全國(guó)高考數(shù)學(xué) 試題分類匯編 幾何證明

2010幾何證明1．（2010·陜西高考理科·Ｔ１5）如圖,已知的兩條直角邊AC,BC的長(zhǎng)分別為3cm,4cm,以AC為直徑的圓與AB交于點(diǎn)D,則.【命題立意】本題考查幾何證明選做題的解法，屬送分題【思路點(diǎn)撥】條件結(jié)論【規(guī)范解答】因?yàn)橐訟C為直徑的圓與AB交于點(diǎn)D,所以，【答案】2．（2010·陜西高考文科·Ｔ１5）如圖，已知Rt△ABC的兩條直角邊AC，BC的長(zhǎng)分別為3cm，4cm，以AC為直徑的圓與AB交于點(diǎn)D，則BD＝cm.【命題立意】本題考查幾何證明選做題的解法，屬送分題【思路點(diǎn)撥】條件【規(guī)范解答】因?yàn)橐訟C為直徑的圓與AB交于點(diǎn)D,所以，【答案】3．（2010·北京高考理科·Ｔ１2）如圖，的弦ED，CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)A。若BDAE，AB＝4,BC＝2,AD＝3,則DE＝；CE＝。【命題立意】本題考查幾何證明的知識(shí)。運(yùn)用割線定理是解決本題的突破口?！舅悸伏c(diǎn)撥】本題可由相交弦定理求出DE，再利用三個(gè)直角三角形中求CE?！疽?guī)范解答】由割線定理得，，即，得。。連接BE，因?yàn)?，所以BE為直徑，所以。在中，。在中。在中，?！敬鸢浮?2EQ\r(,7)4．（2010·天津高考文科·Ｔ１1）如圖，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，延長(zhǎng)AB和DC相交于點(diǎn)P。若PB=1，PD=3，則的值為。【命題立意】考查三角形的相似性質(zhì)的應(yīng)用。【思路點(diǎn)撥】利用相似三角形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化。【規(guī)范解答】由題意可知∽相似，所以?！敬鸢浮?．（2010·天津高考理科·Ｔ１4）如圖，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，延長(zhǎng)AB和DC相交于點(diǎn)P，若,則的值為【命題立意】考查三角形的相似性質(zhì)的應(yīng)用。【思路點(diǎn)撥】利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化?！疽?guī)范解答】由題意可知∽相似，所以,由及已知條件可得,又,。【答案】6．（2010·廣東高考文科·Ｔ14）如圖3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD=，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段AB，CD的中點(diǎn)，則EF=.【命題立意】本題主要考察平面幾何中直角梯形以及三角形中位線的性質(zhì).【思路點(diǎn)撥】利用直角梯形的性質(zhì)，求出，再利用三角形中位線的性質(zhì)，求出【規(guī)范解答】過(guò)連接，則四邊形為矩形，所以且，所以，,,所以是以為底的等腰三角形，即：=，又點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段AB，CD的中點(diǎn)，所以為的中位線，所以【答案】EQ\f(a,2)7.（2010·廣東高考理科·Ｔ14）如圖3，AB，CD是半徑為a的圓O的兩條弦，它們相交于AB的中點(diǎn)P，PD=，∠OAP=30°，則CP＝______.

