斐波那契數(shù)列與黃金分割

斐波那契數(shù)列與黃金分割1

意大利的數(shù)學(xué)家列昂那多·斐波那契在1202年研究兔子產(chǎn)崽問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn)了此數(shù)列．設(shè)一對(duì)大兔子每月生一對(duì)小兔子，每對(duì)新生兔在出生一個(gè)月后又下崽，假若兔子都不死亡．問(wèn)：一對(duì)兔子，一年能繁殖成多少對(duì)兔子？（取自斐波那契的《算盤(pán)書(shū)》（1202年））一、斐波那契數(shù)列2

題中本質(zhì)上有兩類(lèi)兔子：一類(lèi)是能生殖的兔子，簡(jiǎn)稱(chēng)為大兔子；新生的兔子不能生殖，簡(jiǎn)稱(chēng)為小兔子；小兔子一個(gè)月就長(zhǎng)成大兔子．求的是大兔子與小兔子的總和．

列表考察兔子的逐月繁殖情況月份ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫ大兔對(duì)數(shù)1123581321345589144小兔對(duì)數(shù)01123581321345589

到十二月時(shí)有大兔子144對(duì)，小兔子89對(duì)，共有兔子144+89=233對(duì)3月份ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫ大兔對(duì)數(shù)1123581321345589144小兔對(duì)數(shù)01123581321345589從上表看出：①每月小兔對(duì)數(shù)=上月大兔對(duì)數(shù)。②每月大兔對(duì)數(shù)等于上個(gè)月大兔對(duì)數(shù)與小兔對(duì)數(shù)之和．綜合①②兩點(diǎn)，我們就有：每月大兔對(duì)數(shù)等于前兩個(gè)月大兔對(duì)數(shù)之和．

如果用un

表示第n

月的大兔對(duì)數(shù)，則有un=un-1+un-2,n>2每月大兔對(duì)數(shù)un

排成數(shù)列為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，???此數(shù)列稱(chēng)為斐波那契數(shù)列．4此數(shù)列有下述遞推公式：

u1=1，u2=1，un=un-1+un-2

，n>2．斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，???上述數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱(chēng)為斐波那契數(shù)．用數(shù)學(xué)歸納法，可推得斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式：5斐波那契數(shù)列前一項(xiàng)與后面一項(xiàng)的比的極限：這個(gè)數(shù)正是有名的黃金分割數(shù)．6數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域常常奇妙而出乎意料地聯(lián)系在一起．斐波那契數(shù)列是從兔子問(wèn)題中抽象出來(lái)的，如果它在其它方面沒(méi)有應(yīng)用，它就不會(huì)有強(qiáng)大的生命．發(fā)人深省的是，斐波那契數(shù)列確實(shí)在許多問(wèn)題中出現(xiàn)．7自然界中的斐波那契數(shù)花瓣數(shù)中的斐波那契數(shù)大多數(shù)植物的花，其花瓣數(shù)都恰是斐波那契數(shù)．例如，蘭花、茉利花、百合花有3個(gè)花瓣，毛茛屬的植物有5個(gè)花瓣，翠雀屬植物有8個(gè)花瓣，萬(wàn)壽菊屬植物有13個(gè)花瓣，紫菀屬植物有21個(gè)花瓣，雛菊屬植物有34、55或89個(gè)花瓣．8向日葵花盤(pán)內(nèi)葵花子排列的螺線(xiàn)數(shù)．9向日葵花盤(pán)內(nèi)，種子是按對(duì)數(shù)螺線(xiàn)排列的，有順時(shí)針轉(zhuǎn)和逆時(shí)針轉(zhuǎn)的兩組對(duì)數(shù)螺線(xiàn)。兩組螺線(xiàn)的條數(shù)往往成相繼的兩個(gè)斐波那契數(shù)，一般是34和55，大向日葵是89和144，還曾發(fā)現(xiàn)過(guò)一個(gè)更大的向日葵有144和233條螺線(xiàn)，它們都是相繼的兩個(gè)斐波那契數(shù)．10證券投資的艾略特“波浪理論”

