例談高中數(shù)學運算能力的梯度診斷 論文

2022年安徽省中小學教育教學論文評選例談高中數(shù)學運算能力的梯度診斷摘要：數(shù)學運算要求合理、迅速、快捷、準確，掌握運算的技巧性和靈活性。怎樣精準診斷學生的運算能力呢？我想，可以把每一題的主要步驟，分解設計成詳細的四選一試題，有一定的梯度，讓學生作答，從而更精準地了解學生的思考方法、過程等。關鍵詞：數(shù)學，運算，能力，診斷，分解，梯度，訓練，提升。引言：筆者在教學中發(fā)現(xiàn)學生的運算能力普遍較差，要想提高他們的運算能力，應找到癥結所在，怎樣精準診斷學生的運算能力呢？我想到必作于細，通過有梯度的一連串問題發(fā)現(xiàn)學生的數(shù)學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的素養(yǎng)。主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，準確，掌握運算的技巧性和靈活性。怎樣精準診斷學生的運算能力呢？我想，可以把每一題的主要步驟，分解設計成詳細的四選一試題，有一定的梯度，讓學生作答，從而更精準地了解學生的思考方法、過程等。下面以三個解答題為例設計調查問卷，探索學生在解題過程中數(shù)學運算能力的掌握情況。一、調查問卷，發(fā)現(xiàn)問題調查問卷共110份，由高三302、307班學生完成，學生數(shù)學成績一般，從平時考如果設置一點“小坑就會有一些同學做錯。有一次試卷的題目為：集合,M{yy6xN,yN},x3

,A.2B.4,C.6D.8，本題302班（統(tǒng)招班）有9人做錯，307班有15人做錯。說明同學們的基本運算能力較差。二、試題運算能力分析，精準設計梯度問卷1．例1已知的面積為SRB,C所對的邊分別為a,b,c， ( ) ( ) .2Rsin2A-sin2C=

3a-b

sinB12022年安徽省中小學教育教學論文評選（1）求角C；2( ?S? ( A-sinB-sinC ,a（2）若è2R?試題運算能力分析：

.求c邊及的面積.算求解的能力。第（1）小題要求學生掌握正弦定理與三角形外接圓半徑的關系，由三角形的三邊關系，一個方程中，有a2，b2，c2，ab,想到余弦定理的推論，運用余弦定理求出角C。第（2）小題要求學生掌握三角形的面積公式，運用第（1）小題的結論，方程的思想方法，求出c和三角形的面積。要求學生理解基本概念，熟練地記住公式，這是正確地運算、靈活地運用公式的前提條件。核心素養(yǎng)診斷問題：（1）①從已知“的R，B,C及a,b,c）A.在半徑為R的圓內畫一個三角形，標注B,C及a,b,ca=b =cB.正弦定理：sinA

sinB

sinCa=b =c

=2RC.正弦定理：sinA

sinB

sinCa=2R;b=2R;c =2RD.正弦定理：sinA

sinB

sinC說明：診斷學生是否掌握正弦定理與三角形外接圓半徑的關系，只有5位同學不知道。②從已知“

( ) ( )

）2Rsin2A-sin2C=

3a-b

sinBA.兩邊分別乘進去B.想辦法消去RC.想辦法消去角B,CD.想辦法消去邊a,b,c說明：90人選B，說明同學們想到消去中間的參數(shù)。③你解題過程中的做法是（）A.將兩邊乘了進去22022年安徽省中小學教育教學論文評選2R=a

2R=b

2R=cB.利用正弦定理，取

sinA或

sinB或

sinC代入消去了2R.C.利用正弦定理，取

sinA=a2R

,sinB=b2R

,sinC=c2R代入消去了角B,C.D.兩邊同乘以2R，再利用正弦定理同時消去了R和角B,C說明：51人選C，37人選D，規(guī)范做法是C，技巧做法是D，反應素養(yǎng)的差異。④你將

( ) ( )

化簡的的結果是（）2Rsin2A-sin2C=

3a-b

sinBA.

sin2AB-sin2C=

3sinAsinBB.

a2-c2=

3abC.

a2-c2=

3ab-b2D.

sin2A-sin2C=

3sinAsinB-sin2B92人選B，做對。⑤你求得的最終結果是（）cosC=3

C=p

C p C C pA.

