2024屆一輪復(fù)習(xí)人教A版 空間向量及其線性運(yùn)算 作業(yè)

課時(shí)分層作業(yè)(一)空間向量及其線性運(yùn)算一、選擇題1．(2022·倉(cāng)山區(qū)校級(jí)期末)已知三棱錐O-ABC，點(diǎn)M，N分別為AB，OC的中點(diǎn)，且eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝c，用a，b，c表示eq\o(MN,\s\up7(→))，則eq\o(MN,\s\up7(→))等于()A．eq\f(1,2)(b＋c－a) B．eq\f(1,2)(a＋b＋c)C．eq\f(1,2)(a－b＋c) D．eq\f(1,2)(c－a－b)D[∵點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，∴eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，∵點(diǎn)N為OC的中點(diǎn)，∴eq\o(ON,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)c，∴eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(ON,\s\up7(→))－eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)c－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＝eq\f(1,2)(c－a－b)．故選D．]2．有下列四個(gè)命題：①已知A，B，C，D是空間任意四點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＝0；②若兩個(gè)非零向量eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(CD,\s\up7(→))滿足eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝0，則eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(CD,\s\up7(→))；③若表示空間向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個(gè)向量不是共面向量；④對(duì)于空間的任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，若eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))(x，y，z∈R)，則P，A，B，C四點(diǎn)共面．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．3B．2C．1D．0B[根據(jù)向量加法的三角形法則，可得eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＝0，故①正確；若兩個(gè)非零向量eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(CD,\s\up7(→))滿足eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝0，則eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(CD,\s\up7(→))互為相反向量，則eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(CD,\s\up7(→))，故②正確；空間任意兩個(gè)向量均為共面向量，故③錯(cuò)誤；對(duì)于空間的任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，若eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))(x，y，z∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)x＋y＋z＝1時(shí)，P，A，B，C四點(diǎn)共面，故④錯(cuò)誤．故正確的命題共有2個(gè)，故選B．]3．在下列條件中，使M與A，B，C一定共面的是()A．eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))B．eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up7(→))C．eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\o(MC,\s\up7(→))＝0D．eq\o(OM,\s\up7(→))＋eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝0C[在C項(xiàng)中，由eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\o(MC,\s\up7(→))＝0，得eq\o(MA,\s\up7(→))＝－eq\o(MB,\s\up7(→))－eq\o(MC,\s\up7(→))，則eq\o(MA,\s\up7(→))，eq\o(MB,\s\up7(→))，eq\o(MC,\s\up7(→))為共面向量，即M，A，B，C四點(diǎn)共面；對(duì)于A項(xiàng)，由eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))，得1－1－1＝－1≠1，不能得出M，A，B，C四點(diǎn)共面；對(duì)于B項(xiàng)，由eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up7(→))，得eq\f(1,5)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)≠1，所以M，A，B，C四點(diǎn)不共面；對(duì)于D項(xiàng)，由eq\o(OM,\s\up7(→))＋eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝0，得eq\o(OM,\s\up7(→))＝－(eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→)))，其系數(shù)和不為1，所以M，A，B，C四點(diǎn)不共面，故選C．]4．(多選題)有下列命題，其中為真命題的有()A．若eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(CD,\s\up7(→))，則A，B，C，D四點(diǎn)共線B．若eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(AC,\s\up7(→))，則A，B，C三點(diǎn)共線C．若e1，e2為不共線的非零向量，a＝4e1－eq\f(2,5)e2，b＝－e1＋eq\f(1,10)e2，則a∥bD．