2022-2023學(xué)年湖南省長沙市師大思沁高級(jí)中學(xué)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省長沙市師大思沁高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題時(shí)量：120分鐘.總分：150分一、單選題：本題共8小題，每題5分，共40分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.1.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A.B.C.D.2.在銳角三角形ABC中，，則（）A.B.C.D.3.甲?乙兩人獨(dú)立地破譯某個(gè)密碼，甲譯出密碼的概率為0.4，乙譯出密碼的概率為0.5.則密碼被破譯的概率為（）A.0.9B.0.8C.0.7D.0.24.若m?n?l表示不同的直線，?表示不同的平面，則下列推理正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，，則D.若，，則5.在中，，若，則的值為（）A.B.C.D.6.已知某19個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，方差為2，現(xiàn)加入一個(gè)數(shù)5，此時(shí)這20個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則（）A.，B.，C.，D.，7.在一個(gè)正三棱柱中，所有棱長都為2，各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為（）A.B.C.D.8.已知M是內(nèi)一點(diǎn)，且，，，則的最小值是（）A.4B.8C.D.二、多選題：本題共4小題，每題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)得0分.9.已知向量，則（）A.B.若，則C.若，則D.10.在一個(gè)試驗(yàn)?zāi)Ｐ椭校O(shè)A表示一個(gè)隨機(jī)事件，表示A的對(duì)立事件.以下結(jié)論正確的是（）A.B.C.若，則D.11.如圖，四邊形ABCD的斜二測(cè)直觀圖為等腰梯形，已知，則（）A.B.C.四邊形ABCD的周長為D.四邊形ABCD的面積為612.素描是使用單一色彩表現(xiàn)明暗變化的一種繪畫方法，素描水平反映了繪畫者的空間造型能力.“十字貫穿體”是學(xué)習(xí)素描時(shí)常用的幾何體實(shí)物模型，如圖是某同學(xué)繪制“十字貫穿體”的素描作品.“十字貫穿體”是由兩個(gè)完全相同的正四棱柱“垂直貫穿”構(gòu)成的多面體，其中一個(gè)四棱柱的每一條側(cè)棱分別垂直于另一個(gè)四棱柱的每一條側(cè)棱，兩個(gè)四棱柱分別有兩條相對(duì)的側(cè)棱交于兩點(diǎn)，另外兩條相對(duì)的側(cè)棱交于一點(diǎn)（該點(diǎn)為所在棱的中點(diǎn)）.若該同學(xué)繪制的“十字貫穿體”由兩個(gè)底面邊長為2，高為6的正四棱柱構(gòu)成，則（）A.一個(gè)正四棱柱的某個(gè)側(cè)面與另一個(gè)正四棱柱的兩個(gè)側(cè)面的交線互相垂直B.該“十字貫穿體”的表面積是C.該“十字貫穿體”的體積是D.與所成角的余弦值是三、填空題：本題共4小題，每題5分，共20分.13.有10種不同的零食，每100克可食部分包含的能量（單位：）如下：100，120，125，165，430，186，175，234，425，310.這10種零食每100克可食部分的能量的第60百分位數(shù)為________.14.設(shè)，，若為實(shí)數(shù)，則m的值為________.15.乒乓球被稱為中國的“國球”，是一種世界流行的球類體育項(xiàng)目，2000年之后國際比賽用球的直徑為40.現(xiàn)用一個(gè)底面為正方形的棱柱盒子包裝四個(gè)乒乓球，為倡導(dǎo)環(huán)保理念，則此棱柱包裝盒（長方體）表面積的最小值為________.（忽略乒乓球及包裝盒厚度）16.如圖，圓是半徑為1的圓，，設(shè)，為圓上的任意2個(gè)點(diǎn)，則的取值范圍是________.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.某地區(qū)突發(fā)小型地質(zhì)災(zāi)害，為了了解該地區(qū)受災(zāi)居民的經(jīng)濟(jì)損失，制定合理的幫扶方案，研究人員經(jīng)過調(diào)查后將該地區(qū)所有受災(zāi)居民的經(jīng)濟(jì)損失情況統(tǒng)計(jì)如下圖所示.（1）求a的值；（2）求所有受災(zāi)居民的經(jīng)濟(jì)損失的平均值；（3）現(xiàn)按照分層抽樣的方法從經(jīng)濟(jì)損失在的居民中隨機(jī)抽取8人，則在的居民有多少人.18.在△ABC中，角A?B?C所對(duì)的邊分別為a?b?c，若.（1）求角C的大?。唬?）若，求△ABC的周長取值范圍.19.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，為的中點(diǎn)，平面，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正切值.20.甲?乙?丙三位同學(xué)進(jìn)行乒乓球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)者下一場(chǎng)輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲?乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為.（1）求甲在第三場(chǎng)被淘汰的概率；（2）求甲最終獲勝的概率.21.在四邊形中，，，，設(shè).（1）當(dāng)時(shí)，求線段的長度；（2）求面積的最大值.22.如圖，三棱錐P-ABC中，平面PAC平面ABC，，點(diǎn)D?E在線段AC上，且，，點(diǎn)F在線段AB上，且EFBC.（1）證明：AB平面PFE.（2）若四棱錐P-DFBC的體積為7，求線段BC的長.

