中職數(shù)學(xué)(基礎(chǔ)模塊上冊(cè) 語(yǔ)文版)教學(xué)分析：第九單元 立體幾何

第九單元立體幾何一教學(xué)要求1．了解平面的概念，理解平面的基本性質(zhì)．2．了解直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系．3．理解直線與直線、直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)．4．了解異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的平面角的概念．5．理解直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)．6．理解柱、錐、球及簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征及其面積、體積的計(jì)算．7．培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想象能力，提高運(yùn)用圖形語(yǔ)言進(jìn)行交流的能力．二教材分析和教學(xué)建議（一）編寫思路立體幾何是在學(xué)習(xí)平面幾何知識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究空間點(diǎn)、線、面間的關(guān)系、性質(zhì)以及空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征和面積、體積的計(jì)算．本單元教材的主要內(nèi)容包括：平面的基本性質(zhì)、直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系以及他們之間平行與垂直的判定與性質(zhì)定理，柱、錐、球及簡(jiǎn)單的組合體的結(jié)構(gòu)特征與表面積和體積的計(jì)算．本教材通過(guò)實(shí)物和模型，在觀察、實(shí)驗(yàn)與思辨的基礎(chǔ)上為學(xué)生提供了一個(gè)逐步培養(yǎng)空間想象能力和數(shù)學(xué)思維能力的平臺(tái)，并通過(guò)對(duì)常見(jiàn)幾何體結(jié)構(gòu)特征的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行幾何體面積、體積的計(jì)算能力，并進(jìn)一步體會(huì)本單元知識(shí)有效地為生產(chǎn)實(shí)踐服務(wù)的必要性．本單元共分四節(jié)：空間的直線和平面是立體幾何理論基礎(chǔ)知識(shí)的主要內(nèi)容，是學(xué)好立體幾何的基礎(chǔ)，第一節(jié)給出平面基本性質(zhì)的三個(gè)公理，奠定了立體幾何的基礎(chǔ)，是本節(jié)知識(shí)的重點(diǎn)．第二節(jié)介紹了直線、平面之間的相互位置關(guān)系，把直線、平面的相互平行的判定與性質(zhì)作為重點(diǎn)內(nèi)容加以研究．其中直線與直線平行的性質(zhì)，是平面幾何中關(guān)于平行直線知識(shí)的拓展，是學(xué)生克服平面幾何學(xué)習(xí)中的思維定勢(shì)并轉(zhuǎn)向空間想象思維的關(guān)鍵．異面直線介紹的是空間兩條直線一種全新的位置關(guān)系，對(duì)異面直線位置的刻畫——兩條異面直線所成的角，則是通過(guò)平移知識(shí)轉(zhuǎn)化為平面幾何中角的概念來(lái)認(rèn)識(shí)，初步滲透了“轉(zhuǎn)化”教學(xué)思想在學(xué)習(xí)立體幾何知識(shí)中的作用，直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)定理通過(guò)日常生活實(shí)踐知識(shí)觀察而得到的．第三節(jié)主要研究直線、平面相互垂直的判定與性質(zhì)，這是直線與直線、直線與平面、平面與平面的一種特殊位置關(guān)系，在介紹了直線與平面所成的角和二面角的概念之后，為我們研究直線、平面的垂直知識(shí)提供了方便．第四節(jié)介紹了柱、錐、球及其簡(jiǎn)單的幾何體的結(jié)構(gòu)特征及其面積、體積的計(jì)算．教材通過(guò)對(duì)空間幾何體的整體觀察，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)特征，運(yùn)用這些特征去描述現(xiàn)實(shí)生活中的一些簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)．柱、錐、球及其簡(jiǎn)單的幾何體的面積計(jì)算是在給出側(cè)面展開(kāi)圖的基礎(chǔ)上讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)思路、掌握公式運(yùn)用．對(duì)于體積計(jì)算則是給出公式，要求學(xué)生會(huì)用即可．常見(jiàn)幾何體的面積與體積計(jì)算應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生理解它們的統(tǒng)一性，加強(qiáng)聯(lián)系與對(duì)比，掌握常用簡(jiǎn)單幾何體的面積與體積的計(jì)算方法．本單元教材的重點(diǎn)內(nèi)容是平面的基本性質(zhì)，直線與直線、直線與平面、平面與平面平行與垂直的判定和性質(zhì)，柱、錐、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征及面積、體積計(jì)算．