淺談同構(gòu)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力 論文

PAGEPAGE1淺談同構(gòu)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力摘要：通過對函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生對用函數(shù)圖象解決問題有一定的掌握。但問題的解決，引發(fā)學(xué)生的思考和交流，讓學(xué)生思維得到提升和鍛煉。關(guān)鍵詞：同構(gòu)法，數(shù)學(xué)思維，數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造函數(shù)。一、問題提出aax、log xa構(gòu)法”的三個基本模式：（1）積型：(lnb)elnb

f(x)xexaea

blnb

同式

右：ealneablnb

f(x)xlnx（2）商型：lnalnbln(lnb)

f(x)xlnx ea

elnb ex

f(x)ae ba

三種同構(gòu)方式

a lnbea elnb：

lnxx lnea

lnb

lnea lnb

f(x)lnxlnalnbln(lnb)

f(x)xlnx（3）和差型：aea

blnb

同式同左：ae

elnb

lnb

f(x)xexa同右：ealneablnba

f(x)xlnx二、例題講解例1、已知

4，log34，求。分析：問題描述很簡單，但是常規(guī)做法有點無從下手。課堂上留學(xué)生思考5分鐘，了有兩種解決這種問題的方法。法一：（數(shù)形結(jié)合思想[1]）根據(jù)對稱性很容易得到4。（法二）4

log3 log3

4log3

，3

4log3，與3

4形式一致，所以構(gòu)造函數(shù)g(x)3xx4，易知函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，由上面兩個等式可以得到，兩個零點分別為

、log3，容易得到

log3。容易得到4。例2、已知實數(shù)

p、q滿足

2pp5，

log2

q1q1，則p2q()。分析：方法一（數(shù)形結(jié)合）由兩個等式分別變形可得：2p

5p,

log2(2p2)5(2p2)，令y2x

ylogx

y5x

2pp5， 2 ， 畫出函數(shù)圖象。則方程 的解是函數(shù)y2x

和y5x的交點的橫坐標(biāo)。方程

log2

q1q1

的解是函數(shù)xy5x和ylog2x的交點的橫坐標(biāo)。又因為y2x

和ylog2x互為反函yxyx與y5x的交點對稱。y52y5x 52如圖，

yx

解得：y2

，即p(2q2)5，p2q3。方法二（同構(gòu)法構(gòu)造函數(shù)）由兩個等式分別變形可得：2pp

log2

(2p2)(2p2)5

log2

(2p2)2log2(2p2)5。構(gòu)造函數(shù)：

f(x)2xx，易知

f(x)2xx單調(diào)遞增。所以函數(shù)f(p)

f(log2(2q2))可 得

plog2(2q2)

2p2q2， 代 入2pp5可得：p(2q2)5，p2q3。例3、設(shè)函數(shù)

f(x)axx3的零點為m，g(x)log

xx3的零點為an，則m的取值范圍()a9 4

B

,

C.(0,9 2

D

,分析：這個例題只可以用數(shù)形結(jié)合思想類比例1、2的法一解決問題。因為底數(shù)是a，構(gòu)造的函數(shù)單調(diào)性不好判斷。例4、實數(shù)

、滿足1和e4，求。分析：1和

e4，對上面兩式兩邊同時取對數(shù)可得ln30

ln

3，lnln(ln4

ln1ln(ln3。能用構(gòu)造函數(shù)

f(x)xlnx3的思想解決問題。單調(diào)函數(shù)

f(x)xlnx3的零點唯一可得:ln1e4

代入ln

3得lnln13，可得。

f(x)exlnx2x是函數(shù)

x0的值為 。f(x)

x0e分析：由題意得，

f(x0)

ex0

ln

2x0

0，所以ex0

x0

lnx0x0，不妨設(shè)g(x)xlnx(x0)，故g(ex)exlnex

exx，從而g(ex0)g(x

)，易知g(x)xlnx在(0,)上單調(diào)遞增，故e

x0

，從而e

1。00x0x0用等量代換和轉(zhuǎn)化的思[2]。若能熟練掌握這個技巧，可以提高解題效率。但是數(shù)學(xué)沒有通法，具體題目要具體分析。四、參考文獻[1]李蘭平：中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生直觀想象培