《高職應(yīng)用數(shù)學(xué)》教案 第43課 冪級數(shù)

第43課冪級數(shù)課題冪級數(shù)課時(shí)2課時(shí)（90min）教學(xué)目標(biāo)知識技能目標(biāo)：1．理解函數(shù)項(xiàng)級數(shù)、冪級數(shù)的基本概念和性質(zhì)2．會求冪級數(shù)的收斂半徑、收斂域及冪級數(shù)的和函數(shù)思政育人目標(biāo)：通過講解冪級數(shù)的相關(guān)知識，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考和深度思考的良好習(xí)慣；樹立學(xué)生實(shí)事求是、一絲不茍的科學(xué)精神教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：冪級數(shù)的基本概念教學(xué)難點(diǎn)：冪級數(shù)的和函數(shù)的求法教學(xué)方法講授法、問答法、討論法、演示法、實(shí)踐法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)設(shè)計(jì)第一節(jié)課：課前任務(wù)→考勤（2min）→復(fù)習(xí)（10min）→講授新課（33min）第二節(jié)課：講授新課（20min）→課堂測驗(yàn)（10min）→互助指導(dǎo)（12min）→課堂小結(jié)（3min）→課后拓展教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計(jì)意圖第一節(jié)課課前任務(wù)【教師】和學(xué)生負(fù)責(zé)人取得聯(lián)系，布置課前任務(wù)，提醒同學(xué)做完作業(yè)，在指定時(shí)間內(nèi)交齊【學(xué)生】做完作業(yè)，在指定時(shí)間內(nèi)交齊【教師】通過文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)軟件，布置課前問答題：（1）什么是函數(shù)項(xiàng)級數(shù)？（2）什么是冪級數(shù)？【學(xué)生】查找資料，預(yù)習(xí)教材通過課前的預(yù)熱，讓學(xué)生了解所學(xué)科目的大概方向，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望考勤（2min）【教師】清點(diǎn)上課人數(shù)，記錄好考勤【學(xué)生】班干部報(bào)請假人員及原因培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)律性，掌握學(xué)生的出勤情況復(fù)習(xí)（10min）【教師】提前設(shè)計(jì)好復(fù)習(xí)題目，并針對學(xué)生存在的問題及時(shí)講解【學(xué)生】做復(fù)習(xí)題目復(fù)習(xí)所學(xué)內(nèi)容，為講授新課打好基礎(chǔ)講授新課（33min）【教師】講解函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的基本概念定義1給定一個定義在區(qū)間I上的函數(shù)列，由這個函數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式，稱為定義在區(qū)間I上的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)，記為．對于區(qū)間I內(nèi)的一定點(diǎn)，若常數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂，則稱點(diǎn)是級數(shù)的收斂點(diǎn)．若常數(shù)項(xiàng)級數(shù)發(fā)散，則稱點(diǎn)是級數(shù)的發(fā)散點(diǎn)．函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的所有收斂點(diǎn)的全體稱為它的收斂域，所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為它的發(fā)散域．在收斂域上，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和是的函數(shù)，稱為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和函數(shù)，并寫成．【教師】講解冪級數(shù)的基本概念，并通過例題介紹冪級數(shù)收斂半徑和收斂域的求法定義2若函數(shù)項(xiàng)級數(shù)中各項(xiàng)都是冪函數(shù)，即，則此級數(shù)稱為冪級數(shù)，其中都是常數(shù)，稱為冪級數(shù)的系數(shù)，稱為冪級數(shù)的通項(xiàng)．冪級數(shù)更一般的形式為．令，冪級數(shù)即化為冪級數(shù)．對于每一個確定的實(shí)數(shù)，冪級數(shù)會變成如下常數(shù)項(xiàng)級數(shù)：．這個級數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散．若該級數(shù)收斂，則稱點(diǎn)是冪級數(shù)的收斂點(diǎn)；若該級數(shù)發(fā)散，則稱點(diǎn)是冪級數(shù)的發(fā)散點(diǎn)，冪級數(shù)所有收斂點(diǎn)的全體組成的集合稱為它的收斂域，記作．在收斂域上，冪級數(shù)的和是的函數(shù)，通常稱為冪級數(shù)的和函數(shù)．其定義域就是級數(shù)的收斂域，并記為，．對于一個給定的冪級數(shù)，它的收斂域和發(fā)散域的結(jié)構(gòu)如何呢？例如，冪級數(shù)可以看作是一個公比為的幾何級數(shù)．根據(jù)前面的討論，當(dāng)時(shí)，該級數(shù)收斂于；當(dāng)時(shí)，該級數(shù)發(fā)散，因此這個冪級數(shù)的收斂域是一個區(qū)間．