《高職應(yīng)用數(shù)學(xué)》教案 第36課 二重積分在幾何上的應(yīng)用

第36課二重積分在幾何上的應(yīng)用課題二重積分在幾何上的應(yīng)用課時2課時（90min）教學(xué)目標知識技能目標：1．能夠利用二重積分計算幾何圖形體積和平面圖形的面積2．能夠利用二重積分計算曲面的面積3．掌握用MATLAB求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的方法思政育人目標：通過講解二重積分在幾何上的應(yīng)用，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)是源于生活的，是對實際問題的抽象產(chǎn)生的，不是脫離實際生活的；培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；引導(dǎo)學(xué)生運用所學(xué)知識揭示生活中的奧秘，在實踐中深化認識，達到學(xué)以致用的目的教學(xué)重難點教學(xué)重點：利用二重積分計算體積和平面圖形的面積、利用二重積分計算曲面的面積教學(xué)難點：掌握二重積分在幾何上的應(yīng)用教學(xué)方法講授法、問答法、討論法、演示法、實踐法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)設(shè)計第一節(jié)課：課前任務(wù)→考勤（2min）→復(fù)習(xí)（10min）→講授新課（23min）→課堂測驗（10min）第二節(jié)課：講授新課（20min）→課堂測驗（10min）→數(shù)學(xué)實驗（12min）→課堂小結(jié)（3min）→課后拓展教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計意圖第一節(jié)課課前任務(wù)【教師】和學(xué)生負責人取得聯(lián)系，布置課前任務(wù)，提醒同學(xué)做完作業(yè)，在指定時間內(nèi)交齊【學(xué)生】做完作業(yè)，在指定時間內(nèi)交齊【教師】通過文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)軟件，布置課前問答題：（1）如何利用二重積分計算四面體的體積？（2）如何利用二重積分計算平面圖形的面積？（3）如何利用二重積分計算曲面的面積？【學(xué)生】查找資料，預(yù)習(xí)教材通過課前的預(yù)熱，讓學(xué)生了解所學(xué)科目的大概方向，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望考勤（2min）【教師】清點上課人數(shù)，記錄好考勤【學(xué)生】班干部報請假人員及原因培養(yǎng)學(xué)生的組織紀律性，掌握學(xué)生的出勤情況復(fù)習(xí)（10min）【教師】提前設(shè)計好復(fù)習(xí)題目，并針對學(xué)生存在的問題及時講解【學(xué)生】做復(fù)習(xí)題目復(fù)習(xí)所學(xué)內(nèi)容，為講授新課打好基礎(chǔ)講授新課（23min）【教師】通過例題介紹利用二重積分計算幾何圖形體積和平面圖形面積的方法由前面的討論可知，曲頂柱體的體積可以用二重積分來計算．此外，還可用二重積分來計算一些平面圖形的面積．圖6-26例1求平面和三個坐標面所圍成的四面體體積．圖6-26例1解，，．據(jù)此畫出該四面體的大致圖形，如圖6-26所示．這個四面體可視為曲面相應(yīng)于區(qū)域D的曲頂柱體，這里D是該四面體在xOy平面上的投影區(qū)域，即三角形POQ．在xOy平面上直線PQ的方程是．于是四面體體積為．（例2詳見教材）【學(xué)生】利用二重積分計算幾何圖形體積和平面圖形面積的方法學(xué)習(xí)利用二重積分計算幾何圖形的體積和平面圖形的面積。邊做邊講，及時鞏固練習(xí)，實現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測驗（10min）?教師在文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺中發(fā)布測試的題目，并讓學(xué)生加入測試?！窘處煛繌慕滩呐涮最}庫中選擇幾道題目，測試一下大家的學(xué)習(xí)情況【學(xué)生】做測試題目【教師】公布題目的正確答案，演示解題過程【學(xué)生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學(xué)生對知識點的掌握情況，加深學(xué)生對本節(jié)課知識的印象第二節(jié)課講授新課（20min）【教師】講解利用二重積分計算曲面面積的方法，并利用例題介紹其實際應(yīng)用設(shè)曲面由方程給出，為曲面在面上的投影區(qū)域，函數(shù)在上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)和，現(xiàn)計算曲面的面積．