淺談同構(gòu)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力 論文_第1頁(yè)
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PAGEPAGE1淺談同構(gòu)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力摘要:通過(guò)對(duì)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí),學(xué)生對(duì)用函數(shù)圖象解決問(wèn)題有一定的掌握。但問(wèn)題的解決,引發(fā)學(xué)生的思考和交流,讓學(xué)生思維得到提升和鍛煉。關(guān)鍵詞:同構(gòu)法,數(shù)學(xué)思維,數(shù)形結(jié)合,構(gòu)造函數(shù)。一、問(wèn)題提出aax、log xa構(gòu)法”的三個(gè)基本模式:(1)積型:(lnb)elnb

f(x)xexaea

blnb

同式

右:ealneablnb

f(x)xlnx(2)商型:lnalnbln(lnb)

f(x)xlnx ea

elnb ex

f(x)ae ba

三種同構(gòu)方式

a lnbea elnb:

lnxx lnea

lnb

lnea lnb

f(x)lnxlnalnbln(lnb)

f(x)xlnx(3)和差型:aea

blnb

同式同左:ae

elnb

lnb

f(x)xexa同右:ealneablnba

f(x)xlnx二、例題講解例1、已知

4,log34,求。分析:?jiǎn)栴}描述很簡(jiǎn)單,但是常規(guī)做法有點(diǎn)無(wú)從下手。課堂上留學(xué)生思考5分鐘,了有兩種解決這種問(wèn)題的方法。法一:(數(shù)形結(jié)合思想[1])根據(jù)對(duì)稱性很容易得到4。(法二)4

log3 log3

4log3

,3

4log3,與3

4形式一致,所以構(gòu)造函數(shù)g(x)3xx4,易知函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,由上面兩個(gè)等式可以得到,兩個(gè)零點(diǎn)分別為

、log3,容易得到

log3。容易得到4。例2、已知實(shí)數(shù)

p、q滿足

2pp5,

log2

q1q1,則p2q()。分析:方法一(數(shù)形結(jié)合)由兩個(gè)等式分別變形可得:2p

5p,

log2(2p2)5(2p2),令y2x

ylogx

y5x

2pp5, 2 , 畫(huà)出函數(shù)圖象。則方程 的解是函數(shù)y2x

和y5x的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。方程

log2

q1q1

的解是函數(shù)xy5x和ylog2x的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。又因?yàn)閥2x

和ylog2x互為反函yxyx與y5x的交點(diǎn)對(duì)稱。y52y5x 52如圖,

yx

解得:y2

,即p(2q2)5,p2q3。方法二(同構(gòu)法構(gòu)造函數(shù))由兩個(gè)等式分別變形可得:2pp

log2

(2p2)(2p2)5

log2

(2p2)2log2(2p2)5。構(gòu)造函數(shù):

f(x)2xx,易知

f(x)2xx單調(diào)遞增。所以函數(shù)f(p)

f(log2(2q2))可 得

plog2(2q2)

2p2q2, 代 入2pp5可得:p(2q2)5,p2q3。例3、設(shè)函數(shù)

f(x)axx3的零點(diǎn)為m,g(x)log

xx3的零點(diǎn)為an,則m的取值范圍()a9 4

B

,

C.(0,9 2

D

,分析:這個(gè)例題只可以用數(shù)形結(jié)合思想類比例1、2的法一解決問(wèn)題。因?yàn)榈讛?shù)是a,構(gòu)造的函數(shù)單調(diào)性不好判斷。例4、實(shí)數(shù)

、滿足1和e4,求。分析:1和

e4,對(duì)上面兩式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得ln30

ln

3,lnln(ln4

ln1ln(ln3。能用構(gòu)造函數(shù)

f(x)xlnx3的思想解決問(wèn)題。單調(diào)函數(shù)

f(x)xlnx3的零點(diǎn)唯一可得:ln1e4

代入ln

3得lnln13,可得。

f(x)exlnx2x是函數(shù)

x0的值為 。f(x)

x0e分析:由題意得,

f(x0)

ex0

ln

2x0

0,所以ex0

x0

lnx0x0,不妨設(shè)g(x)xlnx(x0),故g(ex)exlnex

exx,從而g(ex0)g(x

),易知g(x)xlnx在(0,)上單調(diào)遞增,故e

x0

,從而e

1。00x0x0用等量代換和轉(zhuǎn)化的思[2]。若能熟練掌握這個(gè)技巧,可以提高解題效率。但是數(shù)學(xué)沒(méi)有通法,具體題目要具體分析。四、參考文獻(xiàn)[1]李蘭平:中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生直觀想象培

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