D7.設(shè)O為正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3點，則取到的3點共線的概率為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，從5個點中任取3個有共種不同取法，3點共線只有與共2種情況，由古典概型的概率計算公式知，取到3點共線的概率為.故選：A8.如圖，在直三棱柱中，，則與所成的角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，以為坐標(biāo)原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，所以，所以直線與所成角的余弦值為．故選：A.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.已知空間中三點，則下列結(jié)論正確的有（）A. B.與共線的單位向量是C.與夾角的余弦值是 D.平面的一個法向量是〖答案〗AD〖解析〗由題意可得，，，選項A：，故，正確；選項B：不是單位向量，且與不共線，錯誤；選項C：，錯誤；選項D：設(shè)，則，，所以，，又，所以平面的一個法向量是，正確；故選：AD10.某校高二（13）班某次測試數(shù)學(xué)成績累積頻數(shù)分布折線圖如圖所示，則下列說法正確的是（）A.沒有人的成績在30~40分這組內(nèi)B.第50百分位數(shù)位于60~70分這組內(nèi)C.第25百分位數(shù)位于40~50分這組內(nèi)D.第75百分位數(shù)位于70~80分這組內(nèi)〖答案〗ABC〖解析〗由題圖知沒有人的成績在30~40分這組內(nèi)；故A正確；由40×25%=10，取第10?11項數(shù)據(jù)的平均數(shù)，所以第25百分位數(shù)位于40~50分這組內(nèi)；故C正確；由40×50%=20，取第20?21項數(shù)據(jù)平均數(shù)，所以第50百分位數(shù)位于60~70分這組內(nèi)；故B正確；由40×75%=30，取第30?31項數(shù)據(jù)的平均數(shù)，所以第75百分位數(shù)位于60~70分這組內(nèi).故D不正確.故選：ABC11.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記“向上的點數(shù)是1或2”為事件，“向上的點數(shù)是2或3”為事件，則（）A.B.C.表示向上的點數(shù)是2D.表示向上的點數(shù)是1或2或3〖答案〗CD〖解析〗由題可知，“向上的點數(shù)是1或2”為事件，“向上的點數(shù)是2或3”為事件，所以事件不包含事件，故A錯誤；事件也不等于事件，故B錯誤；事件表示“向上的點數(shù)是2”，故C正確；事件表示“向上的點數(shù)是1或2或3”，故D正確.故選：CD.12.分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子（六個面上的點數(shù)分別為1，2，3，4，5，6），設(shè)事件“第一枚骰子的點數(shù)為奇數(shù)”，事件“第二枚骰子的點數(shù)為偶數(shù)”，則（）A.M與N互斥 B. C.M與N相互獨立 D.〖答案〗BCD〖解析〗由題意，第一枚骰子的點數(shù)與第二枚骰子的點數(shù)互不影響，故事件與事件為相互獨立事件，故A錯誤，C正確；，故B正確；，故D正確.故選：BCD.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.打靶3次，事件“擊中發(fā)”，其中．那么表示_______．〖答案〗至少擊中1發(fā)〖解析〗根據(jù)并事件的定義可知，表示至少有一個發(fā)生，所以表示至少擊中1發(fā).故〖答案〗為：至少擊中1發(fā).14.已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（其中），則中位數(shù)為_____________．〖答案〗〖解析〗因為數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以，解得，所以則組數(shù)據(jù)分別是，按從小到大排列分別為，故中位數(shù)為故〖答案〗為：15.若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…,x10的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)2x1-1，2x2-1，…，2x10-1的標(biāo)準(zhǔn)差為______．〖答案〗16〖解析〗因為樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，，即，數(shù)據(jù)的方差為，則對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差為，故〖答案〗為.16.甲射擊命中目標(biāo)的概率是,乙射擊命中目標(biāo)的概率是,丙射擊命中目標(biāo)的概率是.現(xiàn)在三人同時射擊目標(biāo),則目標(biāo)被擊中的概率為____________.〖答案〗〖解析〗由題意可得，目標(biāo)不被擊中的概率為：，則目標(biāo)被擊中的概率為.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.某廠10名工人在一小時內(nèi)生產(chǎn)零件的個數(shù)分別是，設(shè)該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，第50百分位數(shù)為，求的值.