2B.

± =6C. 6或

= =6D. 688人做對，選含數(shù)值，有5位同學，

cosC=

3π2，寫成 。3（2）①從“若的面積為S）A.

S=12底×高B.

S=1absinC2C.

S=1acsinB2

D.

S=1bcsinA2說明：因為前面已經(jīng)求出了角C，所以應選B，人數(shù)為99位。2( ?S? ( A-sinB-sinC②由“è2R?）32022年安徽省中小學教育教學論文評選A. 代 數(shù) 變 換 并 用 正 弦 定 理 可 得 ：2 2 2 2 2S=(2R)

A-(sinB-sinC)

--c)B.將

S=1absinC2

1sinAsinBsinCsin2A-sinB-sinC2代入可得：2C.將

sinA=a2R

,sinB=b2R

,sinC=c 22R代入可得：S-

b-c22R=c

S=c

sin2A-sinB-sinC2ù2D.將2

sinC代入可得：

sin2C? ?91人選R。CpC=③已知

6，且題設：a，你首先想到的求c,S的思路是（）A.根據(jù)正弦定理可知：求c需要先求A，求S需要再求bB.根據(jù)余弦定理可知：求c需要先求bS=1absinCC.根據(jù)D.根據(jù)

2S=1acsinB2

可知：求S需要先求b可知：求S需要先求cB④你求解本題的實際過程是（）A.利用題設條件與面積公式列邊長b,c方程組求解b,cB.利用題設條件與面積公式列角B三角函數(shù)方程組求解BC.利用正弦定理，求出b,cD.利用余弦定理，求出A,B.方程的思想。92人選A。⑤你求解的本題結果是（）c 15,S

173

16 163= = c=4 4 B.

,S=4 442022年安徽省中小學教育教學論文評選c 17,S

153

18 143= =C、 4 4

c=D.

,S=4 435人做對，選C。2.例22 2已知圓B:(x+

2)+y，定點A(

2,0)，P是圓周上任一點，線段AP的垂直平分線與BP交于點Q.（1）求點Q的軌跡C的方程；（2）直線l過點A且與x軸不重合，直線l交曲線C于M,N兩點，過A且與l垂直的直線與圓B交于D,E兩點，求四邊形MDNE面積的取值范圍.試題運算能力分析：合理選擇運算途徑，合理確定運算的方向。核心素養(yǎng)診斷問題：2 2(1)①由“圓B:(x+

2)+y”你首先想到的是（）圓心A(圓心A(C.圓心A(-D.圓心A(

2,0),半徑42,0),半徑162,0)，半徑42,0),半徑1652022年安徽省中小學教育教學論文評選說明：診斷學生對圓的標準方程的公式。只有6位同學不對。②平面解析幾何，你首先想到的是（）A.作圖，數(shù)形結合B.分類討論C.函數(shù)與方程D.待定系數(shù)說明：主要診斷學生解決平面解析幾何問題常規(guī)的解題思路。有91位同學選A。③由“線段APA.垂直B.平分C.線段的垂直平分線的點到兩個端點的距離相等D.斜率之積等于-1④本題求點的軌跡方程，你想到的方法是：（）A.待定系數(shù)法B.定義法C.相關點法D.參數(shù)法很容易想到橢圓的定義。有75位同學選B，說明同學們對橢圓的概念的應用不熟練。⑤你求解的本題結果是（）x2 y2+

