斐波那契數(shù)列與黃金分割

斐波那契數(shù)列與黃金分割1

意大利的數(shù)學(xué)家列昂那多·斐波那契在1202年研究兔子產(chǎn)崽問題時發(fā)現(xiàn)了此數(shù)列．設(shè)一對大兔子每月生一對小兔子，每對新生兔在出生一個月后又下崽，假若兔子都不死亡．問：一對兔子，一年能繁殖成多少對兔子？（取自斐波那契的《算盤書》（1202年））一、斐波那契數(shù)列2

題中本質(zhì)上有兩類兔子：一類是能生殖的兔子，簡稱為大兔子；新生的兔子不能生殖，簡稱為小兔子；小兔子一個月就長成大兔子．求的是大兔子與小兔子的總和．

列表考察兔子的逐月繁殖情況月份ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫ大兔對數(shù)1123581321345589144小兔對數(shù)01123581321345589

到十二月時有大兔子144對，小兔子89對，共有兔子144+89=233對3月份ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫ大兔對數(shù)1123581321345589144小兔對數(shù)01123581321345589從上表看出：①每月小兔對數(shù)=上月大兔對數(shù)。②每月大兔對數(shù)等于上個月大兔對數(shù)與小兔對數(shù)之和．綜合①②兩點，我們就有：每月大兔對數(shù)等于前兩個月大兔對數(shù)之和．

如果用un

表示第n

月的大兔對數(shù)，則有un=un-1+un-2,n>2每月大兔對數(shù)un

排成數(shù)列為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，???此數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列．4此數(shù)列有下述遞推公式：

u1=1，u2=1，un=un-1+un-2

，n>2．斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，???上述數(shù)列中的每一個數(shù)稱為斐波那契數(shù)．用數(shù)學(xué)歸納法，可推得斐波那契數(shù)列的通項公式：5斐波那契數(shù)列前一項與后面一項的比的極限：這個數(shù)正是有名的黃金分割數(shù)．6數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域常常奇妙而出乎意料地聯(lián)系在一起．斐波那契數(shù)列是從兔子問題中抽象出來的，如果它在其它方面沒有應(yīng)用，它就不會有強大的生命．發(fā)人深省的是，斐波那契數(shù)列確實在許多問題中出現(xiàn)．7自然界中的斐波那契數(shù)花瓣數(shù)中的斐波那契數(shù)大多數(shù)植物的花，其花瓣數(shù)都恰是斐波那契數(shù)．例如，蘭花、茉利花、百合花有3個花瓣，毛茛屬的植物有5個花瓣，翠雀屬植物有8個花瓣，萬壽菊屬植物有13個花瓣，紫菀屬植物有21個花瓣，雛菊屬植物有34、55或89個花瓣．8向日葵花盤內(nèi)葵花子排列的螺線數(shù)．9向日葵花盤內(nèi)，種子是按對數(shù)螺線排列的，有順時針轉(zhuǎn)和逆時針轉(zhuǎn)的兩組對數(shù)螺線。兩組螺線的條數(shù)往往成相繼的兩個斐波那契數(shù)，一般是34和55，大向日葵是89和144，還曾發(fā)現(xiàn)過一個更大的向日葵有144和233條螺線，它們都是相繼的兩個斐波那契數(shù)．10證券投資的艾略特“波浪理論”

1934年美國經(jīng)濟學(xué)家艾略特在通過大量資料分析、研究后，發(fā)現(xiàn)了股指增減的微妙規(guī)律，并提出了頗有影響的“波浪理論”．該理論認(rèn)為：股指波動的一個完整過程（周期）是由波形圖（股指變化的圖象）上的8（或5）個波組成，其中5上3下（或3上2下），如圖，無論從小波還是從大波波形上看，均如此．注意這兒的2、3、5、8均系斐波那契數(shù)列中的數(shù)．

同時，每次股指的增長幅度常循斐波那契數(shù)列中數(shù)字規(guī)律完成．比如：如果某日股指上升8點，則股指下一次攀升點數(shù)為13；若股指回調(diào)，其幅度應(yīng)在5點左右．5、8、13為斐氏數(shù)列的相鄰三項．11二、黃金分割著名天文學(xué)家開普勒說：幾何學(xué)里有兩個寶庫，一個是畢達哥拉斯定理，一個是黃金分割．前者可以比作金礦，后者可以比作珍貴的鉆石礦．12兩千年前，希臘數(shù)學(xué)家考慮如下問題：設(shè)線段AB