1934年美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家艾略特在通過(guò)大量資料分析、研究后，發(fā)現(xiàn)了股指增減的微妙規(guī)律，并提出了頗有影響的“波浪理論”．該理論認(rèn)為：股指波動(dòng)的一個(gè)完整過(guò)程（周期）是由波形圖（股指變化的圖象）上的8（或5）個(gè)波組成，其中5上3下（或3上2下），如圖，無(wú)論從小波還是從大波波形上看，均如此．注意這兒的2、3、5、8均系斐波那契數(shù)列中的數(shù)．

同時(shí)，每次股指的增長(zhǎng)幅度常循斐波那契數(shù)列中數(shù)字規(guī)律完成．比如：如果某日股指上升8點(diǎn)，則股指下一次攀升點(diǎn)數(shù)為13；若股指回調(diào)，其幅度應(yīng)在5點(diǎn)左右．5、8、13為斐氏數(shù)列的相鄰三項(xiàng)．11二、黃金分割著名天文學(xué)家開(kāi)普勒說(shuō)：幾何學(xué)里有兩個(gè)寶庫(kù)，一個(gè)是畢達(dá)哥拉斯定理，一個(gè)是黃金分割．前者可以比作金礦，后者可以比作珍貴的鉆石礦．12兩千年前，希臘數(shù)學(xué)家考慮如下問(wèn)題：設(shè)線(xiàn)段AB

，在A(yíng)B

上找一點(diǎn)C

，使得令于是有可化為一元二次方程該方程的根為13于是其倒數(shù)即C

點(diǎn)約在A(yíng)B

長(zhǎng)度的0.618

的位置上．希臘數(shù)學(xué)家把這個(gè)幾何問(wèn)題里的點(diǎn)C

叫作黃金分割點(diǎn)，這個(gè)比值

稱(chēng)為黃金分割數(shù)．14以AB

，AC

為邊作矩形，這個(gè)矩形稱(chēng)為黃金矩形．國(guó)旗所在的矩形是黃金矩形．15矩形長(zhǎng)×寬寬與長(zhǎng)之比18×55:8=0.625213×88:13=0.615321×1313:21=0.619434×2121:34=0.618所選的四個(gè)矩形的長(zhǎng)與寬，它們的比都接近于0.618，即都接近黃金矩形．19世紀(jì)中葉，德國(guó)心理學(xué)家費(fèi)希納曾經(jīng)做過(guò)一次試驗(yàn)．他召開(kāi)一次“矩形展覽會(huì)”，會(huì)上展出了他精心制作的各種矩形，要求參觀(guān)者投票選擇各自認(rèn)為最美的矩形．結(jié)果以下四種矩形入選：16美麗的五角星，五角星中可以找到的所有線(xiàn)段之間的長(zhǎng)度關(guān)系都是符合黃金分割比的．17黃金分割是公元前六世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯所發(fā)現(xiàn)，后來(lái)古希臘美學(xué)家柏拉圖將此稱(chēng)為黃金分割．

0.618，以嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值．黃金分割之所以稱(chēng)為“黃金”分割，是比喻這一“分割”如黃金一樣珍貴。黃金比，是工藝美術(shù)、建筑、攝影等許多藝術(shù)門(mén)類(lèi)中審美的因素之一。認(rèn)為它表現(xiàn)了恰到好處的“合諧”．18隨著人類(lèi)對(duì)自然界（動(dòng)物、植物、宇宙、人類(lèi)自身）的認(rèn)識(shí)的日益深入，人類(lèi)關(guān)于“黃金分割比”這一神奇比例的了解也越來(lái)越豐富，人們發(fā)現(xiàn)自然界中這一神奇比例幾乎無(wú)所不在。從低等的動(dòng)植物到高等的人類(lèi)，從數(shù)學(xué)到天文現(xiàn)象中，幾乎都暗含著這種比例結(jié)構(gòu)。19黃金分割大量地出現(xiàn)在繪畫(huà)藝術(shù)中，并形成了黃金分割學(xué)派，其中包括達(dá)·芬奇、A.丟勒、G.西雷特等許多畫(huà)家．