——★參考答案★——一、單選題1.C〖解析〗，因此，復(fù)數(shù)的虛部為.2.A〖解析〗在銳角三角形中，，由正弦定理得，又，所以，且，故.3.C〖解析〗甲?乙兩人獨(dú)立地破譯某個(gè)密碼，甲譯出密碼的概率為0.4，乙譯出密碼的概率為0.5.則密碼被破譯的概率為：.4.B〖解析〗在正方體中，記平面為平面，平面為平面為為為，對(duì)于選項(xiàng)，，但和相交，所以錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)，，但和相交，所以錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)，，但與相交，所以錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)，由線面垂直的性質(zhì)可知對(duì)；5.A〖解析〗因?yàn)?，所以為上靠近點(diǎn)的三等份點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，所以?.C〖解析〗原19個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，方差為2，加入一個(gè)數(shù)5之后，這20個(gè)數(shù)的平均數(shù)為，方差為.7.B〖解析〗由已知做出正三棱柱，則，設(shè)點(diǎn)分別為正，正的中心，連接，則，連接并延長交于于點(diǎn)，則，設(shè)點(diǎn)為中點(diǎn)，連接，則點(diǎn)為正三棱柱外接球的球心，且平面，因?yàn)辄c(diǎn)為正的中心，所以，所以，則，因?yàn)槠矫妫?，則正三棱柱外接球半徑，所以該球的表面積為：，故選：B.8.B〖解析〗，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值是8.二、多選題9.ACD〖解析〗顯然對(duì)，得：或錯(cuò)，對(duì)，對(duì).故選：ACD10.BCD〖解析〗選項(xiàng)，由對(duì)立事件的性質(zhì)不一定正確；由對(duì)立事件的概念得，即，B正確；由對(duì)立事件的性質(zhì)知，，故若，則，C正確；由對(duì)立事件的概念得，即D正確.故選：BCD.11.AD〖解析〗由已知等腰梯形中，，所以，由斜二測(cè)畫法得，在原圖直角梯形中，，易得，所以四邊形的周長為，面積為.12.BCD〖解析〗如圖一個(gè)正四棱柱的某個(gè)側(cè)面與另一個(gè)正四棱柱的兩個(gè)側(cè)面的交線，則在矩形中，可知為中點(diǎn)，連接，由對(duì)稱性可知，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，顯然，即不垂直，選項(xiàng)不正確；，該“十字貫穿體”的表面積是由4個(gè)正方形和16個(gè)與梯形全等的梯形組成則表面積，B選項(xiàng)正確；如圖兩個(gè)正四棱柱的重疊部分為多面體CDGEST，取的中點(diǎn)則多面體可以分成8個(gè)全等三棱錐，則，且平面，則，該“十字貫穿體”的體積即為，C選項(xiàng)正確；與所成角即，在中，選項(xiàng)正確；三、填空題13.210〖解析〗10個(gè)數(shù)據(jù)從小到大順序排列為：，，而第6個(gè)數(shù)據(jù)為186，第7個(gè)數(shù)據(jù)為.所以第60百分位數(shù)為210.14.〖解析〗由已知可得，.因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，所以，解得.15.256〖解析〗設(shè)是四個(gè)球的球心，以下面積單位是（1）四點(diǎn)共線，則.（2）四點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形，則（3）四點(diǎn)構(gòu)成一正四面體，如圖，設(shè)是中心，則平面，，正四棱柱為正方體，棱長為，表面積為，比較可得表面積最小值為.16.〖解析〗若為中點(diǎn)，令?yuàn)A角為，如下圖示，，又，由，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)最小值為-2；由，則；此時(shí)，當(dāng)時(shí)最大值為6；綜上，的取值范圍是.四、解答題17.解：（1）依題意，，解得.（2）所有受災(zāi)居民經(jīng)濟(jì)損失的平均值為元.（3）由（1）得經(jīng)濟(jì)損失在和在的人數(shù)比例為，由分層抽樣知，經(jīng)濟(jì)損失在的居民有人.18.解：（1）由于，由正弦定理得，即，即，可得：，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?（2）因?yàn)橛烧叶ɡ砜傻茫谑?，因?yàn)橹?，，所以，所以，可得：，所以周長的取值范圍為：.19.（1）證明：如圖所示，連接，因?yàn)闉槠叫兴倪呅?，是中點(diǎn)，所以是平行四邊形的對(duì)角線，所以是中點(diǎn)，又因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以是中位線，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫妫?）