【命題立意】本題考察垂徑定理及相交弦定理.【思路點(diǎn)撥】由垂徑定理得，算出，再由相交弦定理求出【規(guī)范解答】因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，由垂徑定理得，在中，，由相交弦定理得：，即，解得【答案】8.（2010·江蘇高考·Ｔ2１）AB是圓O的直徑，D為圓O上一點(diǎn)，過(guò)D作圓O的切線交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，若DA=DC，求證：AB=2BC。【命題立意】本題主要考查三角形、圓的有關(guān)知識(shí)，考查推理論證能力?！舅悸伏c(diǎn)撥】利用圓心角和圓周角之間的關(guān)系證明OB=BC=OD=O即可.【規(guī)范解答】方法一：連結(jié)OD，則：OD⊥DC，又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，所以∠DCO=300，∠DOC=600，所以O(shè)C=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。方法二：連結(jié)OD、BD。因?yàn)锳B是圓O的直徑，所以∠ADB=900，AB=2OB。因?yàn)镈C是圓O的切線，所以∠CDO=900。又因?yàn)镈A=DC，所以∠DAC=∠DCA，于是△ADB≌△CDO，從而AB=CO。即2OB=OB+BC，得OB=BC。故AB=2BC。9．（2010·遼寧高考理科·Ｔ22）如圖，的角平分線AD的延長(zhǎng)線交它的外接圓于點(diǎn)E（I）證明：（II）若的面積，求的大小?！久}立意】本題考查了幾何證明，相似三角形判定和性質(zhì)，圓周角定理，考查了三角形的面積公式等?！舅悸伏c(diǎn)撥】（I）先相等的兩角，再證相似。（II）先由三角形相似，得到AB·AC=AD·AE再比較三角形的面積公式，得到sin∠BAC,進(jìn)而求出∠BAC。【規(guī)范解答】所以△ABE∽△ADC（II）因?yàn)椤鰽BE∽△ADC10.（2010海南高考理科T22）如圖：已知圓上的弧，過(guò)C點(diǎn)的圓的切線與BA的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)，證明：（Ⅰ）=.（Ⅱ）=.【命題立意】本題主要考查了圓的切線、等弧所對(duì)的圓心角相等等知識(shí).【思路點(diǎn)撥】熟練利用等弧所對(duì)的圓心角相等，判斷出三角形相似，然后證明問(wèn)題.【規(guī)范解答】（Ⅰ）因?yàn)?所以.又因?yàn)榕c圓相切于點(diǎn)，故所以.（Ⅱ）因?yàn)?,所以,故.即.11．（2010·湖南高考理科·Ｔ4）如圖1所示，過(guò)外一點(diǎn)P作一條直線與交于A,B兩點(diǎn)。已知PA=2，點(diǎn)P到的切線上PT=4，則弦的長(zhǎng)為。【命題立意】以直線和圓立意，考查處理平面問(wèn)題的一種方法：平面幾何法.【思路點(diǎn)撥】割切→切割線定理【規(guī)范解答】∵PT=4，PA=2，PT2=PA·PB，∴PB=8，∴AB=PB-PA=6，∴弦長(zhǎng)AB=6【答案】6【方法技巧】弦→連接弦中點(diǎn)和圓心，切→連接切點(diǎn)和圓心，聯(lián)想弦切角等于同弧所對(duì)的圓周角，割→切割線定理.

2011幾何證明一、選擇題ABDGOFCE1.（2011·北京高考理科·T5）如圖，AD,AE,BC分別與圓O切于點(diǎn)D,E,F，延長(zhǎng)AF與圓O交于另一點(diǎn)G.給出下列三個(gè)結(jié)論：①AD+AE=AB+BC+CA;ABDGOFCE是（）A.①②B.②③C.①③D.①②③【思路點(diǎn)撥】利用切割線定理、割線定理、弦切角定理.【精講精析】選A.AB+BC+CA=AB+(BF+CF)+CA=AB+(BD+CE)+CA=AD+AE，故①正確；因?yàn)?，，，故②正確；，，不相似，故③不正確.二、填空題2．（2011·陜西高考理科·T15B）（幾何證明選做題）如圖，∠B=∠D，，，且AB=6，AC=4，AD=12，則BE=．【思路點(diǎn)撥】尋找兩個(gè)三角形相似的條件，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求解．【精講精析】答案：因?yàn)?，所以∠AEB=，又因?yàn)椤螧=∠D，所以△AEB∽△ACD，所以,所以，在Rt△AEB中，．3．（2011·陜西高考文科·T15B）（幾何證明選做題）如圖，∠B=∠D，，，且AB=6，AC=4，AD=12，則AE=．【思路點(diǎn)撥】尋找兩個(gè)三角形相似的條件，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求解．【精講精析】答案：2因?yàn)?