如圖6-27所示，在閉區(qū)域上任取一直徑很小的閉區(qū)域（它的面積也記作），在內(nèi)取一點，對應(yīng)著曲面上一點，曲面在點M處的切平面設(shè)為T，以小閉區(qū)域的邊界為準線作母線平行于z軸的柱面，該柱面在曲面上截下一小片曲面，在切平面T上截下一小片平面，由于的直徑很小，因此那一小片平面面積近似地等于那一小片曲面面積．圖6-27曲面在點M處的法線向量（指向朝上）為．它與z軸正向所成夾角的方向余弦為，又因為，所以．這是曲面的面積元素，故．上式即為計算曲面面積的公式．設(shè)曲面的方程為或，可分別把曲面投影到面上或面上，類似地可得或．例3求球面的面積．例3解根據(jù)對稱性，先考慮上半球面，，，則．因此，整個球的表面積為．【學(xué)生】掌握利用二重積分計算曲面面積的方法學(xué)習(xí)利用二重積分計算曲面面積的方法。邊做邊講，及時鞏固練習(xí)，實現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測驗（10min）?教師在文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺中發(fā)布測試的題目，并讓學(xué)生加入測試?！窘處煛繌慕滩呐涮最}庫中選擇幾道題目，測試一下大家的學(xué)習(xí)情況【學(xué)生】做測試題目【教師】公布題目的正確答案，演示解題過程【學(xué)生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學(xué)生對知識點的掌握情況，加深學(xué)生對本節(jié)課知識的印象數(shù)學(xué)實驗（12min）?使用MATLAB進行數(shù)學(xué)實驗【教師】演示用MATLAB求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)MATLAB中提供的diff函數(shù)，可以求多元函數(shù)的偏導(dǎo)，diff函數(shù)的調(diào)用格式主要有以下幾種：（1）若求對x的偏導(dǎo)數(shù)，則輸入：diff(f(x,y,z),x)（2）若求對y的偏導(dǎo)數(shù)，則輸入：diff(f(x,y,z),y)（3）若求對x的二階偏導(dǎo)數(shù)，則輸入：diff(diff(f(x,y,z),x),x)或diff(f(x,y,z),x,2)（4）若求對x，y的二階混合偏導(dǎo)數(shù)，則輸入：diff(diff(f(x,y,z),x),y)例設(shè)，求，，，．例解在命令窗口輸入：>>symsxy %定義變量x，y>>z=x^2*sin(2*y) %輸出函數(shù)z，注意*不能省略按回車，輸出結(jié)果為z=x^2*sin(2*y)>>zx=diff(z,x) %對x求一階偏導(dǎo)數(shù)按回車，輸出結(jié)果為zx=2*x*sin(2*y) %輸出一階偏導(dǎo)數(shù)的結(jié)果為>>zy=diff(z,y) %對y求一階偏導(dǎo)數(shù)按回車，輸出結(jié)果為zy=2*x^2*cos(2*y) %輸出一階偏導(dǎo)數(shù)的結(jié)果為>>zxx=diff(z,x,2) %對x求二階偏導(dǎo)數(shù)按回車，輸出結(jié)果為zxx=2*sin(2*y) %輸出二階偏導(dǎo)數(shù)的結(jié)果為>>zxy=diff(diff(z,x),y) %對x，y求二階混合偏導(dǎo)數(shù)按回車，輸出結(jié)果為zxy=4*x*cos(2*y) %輸出二階混合偏導(dǎo)數(shù)的結(jié)果為【學(xué)生】觀看、聆聽、記錄、思考通過演示使用MATLAB進行數(shù)學(xué)實驗的過程，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)在實際中的應(yīng)用課堂小結(jié)（3min）【教師】簡要總結(jié)本節(jié)課的要點本節(jié)課上大家掌握了利用二重積分計算幾何圖形體積、平面圖形的面積和曲面的面積的方法，還掌握了用MATLAB求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的方法，課后要多加練習(xí)，鞏固認知【學(xué)生】總結(jié)回顧知識點【教師】布置課后作業(yè)：習(xí)題6-9、復(fù)習(xí)題六、用MATLAB求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)總結(jié)知識點，鞏固印象課后拓展【教師】在文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺上共享本節(jié)課知識相關(guān)的學(xué)