x2 y2+ A.4 2

B. 4 3x2 y2+

x2 y2+ C.3 2

D.4 5說明：求橢圓的標準方程時，一定要掌握a,b,c的關系，掌握運算的法則。有71位同學做對，選A。(2)①解析幾何，首先想到的是（）A.方程B.不等式C.設出點的坐標，直線的方程D.函數(shù)說明：診斷學生解決解析幾何問題時，探究運算思路，選擇運算方法。②由“直線l過點A且與xl方程的形式是（）A.截距式B.兩點式C.斜截式D.反斜截式說明：診斷學生對所設方程的選擇。③四邊形MDNE的特點是（）62022年安徽省中小學教育教學論文評選A.鄰邊相等B.對角線互相垂直C.對角線互相平分D.是矩形④由四邊形MDNE的特點，你首先想到求它的面積的方法是（）A.兩鄰邊之積B.等于兩個圖形面積只差C.對角線乘積的一半D.用個公式說明：診斷學生選擇計算四邊形面積的公式。⑤求圓中弦長的方法，你首先想到的是（）A.一般的弦長公式B.圓中的弦長公式，即半徑，弦長的一般，圓心到直線的距離滿足的勾股關系C.兩點間距離公式D.三角形全等⑥你求解的本題結果是（）A.72)B.2)? ?,,82) ,82)C.? D.8位同學做對。3.例3已知函數(shù)f(x)=ln1-ax2.x（1）討論f(x)的單調性；（2）若f(x)在定義域上有兩個極點1,2，求證：f(1)+f(2)3-2n2.試題運算能力分析：72022年安徽省中小學教育教學論文評選試題第（1）問，復合函數(shù)求導，鏈式法則，學生容易出錯，注意函數(shù)的定義域，要通分，構造函數(shù)，對參數(shù)a分類討論，當參數(shù)a不等于0時，要考慮實根的“有無大小”的四種情況，考查學生對含參數(shù)的一元二次不等式（方程)的解法，另外注意實根的概念得到只有當0

1時，x,x< < 1 2

是-2ax2-1用韋達定理，要求學生掌握對數(shù)的運算法則，配方，運用韋達定理，構造函數(shù)，求導，判斷函數(shù)的單調性，求函數(shù)的最值。這些都要求，學生掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，掌握一定的運算技巧。核心素養(yǎng)診斷問題：（1）①由“討論f）A.作出f(x)的圖像B.對f(x)求導C.基本不等式D.分離常數(shù)說明：有102人選B。②對f(x)求導時，你首先想到的是（）A.求函數(shù)的定義域B.復合函數(shù)求導的鏈式法則C.求導后通分，因式分解D.對參數(shù)分類討論說明：考查學生對復合函數(shù)求導的法則，有98人答B(yǎng)。2③求導后得到f'(x)=-2ax2-1,xf'(x)

你覺得接下來怎樣做（）A.二次求導B.令 ，解出x。C.令

f'(x)

，解出x。D.構造函數(shù)

g(x)=-2ax2-1說明：考查學生構造函數(shù)的方法。④對a分類討論時，你首先想到的是（）A.二次項系數(shù)正負B.對稱軸位置B. D的符號D.根與定義域的關系82022年安徽省中小學教育教學論文評選⑤對a分類討論的情況有（）A.a,a,aB.a,0

<1 a31<8, 8,

aC.a，0<1 a34，

14，aD.0￡aa（2）①由f(x)在定義域上有兩個極點,x2，你首先想到的是（）f'(x)

方程f'(x)A.方程 有兩個不等的實根B.f(x)=ln1-ax2

有兩個不等的正根C.方程D.方程

xf(x)=ln1-ax2x

有兩個不等的實根有兩個不等的正根說明：考查學生理解函數(shù)極值的概念。②由第一小題知，a的取值范圍是（）1aB.0<8

0<14

a314A. .C. D. f(1)+f(2)3-2n2③由“ f(x1)+f(x2)A.求出 的最大值f(x1)+f(x2)B.求出 的最值f(x)+f(xln2C.變形為 1 2f(1)+f(2)-3-2n2D.變形為f(x)+f(x)=ln(2a)+1④若 1 2

4a ，則接下來，你將會怎么做（）A.分離常數(shù)B.求導C.基本不等式D.畫函數(shù)圖像⑤構造函數(shù)

h(a)=ln(2a)+14a，你首先想到的是利用函數(shù)的什么性質求值域（）A.單調性B.奇偶性C.周期性D.對稱性92022年安徽省中小學教育教學論文評選三、運算能力提升的策略提出一些粗淺的看法和建議。1.回歸教材，厘清概念，提升運算能力。內功.回歸教材中的經(jīng)典例題、練習題和習題，充分挖掘典型問題的內在價值與遷移功本質。2.熟記公式，掌握法則，提升運算能力。導。3.掌握運算技巧，學會應用，提升運算能力。有些同學定義、公式、法則是記住了，但是