，所以∠AEB=，又因?yàn)椤螧=∠D，所以△AEB∽△ACD，所以，所以．4.（2011·廣東高考理科·Ｔ15）（幾何證明選講選做題）如圖4，過(guò)圓外一點(diǎn)分別作圓的切線和割線交圓于,且，是圓上一點(diǎn)使得，，則.【思路點(diǎn)撥】利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，求得的值.【精講精析】答案：,～,,從而..5.（2011·廣東高考文科·Ｔ15）（幾何證明選講選做題）如圖4，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2.E,F分別為AD，BC上的點(diǎn)，且EF=3，EF∥AB，則梯形ABFE與梯形EFCD的面積比為.【思路點(diǎn)撥】利用相似三角形面積比等于相似比的平方求解.【精講精析】答案：延長(zhǎng)AD、BC相交于點(diǎn)G..由已知GAB∽GDC，GEF∽GDC,所以，，從而,,所以梯形ABCD與梯形EFCD的面積比為3：=,從而得梯形ABFE與梯形EFCD的面積比為6．（2011·湖南高考理科·T11）如圖2，A，E是半圓周上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，直徑BC=4，AD，垂足為D，BE與AD相交于點(diǎn)F，則AF的長(zhǎng)為_(kāi)_____【思路點(diǎn)撥】本題主要考查平面幾何的推理和證明.考查圓的切割弦以及三角形的相似和直角三角形的射影定理.【精講精析】答案：.連結(jié)AB、AO、CE、OE，則是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，AD=，所以得到AF=.7.（2011.天津高考理科.T12）如圖，已知圓中兩條弦與相交于點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且若與圓相切，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)________【思路點(diǎn)撥】利用相交線及切線的比例關(guān)系求解?！揪v精析】答案：設(shè)BE=x,則AF=4x,FB=2x,因?yàn)?所以,又三、解答題8.（2011·江蘇高考·Ｔ21A）（選修4-1：幾何證明選講）如圖，圓與圓內(nèi)切于點(diǎn)，其半徑分別為與，圓的弦交圓于點(diǎn)（不在上），求證：為定值?！舅悸伏c(diǎn)撥】本題考察的是圓的切線的性質(zhì)、三角形相似的判定及其性質(zhì)，容易題。解決本題的關(guān)鍵是弦切角定理的應(yīng)用【精講精析】由弦切角定理可得9.（2011·新課標(biāo)全國(guó)高考理科·Ｔ22）如圖，，分別為的邊，上的點(diǎn)，且不與的頂點(diǎn)重合.已知的長(zhǎng)為，AC的長(zhǎng)為n,，的長(zhǎng)是關(guān)于的方程的兩個(gè)根.（Ⅰ）證明：，，，四點(diǎn)共圓；（Ⅱ）若，且，求，，，所在圓的半徑.【思路點(diǎn)撥】第（Ⅰ）問(wèn)的證明流程為連接∽四點(diǎn)共圓；第（Ⅱ）問(wèn)，利用平面幾何的性質(zhì)，設(shè)法尋求圓心位置，然后求得半徑.【精講精析】（I）連接DE，根據(jù)題意在△ADE和△ACB中，即.又∠DAE=∠CAB,從而△ADE∽△ACB因此∠ADE=∠ACB所以C,B,D,E四點(diǎn)共圓.（Ⅱ）m=4,n=6時(shí)，方程x2-14x+mn=0的兩根為x1=2,x2=12.故AD=2，AB=12.取CE的中點(diǎn)G,DB的中點(diǎn)F，分別過(guò)G,F作AC，AB的垂線，兩垂線相交于H點(diǎn)，連接DH.因?yàn)镃，B，D，E四點(diǎn)共圓，所以C，B，D，E四點(diǎn)所在圓的圓心為H，半徑為DH.由于∠A=900，故GH∥AB,HF∥AC.HF=AG=5，DF=(12-2)=5.故C,B,D,E四點(diǎn)所在圓的半徑為510.（2011·遼寧高考理科·Ｔ22）（選修4-1：幾何證明選講）如圖，A，B，C，D四點(diǎn)在同一圓上，AD的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)，且EC=ED．（I）證明：CD//AB；（II）延長(zhǎng)CD到F，延長(zhǎng)DC到G，使得EF=EG，證明：A，B，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓．【思路點(diǎn)撥】（I）可證，即得CD//AB；（II）利用三角形全等及平行線的知識(shí)可證得，得結(jié)論．【精講精析】（I）因?yàn)?，所?因?yàn)樗狞c(diǎn)在同一圓上，所以，故，所以∥.（II）由（I）知，，因?yàn)?，故，從?連接，則，故.又∥，，所以.所以.故四點(diǎn)共圓.