15世紀(jì)和16世紀(jì)早期，幾乎所有的繪畫(huà)大師都試圖將繪畫(huà)中的數(shù)學(xué)原理與數(shù)學(xué)和諧和主要目的結(jié)合起來(lái)．米開(kāi)朗琪羅、拉斐爾及其他許多藝術(shù)家都對(duì)數(shù)學(xué)有濃厚的興趣，而且力圖將數(shù)學(xué)應(yīng)用于藝術(shù)．20例如，畫(huà)家波提切利的名作“維納斯的誕生”女神維納斯從愛(ài)琴海中浮水而出，花神、風(fēng)神迎送左右的情形．畫(huà)中也包含了黃金分割．21畫(huà)家A.丟勒尋求將人體的形狀歸結(jié)為數(shù)學(xué)原理，這在他的數(shù)以百計(jì)的素描中得到證明．A.丟勒的人體素描．22達(dá)·芬奇是一位對(duì)科學(xué)有廣泛研究的學(xué)者，他對(duì)人類(lèi)身體的各種比例進(jìn)行了具體測(cè)量，1409年，根據(jù)維特魯維之理論創(chuàng)作了《人體比例圖》（StudyofHumanProportionsAccordingtoVitruvious）。而在《論繪畫(huà)》一書(shū)達(dá)·芬奇指出：“美感完全建立在各部分之間神圣的比例關(guān)系上，各特征必須同時(shí)作用，才能產(chǎn)生使觀(guān)眾如醉如癡的和諧比例?！痹谶@一時(shí)期，藝術(shù)家們自覺(jué)地被黃金分割的魅力所誘惑而使數(shù)學(xué)研究與藝術(shù)創(chuàng)作緊密地結(jié)合起來(lái)，并對(duì)后來(lái)的形式美學(xué)與實(shí)驗(yàn)美學(xué)產(chǎn)生了巨大影響。黃金分割出現(xiàn)在達(dá)·芬奇的許多著名作品中，如《蒙娜麗莎》、《最后的晚餐》和未完成的作品《圣徒杰羅姆》（SaintJerome）。應(yīng)當(dāng)認(rèn)為這不是偶然的巧合，而是達(dá)·芬奇有目的地使畫(huà)像與黃金分割相一致。因?yàn)樵谶_(dá)·芬奇的著作和思路中，處處表現(xiàn)出對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用的強(qiáng)烈興趣。達(dá)·芬奇說(shuō)過(guò)：“沒(méi)有什么能不通過(guò)人類(lèi)的探求而稱(chēng)之為科學(xué)的，除非它是通過(guò)數(shù)學(xué)的解釋和證明的途徑?！?3達(dá)·芬奇自畫(huà)像24

達(dá)·芬奇廣泛研究了人類(lèi)身體的各種比例，右面一張圖畫(huà)的是他對(duì)人體的詳細(xì)研究，而且圖中標(biāo)明了黃金分割的應(yīng)用。這是一張他為數(shù)學(xué)家Ｌ·帕西歐里的書(shū)《神奇的比例》所作的圖解，該書(shū)出版于１５０９年。達(dá)·芬奇與黃金分割2526畫(huà)中耶穌位于正中央，雙手?jǐn)傞_(kāi)，兩臂與周?chē)目臻g形成了一大一小兩個(gè)倒三角形。27未完成的作品《圣徒杰羅姆》（SaintJerome），該畫(huà)約作于公元1483年。在作品中，圣徒杰羅姆的像完全位于畫(huà)上附加的黃金矩形內(nèi)。28神奇的“黃金分割比”自古至今也出現(xiàn)在許多偉大畫(huà)家的著名作品中，如米開(kāi)朗基羅的《圣家庭》（HolyFamily）就是典型的例子，它的人物構(gòu)圖布置中包含著一個(gè)“黃金五角星”。29拉斐爾的《刑罰》(Crucifixion)人物布局以“黃金三角形”和“黃金五角星”展開(kāi)。30現(xiàn)代繪畫(huà)中超現(xiàn)實(shí)主義畫(huà)家達(dá)利（SalvadorDali，1904-1989）的《最后的圣餐》（TheSacramentoftheLastSupper）最能說(shuō)明問(wèn)題，整幅畫(huà)面置于一個(gè)“黃金矩形”之中，而人物的布置也包含著黃金比例，餐桌的上方是一個(gè)巨大的十二面體的一部分，這個(gè)多面體包含12個(gè)符合黃金比例的五邊形。31黃金分割與人體關(guān)系人們發(fā)現(xiàn)，在人體中也包含著多種“黃金分割”的比例因素，至少可以找出18個(gè)“黃金點(diǎn)”（如：臍為頭頂至腳底之分割點(diǎn)、喉結(jié)為頭頂至臍分割點(diǎn)、眉間點(diǎn)為發(fā)緣點(diǎn)至頦下的分割點(diǎn)等）