在教學(xué)中要滲透“轉(zhuǎn)化”的思維方法，逐步培養(yǎng)學(xué)生會(huì)用“類比”的學(xué)習(xí)方法，會(huì)較熟練地運(yùn)用面積、體積公式進(jìn)行相關(guān)計(jì)算．本單元教材的難點(diǎn)是使學(xué)生建立空間的概念，教學(xué)中要注意從學(xué)生熟悉的事例引出，要多運(yùn)用教具、模型進(jìn)行演示分析，指導(dǎo)學(xué)生畫出圖形，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識(shí)空間圖形的能力，逐步提高學(xué)生的空間想象能力，教材中異面直線的概念和異面直線所成的角、二面角的平面角是學(xué)生難以接受的概念，第三節(jié)中平面與平面平行與垂直的判定和性質(zhì)是本章的難點(diǎn)．（二）課時(shí)分配本單元教學(xué)約需14課時(shí)，分配如下（僅供參考）：9．1平面的基本性質(zhì) 約1課時(shí)9．2直線、平面平行的判定性質(zhì) 約3課時(shí)9．3直線、平面垂直的判定性質(zhì) 約4課時(shí)9．4空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 約4課時(shí)歸納與總結(jié) 約2課時(shí)（三）內(nèi)容分析與教學(xué)建議9．1平面的基本性質(zhì)本節(jié)教材首先通過(guò)對(duì)生活中的一些常見(jiàn)物體的認(rèn)識(shí)，抽象出幾何中“平面”的概念．在此基礎(chǔ)上，介紹了平面的畫法以及表示方法．最后，教材詳細(xì)介紹了平面的基本性質(zhì)（三個(gè)公理）以及如何用集合語(yǔ)言來(lái)描述點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系．通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，要使學(xué)生了解平面的概念，理解平面的畫法和表示方法，掌握平面的基本性質(zhì)以及集合語(yǔ)言的運(yùn)用．本節(jié)的重點(diǎn)是平面的基本性質(zhì)．教學(xué)的難點(diǎn)是自然語(yǔ)言與數(shù)學(xué)圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言之間的相互轉(zhuǎn)化與應(yīng)用．1．本節(jié)內(nèi)容既是立體幾何的“入門”教學(xué)，又是立體幾何重要的理論基礎(chǔ)部分．通過(guò)對(duì)“平面”的概念的引進(jìn)，要讓學(xué)生意識(shí)到學(xué)習(xí)觀念上的變化，即今后不再只局限在平面內(nèi)，而是進(jìn)入了空間研究幾何體．所以建立空間觀念、培養(yǎng)空間想象能力和進(jìn)一步發(fā)展邏輯思維能力，是這一節(jié)的教學(xué)目標(biāo)之一．2．平面是立體幾何的基本元素，是不加定義的最原始的概念．要使學(xué)生“沖破”日常接觸的很多有限平面實(shí)例的局限，抽象、概括出數(shù)學(xué)中的“平面”，指出“平面是無(wú)限延展而沒(méi)有邊界的”，可以理解成它把整個(gè)空間分成了兩個(gè)部分．（1）要使學(xué)生真正理解和掌握平面的“無(wú)限延展性”決非易事，所以在教學(xué)中不要滿足于通過(guò)實(shí)例讓學(xué)生承認(rèn)并記住這一性質(zhì)，而應(yīng)當(dāng)使學(xué)生養(yǎng)成習(xí)慣：只要一見(jiàn)到平面的有關(guān)詞語(yǔ)、符號(hào)、圖形，就能想到它是可以延展的．（2）平面可以看成是直線運(yùn)動(dòng)的軌跡，所以平面也是空間點(diǎn)的軌跡或點(diǎn)的集合．3．在講授平面的畫法時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生注意：（1）用平行四邊形表示整個(gè)平面．（2）有時(shí)根據(jù)需要，可以用其他平面圖形來(lái)表示平面，如三角形、矩形等．（3）為增強(qiáng)立體感，當(dāng)一個(gè)平面或直線的一部分被另一個(gè)平面遮住時(shí)，應(yīng)把被遮住部分的線段畫成虛線或不畫．（4）教學(xué)中要特別強(qiáng)調(diào)：在以前的平面幾何中，凡是后引的輔助線我們都畫成虛線，而在立體幾何中，凡是被平面遮住的線，都畫成虛線，凡是不被平面遮住的線都畫成實(shí)線（無(wú)論是題中原有的，還是后引的輔助線）．（5）我們所畫的平面的圖形，只是平面的一部分，它可以根據(jù)需要畫的大些或小些，就像畫直線，可以畫的長(zhǎng)些、短些一樣．總之，需要用有限的圖形來(lái)表示無(wú)限的平面．由于學(xué)生剛接受平面的無(wú)限延展性，馬上又強(qiáng)調(diào)用有限圖形來(lái)表示，這可能會(huì)沖淡學(xué)生剛剛形成的概念，教師在教學(xué)中應(yīng)正視這個(gè)問(wèn)題．4．平面的基本性質(zhì)，是通過(guò)引入公理的方法來(lái)確定的．其性質(zhì)的內(nèi)容是點(diǎn)、直線和平面之間的從屬關(guān)系，而不是平面自身的性質(zhì)．對(duì)于平面的基本性質(zhì)，教學(xué)時(shí)注意以下幾點(diǎn)：（1）作為平面的基本性質(zhì)的三個(gè)公理，是建立在大量的實(shí)踐的基礎(chǔ)上，其事理極為明顯，不需要任何論證就能被人們承認(rèn)的真理，因而被用來(lái)作為一切推理論證的基礎(chǔ)．