解：把該組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為，其平均數(shù)，因為，所以這10名工人一小時內(nèi)生產(chǎn)零件的第50百分位數(shù)為．18.某校夏令營有3名男同學(xué)和3名女同學(xué)，其年級情況如下表：一年級二年級三年級男同學(xué)ABC女同學(xué)XYZ現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識競賽（每人被選到的可能性相同）用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果設(shè)為事件“選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)”，求事件發(fā)生的概率.解：（1）從6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識競賽的所有可能結(jié)果為{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z}，共15種.（2）選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)的所有可能結(jié)果為{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y}，共6種.因此，事件發(fā)生的概率19.杭州市某高中從學(xué)生中招收志愿者參加迎亞運專題活動，現(xiàn)已有高一540人、高二360人，高三180人報名參加志愿活動．根據(jù)活動安排，擬采用分層抽樣的方法，從已報名的志愿者中抽取120名．對抽出的120名同學(xué)某天參加運動的時間進(jìn)行了統(tǒng)計，運動時間均在39.5至99.5分鐘之間，其頻率分布直方圖如下：（1）需從高一、高二、高三報名的學(xué)生中各抽取多少人；（2）請補(bǔ)全頻率分布直方圖．解：（1）報名的學(xué)生共有1080人，抽取的比例為，所以高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人；（2）第三組的頻率為，故第三組小矩形的高度為，補(bǔ)全頻率分布直方圖得20.如圖直角梯形中，為中點．以為折痕把折起，使點到達(dá)點的位置，且．（1）求證：平面；（2）二面角大?。?）證明：因為在直角梯形中，為中點．所以，又．所以，即，又平面，所以平面；（2）解：連接，由（1）有：平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，則即為二面角的平面角，在中，，所以，所以二面角的大小為：.21.如圖，在正方體中，E為的中點．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：[方法一]：幾何法如下圖所示：在正方體中，且，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面；[方法二]:空間向量坐標(biāo)法以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為，則、、、，，，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，則，，則.又∵向量,,又平面，平面；（2）解：[方法一]：幾何法延長到，使得，連接，交于，又∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，又∵,∴,所以平面即平面,連接，作,垂足為,連接,∵平面,平面,∴，又∵,∴直線平面,又∵直線平面,∴平面平面,∴在平面中的射影在直線上,∴直線為直線在平面中的射影，∠為直線與平面所成的角，根據(jù)直線直線，可知∠為直線與平面所成的角.設(shè)正方體的棱長為2，則,,∴,∴,∴,即直線與平面所成角的正弦值為.[方法二]：向量法接續(xù)（I)的向量方法，求得平面平面的法向量，又∵,∴，∴直線與平面所成角的正弦值為.[方法三]：幾何法+體積法如圖，設(shè)的中點為F，延長，易證三線交于一點P．因為，所以直線與平面所成的角，即直線與平面所成的角．設(shè)正方體的棱長為2，在中，易得，可得．由，得，整理得．所以．所以直線與平面所成角的正弦值為．[方法四]：純體積法設(shè)正方體的棱長為2，點到平面的距離為h，在中，，，所以，易得．由，得，解得，設(shè)直線與平面所成的角為，所以．22.某高校的人學(xué)面試中有4道題目，第1題2分，第2題2分，第3題3分，第4題3分，每道題目答對給滿分，答錯不給分.小明同學(xué)答對第1，2，3，4題的概率分別為，，，，且每道題目答對與否相互獨立.（1）求小明同學(xué)恰好答對1道題目的概率；（2）若該高校規(guī)定學(xué)生的面試分?jǐn)?shù)不低于6分則面試成功，求小明同學(xué)面試成功的概率.解：（1）設(shè)事件“小明同學(xué)恰好答對1道題目”，所以.（2）設(shè)事件“小明同學(xué)面試成功”.若小明同學(xué)恰好答對2道題目面試成功，則必定答對了第3題和第4題，則小明同學(xué)恰好答對2道題目面試成功的概率；若小明同學(xué)恰好答對3道題目，則必定面試成功，則小明同學(xué)恰好答對3道題目面試成功的概率；若小明同學(xué)答對4道題目，則必定面試成功，則答對4道題目面試成功的概率.所以.河北省武強(qiáng)中學(xué)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.