15個(gè)“黃金矩形”（如軀干輪廓、頭部輪廓、面部輪廓、口唇輪廓等）、6個(gè)“黃金指數(shù)”（如鼻唇指數(shù)是指鼻翼寬度與口裂長(zhǎng)之比、唇目指數(shù)是指口裂長(zhǎng)度與兩眼外眥間距之比、唇高指數(shù)是指面部中線(xiàn)上下唇紅高度之比等）、3個(gè)“黃金三角”（如外鼻正面觀(guān)三角、外鼻側(cè)面觀(guān)三角、鼻根點(diǎn)至兩側(cè)口角點(diǎn)組成的三角等）。人的面部就包含多個(gè)“黃金矩形”，如眉間點(diǎn)：發(fā)際－頦底間距上1/3與中下2/3之分割點(diǎn)；鼻下點(diǎn)：發(fā)際－頦底間距下1/3與上中2/3之分割點(diǎn)；唇珠點(diǎn)：鼻底－頦底間距上1/3與中下2/3之分割點(diǎn)；頦唇溝正路點(diǎn)：鼻底－頦底間距下1/3與上中2/3之分割點(diǎn)；左口角點(diǎn)：口裂水平線(xiàn)左1/3與右2/3之分割點(diǎn)；右口角點(diǎn)：口裂水平線(xiàn)右1/3與左2/3之分割點(diǎn)。