2012幾何證明一、選擇題1.（2012·北京高考理科·Ｔ5）如圖.∠ACB=90o，CD⊥AB于點(diǎn)D，以BD為直徑的圓與BC交于點(diǎn)E.則()A.CE·CB=AD·DB B.CE·CB=AD·ABC.AD·AB=CD2 D.CE·EB=CD2ADADBEC【解題指南】利用切割線定理及直角三角形中的射影定理.【解析】選A.CD，以BD為直徑的圓與CD相切，。在中，CD為斜邊AB上的高，有，因此，CE·CB=AD·DB.二、填空題2.（2012·湖北高考理科·Ｔ15）如圖，點(diǎn)D在⊙O的弦AB上移動(dòng)，AB=4，連接OD，過(guò)點(diǎn)D作OD的垂線交⊙O于點(diǎn)C，則CD的最大值為_(kāi)____________.【解題指南】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是利用直線與圓的位置關(guān)系，取AB的中點(diǎn)，連OC，把CD表示出來(lái).【解析】取AB的中點(diǎn)為E，連接CD，OE，則，要求CD的最大值，則點(diǎn)D與E重合.可知結(jié)果為：2.【答案】2.3.（2012·陜西高考理科·Ｔ15）如圖，在圓中，直徑AB與弦CD垂直，垂足為E，，垂足為F，若，，則.【解題指南】圍繞Rt△BDE和圓的有關(guān)性質(zhì)列出成比例線段.【解析】連接AD,因?yàn)椋?所以BE=5,在Rt△ABD中，,,在Rt△BDE中,由射影定理得.【答案】5.4.（2012·廣東高考文科·Ｔ15）如圖所示，直線PB與圓O相切于點(diǎn)B,D是弦AC上的點(diǎn)，.若AD=m,AC=n,則AB=.【解題指南】本小題要注意利用圓的幾何性質(zhì)。判斷出,從而證出是解決此問(wèn)題的關(guān)鍵.【解析】由題意知，所以,所以所以.【答案】.5.（2012·廣東高考理科·Ｔ15）如圖，圓O的半徑為1，A、B、C是圓周上的三點(diǎn)，滿足，過(guò)點(diǎn)A作圓O的切線與OC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，則PA=_____________.【解題指南】本小題要注意利用圓的幾何性質(zhì)。連接OA，AC從而可得,為等邊三角形，,為等腰三角形，并且AC=CP=1,到此問(wèn)題基本得以解決.【解析】連接AO、AC，因?yàn)?所以,為等邊三角形，則為等腰三角形，且.【答案】.6.（2012·天津高考文科·Ｔ13）與（2012·天津高考理科·Ｔ13）相同如圖，已知AB和AC是圓的兩條弦，過(guò)點(diǎn)B作圓的切線與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線與圓相交于點(diǎn)E，與AB相交于點(diǎn)F，AF=3，F(xiàn)B=1，，則線段CD的長(zhǎng)為_(kāi)________.【解題指南】利用相交線及切線的比例關(guān)系求解?！窘馕觥吭O(shè)CD=x,則AD=4x,因?yàn)锳F·FB=CF·FE,所以CF=2,又,又.【答案】.三、解答題7.（2012·遼寧高考文科·T22）與（2012·遼寧高考理科·T22）相同如圖，⊙O和⊙相交于兩點(diǎn)，過(guò)A作兩圓的切線分別交兩圓于C，D兩點(diǎn)，連接DB并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E.證明(Ⅰ)；(Ⅱ).【解題指南】據(jù)弦切角等于圓周角，證明三角形相似，對(duì)應(yīng)邊成比例，證明等式.【解析】(1)由AC與圓相切于點(diǎn)A，得;同理，從而∽，所以

（2）由AD與圓相切于點(diǎn)A，得;又,從而∽，所以

又由（1）知，所以.8.（2012·新課標(biāo)全國(guó)高考文科·Ｔ22）與（2012·新課標(biāo)全國(guó)高考理科·Ｔ22）相同如圖，D，E分別為△ABC邊AB，AC的中點(diǎn)，直線DE交△ABC的外接圓于F，G兩點(diǎn)，若CF//AB，證明：(Ⅰ)CD=BC；(Ⅱ)△BCD∽△GBD【解題指南】（1）連接AF，作為中間量過(guò)渡，證，證明時(shí)充分利用圖形中出現(xiàn)的平行四邊形；（2）利用圖形中的平行四邊形及等腰三角形關(guān)系，設(shè)法尋找△BCD與△GBD中的兩組對(duì)應(yīng)角相等，從而可得△BCD∽△GBD.【解析】（1）因?yàn)镈，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，所以，又已知，故四邊形是平行四邊形，所以.而，連結(jié)，所以ADCF是平行四邊形，故CD＝AF.因?yàn)?，所以，?（2）因?yàn)楣?由（1）可知，所以.而，故∽.AAEBDCO9.（2012·江蘇高考·Ｔ21）如圖，AB是圓O的直徑，D，E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，連接BD并延長(zhǎng)至點(diǎn)C，使BD=DC，連接AC，AE，DE．求證：．