，在AB

上找一點C

，使得令于是有可化為一元二次方程該方程的根為13于是其倒數(shù)即C

點約在AB

長度的0.618

的位置上．希臘數(shù)學(xué)家把這個幾何問題里的點C

叫作黃金分割點，這個比值

稱為黃金分割數(shù)．14以AB

，AC

為邊作矩形，這個矩形稱為黃金矩形．國旗所在的矩形是黃金矩形．15矩形長×寬寬與長之比18×55:8=0.625213×88:13=0.615321×1313:21=0.619434×2121:34=0.618所選的四個矩形的長與寬，它們的比都接近于0.618，即都接近黃金矩形．19世紀(jì)中葉，德國心理學(xué)家費希納曾經(jīng)做過一次試驗．他召開一次“矩形展覽會”，會上展出了他精心制作的各種矩形，要求參觀者投票選擇各自認(rèn)為最美的矩形．結(jié)果以下四種矩形入選：16美麗的五角星，五角星中可以找到的所有線段之間的長度關(guān)系都是符合黃金分割比的．17黃金分割是公元前六世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯所發(fā)現(xiàn)，后來古希臘美學(xué)家柏拉圖將此稱為黃金分割．

0.618，以嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊藏著豐富的美學(xué)價值．黃金分割之所以稱為“黃金”分割，是比喻這一“分割”如黃金一樣珍貴。黃金比，是工藝美術(shù)、建筑、攝影等許多藝術(shù)門類中審美的因素之一。認(rèn)為它表現(xiàn)了恰到好處的“合諧”．18隨著人類對自然界（動物、植物、宇宙、人類自身）的認(rèn)識的日益深入，人類關(guān)于“黃金分割比”這一神奇比例的了解也越來越豐富，人們發(fā)現(xiàn)自然界中這一神奇比例幾乎無所不在。從低等的動植物到高等的人類，從數(shù)學(xué)到天文現(xiàn)象中，幾乎都暗含著這種比例結(jié)構(gòu)。19黃金分割大量地出現(xiàn)在繪畫藝術(shù)中，并形成了黃金分割學(xué)派，其中包括達·芬奇、A.丟勒、G.西雷特等許多畫家．

15世紀(jì)和16世紀(jì)早期，幾乎所有的繪畫大師都試圖將繪畫中的數(shù)學(xué)原理與數(shù)學(xué)和諧和主要目的結(jié)合起來．米開朗琪羅、拉斐爾及其他許多藝術(shù)家都對數(shù)學(xué)有濃厚的興趣，而且力圖將數(shù)學(xué)應(yīng)用于藝術(shù)．20例如，畫家波提切利的名作“維納斯的誕生”女神維納斯從愛琴海中浮水而出，花神、風(fēng)神迎送左右的情形．畫中也包含了黃金分割．21畫家A.丟勒尋求將人體的形狀歸結(jié)為數(shù)學(xué)原理，這在他的數(shù)以百計的素描中得到證明．A.丟勒的人體素描．22達·芬奇是一位對科學(xué)有廣泛研究的學(xué)者，他對人類身體的各種比例進行了具體測量，1409年，根據(jù)維特魯維之理論創(chuàng)作了《人體比例圖》（StudyofHumanProportionsAccordingtoVitruvious）。而在《論繪畫》一書達·芬奇指出：“美感完全建立在各部分之間神圣的比例關(guān)系上，各特征必須同時作用，才能產(chǎn)生使觀眾如醉如癡的和諧比例?！痹谶@一時期，藝術(shù)家們自覺地被黃金分割的魅力所誘惑而使數(shù)學(xué)研究與藝術(shù)創(chuàng)作緊密地結(jié)合起來，并對后來的形式美學(xué)與實驗美學(xué)產(chǎn)生了巨大影響。黃金分割出現(xiàn)在達·芬奇的許多著名作品中，如《蒙娜麗莎》、《最后的晚餐》和未完成的作品《圣徒杰羅姆》（SaintJerome）。應(yīng)當(dāng)認(rèn)為這不是偶然的巧合，而是達·芬奇有目的地使畫像與黃金分割相一致。因為在達·芬奇的著作和思路中，處處表現(xiàn)出對數(shù)學(xué)應(yīng)用的強烈興趣。達·芬奇說過：“沒有什么能不通過人類的探求而稱之為科學(xué)的，除非它是通過數(shù)學(xué)的解釋和證明的途徑?！?3達·芬奇自畫像24