32健美的人體（如古希臘雕塑《米羅的維納斯》看上去健美漂亮就是典型的例子，19世紀(jì)以來(lái)，世界各國(guó)的選美標(biāo)準(zhǔn)大部分都依據(jù)《米羅的維納斯》身材各部分的尺寸。她的體形符合希臘人關(guān)于美的理想與規(guī)范，身長(zhǎng)比例接近所追求的人體美標(biāo)準(zhǔn)，即身與頭之比為8∶1。由于8為3加5之和，這就可以分割成1∶3∶5，這就是“黃金分割律”，這個(gè)比例成為后代藝術(shù)家創(chuàng)造人體美的準(zhǔn)則。）亦有多組比例符合黃金分割比。如人的臍部到頭頂?shù)木嚯x與臍部高度之比、頭頂?shù)脚e手指端的距離與臍部到頭頂距離之比、膝蓋到肚臍同膝蓋到腳底之比，都符合黃金分割。3334高雅的藝術(shù)殿堂里，自然也留下了黃金數(shù)的足跡．畫(huà)家們發(fā)現(xiàn)，0.618:1來(lái)設(shè)計(jì)腿長(zhǎng)與身高的比例，畫(huà)出的人體身材最優(yōu)美，而現(xiàn)今的女性，腰身以下的長(zhǎng)度平均只占身高的0.58，因此古希臘維納斯女神塑像及太陽(yáng)神阿波羅的形象都通過(guò)故意延長(zhǎng)雙腿，使之與身高的比值為0.618，從而創(chuàng)造藝術(shù)美．難怪許多姑娘都愿意穿上高跟鞋，而芭蕾舞演員則在翩翩起舞時(shí)，不時(shí)地踮起腳尖．35人的生命的生物和生理現(xiàn)象中也包含著這個(gè)神奇的比例。如：當(dāng)外界環(huán)境溫度為人體溫度的0.618倍時(shí)，人會(huì)感到最舒服．人的正常體溫是36.5℃，對(duì)多數(shù)人而言，最感快意的溫度是22－23℃，同人的體溫之比大約是在0.618左右；醫(yī)學(xué)專(zhuān)家也觀(guān)察到，當(dāng)人的腦電波頻率下限是8赫茲，而上限是12.9赫茲，上下限的比率接近于0.618時(shí)，乃是身心最具快樂(lè)歡愉之感的時(shí)刻．正常人的心跳在心電圖上也顯示出T波出現(xiàn)的位置恰好大約是一次心跳節(jié)拍的“黃金分割”位置上（如圖）．組成人體含量最多的物質(zhì)是水，成年人體水分占體重的0.618．靜脈和毛細(xì)血管中含血量約占全血量的0.618，一次最大呼氣量占肺部氣體總量的0.618．我們正常血壓的舒張壓與收縮壓的比例關(guān)系，我們正常睡眠時(shí)間與活動(dòng)時(shí)間的比例關(guān)系也都符合這一比例．36還有人類(lèi)的消化道總長(zhǎng)9米，其0.618處為5.5米，正是小腸的長(zhǎng)度，恰合黃金分割率．而營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)的消化吸收，就在小腸進(jìn)行．這一特點(diǎn)，適合以素食為主的混合膳食結(jié)構(gòu)，素食應(yīng)占食物總量的0.618．蛋白質(zhì)是最重要的營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)，它由20個(gè)氨基酸組成，人體在合成自身蛋白質(zhì)時(shí)，20個(gè)的0.618，即12個(gè)氨基酸能由機(jī)體自身細(xì)胞生產(chǎn)，只有另外8個(gè)氨基酸要由食物來(lái)供給．這8個(gè)氨基酸含有的豐富的蛋白質(zhì)稱(chēng)為優(yōu)質(zhì)蛋白質(zhì)，如動(dòng)物性食物和豆類(lèi)．膳食結(jié)構(gòu)中，優(yōu)質(zhì)蛋白應(yīng)占總蛋白質(zhì)的0.618，才能保證機(jī)體的正常新陳代謝，又恰合黃金分割率。社會(huì)科學(xué)家長(zhǎng)期的研究與統(tǒng)計(jì)結(jié)果也表明,如果人的平均壽命是70歲的話(huà),那么成年時(shí)期的頂峰年齡將是45歲,二者的比例關(guān)系接近0.618．人在45歲左右是最富有創(chuàng)造力的年齡，人們經(jīng)過(guò)幾十年的艱苦創(chuàng)業(yè)與拼搏,可以積累出最大的精神與物質(zhì)財(cái)富．人在此時(shí)最成熟,社會(huì)閱歷最豐富．37可見(jiàn)，黃金比率在人的世界（無(wú)論是生物環(huán)境還是社會(huì)環(huán)境）中幾乎是無(wú)所不在的．最有意味的是，在人的生命程序DNA分子中，也包含著“黃金分割比”．它的每個(gè)雙螺旋結(jié)構(gòu)中都是由長(zhǎng)34個(gè)埃與寬21個(gè)埃之比組成的，當(dāng)然34和21是斐波那契系列中的數(shù)字，它們的比率為1.6190476，非常接近黃金分割的1.6180339。這是否說(shuō)明黃金分割律是比DNA中的遺傳密碼更基本的東西？因?yàn)槌休dDNA的結(jié)構(gòu)——雙螺旋結(jié)構(gòu)——也遵循黃金分割律．黃金分割律也許是我們的宇宙的DNA中的遺傳密碼？38在植物中，無(wú)論是挺拔魁梧的喬木還是矮小秀雅的灌木，它們所形成的直的或橫的長(zhǎng)方形常常接近黃金分割比例。諸如牡丹、月季、荷花、菊花等觀(guān)賞性花卉含苞欲放時(shí)，花蕾呈直的橢圓形，且長(zhǎng)短軸的比例大致接近于黃金分割。在有些植物的莖上，兩張相鄰的葉片的夾角是137°28′．你從植物莖的頂端向下看，經(jīng)細(xì)心觀(guān)察，測(cè)量，發(fā)現(xiàn)上下層中相鄰的兩片葉子之間約成137.5°角．如果每層葉子只畫(huà)一片來(lái)代表，第一層和第二層的相鄰兩葉之間的角度差約是137.5°，以后二到三層，三到四層，四到五層……兩葉之間都成這個(gè)角度．植物學(xué)家經(jīng)過(guò)計(jì)算表明：這個(gè)角度對(duì)葉子的采光、通風(fēng)都是最佳的．葉子的排布，多么精巧！39葉子間的137.5°角中，藏有什么“秘密”呢？我們知道，一周是360°，

