2022-2023學(xué)年湖南省株洲市高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省株洲市2022-2023年高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分滿分150分，時量120分鐘注意事項：1.所有試題的〖答案〗請在答題卡的指定區(qū)域內(nèi)作答.2.考試結(jié)束后，只交答題卡.第I卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則等于（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗,又.故選：2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.5〖答案〗B〖解析〗由，得，所以，故選：B3.已知角的頂點在坐標(biāo)原點，始邊在軸非負(fù)半軸上，點為角終邊上一點，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為點是角終邊上一點，所以.故選：D.4.在正方體中，E，F(xiàn)分別是線段，的中點，則異面直線，EF所成角余弦值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖所示：F是線段的中點，連接交于F，由正方體的性質(zhì)知，知異面直線，EF所成角即為直線，EF所成角，故或其補(bǔ)角是異面直線EF與所成角.設(shè)正方體邊長為2，在直角中，，，故故選：C5.指數(shù)函數(shù)的圖象如圖所示，則二次函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由指數(shù)函數(shù)的圖象可知：.令，解得，則，對應(yīng)只有B選項符合題意.故選：B6.已知平面向量，則在方向上的投影向量是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在方向上的投影為，又方向上的單位向量為，故在方向上的投影向量是，故選：A.7.已知實數(shù)，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，，，函數(shù)在上為增函數(shù)，，，即，又，，，故選：C．8.已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖象有個交點，其坐標(biāo)為，則（）A.0 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為函數(shù)滿足，所以的圖象關(guān)于直線對稱，令，因為，所以的圖象關(guān)于直線對稱，函數(shù)與圖象有個交點，其坐標(biāo)為，若與關(guān)于直線對稱，與關(guān)于直線對稱，與關(guān)于直線對稱，……，則，令，則，所以所以，故選：C二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列命題正確的是（）A.“”是“”的充分不必要條件B.命題“”的否定是“”C.的充要條件是D.若，則至少有一個大于1〖答案〗BD〖解析〗對于A選項，若則得不到，故不是充分條件；對于B選項，由全稱量詞的否定可判斷其正確；對于C選項，若則得不到，故不是充要條件，C選項錯誤；對于D選項，若均不大于1，則，故至少有一個大于1，故D選項正確；故選：BD.10.若，則下列說法正確的是（）A. B.事件與不互斥C.事件與相互獨立 D.事件與不一定相互獨立〖答案〗BC〖解析〗故錯誤；又所以事件與不互斥，故正確；則事件與相互獨立，故正確；因為事件與相互獨立，所以事件與一定相互獨立，故錯誤.故選：11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若最小正周期為，則B.若，則是的對稱中心C.若在上單調(diào)遞增，則D.若在上恰有2個零點，則〖答案〗AC〖解析〗對于A，若的最小正周期為，則，解得，故A正確；對于B，若，則，所以，所以是的對稱軸，故B錯誤；對于C，時，，因為在上單調(diào)遞增，則，解得，故C正確；對于D，時，，若在上恰有2個零點，則，解得，故D錯誤.故選：AC.12.正八面體是由8個等邊三角形組成的幾何體.如圖所示，正八面體中，下列結(jié)論正確的是（）A.B.平面C.與平面所成角為D.該幾何體的棱長為3時其內(nèi)切球的體積為〖答案〗ABD〖解析〗A.如圖所示：連接EC，BD，相交于點O，因為正八面體是由8個等邊三角形組成的幾何體，所以AF過點O，即CE與AF相交于點O，所以A，C，F(xiàn)，E四點共面，又，所以四邊形ACFE是正方形，所以，故正確；B.因為正八面體是由8個等邊三角形組成的幾何體，所以，又O為中點，所以，同理，又，平面，所以平面，故正確；C.易知是直線與平面所成的角，設(shè)，則，故錯誤；D.設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，易知內(nèi)切球的球心為O，則該幾何體的體積為，解得，所以，故正確，故選：ABD第II卷（非選擇題，共90分）三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，則__________.