解：因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，又，所以，由，所以，又點(diǎn)到平面的距離，所以直線與平面所成角的正切值為.20.解：（1）記事件為甲在第三場(chǎng)被淘汰，則（2）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，則甲贏的基本事件包括，所以，甲贏的概率21.解：（1）當(dāng)時(shí)，在中，，由正弦定理，得（2）在中，，由正弦定理，在中，，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故面積的最大值為.22.（1）證明：如題圖.由知，為等腰中邊的中點(diǎn)，故，又平面平面，平面平面平面，所以平面，從而.因，故.從而與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，所以平面.（2）解：設(shè)，則在直角中，.從而由，知，得，故，即.由，從而四邊形的面積為由（1）知，平面，所以為四棱錐的高.在直角中，，體積，故得，解得或由于，可得或.所以或.湖南省長沙市師大思沁高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題時(shí)量：120分鐘.總分：150分一、單選題：本題共8小題，每題5分，共40分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.1.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A.B.C.D.2.在銳角三角形ABC中，，則（）A.B.C.D.3.甲?乙兩人獨(dú)立地破譯某個(gè)密碼，甲譯出密碼的概率為0.4，乙譯出密碼的概率為0.5.則密碼被破譯的概率為（）A.0.9B.0.8C.0.7D.0.24.若m?n?l表示不同的直線，?表示不同的平面，則下列推理正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，，則D.若，，則5.在中，，若，則的值為（）A.B.C.D.6.已知某19個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，方差為2，現(xiàn)加入一個(gè)數(shù)5，此時(shí)這20個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則（）A.，B.，C.，D.，7.在一個(gè)正三棱柱中，所有棱長都為2，各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為（）A.B.C.D.8.已知M是內(nèi)一點(diǎn)，且，，，則的最小值是（）A.4B.8C.D.二、多選題：本題共4小題，每題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)得0分.9.已知向量，則（）A.B.若，則C.若，則D.10.在一個(gè)試驗(yàn)?zāi)Ｐ椭?，設(shè)A表示一個(gè)隨機(jī)事件，表示A的對(duì)立事件.以下結(jié)論正確的是（）A.B.C.若，則D.11.如圖，四邊形ABCD的斜二測(cè)直觀圖為等腰梯形，已知，則（）A.B.C.四邊形ABCD的周長為D.四邊形ABCD的面積為612.素描是使用單一色彩表現(xiàn)明暗變化的一種繪畫方法，素描水平反映了繪畫者的空間造型能力.“十字貫穿體”是學(xué)習(xí)素描時(shí)常用的幾何體實(shí)物模型，如圖是某同學(xué)繪制“十字貫穿體”的素描作品.“十字貫穿體”是由兩個(gè)完全相同的正四棱柱“垂直貫穿”構(gòu)成的多面體，其中一個(gè)四棱柱的每一條側(cè)棱分別垂直于另一個(gè)四棱柱的每一條側(cè)棱，兩個(gè)四棱柱分別有兩條相對(duì)的側(cè)棱交于兩點(diǎn)，另外兩條相對(duì)的側(cè)棱交于一點(diǎn)（該點(diǎn)為所在棱的中點(diǎn)）.若該同學(xué)繪制的“十字貫穿體”由兩個(gè)底面邊長為2，高為6的正四棱柱構(gòu)成，則（）A.一個(gè)正四棱柱的某個(gè)側(cè)面與另一個(gè)正四棱柱的兩個(gè)側(cè)面的交線互相垂直B.該“十字貫穿體”的表面積是C.該“十字貫穿體”的體積是D.與所成角的余弦值是三、填空題：本題共4小題，每題5分，共20分.13.有10種不同的零食，每100克可食部分包含的能量（單位：）如下：100，120，125，165，430，186，175，234，425，310.這10種零食每100克可食部分的能量的第60百分位數(shù)為________.14.設(shè)，，若為實(shí)數(shù)，則m的值為________.15.乒乓球被稱為中國的“國球”，是一種世界流行的球類體育項(xiàng)目，2000年之后國際比賽用球的直徑為40.現(xiàn)用一個(gè)底面為正方形的棱柱盒子包裝四個(gè)乒乓球，為倡導(dǎo)環(huán)保理念，則此棱柱包裝盒（長方體）表面積的最小值為________.（忽略乒乓球及包裝盒厚度）16.如圖，圓是半徑為1的圓，，設(shè)，為圓上的任意2個(gè)點(diǎn)，則的取值范圍是________.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.