這三個(gè)公理是整個(gè)立體幾何學(xué)的理論基礎(chǔ)，沒(méi)有它們，便沒(méi)有一整套的立體幾何的理論和思想，所以是這一節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容．教學(xué)中，除了要大量引進(jìn)實(shí)例外，還要充分重視直觀模型的作用，要啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生把直觀模型抽象到數(shù)學(xué)上的點(diǎn)、線、面組成的圖形，從而逐步培養(yǎng)空間觀念．（2）公理1告訴我們：只要直線上有兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)就都在這個(gè)平面內(nèi)，從而這條直線就在這個(gè)平面內(nèi)．以公理1為依據(jù)，還可以知道，如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)平面內(nèi)，那么這個(gè)多邊形的各邊也都在這個(gè)平面內(nèi)，此多邊形稱之為平面多邊形．反之，如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)不都在同一個(gè)平面內(nèi)，那么這個(gè)多邊形的各邊也不都在這個(gè)平面內(nèi)，這樣的多邊形稱之為空間多邊形．（3）公理1告訴我們：如果能夠找到兩個(gè)平面的一個(gè)公共點(diǎn)，根據(jù)平面的無(wú)限延展性，那么這兩個(gè)平面就有一條并且只有一條經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的公共直線，即兩個(gè)平面相交與通過(guò)該點(diǎn)的一條直線．在公理2中，學(xué)生首次遇到“有且只有一條”一詞，它和“確定一條”是同義詞．“有”說(shuō)明圖形是存在的，“只有一條”說(shuō)明圖形是惟一的．所以“有且只有一條”說(shuō)明圖形是存在的并且是惟一的，這一點(diǎn)必須向?qū)W生交代清楚．對(duì)“有且只有一個(gè)”，“確定一個(gè)”，“可以做并且只能做一個(gè)”這樣的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，要說(shuō)明其等效性．它們都同樣包含兩層意思，即存在性與惟一性．（4）公理3給出了確定一個(gè)平面的條件．可以幫助學(xué)生做如下分析，過(guò)空間一個(gè)點(diǎn)、兩個(gè)點(diǎn)或在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)都可以做無(wú)數(shù)個(gè)平面，只有過(guò)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)才能確定一個(gè)平面，可以確定一個(gè)平面的條件是“不在同一條直線上”和“三個(gè)點(diǎn)”，二者缺一不可．5．立體幾何中借用集合的符號(hào)來(lái)表示點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，簡(jiǎn)單、明了．以點(diǎn)為元素，直線、平面都是由點(diǎn)構(gòu)成的集合．但在讀法上仍然使用幾何語(yǔ)言，而一般不使用集合的語(yǔ)言，如“A∈l”讀成“點(diǎn)A在直線l上”，“α∩β＝l”讀成“平面α與平面β相交于直線l”．9．2直線、平面平行的判定與性質(zhì)本節(jié)內(nèi)容的處理遵循“直觀感知—操作確認(rèn)—度量計(jì)算”的認(rèn)識(shí)過(guò)程展開(kāi)．教材首先通過(guò)對(duì)正方體模型的觀察，得到了空間兩條直線的三種位置關(guān)系，并介紹了平行線公理、異面直線及其所成的角；其次，根據(jù)直線與平面的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，給出了直線與平面的位置關(guān)系，并詳細(xì)介紹了直線與平面平行的判定與性質(zhì)；最后，教材介紹了兩個(gè)平面的位置關(guān)系以及兩個(gè)平面平行的判定與性質(zhì)．通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，要使學(xué)生了解空間的兩條直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，理解平行線公理以及異面直線及其所成的角，掌握直線與平面平行、平面與平面平行的判定與性質(zhì)．本節(jié)的重點(diǎn)是異面直線、直線與平面平行以及平面與平面平行的判定與性質(zhì)．教學(xué)的難點(diǎn)是異面直線及其所成的角以及平面與平面平行的判定．1．教材以正方體為載體，介紹空間兩條直線的位置關(guān)系，從而引出異面直線的定義，教學(xué)中，教師可列舉生活中的實(shí)例，加深學(xué)生的理解．異面直線的理解是本節(jié)的難點(diǎn)，教學(xué)中注意結(jié)合正反兩方面例子，深刻理解定義中“任何”的含義．可以利用反證法的思想，向?qū)W生指出，兩條直線是異面直線等價(jià)于這兩條直線既不平行也不相交．在畫異面直線時(shí)，一般要以平面為襯托，可以顯得更加直觀和清楚，否則，就容易畫成兩條直線相交的情況（如圖9－1）．圖9－12．公理4是初中平面幾何中的平行公理在空間的推廣，它表示平行性在空間具有傳遞性．要注意的是由于空間圖形和平面圖形有所區(qū)別，所以平面圖形的性質(zhì)不一定能適合空間圖形，只有經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)后確認(rèn)是正確的，才能在空間圖形中使用．