360°－137.5°=222.5°

137.5°∶222.5°≈0.618．

葉子的精巧而神奇的排布中，竟然隱藏著0.618．有些植物的花瓣及主干上枝條的生長(zhǎng)，也是符合這個(gè)規(guī)律的．40葉子中的黃金分割圖中主葉脈與葉柄和主葉脈的長(zhǎng)度之和比約為0.618．41在動(dòng)物界，形體優(yōu)美的動(dòng)物形體，如馬，騾、獅、虎、豹、犬等，凡看上去健美的，其身體部分長(zhǎng)與寬的比例也大體上接近與黃金分割如：蝴蝶身長(zhǎng)與雙翅展開(kāi)后的長(zhǎng)度之比也接近0.618。0.618隨處可見(jiàn)!42螺線(xiàn)中的秘密4344既然“黃金分割”對(duì)人類(lèi)的審美標(biāo)準(zhǔn)有如此重要的影響，就不難理解為什么藝術(shù)家、建筑家、設(shè)計(jì)師等在自己的藝術(shù)與設(shè)計(jì)中總是鐘情于它的應(yīng)用了?！包S金分割”無(wú)論在古代還是現(xiàn)代世界的藝術(shù)乃至實(shí)用品中的普遍應(yīng)用不勝枚舉。以建筑藝術(shù)為例，世界上最有名的建筑物中幾乎都包含“黃金分割比”。無(wú)論是古埃及的金字塔、古希臘的帕特農(nóng)神殿、印度泰姬陵、中國(guó)故宮、法國(guó)巴黎圣母院這些著名的古代建筑，還是遍布全球的眾多優(yōu)秀近現(xiàn)代建筑，盡管其風(fēng)格各異，但在構(gòu)圖布局設(shè)計(jì)方面,都有意無(wú)意地運(yùn)用了黃金分割的法則,給人以整體上的和諧與悅目之美。在一些摩天建筑中使用“黃金分割點(diǎn)”進(jìn)行處理，能使平直單調(diào)的塔身變得豐富多彩；在這類(lèi)高層建筑物的黃金分割處布置腰線(xiàn)或裝飾物，則可使整個(gè)樓群顯得雄偉雅致。舉世聞名的法國(guó)巴黎埃菲爾鐵塔、當(dāng)今世界最高建筑之一的加拿大多倫多電視塔（553.33米），都是根據(jù)黃金分割的原則來(lái)建造的。45上海的東方明珠廣播電視塔，塔身高達(dá)468米。為了美化塔身，設(shè)計(jì)師巧妙地在上面裝置了晶瑩耀眼的上球體、下球體和太空艙，既可供游人登高俯瞰地面景色，又使筆直的塔身有了曲線(xiàn)變化。更妙的是，上球體所選的位置在塔身總高度5∶8的地方，即從上球體到塔頂?shù)木嚯x，同上球體到地面的距離大約是5∶8這一符合黃金分割之比的安排，使塔體挺拔秀美，具有審美效果。