七位評委為某跳水運動員打出的分?jǐn)?shù)如下：，則這組分?jǐn)?shù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）A.84，85 B.84，84 C.85，84 D.85，85〖答案〗B〖解析〗數(shù)據(jù)按從小到大的順序排一列：所以這組分?jǐn)?shù)中位數(shù)和眾數(shù)分別是84，84，故A，C，D錯誤.故選：B.2.數(shù)據(jù)8，6，5，2，7，9，12，4，12的第40百分位數(shù)是（）A.5 B.6C.7.5 D.8〖答案〗B〖解析〗把這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列可得：2，4，5，6，7，8，9，12，12，因為9×40%＝3.6，所以這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是第4個數(shù)據(jù)6.故選：B3.從一個容量為（，）的總體中抽取一個容量為的樣本，當(dāng)選取簡單隨機(jī)抽樣方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的可能性是，則選取分層隨機(jī)抽樣方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的可能性是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗隨機(jī)抽樣每個個體被抽到的概率相等，選取分層抽樣抽取樣本時總體中每個個體被抽中的概率仍為故選：D4.某學(xué)校為了了解本校教師課外閱讀教育專著情況，對老年、中年、青年教師進(jìn)行了分層抽樣調(diào)查，已知老年、中年、青年教師分別有36人，48人，60人，若從中年教師中抽取了4人，則從青年教師中抽取的人數(shù)比從老年教師中抽取的人數(shù)多（）A.5人 B.4人 C.3人 D.2人〖答案〗D〖解析〗設(shè)從老年教師和青年教師中抽取的人數(shù)分別是x，y.因為老年、中年、青年教師分別有36人，48人，60人，且從中年教師中抽取了4人，所以，解得，則.故選：D.5.某工廠對一批新產(chǎn)品的長度（單位：）進(jìn)行檢測，如圖是檢測結(jié)果的頻率分布直方圖，據(jù)此估計這批產(chǎn)品的眾數(shù)為（）A.20 B.25 C.22.5 D.22.75〖答案〗C〖解析〗這批產(chǎn)品的眾數(shù)為:.故選：C.6.從6個籃球、2個排球中任選3個球，則下列現(xiàn)象中，確定性現(xiàn)象的是（）A.3個都是籃球 B.至少有1個是排球C.3個都是排球 D.至少有1個是籃球〖答案〗D〖解析〗依題意，選出的3個球：“3個都是籃球”與“至少有1個是排球”可能發(fā)生，也可不發(fā)生，它們是隨機(jī)事件，A，B都不是；因只有2個排球，所以選出3個球不可能都是排球，“3個都是排球”是不可能事件，C不是；因只有2個排球，所以選出的3個球至少有1個是籃球，“至少有1個是籃球”是必然事件，D是.故選：D7.設(shè)O為正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3點，則取到的3點共線的概率為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，從5個點中任取3個有共種不同取法，3點共線只有與共2種情況，由古典概型的概率計算公式知，取到3點共線的概率為.故選：A8.如圖，在直三棱柱中，，則與所成的角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，以為坐標(biāo)原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，所以，所以直線與所成角的余弦值為．故選：A.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.已知空間中三點，則下列結(jié)論正確的有（）A. B.與共線的單位向量是C.與夾角的余弦值是 D.平面的一個法向量是〖答案〗AD〖解析〗由題意可得，，，選項A：，故，正確；選項B：不是單位向量，且與不共線，錯誤；選項C：，錯誤；選項D：設(shè)，則，，所以，，又，所以平面的一個法向量是，正確；故選：AD10.某校高二（13）班某次測試數(shù)學(xué)成績累積頻數(shù)分布折線圖如圖所示，則下列說法正確的是（）A.沒有人的成績在30~40分這組內(nèi)B.第50百分位數(shù)位于60~70分這組內(nèi)C.第25百分位數(shù)位于40~50分這組內(nèi)D.第75百分位數(shù)位于70~80分這組內(nèi)〖答案〗ABC〖解析〗由題圖知沒有人的成績在30~40分這組內(nèi)；故A正確；由40×25%=10，取第10?11項數(shù)據(jù)的平均數(shù)，所以第25百分位數(shù)位于40~50分這組內(nèi)；故C正確；由40×50%=20，取第20?21項數(shù)據(jù)平均數(shù)，所以第50百分位數(shù)位于60~70分這組內(nèi)；故B正確；由40×75%=30，取第30?31項數(shù)據(jù)的平均數(shù)，所以第75百分位數(shù)位于60~70分這組內(nèi).故D不正確.故選：ABC11.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記“向上的點數(shù)是1或2”為事件，“向上的點數(shù)是2或3”為事件，則（）A.B.C.表示向上的點數(shù)是2D.表示向上的點數(shù)是1或2或3〖答案〗CD〖解析〗由題可知，“向上的點數(shù)是1或2”為事件，“向上的點數(shù)是2或3”為事件，所以事件不包含事件，故A錯誤；事件也不等于事件，故B錯誤；事件表示“向上的點數(shù)是2”，故C正確；事件表示“向上的點數(shù)是1或2或3”，故D正確.