初中平面幾何中的平行公理是公理4的特殊情況，三條直線平行，它們即可以在一個(gè)平面內(nèi)，也可以兩兩共面．教學(xué)公理4時(shí)，應(yīng)啟發(fā)學(xué)生通過(guò)觀察（如三棱鏡的三條棱、教室里的墻縫），經(jīng)過(guò)類比，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到對(duì)于空間的三條直線，也存在著平行線的傳遞性，并歸納出公理4：“平行于同一條直線的兩條直線互相平行”．3．空間四邊形本節(jié)所給例題第一次涉及到空間四邊形，這是一個(gè)非常重要的空間圖形，應(yīng)在教學(xué)中給以足夠重視．首先，要教給學(xué)生畫空間四邊形的方法，一般可先畫一個(gè)，再在所在平面外取一點(diǎn)，然后連結(jié)，即得空間四邊形．當(dāng)然，也可以把空間四邊形看做是由不在同一平面的有一條公共邊的兩個(gè)三角形拼成的．其中是空間四邊形的一條對(duì)角線，另一條對(duì)角線一般都不畫出來(lái)，為了增強(qiáng)立體感，有時(shí)也畫出所在平面．其次，應(yīng)逐步啟發(fā)學(xué)生認(rèn)識(shí)空間四邊形的有關(guān)性質(zhì)：（1）四條線段首尾相接所得的封閉圖形一定是平面圖形嗎？為什么？（得出空間四邊形概念）（2）空間四邊形的四邊中點(diǎn)是否在同一個(gè)平面內(nèi)？為什么？（例題所要證明的結(jié)論）（3）空間四邊形的四邊中點(diǎn)是一個(gè)平行四邊形的頂點(diǎn)．（由學(xué)生自己證明）在給出異面直線所成的角后，根據(jù)學(xué)生具體情況，可以繼續(xù)研究下述問(wèn)題：（4）空間四邊形的兩條對(duì)角線是異面直線．（5）空間四邊形的對(duì)邊是異面直線．（6）如果空間四邊形對(duì)角線互相垂直，則四邊中點(diǎn)是一個(gè)矩形的頂點(diǎn)．4．由公理4可以推出等角定理，為研究異面直線所成的角打下基礎(chǔ)．等角定理不僅是建立兩條異面直線所成的角的依據(jù)，而且還為研究二面角做了必要的準(zhǔn)備．在等角定理中，如果把角的兩邊反向延長(zhǎng)，則可以得到下述結(jié)論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等．這個(gè)結(jié)論揭示了兩條相交直線所成的銳角（或直角）在空間進(jìn)行任意的平移變換，角的大小保持不變．5．異面直線所成的角，是教學(xué)上的一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生不易接受．應(yīng)從實(shí)際例子引入，通過(guò)實(shí)例表明客觀存在，而且有研究的必要．（1）在平面幾何中，對(duì)于兩條相交直線，可以用它們夾角的大小來(lái)確定其相互位置關(guān)系．同樣，在立體幾何中，也需要確定兩條異面直線之間的相互位置關(guān)系．（2）從異面直線所成角的定義知，它是用作圖的方法構(gòu)造出兩條相交直線，把兩條直線所成的銳角（或直角）叫做異面直線所成的角．這種方式的定義就是構(gòu)造性定義．在立體幾何中定量地描述兩個(gè)元素之間位置關(guān)系的概念經(jīng)常是構(gòu)造性定義．這種定義方式并不直接指出概念的本質(zhì)屬性，而是指出所要定義的對(duì)象的構(gòu)造方法．因此應(yīng)在教學(xué)中充分揭示構(gòu)造的過(guò)程：①給出異面直線a，b；②在空間任取一點(diǎn)O，過(guò)O做直線a′∥a，b′∥b，把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角；③規(guī)定直線a′和b′相交構(gòu)成的一對(duì)鄰補(bǔ)角中的銳角（或直角）是異面直線a，b所成的角；④異面直線a，b所成的角的大小，只與a，b的相對(duì)位置有關(guān)，而與所取點(diǎn)O的位置無(wú)關(guān)；⑤有時(shí)為了方便，常把點(diǎn)O取在異面直線中的一條上．（3）應(yīng)從平行線公理及等角定理說(shuō)明異面直線所成角的定義的合理性與唯一性．（4）兩條異面直線所成的角是專指用來(lái)刻畫異面直線相互關(guān)系的角，但不能叫做“交角”，以防止和相交直線的交角混淆．（5）如果兩條異面直線所成的角是直角，則說(shuō)明兩條異面直線相互垂直．由此可知在立體幾何中，兩條直線相互垂直，但它們不一定是相交的，也可能是異面直線．（6）異面直線所成的角的變化范圍是（0，eq\f(π,2)]．6．異面直線所成的角只作為了解知識(shí)向?qū)W生講解，不要求對(duì)異面直線所成的角為一般角時(shí)的求解．7．空間中直線與平面的位置關(guān)系根據(jù)公共點(diǎn)的情況進(jìn)行分類，有三種情況：直線在平面內(nèi)，直線與平面相交，直線與平面平行．這三種情形的實(shí)例處處都可以找到，要充分發(fā)揮實(shí)例的作用，并在引用實(shí)例后，向?qū)W生指出實(shí)例只給我們以某種形象，要善于把它們抽象成數(shù)學(xué)中所說(shuō)的直線與平面．另外，還可分為以下二種情況：直線在平面內(nèi)，直線在平面外．直線在平面外，用符號(hào)表示為a?α，包含a∥α，a∩α＝A，兩種情況．8．直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，不要求學(xué)生會(huì)證明，只要求學(xué)生“直觀感知，加以確認(rèn)”，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用．