46古希臘帕提儂神廟是舉世聞名的完美建筑，它的高和寬的比是0.618.建筑師們發(fā)現(xiàn)，按這樣的比例來(lái)設(shè)計(jì)殿堂，殿堂更加雄偉、美麗；去設(shè)計(jì)別墅，別墅將更加舒適、美麗．連一扇門(mén)窗若設(shè)計(jì)為黃金矩形都會(huì)顯得更加協(xié)調(diào)和令人賞心悅目．47攝影中常用“黃金分割”來(lái)構(gòu)圖.天地天海、地風(fēng)景照片中，地平線(xiàn)位置的安排48黃金分割在優(yōu)美的音樂(lè)和詩(shī)歌中同樣可以找到．據(jù)說(shuō)，公元前6世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras，公元前580-500年)有一天路過(guò)一個(gè)鐵匠鋪，被里面清脆悅耳的打鐵聲吸引住了，駐足細(xì)聽(tīng)，憑直覺(jué)認(rèn)定這聲音有“秘密”．他走進(jìn)鋪里，仔細(xì)測(cè)量了鐵砧和鐵錘的大小，發(fā)現(xiàn)它們之間的比例近乎于1∶0.618．后來(lái)音樂(lè)家們則是有意識(shí)地利用這種比例來(lái)“美化”其作品．在一些樂(lè)曲的創(chuàng)作技法上，將高潮，或者是音程、節(jié)奏的轉(zhuǎn)折點(diǎn)安排在全曲的黃金分割點(diǎn)0.618．例如要?jiǎng)?chuàng)作89節(jié)的樂(lè)曲，其高潮便在55節(jié)處．49“黃金分割比”在日常生活中有廣泛的應(yīng)用。例如，所有讓人感到賞心悅目的矩形，包括電視屏幕、寫(xiě)字臺(tái)面、書(shū)籍、門(mén)窗等，其短邊與長(zhǎng)邊之比大多為0.618。甚至連火柴盒、國(guó)旗的長(zhǎng)寬比例，都恪守0.618比值。在晚會(huì)上，報(bào)幕員在舞臺(tái)上的最佳位置，是舞臺(tái)寬度的0.618之處；二胡要獲得最佳音色，其“千斤”則須放在琴弦長(zhǎng)度的0.618處。小說(shuō)、戲劇的高潮在整個(gè)作品的0.618處較好。在消費(fèi)領(lǐng)域中也可妙用0.618這個(gè)“黃金數(shù)”，獲得“物美價(jià)廉”的效果。據(jù)專(zhuān)家介紹，在同一商品有多個(gè)品種、多種價(jià)值情況下，將高檔價(jià)格減去低檔價(jià)格再乘以0.618，即為挑選商品的首選價(jià)格。甚至在買(mǎi)賣(mài)股票的操作中也能以黃金分割線(xiàn)作為指導(dǎo)（股價(jià)極容易在由0.382，0.618，1.382，1.618這四個(gè)數(shù)產(chǎn)生的黃金分割線(xiàn)處產(chǎn)生支撐和壓力）。內(nèi)含“黃金分割比”的五角星形狀也非常耐人尋味，世界上有將近40個(gè)國(guó)家（如中國(guó)、美國(guó)、朝鮮、土耳其、古巴等等）的國(guó)旗上上的“星”都是五角形的星。50只要留心，到處都可發(fā)現(xiàn)黃金數(shù)這位美的“使者”的足跡．黃金分割規(guī)律還為直接最優(yōu)化方法的建立提供了依據(jù)。優(yōu)選法是一種求最優(yōu)化問(wèn)題的方法，即怎樣才能使產(chǎn)量最高、質(zhì)量最好、消耗最少．人們通過(guò)大量試驗(yàn)來(lái)尋找最優(yōu)解．如何安排試驗(yàn)，較快較省地求得最優(yōu)解，這就是直接最優(yōu)化方法．如果將實(shí)驗(yàn)點(diǎn)定在區(qū)間的0.618左右，那么實(shí)驗(yàn)的次數(shù)將大大減少．實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)表明，對(duì)于一個(gè)因素問(wèn)題，用“0.618法”做16次實(shí)驗(yàn)，就可以取得“對(duì)分法”做2500次試驗(yàn)所達(dá)的效果。1953年，美國(guó)的基弗提出“0.618法”獲得大量應(yīng)用，特別在工程設(shè)計(jì)方面應(yīng)用最多，成效最佳．對(duì)黃金數(shù)的各種神奇的作用和魔力，數(shù)學(xué)上至今還沒(méi)有明確的解釋?zhuān)皇前l(fā)現(xiàn)它屢屢在實(shí)際中發(fā)揮我們意想不到的作用．美的東西與有用的東西之間，常常是有聯(lián)系的黃金數(shù)0.618，真是一件造福人類(lèi)的絢麗瑰寶！51

數(shù)學(xué)中，“從不同的范疇，不同的途徑，得到同一個(gè)結(jié)果”的情形是屢見(jiàn)不鮮的．這反映了客觀(guān)世界的多樣性和統(tǒng)一性，也反映了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美．黃金分割點(diǎn)0.618的得到，是一個(gè)能說(shuō)明問(wèn)題的例子．三、數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美52從不同途徑導(dǎo)出黃金比：

1．黃金分割：線(xiàn)段的分割點(diǎn)滿(mǎn)足2．斐波那契數(shù)列前一項(xiàng)與后面一項(xiàng)的比的極限：53

3．方程