若在收斂域內(nèi)取值，則有，．由此我們可以看到，這個冪級數(shù)的收斂域是一個區(qū)間．定理1設(shè)有冪級數(shù)，．（1）若，當(dāng)時(shí)，冪級數(shù)絕對收斂；當(dāng)時(shí)，冪級數(shù)發(fā)散；（2）當(dāng)時(shí)，對于任意，冪級數(shù)絕對收斂；（3）當(dāng)時(shí)，冪級數(shù)僅在處收斂．令，稱為冪級數(shù)的收斂半徑，開區(qū)間稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間．由定理1知，當(dāng)時(shí)，冪級數(shù)處處收斂，此時(shí)規(guī)定收斂半徑，收斂區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，冪級數(shù)僅在處收斂，此時(shí)規(guī)定收斂半徑．定理2設(shè)有冪級數(shù)，若，則此冪級數(shù)的收斂半徑為例1求冪級數(shù)

的收斂半徑與收斂域．例1解因?yàn)?，所以收斂半徑為．?dāng)時(shí)，冪級數(shù)成為，是收斂的；當(dāng)時(shí)，冪級數(shù)成為，是發(fā)散的．因此，收斂域?yàn)椋ɡ?～例5詳見教材）【學(xué)生】掌握函數(shù)項(xiàng)級數(shù)和冪級數(shù)的基本概念，以及冪級數(shù)收斂半徑和收斂域的求法學(xué)習(xí)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)和冪級數(shù)基本概念，以及冪級數(shù)收斂半徑和收斂域的求法。邊做邊講，及時(shí)鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化第二節(jié)課講授新課（20min）【教師】講解冪級數(shù)的性質(zhì)，并通過例題介紹冪級數(shù)和函數(shù)的求法設(shè)冪級數(shù)及分別在區(qū)間及內(nèi)收斂，則在與中較小的區(qū)間內(nèi)可進(jìn)行加法、減法及乘法運(yùn)算：，性質(zhì)1冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂域上連續(xù)．性質(zhì)2冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂域上可積，并且有逐項(xiàng)積分公式，逐項(xiàng)積分后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑．性質(zhì)3冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，并且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式，逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑．例6求冪級數(shù)的和函數(shù)．例6解求得冪級數(shù)的收斂域?yàn)椋O(shè)和函數(shù)為，即，．顯然，．在的兩邊求導(dǎo)得．對上式從0到x積分，得．于是，當(dāng)時(shí)，有．因此，冪級數(shù)的和函數(shù)為例7求級數(shù)的和．例7解考慮冪級數(shù)，此級數(shù)在上收斂，設(shè)其和函數(shù)為，則．在例6中已得到，于是，即，因此，．【學(xué)生】理解冪級數(shù)的性質(zhì)，掌握冪級數(shù)和函數(shù)的求法學(xué)習(xí)冪級數(shù)的運(yùn)算。邊做邊講，及時(shí)鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測驗(yàn)（10min）?教師在文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺中發(fā)布測試的題目，并讓學(xué)生加入測試?！窘處煛繌慕滩呐涮最}庫中選擇幾道題目，測試一下大家的學(xué)習(xí)情況【學(xué)生】做測試題目通過測試，了解學(xué)生對知識點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對本節(jié)課知識的印象互助指導(dǎo)（12min）?選出優(yōu)秀學(xué)生帶動、指導(dǎo)其他同學(xué)掌握知識點(diǎn)【教師】公布題目的正確答案，每組指定一名答題準(zhǔn)確率最高的同學(xué)，輔導(dǎo)本組的未答對同學(xué)掌握答題知識，實(shí)現(xiàn)組內(nèi)互助【學(xué)生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧以學(xué)生為主體，針對學(xué)生接受能力的差異性，讓優(yōu)秀學(xué)生帶動其他學(xué)生掌握知識點(diǎn)課堂小結(jié)（3min）【教師】簡要總結(jié)本節(jié)課的要點(diǎn)本節(jié)課上大家理解了函數(shù)項(xiàng)級數(shù)、冪級數(shù)的基本概念和性質(zhì)，掌握了求冪級數(shù)的收斂半徑、收斂域及冪級數(shù)的和函數(shù)的方法，課后要多加練習(xí)，鞏固認(rèn)知【學(xué)生】總結(jié)回顧知識點(diǎn)【教師】布置課后作業(yè)：習(xí)題8-3總結(jié)知識點(diǎn)，鞏固印象課后拓展【教師】在文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺上共享本節(jié)課知識相關(guān)的學(xué)習(xí)鏈接【學(xué)生】登錄文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺查看相關(guān)知識鏈接，完成課后任務(wù)延展知識面，