專題16三角函數(shù)的概念及誘導公式（解析版）

專題16三角函數(shù)的概念及誘導公式【考點預測】1、任意角（1）角的概念（2）正角、負角、零角（3）象限角（4）終邊相同的角2、弧度制（1）弧度的概念長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角．在半徑為的圓中，弧長為的弧所對的圓心角為，那么．正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負角的弧度數(shù)是一個負數(shù)，零角的弧度數(shù)是0．（2）弧度與角度的換算（3）關于扇形的幾個公式設扇形的圓心角為（），半徑為，弧長為，則有=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③．3、三角函數(shù)的概念（1）三角函數(shù)的定義一般地，任意給定一個角，它的終邊與單位圓相交于點．把點的縱坐標叫做的正弦函數(shù)，記作，即；把點的橫坐標叫做的余弦函數(shù)，記作，即；把點的縱坐標與橫坐標的比值叫做的正切函數(shù)，記作，即（）．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，通常將它們記為：正弦函數(shù)，；余弦函數(shù)，；正切函數(shù)，（）．設是一個任意角，它的終邊上任意一點（不與原點重合）的坐標為，點與原點的距離為．可以證明：；；．（2）幾個特殊角的三角函數(shù)值，，，的三角函數(shù)值如下表所示：函數(shù)不存在不存在（3）三角函數(shù)值的符號（4）誘導公式（一）終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等．，，，其中．4、同角三角函數(shù)間的基本關系（1）平方關系．（2）商數(shù)關系．作用：（1）已知的某一個三角函數(shù)值，求其余的兩個三角函數(shù)值；（2）化簡三角函數(shù)式；（3）證明三角函數(shù)恒等式．5、誘導公式（1）公式二，，．（2）公式三，，．（3）公式四，，．小結：（1）（），，，的三角函數(shù)，等于的同名函數(shù)，前面加上把看成銳角時原三角函數(shù)值的符號．（2）利用公式一～公式四，可以把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，一般可按下面步驟進行：（4）公式五，．（5）公式六，．小結：，的正弦（余弦），等于的余弦（正弦），前面加上把看成銳角時原三角函數(shù)值的符號．【典型例題】例1．（2022·湖北宜昌·高一期中）某地政府部門欲做一個“踐行核心價值觀”的宣傳牌，該宣傳牌形狀是如圖所示的扇形環(huán)面(由扇形挖去扇形后構成的)．已知米，米，線段、線段與弧、弧的長度之和為米，圓心角為弧度．(1)求關于的函數(shù)解析式；(2)記該宣傳牌的面積為，試問取何值時，的值最大?并求出最大值．【解析】(1)根據(jù)題意，弧的長度為米，弧的長度米，，．(2)依據(jù)題意，可知，化簡得：，，當，．∴當時，y的值最大，且最大值為．例2．（2022·黑龍江·哈爾濱市第一六高一期末）已知，且.(1)求的值；(2)求的值.【解析】(1)因為，且，則為第三象限角，故，因此，.(2)原式.例3．（2022·廣東深圳·高一期末）如圖，動點P，Q從點出發(fā)，沿圓周運動，點P按逆時針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，點Q按順時針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，求P，Q第一次相遇時所用的時間?相遇點的坐標及P，Q點各自走過的弧長.【解析】設、第一次相遇時所用的時間是秒，則．（秒，即第一次相遇的時間為4秒；設第一次相遇點為，第一次相遇時點已運動到終邊在的位置，則，．點的坐標為，點走過的弧長為，點走過的弧長為．例4．（2022·寧夏·銀川高一期末）（1）已知，求的值；（2）已知，且，求的值.【解析】（1）由知

原式=（2）

又

原式===例5．（2022·廣西·桂林市臨桂區(qū)五通高一期中）(1)化簡：；(2)已知角的終邊經(jīng)過點，求，的值；【解析】（1）.（2）因為角的終邊經(jīng)過點，所以，所以，.例6．（2022·江西省萬載高一期中）（1）化簡：（2）已知（n∈Z），求＋＋＋…＋的值.【解析】（1）原式；（2）因為，所以函數(shù)的周期為6，，，，，，；由于，所以＋＋＋…＋.【過關測試】一、單選題1．（2022·山東東營·高一期中）若是銳角，則，是（

）A．第一象限角 B．第三象限角C．第一象限角或第三象限角 D．第二象限角或第四象限角【答案】C【解析】是銳角，，，當k為奇數(shù)時，為第三象限角；當k為偶數(shù)時，為第一象限角.所以為第一象限角或第三象限角.故選:C.2．（2022·浙江·杭州高級高一期末）如果2弧度的圓心角所對的弦長為4，那么這個圓心角所對的弧長為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設半徑為，所以．所以，所以弧長．故選：A．3．（2022·上?！とA師大二附中高一期中）設角屬于第二象限，且，則角屬于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】為第二象限角，，；當時，為第一象限角；當時，為第三象限角；為第一或第三象限角；，，為第三象限角.故選：C.4．（2022·黑龍江大慶·高一期末）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，且，所以，所以，故選：A5．（2022·北京·北二外附屬高一期中）（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】故選：B6．（2022·河南南陽·高一期中）已知角，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，因為，所以且，所以，即，所以，所以；故選：A7．（2022·廣西南寧·高一期末）化簡：（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】,故選：D8．（2022·福建廈門·高一期末）如圖，一質(zhì)點在半徑為1的圓O上以點為起點，按順時針方向做勻速圓周運動，角速度為，5s時到達點，則（