〖答案〗4〖解析〗由又故〖答案〗為:14.設(shè)正實數(shù)滿足，則的最小值為__________.〖答案〗〖解析〗因為正數(shù)滿足，所以，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以，的最小值為.故〖答案〗為：15.已知圓錐的底面直徑為2，側(cè)面展開圖為半圓，則圓錐的表面積為______.〖答案〗〖解析〗設(shè)圓錐的母線長為，因為圓錐的底面直徑為2，側(cè)面展開圖為半圓所以，即所以圓錐的表面積為故〖答案〗為：16.在中，已知為線段的中點，為線段上一動點，則的最小值為__________.〖答案〗〖解析〗由，得，故，所以，如圖，以點為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，故，所以，當(dāng)時，取得最小值，所以的最小值為.故〖答案〗為：.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的取值范圍.解：（1）由已知得：，，，單調(diào)遞增區(qū)間為：（2）當(dāng)，所以當(dāng)，即時，取得最小值當(dāng)，即時，取得最大值，所以的取值范圍為18.2023年中國經(jīng)濟(jì)將會進(jìn)一步發(fā)展，但也會面臨一些挑戰(zhàn).某地為了幫助中小微企業(yè)渡過難關(guān)，給予企業(yè)一定的專項貸款資金支持.如圖是該地120家中小微企業(yè)的專項貸款金額（萬元）的頻率分布直方圖：（1）確定的值，并估計這120家中小微企業(yè)的專項貸款金額的第50百分位數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）；（2）按專項貸款金額進(jìn)行分層抽樣，從這120家中小微企業(yè)中隨機(jī)抽取20家，記專項貸款金額在內(nèi)應(yīng)抽取的中小微企業(yè)數(shù)為.①求的值；②從這家中小微企業(yè)中隨機(jī)抽取3家，求這3家中小微企業(yè)的專項貸款金額都在內(nèi)的概率.解：（1）由頻率分布直方圖，得，解得.設(shè)第50百分位數(shù)為，專項貸款金額在內(nèi)的頻率為0.45，在內(nèi)的頻率為0.3，.所以第50百分位數(shù)在內(nèi)，所以（，解得，所以估計這120家中小微企業(yè)的專項貸款金額的第50百分位數(shù)為158萬元.（2）①由題意，得抽取比例為，.專項貸款金額在內(nèi)的中小微企業(yè)有家，所以應(yīng)抽取家，所以.②在抽取的5家中小微企業(yè)中，專項貸款金額在[200，250）內(nèi)的有家，記為，專項貸款金額在內(nèi)的有家，記為.從這5家中小微企業(yè)中隨機(jī)抽取3家的可能情況為，，共10種，其中這3家中小微企業(yè)的專項貸款金額都在[200，250）內(nèi)的情況為，，共4種，所以所求概率.19.已知三個內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求角的大??；（2）若，求的內(nèi)切圓面積的最大值.解：（1），由正弦定理得：.即，，，，可得，所以.（2）由（1）得為直角三角形，，如圖所示，設(shè)直角三角形內(nèi)切圓圓心為，切點分別為，則，且，所以，故，解得，故的內(nèi)切圓半徑.由知，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故取最大值，此時的內(nèi)切圓面積為.20.某醫(yī)學(xué)研究所研發(fā)一種藥物，據(jù)監(jiān)測，如果成人在內(nèi)按規(guī)定的劑量注射該藥，在注射期間，血液中的藥物含量呈線性增加；停止注射后，血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減，每毫升血液中的藥物含量與服藥后的時間之間近似滿足如圖所示的曲線，其中是線段，曲線段是函數(shù)（，是常數(shù)）的圖象，且.（1）寫出注射該藥后每毫升血液中藥物含量關(guān)于時間的函數(shù)關(guān)系式；（2）據(jù)測定：每毫升血液中藥物含量不少于時治療有效，如果某人第一次注射藥物為早上8點，為保持療效，第二次注射藥物最遲是當(dāng)天幾點鐘？（3）若按（2）中的最遲時間注射第二次藥物，則第二次開始注射到達(dá)時，此刻該人每毫升血液中藥物含量為多少？（參考數(shù)據(jù)：）解：（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，把代入是常數(shù)得：，解得：（2）設(shè)第一次注射藥物后最遲過小時注射第二次藥物，其中.則，解得：第一次注射藥物后開始第二次注射藥物，即最遲13點注射藥物.（3）第二次注射藥物后，每毫升血液中第一次注射藥物的含量：每毫升血液中第二次注射藥物的含量：，所以此時兩次注射藥物后的藥物含量為：.21.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，面為棱上一動點.（1）平面與平面是否相互垂直？如果垂直，請證明；如果不垂直，請說明理由；（2）若為的中點，求二面角的余弦值.