教學(xué)時(shí)，注意使學(xué)生掌握符號(hào)語(yǔ)言，并會(huì)熟練使用．判定定理是判定直線與平面平行的依據(jù)，它把判定直線與平面平行的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成判定直線與直線平行的問(wèn)題．可以簡(jiǎn)單寫成：線、線平行?線、面平行．在理解和應(yīng)用判定定理時(shí)，一定要注意兩點(diǎn)：（1）平面外的一條直線一定要平行于平面內(nèi)的一條直線；（2）平面內(nèi)的直線可以是任意的一條，只要能在平面內(nèi)找一條與平面外一條直線平行，就可以證明平面外一條直線與平面平行，這是最基本的方法．判定直線與平面平行主要有以下幾種方法：①利用定義；②利用直線與平面平行的判定定理，從直線與直線平行得到直線與平面平行；③在學(xué)習(xí)了平面與平面平行的性質(zhì)后，通過(guò)證明平面與平面平行也可以得到直線與平面平行．9．對(duì)直線與平面平行性質(zhì)的研究，就是研究在直線與平面平行的條件下，能夠推出什么結(jié)論．注意防止學(xué)生錯(cuò)誤地認(rèn)為“一條直線平行于一個(gè)平面，就平行于這個(gè)平面內(nèi)的一切直線”．在理解性質(zhì)定理時(shí)，應(yīng)明確下述幾點(diǎn)：（1）當(dāng)a∥α?xí)r，過(guò)直線a可以做無(wú)數(shù)多個(gè)平面和平面α相交，則交線就有無(wú)數(shù)多條，且它們和直線a相互平行．（2）若a∥α，a?β，α∩β＝b，則a∥b，而且在平面α內(nèi)，除了與直線b平行的那些直線外，其他直線都和直線a是異面直線．（3）與平面α平行的任意兩條直線可能相交、平行或是異面直線．性質(zhì)定理是證明直線和直線平行的依據(jù)，它由線、面平行?線、線平行．所以也提供了證明兩條直線平行的又一種方法．10．結(jié)合教材中的“試一試”、“議一議”，給學(xué)生充分的時(shí)間動(dòng)眼、動(dòng)腦，進(jìn)行觀察和探索，在學(xué)生“直觀感知，加以確認(rèn)”的基礎(chǔ)上，歸納出直線與平面平行的判定和性質(zhì)定理．11．兩個(gè)平面是指不重合的兩個(gè)平面．兩個(gè)平面的位置關(guān)系應(yīng)從實(shí)際引入，除教材上的方法，還可以讓學(xué)生觀察生活里的其他實(shí)例，從中抽象出有且僅有平行與相交兩種，這兩個(gè)概念也以有無(wú)公共點(diǎn)來(lái)劃分．同時(shí)，引出定義后，可與直線和直線平行、相交，直線和平面平行、相交進(jìn)行類比．12．平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理是本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容之一．平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，不要求學(xué)生會(huì)證明，只要求學(xué)生“直觀感知，加以確認(rèn)”，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用．教學(xué)時(shí)，注意使學(xué)生掌握符號(hào)語(yǔ)言，并會(huì)熟練使用．13．對(duì)于平面與平面平行的判定，如果按定義去證明很麻煩，可以通過(guò)回顧直線與平面平行的判定定理，引發(fā)學(xué)生思考：空間的兩個(gè)平面，如果其中一個(gè)平面內(nèi)有一條直線與另一個(gè)平面平行，是否可以判定這兩個(gè)平面平行（不一定）；如果其中一個(gè)平面內(nèi)有兩條平行直線與另一個(gè)平面平行，是否可以判定這兩個(gè)平面平行（不一定），據(jù)此啟發(fā)學(xué)生提出嚴(yán)格的判定條件：“一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行與另一個(gè)平面”才可以推出兩個(gè)平面平行．對(duì)于這個(gè)定理的證明不作要求．講解平面與平面平行的判定定理時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生注意“兩條相交直線”這個(gè)條件．教師可以通過(guò)列舉反、正例子加以強(qiáng)調(diào)．在分析判定定理的條件和結(jié)論時(shí)，重點(diǎn)突出“相交”和“都”這兩個(gè)條件，如果兩個(gè)條件不同時(shí)具備，兩個(gè)平面就一定不平行．14．講完兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理后，應(yīng)該向?qū)W生指出：兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個(gè)平面，但是不一定平行于另一個(gè)平面內(nèi)的所有直線，他們可能是平行線，也可能是異面直線，但一定不會(huì)是相交直線．9．3直線、平面垂直的判定與性質(zhì)本節(jié)內(nèi)容的處理繼續(xù)遵循“直觀感知—操作確認(rèn)—度量計(jì)算”的認(rèn)識(shí)過(guò)程展開(kāi)．教材首先給出了直線與平面垂直的定義、判定定理與性質(zhì)定理；然后研究了直線與平面不垂直的情況——直線與平面所成的角的問(wèn)題．其次，為了描述兩個(gè)相交平面所構(gòu)成的角的大小，教材引入二面角的概念，并研究了二面角的平面角的定義及其應(yīng)用．