上極限和下極限

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上極限和下極限數(shù)列的上極限與下極限是非常有用的概念,通過一、上(下)極限的基本概念程來說,上(下)極限也是不可缺少的工具.極限或下極限來解決問題.此外,對于不少后繼課考慮的某些數(shù)列不存在極限的情形,那時需要用上冊第十二、十四章討論級數(shù)收斂性時,常會遇到所它們可得出數(shù)列極限存在的另一個充要條件.

在下二、上(下)極限的基本性質(zhì)返回一、上(下)極限的基本概念注點集的聚點與數(shù)列的聚點之間的區(qū)別在于:定義1若數(shù)列滿足:在數(shù)的任何一個鄰域內(nèi)均含有

中的無限多項,則稱x0是數(shù)列常數(shù)列只有一個聚點:a.

的一個聚點.限多個項”.現(xiàn)舉例如下:前者要求“含有無限多個點”,后者要求“含有無定理7.4有界數(shù)列至少存在一個聚點,并且有最大但作為數(shù)列來說,它卻有兩個聚點:有五個聚點:數(shù)列從數(shù)列聚點的定義不難看出,x0是數(shù)列的聚作為點集來說它僅有兩個點,故沒有聚點;點的一個充要條件是:存在的一個子列聚點和最小聚點.又設由于E非空有界,故由確界原理,存在下面證明是{xn}的最大聚點,亦即證設為有界數(shù)列,由致密性定理,存在一個的一個聚點.收斂子列于是首先,由上確界的性質(zhì),存在使存在使存在使的無限多項.現(xiàn)依次令存在使因為是的聚點,所以對任意正數(shù)在區(qū)間這樣就得到了{xn}的一個子列滿足:同理可證定義2有界數(shù)列的最大聚點與最小聚點分別稱為的上、下極限,記為即證得注由定理7.4得知,有界數(shù)列必有上、下極限.提供了一個新的平臺.的上、下極限總是存在的,這為研究數(shù)列的性質(zhì)極限來研究該數(shù)列往往是徒勞的;但是有界數(shù)列數(shù)列若有界,它的極限可以不存在,此時想通過這樣,上、下極限的優(yōu)越性就顯現(xiàn)出來了:一個例1考察以下兩個數(shù)列的上、下極限:從中可大致看出數(shù)列的極限和數(shù)列的上、下極限之間存在著的內(nèi)在聯(lián)系.詳細討論請見下文.二、上(下)極限的基本性質(zhì)由上、下極限的定義,立即得出:定理7.5對任何有界數(shù)列有下面這個定理刻畫了極限與上、下極限之間的關系.定理7.6有界數(shù)列存在極限的充要條件是:(1)(2)證設對于任意正數(shù)在之外只有有限項.這樣,對任意的若只有有限項.這就是說,B不是的聚點,故僅有一個聚點A,從而那么在內(nèi)(此時必取反之,若上式成立,則的聚點惟一(設為A),一的假設相矛盾.另一聚點,導致與聚點惟性定理,這無限多項必有的無限多項.由致密之外含有使得在倘若不然,則存在此時易證定理7.7設為有界數(shù)列,則有的充要條件是:對于任意的(i)存在N,當n>N時,的充要條件是:對于任意的(i)存在N,當n>N時,證在形式上是對稱的,所以僅證明.必要性設因為A是的一個聚點,使得所以存在故對于任意的存在當k>K時，將中的前面K項剔除,這樣就證明了(ii).上,至多只含的有限項.不然的話,因為有界,故在上還有聚點,這與A是最大聚點相矛盾.設這有限項又因A是的最大聚點,所以對上述在區(qū)間,e的最大下標為N,那么當n>N時,充分性任給綜合(i)和(ii),在上含有{xn}的無限項,即A是{xn}的聚點.而對于任意的這說明在定理7.8(保不等式性)設{xn},{yn}均為有界數(shù){xn}的有限項,故

不是{xn}的上也至多只有從而有聚點,所以

A是的最大聚點.列,并且滿足:存在當n>N0時,

有則取上(下)極限后,原來的不等號方向保持不變:證設因為B是{yn}的聚點,所以存在,特別若則更有故存在的一個收斂子列,(3)(4)同理可證關于上極限的不等式;而(4)式則可由又因(1)與(3)式直接推得.的最小聚點

A理應滿足的聚點,

它與也是.由于的極限,便得取證這里只證明(i),(ii)可同理證明.設由定理7.7,存在N,當n>N時,(5)(6)例1都是有界數(shù)列,那么設再由定理7.8的(4)式,得因為是任意的,故注這里嚴格不等的情形確實會發(fā)生,例如故例2設