）A．-1 B． C． D．【答案】C【解析】設單位圓與軸正半軸的交點為，則，所以，，故.故選：C二、多選題9．（2022·山東東營·高一期中）在平面直角坐標系中，角的始邊為的正半軸，終邊經(jīng)過點，則下列式子正確的是（

）A． B．C． D．若為鈍角，則【答案】CD【解析】因為角終邊經(jīng)過點，則對于：，故錯誤；對于：，故錯誤；對于：，故正確；對于：因為當，單調(diào)遞減，而，即，所以，故正確.故選：CD.10．（2022·遼寧·東北育才高一期中）下列四個選項，正確的有（

）A．在第三象限，則是第二象限角B．已知扇形OAB的面積為4，周長為10，則扇形的圓心角（正角）的弧度數(shù)為C．若角的終邊經(jīng)過點，則D．【答案】ABD【解析】對A：由題可得，則屬于第二或者第四象限；，則屬于第二或者第三象限或角度終邊落在軸的負半軸上；故屬于第二象限，A正確；對B：設扇形的圓心角為，半徑為，圓心角對的弧長為，則，，解得，又，即，解得，B正確；對C：根據(jù)題意可得，故C錯誤；對D：因為，，故，故，D正確.故選：ABD.11．（2022·山東濟寧·高一期末）（多選）已知，，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】因為①，所以，所以．又，所以，所以，即，故A正確．，所以②，故D正確．由①②，得，，故B正確．，故C錯誤．故選：ABD．12．（2022·黑龍江·大慶實驗高一期中）下列計算或化簡結果正確的是（

）A．若， B．若，則C．若，則 D．若為第二象限角，則【答案】AB【解析】對于A選項：，，故A正確；對于B選項：，則，故B正確；對于C選項：∵范圍不確定，∴的符號不確定，故C錯誤；對于D選項：為第二象限角，,,故D錯誤.故選：AB.三、填空題13．（2022·重慶高一期末）如圖所示，弧田是由圓弧和其所對弦圍成的圖形，若弧田的弧長為，弧所在的圓的半徑為4，則弧田的面積是___________.【答案】【解析】根據(jù)題意，只需計算圖中陰影部分的面積，設，因為弧田的弧長為，弧所在的圓的半徑為4，所以，所以陰影部分的面積為所以弧田的面積是.故答案為：14．（2022·湖北宜昌·高一期中）已知角，則_______________________．【答案】【解析】由題意得：，故角是第三象限角，則，故，故答案為：15．（2022·安徽·碭山高一期中）已知，則______．【答案】【解析】因為，所以，故答案為：16．（2022·遼寧·東北育才高一期中）若，，且，則的最大值為______．【答案】【解析】由，得，因為，所以，則，當且僅當，即時，取等號，所以的最大值為.故答案為：.四、解答題17．（2022·廣西梧州·高一期中）已知扇形的周長為30．(1)若該扇形的半徑為10，求該扇形的圓心角，弧長及面積;(2)求該扇形面積的最大值及此時扇形的半徑.【解析】（1）由題知扇形的半徑，扇形的周長為30，∴，∴，，.（2）設扇形的圓心角，弧長，半徑為，則，∴，∴當且僅當，即取等號，所以該扇形面積的最大值為，此時扇形的半徑為.18．（2022·新疆喀什·高一期末）已知，且為第二象限角(1)求的值；(2)求的值.【解析】(1)因為sin＝，所以，且是第二象限角，所以cos＝，從而(2)原式＝19．（2022·山東東營·高一期中）已知角滿足(1)若角是第三象限角，求的值;(2)若，求的值.【解析】（1）由題意和同角三角函數(shù)基本關系式，有，消去得，解得或因為角是第三象限角，所以，，（2），當角是第一象限角時，，當角是第三象限角時，，20．（2022·上海市光明高一期中）（1）是否存在實數(shù)，使，使，，且是第二象限角？若存在，請求出實數(shù)；若不存在，情說明理由.（2）若，，求的值.【解析】（1）假設存在實數(shù)，使，，因為是第二象限角，所以，，解得，又，即，解得，與矛盾，故不存在實數(shù)滿足題意；（2）因為，所以，，．．21．（2022·陜西·榆林市第一高一期中（理））已知，．(1)求的值；(2)求的值．【解析】(1)把平方后得，，可得，可得，由，可得，，有．由，有．(2)由