最后，針對(duì)兩個(gè)相交平面所構(gòu)成的角為直角這一特殊情況，教材給出了平面與平面垂直的定義、平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理．通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，要使學(xué)生了解直線與平面所成的角、二面角的平面角的概念，理解直線與平面垂直以及平面與平面垂直的定義、判定與性質(zhì)．本節(jié)的重點(diǎn)是直線與平面垂直以及平面與平面垂直的定義、判定與性質(zhì)．教學(xué)的難點(diǎn)是二面角的平面角的定義及其應(yīng)用．1．直線與平面垂直，是直線與平面相交的一種特殊情況．教材通過(guò)旗桿與地面的位置關(guān)系，打開(kāi)的書直立在桌面上的位置關(guān)系等實(shí)例，讓學(xué)生感知直線與平面垂直這種位置關(guān)系，從而引出相關(guān)概念．2．由定義可以判定一條直線與一個(gè)平面是否垂直，但要證明一條直線和平面內(nèi)的任何一條直線垂直并非易事，由此需要尋找一種簡(jiǎn)單的判定方法．結(jié)合教材中的“折紙實(shí)驗(yàn)”，給學(xué)生充分的時(shí)間動(dòng)手、動(dòng)腦，進(jìn)行探索，在學(xué)生“直觀感知，加以確認(rèn)”的基礎(chǔ)上，歸納出直線與平面垂直的判定定理．3．要使學(xué)生明確“兩條相交直線”的“相交”是判定定理不可忽略的條件．因?yàn)槿绻粭l直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條、即使是一組平行直線都垂直，也不能斷定這條直線和這個(gè)平面垂直（如圖9－2）；而如果一條直線只和一個(gè)平面內(nèi)的一條直線垂直，也同樣不能斷定這條直線和這個(gè)平面垂直．這可以通過(guò)用直角三角板演示的方法，加以說(shuō)明（如圖9－3）．圖9－2圖9－34．直線與平面垂直的性質(zhì)定理體現(xiàn)了平行關(guān)系與垂直關(guān)系之間的聯(lián)系，不要求對(duì)此定理進(jìn)行證明．可以提出下面兩個(gè)類似命題，讓學(xué)生進(jìn)行對(duì)比思考：（1）如果兩條直線都平行于同一個(gè)平面，那么這兩條直線是否平行？（2）如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線是否平行？顯然，兩個(gè)問(wèn)題的答案都是否定的，應(yīng)讓學(xué)生各舉出一個(gè)反例加以說(shuō)明．反例可在正方體模型中尋找．5．直線與平面所成的角是直線和平面位置關(guān)系中的一個(gè)重要內(nèi)容，它可以精確地刻畫直線和平面的位置關(guān)系．教材通過(guò)足球門的實(shí)例引出了相關(guān)概念，直線與平面所成的角的概念是學(xué)生接觸到的第二個(gè)空間角的概念，與后面的二面角一起，構(gòu)成了比較完整的空間角的概念，這些概念對(duì)于提高學(xué)生的空間位置關(guān)系的認(rèn)識(shí)，發(fā)展學(xué)生的空間想象能力，起著重要的作用．6．直線與平面所成角變化范圍是[0，eq\f(π,2)]，但斜線與平面所成角變化范圍是（0，eq\f(π,2)）．7．應(yīng)使學(xué)生掌握確定直線與平面所成角的一般步驟，詳見(jiàn)教材．在計(jì)算直線與平面所成的角時(shí)，教材只限于特殊角，如果是非特殊角，則求該角的某個(gè)三角函數(shù)值，而不用反三角函數(shù)表示該角．8．兩個(gè)平面相交時(shí)，它們的相對(duì)位置可由兩個(gè)平面所成的“角”確定．講解概念時(shí)應(yīng)從實(shí)際問(wèn)題引入或利用模型以減少抽象性，比如教材利用修筑堤壩、使用筆記本電腦這兩個(gè)實(shí)例，引出二面角概念．教學(xué)時(shí)還可以再舉一些實(shí)例，例如，教室的門在打開(kāi)過(guò)程中與墻面成一定角度；書本翻開(kāi)過(guò)程中，兩張紙面成一定的角度等，以增加學(xué)生對(duì)二面角概念的直觀感知．9．在講解二面角概念時(shí)，還要注意多和以前學(xué)過(guò)的概念，包括平面幾何中學(xué)過(guò)的有關(guān)概念進(jìn)行類比，比較概念的組成元素、相似點(diǎn)與不同點(diǎn)，這樣就不容易混淆，便于識(shí)別．比如：角是從一點(diǎn)引出的兩條射線（半直線）所組成的圖形，表示為：∠AOB；二面角則是從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形，表示為：二面角α－l－β.10．畫二面角常用的方法有直立式和平臥式兩種（如圖9－4和9－5），要訓(xùn)練學(xué)生會(huì)畫各種位置的二面角的平面角，提高空間想象力．圖9－4圖9－511．在講解二面角的平面角時(shí)，首先，要啟發(fā)學(xué)生考慮怎樣度量二面角，例如打開(kāi)教材，隨著張開(kāi)的角度不同，二面角的大小也就不同，那么能否用角度來(lái)度量二面角呢？然后進(jìn)一步提出，如果這個(gè)角的頂點(diǎn)在二面角的棱上，角的兩個(gè)邊在二面角的兩個(gè)面內(nèi)，那么這樣形成的角非常多，根據(jù)存在性與唯一性，引導(dǎo)學(xué)生得出二面角的平面角的確定方法．其次，在分析二面角平面角的定義時(shí)，要緊緊抓住“棱上”、“面內(nèi)”、“垂直”這三個(gè)要素，三者缺一不可．