（1）證明：垂直，理由如下：平面平面，四邊形是正方形，，平面，平面，平面，平面，平面，平面，平面，平面平面平面.（2）解：連接交于點，過作于點，過作于點，連接；面，面，又面又面，，面面面面則，綜上，為二面角的平面角，為的中點，結(jié)合，，設(shè)，則，易知，在Rt中，，二面角的余弦值為.22.已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性并加以證明；（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為5，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增；由，則，即，解得，所以函數(shù)的定義域為，設(shè)，則，，，，，，所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增；（2）設(shè)，由（1）可知在區(qū)間單調(diào)遞增，，即，設(shè)，，則在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以；原問題等價于在區(qū)間的最大值為，求實數(shù)的取值范圍；當(dāng)時，，，得，不合題意，舍去；當(dāng)時，，此時命題成立；當(dāng)時，，則或，解得，綜上可得，實數(shù)的取值范圍為.湖南省株洲市2022-2023年高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分滿分150分，時量120分鐘注意事項：1.所有試題的〖答案〗請在答題卡的指定區(qū)域內(nèi)作答.2.考試結(jié)束后，只交答題卡.第I卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則等于（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗,又.故選：2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.5〖答案〗B〖解析〗由，得，所以，故選：B3.已知角的頂點在坐標(biāo)原點，始邊在軸非負(fù)半軸上，點為角終邊上一點，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為點是角終邊上一點，所以.故選：D.4.在正方體中，E，F(xiàn)分別是線段，的中點，則異面直線，EF所成角余弦值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖所示：F是線段的中點，連接交于F，由正方體的性質(zhì)知，知異面直線，EF所成角即為直線，EF所成角，故或其補(bǔ)角是異面直線EF與所成角.設(shè)正方體邊長為2，在直角中，，，故故選：C5.指數(shù)函數(shù)的圖象如圖所示，則二次函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由指數(shù)函數(shù)的圖象可知：.令，解得，則，對應(yīng)只有B選項符合題意.故選：B6.已知平面向量，則在方向上的投影向量是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在方向上的投影為，又方向上的單位向量為，故在方向上的投影向量是，故選：A.7.已知實數(shù)，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，，，函數(shù)在上為增函數(shù)，，，即，又，，，故選：C．8.已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖象有個交點，其坐標(biāo)為，則（）A.0 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為函數(shù)滿足，所以的圖象關(guān)于直線對稱，令，因為，所以的圖象關(guān)于直線對稱，函數(shù)與圖象有個交點，其坐標(biāo)為，若與關(guān)于直線對稱，與關(guān)于直線對稱，與關(guān)于直線對稱，……，則，令，則，所以所以，故選：C二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列命題正確的是（）A.“”是“”的充分不必要條件B.命題“”的否定是“”C.的充要條件是D.若，則至少有一個大于1〖答案〗BD〖解析〗對于A選項，若則得不到，故不是充分條件；對于B選項，由全稱量詞的否定可判斷其正確；對于C選項，若則得不到，故不是充要條件，C選項錯誤；對于D選項，若均不大于1，則，故至少有一個大于1，故D選項正確；故選：BD.10.若，則下列說法正確的是（）A. B.事件與不互斥C.事件與相互獨立 D.事件與不一定相互獨立〖答案〗BC〖解析〗故錯誤；又所以事件與不互斥，故正確；則事件與相互獨立，故正確；因為事件與相互獨立，所以事件與一定相互獨立，故錯誤.故選：11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若最小正周期為，則B.若，則是的對稱中心C.若在上單調(diào)遞增，則D.