達·芬奇廣泛研究了人類身體的各種比例，右面一張圖畫的是他對人體的詳細研究，而且圖中標(biāo)明了黃金分割的應(yīng)用。這是一張他為數(shù)學(xué)家Ｌ·帕西歐里的書《神奇的比例》所作的圖解，該書出版于１５０９年。達·芬奇與黃金分割2526畫中耶穌位于正中央，雙手?jǐn)傞_，兩臂與周圍的空間形成了一大一小兩個倒三角形。27未完成的作品《圣徒杰羅姆》（SaintJerome），該畫約作于公元1483年。在作品中，圣徒杰羅姆的像完全位于畫上附加的黃金矩形內(nèi)。28神奇的“黃金分割比”自古至今也出現(xiàn)在許多偉大畫家的著名作品中，如米開朗基羅的《圣家庭》（HolyFamily）就是典型的例子，它的人物構(gòu)圖布置中包含著一個“黃金五角星”。29拉斐爾的《刑罰》(Crucifixion)人物布局以“黃金三角形”和“黃金五角星”展開。30現(xiàn)代繪畫中超現(xiàn)實主義畫家達利（SalvadorDali，1904-1989）的《最后的圣餐》（TheSacramentoftheLastSupper）最能說明問題，整幅畫面置于一個“黃金矩形”之中，而人物的布置也包含著黃金比例，餐桌的上方是一個巨大的十二面體的一部分，這個多面體包含12個符合黃金比例的五邊形。31黃金分割與人體關(guān)系人們發(fā)現(xiàn)，在人體中也包含著多種“黃金分割”的比例因素，至少可以找出18個“黃金點”（如：臍為頭頂至腳底之分割點、喉結(jié)為頭頂至臍分割點、眉間點為發(fā)緣點至頦下的分割點等）

15個“黃金矩形”（如軀干輪廓、頭部輪廓、面部輪廓、口唇輪廓等）、6個“黃金指數(shù)”（如鼻唇指數(shù)是指鼻翼寬度與口裂長之比、唇目指數(shù)是指口裂長度與兩眼外眥間距之比、唇高指數(shù)是指面部中線上下唇紅高度之比等）、3個“黃金三角”（如外鼻正面觀三角、外鼻側(cè)面觀三角、鼻根點至兩側(cè)口角點組成的三角等）。人的面部就包含多個“黃金矩形”，如眉間點：發(fā)際－頦底間距上1/3與中下2/3之分割點；鼻下點：發(fā)際－頦底間距下1/3與上中2/3之分割點；唇珠點：鼻底－頦底間距上1/3與中下2/3之分割點；頦唇溝正路點：鼻底－頦底間距下1/3與上中2/3之分割點；左口角點：口裂水平線左1/3與右2/3之分割點；右口角點：口裂水平線右1/3與左2/3之分割點。