并要讓學(xué)生體會(huì)以下幾點(diǎn)：（1）二面角的大小是用平面角來(lái)度量的；（2）二面角的平面角的大小由兩個(gè)面的位置唯一確定，與棱上點(diǎn)的選擇位置無(wú)關(guān)；（3）二面角的平面角的兩邊分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)，且都與棱垂直，由這個(gè)角所確定的平面與二面角的棱垂直．12．在講解教材中的例題時(shí)，應(yīng)使學(xué)生明確，凡涉及到二面角的問(wèn)題，都要根據(jù)題目條件，在圖形的恰當(dāng)位置作出二面角的平面角，隨著學(xué)習(xí)的深入，應(yīng)幫助學(xué)生積累做二面角平面角的方法，比如常用作法有：利用二面角的平面角的定義，做棱的垂面等等．并通過(guò)學(xué)習(xí)使學(xué)生明確二面角平面角變化范圍是[0，π]．13．兩個(gè)平面互相垂直是兩個(gè)平面相交的特殊情況，教材通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生觀察教室相鄰的兩個(gè)墻面與地面構(gòu)成的二面角的大小，從而引出兩個(gè)平面垂直的位置關(guān)系．日常生活中，兩個(gè)平面互相垂直的實(shí)例大量存在，教學(xué)時(shí)要多結(jié)合實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生直觀感知和總結(jié)學(xué)習(xí)．14．兩個(gè)平面垂直的判定定理是由線、面垂直?面、面垂直，而兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理則是它的逆定理，是由面、面垂直?線、面垂直．要注意分清它們各自的條件和結(jié)論．15．到本小節(jié)，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線與平面、平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生思考這些定理之間的相互聯(lián)系和如何相互轉(zhuǎn)化．9．5空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征（一）本節(jié)先展示大量幾何體的實(shí)物、模型、圖片等，讓學(xué)生感受空間幾何體的整體結(jié)構(gòu)，然后再引導(dǎo)學(xué)生抽象出空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征．這樣安排，可以先從整體上認(rèn)識(shí)空間幾何體，再深入到細(xì)節(jié)的認(rèn)識(shí)，更符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律．通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，要使學(xué)生了解柱體、錐體和球的結(jié)構(gòu)特征，并能夠描述空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征．柱體、錐體和球的結(jié)構(gòu)特征，既是本節(jié)的重點(diǎn)也是教學(xué)的難點(diǎn)．1．講棱柱的概念時(shí)，應(yīng)讓學(xué)生多看模型和實(shí)物，然后抽象出棱柱的兩個(gè)本質(zhì)特征：（1）有兩個(gè)面互相平行；（2）其余的面都是四邊形，每相鄰兩個(gè)面的交線都互相平行且相等．2．要讓學(xué)生了解棱柱的對(duì)角線與它的各面上的對(duì)角線的區(qū)別．3．講棱錐的概念時(shí)，也應(yīng)讓學(xué)生多看模型和實(shí)物，并抽象出棱錐的兩個(gè)本質(zhì)特征：（1）一個(gè)面是多邊形；（2）其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形．4．由于實(shí)際中遇到的往往都是正棱錐，所以在講正棱錐的概念時(shí)，應(yīng)拿各種棱錐模型啟發(fā)學(xué)生，強(qiáng)調(diào)正棱錐必須具備兩個(gè)條件：（1）底面是正多邊形；（2）頂點(diǎn)在底面上的射影是底面正多邊形的中心．5．對(duì)于正棱錐要讓學(xué)生了解它的高與斜高的區(qū)別，指出只有正棱錐才有斜高．6．圓柱、圓錐、球等都是旋轉(zhuǎn)體，都是由平面圖形繞平面圖形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)而成．由圓柱、圓錐的生成過(guò)程，可以給出軸、底面、側(cè)面、母線等概念．教學(xué)中，應(yīng)讓學(xué)生了解圓柱、圓錐的生成過(guò)程，由生成過(guò)程可以得出它們的幾何結(jié)構(gòu)特征．7．關(guān)于球的定義，可以先啟發(fā)學(xué)生，球是由什么平面圖形旋轉(zhuǎn)而來(lái)的，它的旋轉(zhuǎn)軸是什么，可以用模型進(jìn)行演示．講完定義后，可向?qū)W生指出：由于球面上任何一點(diǎn)到球心（即半圓的圓心）的距離都等于定長(zhǎng)；反過(guò)來(lái)，凡是與球心距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在球面上，所以從軌跡的角度看，就是“和一定點(diǎn)有等距離的點(diǎn)的集合是一個(gè)球面”．8．要讓學(xué)生了解球面和球體的區(qū)別：球面僅指球的表面，而球體不僅包括球的表面，同時(shí)還包括球面所包圍的空間．9．在學(xué)習(xí)了柱體、錐體和球體的基礎(chǔ)上，運(yùn)用它們的結(jié)構(gòu)特征可以來(lái)描述簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征．