若在上恰有2個零點，則〖答案〗AC〖解析〗對于A，若的最小正周期為，則，解得，故A正確；對于B，若，則，所以，所以是的對稱軸，故B錯誤；對于C，時，，因為在上單調(diào)遞增，則，解得，故C正確；對于D，時，，若在上恰有2個零點，則，解得，故D錯誤.故選：AC.12.正八面體是由8個等邊三角形組成的幾何體.如圖所示，正八面體中，下列結(jié)論正確的是（）A.B.平面C.與平面所成角為D.該幾何體的棱長為3時其內(nèi)切球的體積為〖答案〗ABD〖解析〗A.如圖所示：連接EC，BD，相交于點O，因為正八面體是由8個等邊三角形組成的幾何體，所以AF過點O，即CE與AF相交于點O，所以A，C，F(xiàn)，E四點共面，又，所以四邊形ACFE是正方形，所以，故正確；B.因為正八面體是由8個等邊三角形組成的幾何體，所以，又O為中點，所以，同理，又，平面，所以平面，故正確；C.易知是直線與平面所成的角，設(shè)，則，故錯誤；D.設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，易知內(nèi)切球的球心為O，則該幾何體的體積為，解得，所以，故正確，故選：ABD第II卷（非選擇題，共90分）三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，則__________.〖答案〗4〖解析〗由又故〖答案〗為:14.設(shè)正實數(shù)滿足，則的最小值為__________.〖答案〗〖解析〗因為正數(shù)滿足，所以，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以，的最小值為.故〖答案〗為：15.已知圓錐的底面直徑為2，側(cè)面展開圖為半圓，則圓錐的表面積為______.〖答案〗〖解析〗設(shè)圓錐的母線長為，因為圓錐的底面直徑為2，側(cè)面展開圖為半圓所以，即所以圓錐的表面積為故〖答案〗為：16.在中，已知為線段的中點，為線段上一動點，則的最小值為__________.〖答案〗〖解析〗由，得，故，所以，如圖，以點為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，故，所以，當(dāng)時，取得最小值，所以的最小值為.故〖答案〗為：.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的取值范圍.解：（1）由已知得：，，，單調(diào)遞增區(qū)間為：（2）當(dāng)，所以當(dāng)，即時，取得最小值當(dāng)，即時，取得最大值，所以的取值范圍為18.2023年中國經(jīng)濟(jì)將會進(jìn)一步發(fā)展，但也會面臨一些挑戰(zhàn).某地為了幫助中小微企業(yè)渡過難關(guān)，給予企業(yè)一定的專項貸款資金支持.如圖是該地120家中小微企業(yè)的專項貸款金額（萬元）的頻率分布直方圖：（1）確定的值，并估計這120家中小微企業(yè)的專項貸款金額的第50百分位數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）；（2）按專項貸款金額進(jìn)行分層抽樣，從這120家中小微企業(yè)中隨機(jī)抽取20家，記專項貸款金額在內(nèi)應(yīng)抽取的中小微企業(yè)數(shù)為.①求的值；②從這家中小微企業(yè)中隨機(jī)抽取3家，求這3家中小微企業(yè)的專項貸款金額都在內(nèi)的概率.解：（1）由頻率分布直方圖，得，解得.設(shè)第50百分位數(shù)為，專項貸款金額在內(nèi)的頻率為0.45，在內(nèi)的頻率為0.3，.所以第50百分位數(shù)在內(nèi)，所以（，解得，所以估計這120家中小微企業(yè)的專項貸款金額的第50百分位數(shù)為158萬元.（2）①由題意，得抽取比例為，.專項貸款金額在內(nèi)的中小微企業(yè)有家，所以應(yīng)抽取家，所以.②在抽取的5家中小微企業(yè)中，專項貸款金額在[200，250）內(nèi)的有家，記為，專項貸款金額在內(nèi)的有家，記為.從這5家中小微企業(yè)中隨機(jī)抽取3家的可能情況為，，共10種，其中這3家中小微企業(yè)的專項貸款金額都在[200，250）內(nèi)的情況為，，共4種，所以所求概率.19.已知三個內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求角的大??；（2）若，求的內(nèi)切圓面積的最大值.解：（1），由正弦定理得：.即，，，，可得，所以.（2）由（1）得為直角三角形，，如圖所示，設(shè)直角三角形內(nèi)切圓圓心為，切點分別為，則，且，所以，故，解得，故的內(nèi)切圓半徑.由知，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故取最大值，此時的內(nèi)切圓面積為.20.某醫(yī)學(xué)研究所研發(fā)一種藥物，據(jù)監(jiān)測，如果成人在內(nèi)按規(guī)定的劑量注射該藥，在注射期間，血液中的藥物含量呈線性增加；停止注射后，血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減，每毫升血液中的藥物含量與服藥后的時間之間近似滿足如圖