32健美的人體（如古希臘雕塑《米羅的維納斯》看上去健美漂亮就是典型的例子，19世紀(jì)以來，世界各國的選美標(biāo)準(zhǔn)大部分都依據(jù)《米羅的維納斯》身材各部分的尺寸。她的體形符合希臘人關(guān)于美的理想與規(guī)范，身長比例接近所追求的人體美標(biāo)準(zhǔn)，即身與頭之比為8∶1。由于8為3加5之和，這就可以分割成1∶3∶5，這就是“黃金分割律”，這個比例成為后代藝術(shù)家創(chuàng)造人體美的準(zhǔn)則。）亦有多組比例符合黃金分割比。如人的臍部到頭頂?shù)木嚯x與臍部高度之比、頭頂?shù)脚e手指端的距離與臍部到頭頂距離之比、膝蓋到肚臍同膝蓋到腳底之比，都符合黃金分割。3334高雅的藝術(shù)殿堂里，自然也留下了黃金數(shù)的足跡．畫家們發(fā)現(xiàn)，0.618:1來設(shè)計腿長與身高的比例，畫出的人體身材最優(yōu)美，而現(xiàn)今的女性，腰身以下的長度平均只占身高的0.58，因此古希臘維納斯女神塑像及太陽神阿波羅的形象都通過故意延長雙腿，使之與身高的比值為0.618，從而創(chuàng)造藝術(shù)美．難怪許多姑娘都愿意穿上高跟鞋，而芭蕾舞演員則在翩翩起舞時，不時地踮起腳尖．35人的生命的生物和生理現(xiàn)象中也包含著這個神奇的比例。如：當(dāng)外界環(huán)境溫度為人體溫度的0.618倍時，人會感到最舒服．人的正常體溫是36.5℃，對多數(shù)人而言，最感快意的溫度是22－23℃，同人的體溫之比大約是在0.618左右；醫(yī)學(xué)專家也觀察到，當(dāng)人的腦電波頻率下限是8赫茲，而上限是12.9赫茲，上下限的比率接近于0.618時，乃是身心最具快樂歡愉之感的時刻．正常人的心跳在心電圖上也顯示出T波出現(xiàn)的位置恰好大約是一次心跳節(jié)拍的“黃金分割”位置上（如圖）．組成人體含量最多的物質(zhì)是水，成年人體水分占體重的0.618．靜脈和毛細血管中含血量約占全血量的0.618，一次最大呼氣量占肺部氣體總量的0.618．我們正常血壓的舒張壓與收縮壓的比例關(guān)系，我們正常睡眠時間與活動時間的比例關(guān)系也都符合這一比例．36還有人類的消化道總長9米，其0.618處為5.5米，正是小腸的長度，恰合黃金分割率．而營養(yǎng)物質(zhì)的消化吸收，就在小腸進行．這一特點，適合以素食為主的混合膳食結(jié)構(gòu)，素食應(yīng)占食物總量的0.618．蛋白質(zhì)是最重要的營養(yǎng)物質(zhì)，它由20個氨基酸組成，人體在合成自身蛋白質(zhì)時，20個的0.618，即12個氨基酸能由機體自身細胞生產(chǎn)，只有另外8個氨基酸要由食物來供給．這8個氨基酸含有的豐富的蛋白質(zhì)稱為優(yōu)質(zhì)蛋白質(zhì)，如動物性食物和豆類．膳食結(jié)構(gòu)中，優(yōu)質(zhì)蛋白應(yīng)占總蛋白質(zhì)的0.618，才能保證機體的正常新陳代謝，又恰合黃金分割率。社會科學(xué)家長期的研究與統(tǒng)計結(jié)果也表明,如果人的平均壽命是70歲的話,那么成年時期的頂峰年齡將是45歲,二者的比例關(guān)系接近0.618．人在45歲左右是最富有創(chuàng)造力的年齡，人們經(jīng)過幾十年的艱苦創(chuàng)業(yè)與拼搏,可以積累出最大的精神與物質(zhì)財富．人在此時最成熟,社會閱歷最豐富．37可見，黃金比率在人的世界（無論是生物環(huán)境還是社會環(huán)境）中幾乎是無所不在的．最有意味的是，在人的生命程序DNA分子中，也包含著“黃金分割比”．它的每個雙螺旋結(jié)構(gòu)中都是由長34個埃與寬21個埃之比組成的，當(dāng)然34和21是斐波那契系列中的數(shù)字，它們的比率為1.6190476，非常接近黃金分割的1.6180339。這是否說明黃金分割律是比DNA中的遺傳密碼更基本的東西？因為承載DNA的結(jié)構(gòu)——雙螺旋結(jié)構(gòu)——也遵循黃金分割律．黃金分割律也許是我們的宇宙的DNA中的遺傳密碼？38在植物中，無論是挺拔魁梧的喬木還是矮小秀雅的灌木，它們所形成的直的或橫的長方形常常接近黃金分割比例。諸如牡丹、月季、荷花、菊花等觀賞性花卉含苞欲放時，花蕾呈直的橢圓形，且長短軸的比例大致接近于黃金分割。在有些植物的莖上，兩張相鄰的葉片的夾角是137°28′．你從植物莖的頂端向下看，經(jīng)細心觀察，測量，發(fā)現(xiàn)上下層中相鄰的兩片葉子之間約成137.5°角．如果每層葉子只畫一片來代表，第一層和第二層的相鄰兩葉之間的角度差約是137.5°，以后二到三層，三到四層，四到五層……兩葉之間都成這個角度．植物學(xué)家經(jīng)過計算表明：這個角度對葉子的采光、通風(fēng)都是最佳的．葉子的排布，多么精巧！39葉子間的137.5°角中，藏有什么“秘密”呢？我們知道，一周是360°，