某地區(qū)突發(fā)小型地質(zhì)災(zāi)害，為了了解該地區(qū)受災(zāi)居民的經(jīng)濟(jì)損失，制定合理的幫扶方案，研究人員經(jīng)過調(diào)查后將該地區(qū)所有受災(zāi)居民的經(jīng)濟(jì)損失情況統(tǒng)計(jì)如下圖所示.（1）求a的值；（2）求所有受災(zāi)居民的經(jīng)濟(jì)損失的平均值；（3）現(xiàn)按照分層抽樣的方法從經(jīng)濟(jì)損失在的居民中隨機(jī)抽取8人，則在的居民有多少人.18.在△ABC中，角A?B?C所對(duì)的邊分別為a?b?c，若.（1）求角C的大小；（2）若，求△ABC的周長取值范圍.19.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，為的中點(diǎn)，平面，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正切值.20.甲?乙?丙三位同學(xué)進(jìn)行乒乓球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)者下一場(chǎng)輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲?乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為.（1）求甲在第三場(chǎng)被淘汰的概率；（2）求甲最終獲勝的概率.21.在四邊形中，，，，設(shè).（1）當(dāng)時(shí)，求線段的長度；（2）求面積的最大值.22.如圖，三棱錐P-ABC中，平面PAC平面ABC，，點(diǎn)D?E在線段AC上，且，，點(diǎn)F在線段AB上，且EFBC.（1）證明：AB平面PFE.（2）若四棱錐P-DFBC的體積為7，求線段BC的長.

——★參考答案★——一、單選題1.C〖解析〗，因此，復(fù)數(shù)的虛部為.2.A〖解析〗在銳角三角形中，，由正弦定理得，又，所以，且，故.3.C〖解析〗甲?乙兩人獨(dú)立地破譯某個(gè)密碼，甲譯出密碼的概率為0.4，乙譯出密碼的概率為0.5.則密碼被破譯的概率為：.4.B〖解析〗在正方體中，記平面為平面，平面為平面為為為，對(duì)于選項(xiàng)，，但和相交，所以錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)，，但和相交，所以錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)，，但與相交，所以錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)，由線面垂直的性質(zhì)可知對(duì)；5.A〖解析〗因?yàn)?，所以為上靠近點(diǎn)的三等份點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，所以?.C〖解析〗原19個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，方差為2，加入一個(gè)數(shù)5之后，這20個(gè)數(shù)的平均數(shù)為，方差為.7.B〖解析〗由已知做出正三棱柱，則，設(shè)點(diǎn)分別為正，正的中心，連接，則，連接并延長交于于點(diǎn)，則，設(shè)點(diǎn)為中點(diǎn)，連接，則點(diǎn)為正三棱柱外接球的球心，且平面，因?yàn)辄c(diǎn)為正的中心，所以，所以，則，因?yàn)槠矫?，所以，則正三棱柱外接球半徑，所以該球的表面積為：，故選：B.8.B〖解析〗，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值是8.二、多選題9.ACD〖解析〗顯然對(duì)，得：或錯(cuò)，對(duì)，對(duì).故選：ACD10.BCD〖解析〗選項(xiàng)，由對(duì)立事件的性質(zhì)不一定正確；由對(duì)立事件的概念得，即，B正確；由對(duì)立事件的性質(zhì)知，，故若，則，C正確；由對(duì)立事件的概念得，即D正確.故選：BCD.11.AD〖解析〗由已知等腰梯形中，，所以，由斜二測(cè)畫法得，在原圖直角梯形中，，易得，所以四邊形的周長為，面積為.12.BCD〖解析〗如圖一個(gè)正四棱柱的某個(gè)側(cè)面與另一個(gè)正四棱柱的兩個(gè)側(cè)面的交線，則在矩形中，可知為中點(diǎn)，連接，由對(duì)稱性可知，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，顯然，即不垂直，選項(xiàng)不正確；，該“十字貫穿體”的表面積是由4個(gè)正方形和16個(gè)與梯形全等的梯形組成則表面積，B選項(xiàng)正確；如圖兩個(gè)正四棱柱的重疊部分為多面體CDGEST，取的中點(diǎn)則多面體可以分成8個(gè)全等三棱錐，則，且平面，則，該“十字貫穿體”的體積即為，C選項(xiàng)正確；與所成角即，在中，選項(xiàng)正確；三、填空題13.210〖解析〗10個(gè)數(shù)據(jù)從小到大順序排列為：，，而第6個(gè)數(shù)據(jù)為186，第7個(gè)數(shù)據(jù)為.所以第60百分位數(shù)為210.14.