故選：CD.12.分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子（六個面上的點數(shù)分別為1，2，3，4，5，6），設(shè)事件“第一枚骰子的點數(shù)為奇數(shù)”，事件“第二枚骰子的點數(shù)為偶數(shù)”，則（）A.M與N互斥 B. C.M與N相互獨立 D.〖答案〗BCD〖解析〗由題意，第一枚骰子的點數(shù)與第二枚骰子的點數(shù)互不影響，故事件與事件為相互獨立事件，故A錯誤，C正確；，故B正確；，故D正確.故選：BCD.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.打靶3次，事件“擊中發(fā)”，其中．那么表示_______．〖答案〗至少擊中1發(fā)〖解析〗根據(jù)并事件的定義可知，表示至少有一個發(fā)生，所以表示至少擊中1發(fā).故〖答案〗為：至少擊中1發(fā).14.已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（其中），則中位數(shù)為_____________．〖答案〗〖解析〗因為數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以，解得，所以則組數(shù)據(jù)分別是，按從小到大排列分別為，故中位數(shù)為故〖答案〗為：15.若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…,x10的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)2x1-1，2x2-1，…，2x10-1的標(biāo)準(zhǔn)差為______．〖答案〗16〖解析〗因為樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，，即，數(shù)據(jù)的方差為，則對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差為，故〖答案〗為.16.甲射擊命中目標(biāo)的概率是,乙射擊命中目標(biāo)的概率是,丙射擊命中目標(biāo)的概率是.現(xiàn)在三人同時射擊目標(biāo),則目標(biāo)被擊中的概率為____________.〖答案〗〖解析〗由題意可得，目標(biāo)不被擊中的概率為：，則目標(biāo)被擊中的概率為.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.某廠10名工人在一小時內(nèi)生產(chǎn)零件的個數(shù)分別是，設(shè)該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，第50百分位數(shù)為，求的值.解：把該組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為，其平均數(shù)，因為，所以這10名工人一小時內(nèi)生產(chǎn)零件的第50百分位數(shù)為．18.某校夏令營有3名男同學(xué)和3名女同學(xué)，其年級情況如下表：一年級二年級三年級男同學(xué)ABC女同學(xué)XYZ現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識競賽（每人被選到的可能性相同）用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果設(shè)為事件“選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)”，求事件發(fā)生的概率.解：（1）從6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識競賽的所有可能結(jié)果為{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z}，共15種.（2）選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)的所有可能結(jié)果為{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y}，共6種.因此，事件發(fā)生的概率19.杭州市某高中從學(xué)生中招收志愿者參加迎亞運專題活動，現(xiàn)已有高一540人、高二360人，高三180人報名參加志愿活動．根據(jù)活動安排，擬采用分層抽樣的方法，從已報名的志愿者中抽取120名．對抽出的120名同學(xué)某天參加運動的時間進(jìn)行了統(tǒng)計，運動時間均在39.5至99.5分鐘之間，其頻率分布直方圖如下：（1）需從高一、高二、高三報名的學(xué)生中各抽取多少人；（2）請補(bǔ)全頻率分布直方圖．解：（1）報名的學(xué)生共有1080人，抽取的比例為，所以高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人；（2）第三組的頻率為，故第三組小矩形的高度為，補(bǔ)全頻率分布直方圖得20.如圖直角梯形中，為中點．以為折痕把折起，使點到達(dá)點的位置，且．（1）求證：平面；（2）二面角大?。?）證明：因為在直角梯形中，為中點．所以，又．所以，即，又平面，所以平面；（2）解：連接，由（1）有：平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，則即為二面角的平面角，在中，，所以，所以二面角的大小為：.21.如圖，在正方體中，