若向量e1，e2，e3是三個(gè)不共面的向量，且滿足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，則k1＝k2＝k3＝0BCD[根據(jù)共線向量的定義，若eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(CD,\s\up7(→))，則AB∥CD或A，B，C，D四點(diǎn)共線，故A錯(cuò)；因?yàn)閑q\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(AC,\s\up7(→))且eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))有公共點(diǎn)A，所以B正確；由于a＝4e1－eq\f(2,5)e2＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－e1＋\f(1,10)e2))＝－4b，所以a∥b，故C正確；易知D也正確．]5．已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，設(shè)M，G分別是BC，CD的中點(diǎn)，則eq\o(MG,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))等于()A．eq\f(3,2)eq\o(DB,\s\up7(→)) B．3eq\o(MG,\s\up7(→))C．3eq\o(GM,\s\up7(→)) D．2eq\o(MG,\s\up7(→))B[eq\o(MG,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(MG,\s\up7(→))－(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→)))＝eq\o(MG,\s\up7(→))－eq\o(DB,\s\up7(→))＝eq\o(MG,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(MG,\s\up7(→))＋2eq\o(MG,\s\up7(→))＝3eq\o(MG,\s\up7(→))．]二、填空題6．設(shè)e1，e2是空間中兩個(gè)不共線的向量，已知eq\o(AB,\s\up7(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up7(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up7(→))＝2e1－e2，且A，B，D三點(diǎn)共線，則k的值為_(kāi)_______．－8[因?yàn)閑q\o(CB,\s\up7(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up7(→))＝2e1－e2，所以eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→))＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2．因?yàn)锳，B，D三點(diǎn)共線，所以eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(BD,\s\up7(→))，所以2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2．因?yàn)閑1，e2是空間中兩個(gè)不共線的向量，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝λ，,k＝－4λ，))所以k＝－8．]7．在空間四邊形ABCD中，連接AC，BD．若△BCD是正三角形，且E為其中心，則eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))的化簡(jiǎn)結(jié)果為_(kāi)_______．0[如圖，取BC的中點(diǎn)F，連接DF，則eq\o(DF,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up7(→))．故eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BF,\s\up7(→))－eq\o(DF,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＝eq\o(AF,\s\up7(→))＋eq\o(FD,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＝0．]8．(2022·山東濟(jì)寧高二月考)在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，AC與BD交于點(diǎn)O，G為BD上一點(diǎn)，BG＝3GD，eq\o(PA,\s\up7(→))＝a，eq\o(PB,\s\up7(→))＝b，eq\o(PC,\s\up7(→))＝c，則eq\o(PG,\s\up7(→))＝________．(用a，b，c表示)eq\f(3,4)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(3,4)c[eq\o(PG,\s\up7(→))＝eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\o(BG,\s\up7(→))＝eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\f(3,4)eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\f(3,2)eq\o(BO,\s\up7(→))＝eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)))＝eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(PA,\s\up7(→))－eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\o(PC,\s\up7(→))－eq\o(PB,\s\up7(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(PA,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\f(3,4)eq\o(PC,\s\up7(→))＝eq\f(3,4)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(3,4)c．故答案為eq\f(3,4)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(3,4)c．]三、解答題9．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，以長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)中的兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中．(1)單位向量共有多少個(gè)？(2)試寫(xiě)出模為eq\r(5)的所有向量．