【解題指南】要證，就得找一個(gè)中間量代換，一方面考慮到是同弧所對(duì)圓周角，相等；另一方面由是圓的直徑和可知是線段的中垂線，從而根據(jù)線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等和等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)得到，從而得證.【解析】證明：連接.∵是圓的直徑，∴（直徑所對(duì)的圓周角是直角）?！啵ù怪钡亩x）。又∵，∴是線段的中垂線（線段的中垂線定義）。∴（線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等）。∴（等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)）。又∵為圓上位于異側(cè)的兩點(diǎn)，∴（同弧所對(duì)圓周角相等）?！啵ǖ攘看鷵Q）.【一題多解】可連接，利用三角形中位線來(lái)求證。證明：連接OD，因?yàn)锽D＝DC，O為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)D//AC,于是因?yàn)镺B＝OD，所以于是因?yàn)辄c(diǎn)A，E，B，D，都在圓O上，且D，E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，所以和為同弧所對(duì)的圓周角，故，所以.2013幾何證明一、填空題AUTONUM\*Arabic錯(cuò)誤！未指定書(shū)簽。．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））如圖,在中,,,過(guò)作的外接圓的切線,,與外接圓交于點(diǎn),則的長(zhǎng)為_(kāi)_________【答案】AUTONUM\*Arabic錯(cuò)誤！未指定書(shū)簽。．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））如圖,△ABC為圓的內(nèi)接三角形,BD為圓的弦,且BD//AC.過(guò)點(diǎn)A做圓的切線與DB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,AD與BC交于點(diǎn)F.若AB=AC,AE=6,BD=5,則線段CF的長(zhǎng)為_(kāi)_____.【答案】AUTONUM\*Arabic錯(cuò)誤！未指定書(shū)簽。．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷（純WORD版））(幾何證明選講選做題)如圖,是圓的直徑,點(diǎn)在圓上,延長(zhǎng)到使,過(guò)作圓的切線交于.若,,則_________...AEDCBO第15題圖【答案】AUTONUM\*Arabic錯(cuò)誤！未指定書(shū)簽。．（2013年高考四川卷（理））設(shè)為平面內(nèi)的個(gè)點(diǎn),在平面內(nèi)的所有點(diǎn)中,若點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和最小,則稱點(diǎn)為點(diǎn)的一個(gè)“中位點(diǎn)”.例如,線段上的任意點(diǎn)都是端點(diǎn)的中位點(diǎn).則有下列命題:①若三個(gè)點(diǎn)共線,在線AB上,則是的中位點(diǎn);②直角三角形斜邊的點(diǎn)是該直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)的中位點(diǎn);③若四個(gè)點(diǎn)共線,則它們的中位點(diǎn)存在且唯一;④梯形對(duì)角線的交點(diǎn)是該梯形四個(gè)頂點(diǎn)的唯一中位點(diǎn).其中的真命題是____________.(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)數(shù)學(xué)社區(qū))【答案】①④AUTONUM\*Arabic錯(cuò)誤！未指定書(shū)簽。．（2013年高考陜西卷（理））B.(幾何證明選做題)如圖,弦AB與CD相交于內(nèi)一點(diǎn)E,過(guò)E作BC的平行線與AD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P.已知PD=2DA=2,則PE=_____.【答案】AUTONUM\*Arabic錯(cuò)誤！未指定書(shū)簽。．（2013年高考湖南卷（理））如圖2,在半徑為的中,弦相交于點(diǎn),,則圓心到弦的距離為_(kāi)___________.【答案】AUTONUM\*Arabic錯(cuò)誤！未指定書(shū)簽。．（2013年高考湖北卷（理））如圖,圓上一點(diǎn)在直線上的射影為,點(diǎn)在半徑上的射影為.若,則的值為_(kāi)__________.第15題圖第15題圖【答案】8AUTONUM\*Arabic錯(cuò)誤！未指定書(shū)簽。．（2013年高考北京卷（理））如圖,AB為圓O的直徑,PA為圓O的切線,PB與圓O相交于D.若PA=3,,則PD=_________;AB=___________.【答案】;4二、解答題AUTONUM\*Arabic錯(cuò)誤！未指定書(shū)