教學(xué)中，可以利用學(xué)生身邊的實(shí)物進(jìn)行說(shuō)明，特別是要讓學(xué)生自己舉出生活中一些熟悉的簡(jiǎn)單組合體的實(shí)例，并說(shuō)明它們的結(jié)構(gòu)特征．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征（二）1．本節(jié)的主要內(nèi)容是柱、錐、球的表面積計(jì)算公式和體積計(jì)算公式（不要求記憶公式）．本節(jié)的重點(diǎn)是學(xué)生能夠運(yùn)用公式計(jì)算并會(huì)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．注意滲透把有關(guān)立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題來(lái)處理的數(shù)學(xué)思想和類比的思想方法．了解有關(guān)側(cè)面積公式的推導(dǎo)過(guò)程及其主要思想．2．柱、錐的側(cè)面積公式?jīng)]有列出詳細(xì)的推導(dǎo)過(guò)程，而是只提供了直觀形象的側(cè)面展開(kāi)圖，在直觀上用實(shí)驗(yàn)對(duì)公式加以驗(yàn)證，著重于體現(xiàn)空間向平面轉(zhuǎn)化的思想．教學(xué)時(shí)可以通過(guò)演示一些多面體的平面展開(kāi)圖的過(guò)程，讓學(xué)生了解平面展開(kāi)圖的概念．3．多面體和旋轉(zhuǎn)體的表面積，除球面外，都是通過(guò)它們的側(cè)面展開(kāi)圖求得的．教學(xué)中應(yīng)運(yùn)用多種媒體，再現(xiàn)展開(kāi)過(guò)程，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，也便于知識(shí)的理解、記憶和遷移．這些公式不但互相區(qū)別，而且相互聯(lián)系，教學(xué)中要加強(qiáng)類比，有條件的還可借助多媒體手段（比如幾何畫板）提供的動(dòng)態(tài)的數(shù)形世界，觀察棱柱、棱錐和圓柱、圓錐之間的相互轉(zhuǎn)化，可以生動(dòng)、直觀地滲透類比與轉(zhuǎn)化思想，這也是人們認(rèn)識(shí)和研究客觀世界時(shí)的一般規(guī)律．4．對(duì)于球面的表面積公式是直接給出的，對(duì)這個(gè)公式的證明教師可以根據(jù)學(xué)生的情況進(jìn)行簡(jiǎn)要的說(shuō)明．有關(guān)球的表面積的計(jì)算，要求學(xué)生會(huì)用公式即可．5．柱、錐、球的體積的計(jì)算公式，教材是直接給出的，沒(méi)有在理論上進(jìn)行證明，只要求學(xué)生理解公式所表示的意義，著重讓學(xué)生把柱、錐、球的體積計(jì)算公式統(tǒng)一起來(lái)認(rèn)識(shí)，加強(qiáng)聯(lián)系和對(duì)比，會(huì)利用公式進(jìn)行計(jì)算和簡(jiǎn)單應(yīng)用．6．柱、錐體積公式的引出，是從學(xué)生熟悉的長(zhǎng)方體引入，運(yùn)用祖暅原理，采用由特殊到一般的方法類比給出棱柱和圓柱的體積公式．而錐體的體積公式的由來(lái)教師不必講解，只要求學(xué)生記住，會(huì)算即可．7．對(duì)于圓柱、圓錐和底面半徑相關(guān)的體積公式：V圓柱＝πr2h，V圓錐＝eq\f(1,3)πr2h，沒(méi)有在教材中給出，原因是為了降低難度，讓學(xué)生掌握一般通用公式即可．教師可以根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況進(jìn)行補(bǔ)充．8．例題的選取盡量體現(xiàn)公式在實(shí)際生活中的運(yùn)用，以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)．在教學(xué)中，教師可結(jié)合日常生活中的具體例子，讓學(xué)生明白體積在實(shí)際生活中的運(yùn)用．（四）復(fù)習(xí)建議1．基礎(chǔ)知識(shí)的梳理本單元主要研究空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的三種位置關(guān)系，在此基礎(chǔ)上研究簡(jiǎn)單多面體，并討論簡(jiǎn)單多面體及球的表面積與體積計(jì)算．要求學(xué)生能夠熟練運(yùn)用公理、推論和定理來(lái)判斷有關(guān)空間位置關(guān)系的命題真假，能對(duì)一些真命題進(jìn)行證明或?qū)倜}舉出反例．培養(yǎng)學(xué)生善于利用身邊的工具與情境（如紙筆、桌面、墻角等）構(gòu)造具體模型，將抽象問(wèn)題具體化處理，提高他們的空間想象能力．證明或探究空間中線線、線面與面面平行與垂直的位置關(guān)系，一要熟練掌握所有判定與性質(zhì)定理，梳理好幾種位置關(guān)系的常見(jiàn)證明方法，如證明線面平行，既可以構(gòu)造線線平行，也可以構(gòu)造面面平行；二要掌握解題時(shí)由已知想性質(zhì)、由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合來(lái)尋找證明的思路；三要嚴(yán)格要求學(xué)生注意表述規(guī)范，推理嚴(yán)謹(jǐn)，避免使用一些正確但不能作為推理依據(jù)的結(jié)論．2．基本技能訓(xùn)練（1）通過(guò)位置關(guān)系的判斷與論證，培養(yǎng)學(xué)生以下幾方面