[解](1)模為1的向量有eq\o(A1A,\s\up7(→))，eq\o(AA1,\s\up7(→))，eq\o(B1B,\s\up7(→))，eq\o(BB1,\s\up7(→))，eq\o(C1C,\s\up7(→))，eq\o(CC1,\s\up7(→))，eq\o(D1D,\s\up7(→))，eq\o(DD1,\s\up7(→))，共8個(gè)單位向量．(2)由于這個(gè)長(zhǎng)方體的左右兩側(cè)面的對(duì)角線長(zhǎng)均為eq\r(5)，因此模為eq\r(5)的向量為eq\o(AD1,\s\up7(→))，eq\o(D1A,\s\up7(→))，eq\o(A1D,\s\up7(→))，eq\o(DA1,\s\up7(→))，eq\o(BC1,\s\up7(→))，eq\o(C1B,\s\up7(→))，eq\o(B1C,\s\up7(→))，eq\o(CB1,\s\up7(→))．10．如圖所示，已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，E，F(xiàn)，G分別是BC，CD，DB的中點(diǎn)，請(qǐng)化簡(jiǎn)：eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(GD,\s\up7(→))＋eq\o(EC,\s\up7(→))，并標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量．[解]eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))．因?yàn)镋，F(xiàn)，G分別為BC，CD，DB的中點(diǎn)，所以eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(EC,\s\up7(→))，eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\o(GD,\s\up7(→))．所以eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(GD,\s\up7(→))＋eq\o(EC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(EF,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(AF,\s\up7(→))．故所求向量為eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AF,\s\up7(→))，如圖所示．1．(多選題)下列命題正確的是()A．若p＝xa＋yb，則p與a，b共面B．若p與a，b共面，則p＝xa＋ybC．若eq\o(MN,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))，則M，N，A，B四點(diǎn)共面D．若M，N，A，B四點(diǎn)共面，則eq\o(MN,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))AC[在A中，若p＝xa＋yb，則由平面向量基本定理得p與a，b一定在同一平面內(nèi)，故A正確；在B中，p與a，b共面，但如果a，b共線，p就不一定能用a，b來(lái)表示，故B錯(cuò)誤；在C中，若eq\o(MN,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))，則eq\o(MN,\s\up7(→))，eq\o(MA,\s\up7(→))，eq\o(MB,\s\up7(→))三向量在同一平面內(nèi)，所以M，N，A，B四點(diǎn)共面，故C正確；在D中，若M，N，A，B四點(diǎn)共面，其中M，A，B共線，N與M，A，B不共線，則不存在x，y使eq\o(MN,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))定成立，故D錯(cuò)誤，故選AC．]2．如圖，M是三棱錐P-ABC的底面△ABC的重心，若eq\o(PM,\s\up7(→))＝xeq\o(AP,\s\up7(→))＋yeq\o(AB,\s\up7(→))＋zeq\o(AC,\s\up7(→))(x，y，z∈R)，則x＋y＋z的值為()A．－eq\f(1,3)B．－eq\f(1,2)C．eq\f(2,3)D．1A[如圖，連接AM，∵M(jìn)是三棱錐P-ABC的底面△ABC的重心，∴eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))，∴eq\o(PM,\s\up7(→))＝eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(AM,\s\up7(→))＝－eq\o(AP,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))，∵eq\o(PM,\s\up7(→))＝xeq\o(AP,\s\up7(→))＋yeq\o(AB,\s\up7(→))＋zeq\o(AC,\s\up7(→))(x，y，z∈R)，∴x＋y＋z＝－1＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝－eq\f(1,3)．故選A．]3．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若eq\o(CA,\s\up7(→))＝a，eq\o(CB,\s\up7(→))＝b，eq\o(CC1,\s\up7(→))＝c，則eq\o(A1B,\s\up7(→))＝________．b－a－c[eq\o(A1B,\s\up7(→))＝eq\o(B1B,\s\up7(→))－eq\o(B1A1,\s\up7(→))＝eq\o(B1B,\s\up7(→))－eq\o(BA,\s\up7(→))＝－eq\o(CC1,\s\up7(→))－(eq\o(CA,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→)))＝－c－(a－b)＝b－a－c．]4．已知a，b，c是空間三個(gè)不共面的向量，下列各組向量中不共面的是________．①la，mb，nc(lmn≠0)；②a＋2b,2b＋3c，－9c＋3a；③a＋2b，b＋2c，c＋2a．①③[對(duì)于①，∵a，b，c是空間三個(gè)不共面的向量，∴l(xiāng)a，mb，nc(lmn≠0)是不共面的向量，故①正確；對(duì)于②，a＋2b,2b＋3c，－9c＋3a，假設(shè)存在實(shí)數(shù)s，t，使得－9c＋3a＝s(a＋2b)＋t(2b＋3c)＝sa＋(2s＋2t)b＋3tc，則s＝3,2s＋2t＝0,3t＝－9，解得：s＝3，t＝－3，∴假設(shè)成立，因此a＋2b,2b＋3c，－9c＋3a共面，故②不正確．對(duì)于③，假設(shè)存在實(shí)數(shù)s，t，使得a＋2b＝s(b＋2c)＋t(c＋2a)＝2ta＋sb＋(2s＋t)c，則2t＝1，s＝2,2s＋t＝0，無(wú)解，∴假設(shè)不成立，因此a＋2b，b＋2c，c＋2a不共面，故③正確．故答案為①③．]如圖所示，平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，且BE＝eq\f(1,3)BB1，DF＝eq\f(2,3)DD1．