360°－137.5°=222.5°

137.5°∶222.5°≈0.618．

葉子的精巧而神奇的排布中，竟然隱藏著0.618．有些植物的花瓣及主干上枝條的生長，也是符合這個規(guī)律的．40葉子中的黃金分割圖中主葉脈與葉柄和主葉脈的長度之和比約為0.618．41在動物界，形體優(yōu)美的動物形體，如馬，騾、獅、虎、豹、犬等，凡看上去健美的，其身體部分長與寬的比例也大體上接近與黃金分割如：蝴蝶身長與雙翅展開后的長度之比也接近0.618。0.618隨處可見!42螺線中的秘密4344既然“黃金分割”對人類的審美標(biāo)準(zhǔn)有如此重要的影響，就不難理解為什么藝術(shù)家、建筑家、設(shè)計師等在自己的藝術(shù)與設(shè)計中總是鐘情于它的應(yīng)用了。“黃金分割”無論在古代還是現(xiàn)代世界的藝術(shù)乃至實用品中的普遍應(yīng)用不勝枚舉。以建筑藝術(shù)為例，世界上最有名的建筑物中幾乎都包含“黃金分割比”。無論是古埃及的金字塔、古希臘的帕特農(nóng)神殿、印度泰姬陵、中國故宮、法國巴黎圣母院這些著名的古代建筑，還是遍布全球的眾多優(yōu)秀近現(xiàn)代建筑，盡管其風(fēng)格各異，但在構(gòu)圖布局設(shè)計方面,都有意無意地運用了黃金分割的法則,給人以整體上的和諧與悅目之美。在一些摩天建筑中使用“黃金分割點”進行處理，能使平直單調(diào)的塔身變得豐富多彩；在這類高層建筑物的黃金分割處布置腰線或裝飾物，則可使整個樓群顯得雄偉雅致。舉世聞名的法國巴黎埃菲爾鐵塔、當(dāng)今世界最高建筑之一的加拿大多倫多電視塔（553.33米），都是根據(jù)黃金分割的原則來建造的。45上海的東方明珠廣播電視塔，塔身高達468米。為了美化塔身，設(shè)計師巧妙地在上面裝置了晶瑩耀眼的上球體、下球體和太空艙，既可供游人登高俯瞰地面景色，又使筆直的塔身有了曲線變化。更妙的是，上球體所選的位置在塔身總高度5∶8的地方，即從上球體到塔頂?shù)木嚯x，同上球體到地面的距離大約是5∶8這一符合黃金分割之比的安排，使塔體挺拔秀美，具有審美效果。

46古希臘帕提儂神廟是舉世聞名的完美建筑，它的高和寬的比是0.618.建筑師們發(fā)現(xiàn)，按這樣的比例來設(shè)計殿堂，殿堂更加雄偉、美麗；去設(shè)計別墅，別墅將更加舒適、美麗．連一扇門窗若設(shè)計為黃金矩形都會顯得更加協(xié)調(diào)和令人賞心悅目．47攝影中常用“黃金分割”來構(gòu)圖.天地天海、地風(fēng)景照片中，地平線位置的安排48黃金分割在優(yōu)美的音樂和詩歌中同樣可以找到．據(jù)說，公元前6世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家畢達哥拉斯(Pythagoras，公元前580-500年)有一天路過一個鐵匠鋪，被里面清脆悅耳的打鐵聲吸引住了，駐足細聽，憑直覺認(rèn)定這聲音有“秘密”．他走進鋪里，仔細測量了鐵砧和鐵錘的大小，發(fā)現(xiàn)它們之間的比例近乎于1∶0.618．后來音樂家們則是有意識地利用這種比例來“美化”其作品．在一些樂曲的創(chuàng)作技法上，將高潮，或者是音程、節(jié)奏的轉(zhuǎn)折點安排在全曲的黃金分割點0.618．例如要創(chuàng)作89節(jié)的樂曲，其高潮便在55節(jié)處．49“黃金分割比”在日常生活中有廣泛的應(yīng)用。例如，所有讓人感到賞心悅目的矩形，包括電視屏幕、寫字臺面、書籍、門窗等，其短邊與長邊之比大多為0.618。甚至連火柴盒、國旗的長寬比例，都恪守0.618比值。在晚會上，報幕員在舞臺上的最佳位置，是舞臺寬度的0.618之處；二胡要獲得最佳音色，其“千斤”則須放在琴弦長度的0.618處。小說、戲劇的高潮在整個作品的0.618處較好。在消費領(lǐng)域中也可妙用0.618這個“黃金數(shù)”，獲得“物美價廉”的效果。據(jù)專家介紹，在同一商品有多個品種、多種價值情況下，將高檔價格減去低檔價格再乘以0.618，即為挑選商品的首選價格。甚至在買賣股票的操作中也能以黃金分割線作為指導(dǎo)（股價極容易在由0.382，0.618，1.382，1.618這四個數(shù)產(chǎn)生的黃金分割線處產(chǎn)生支撐和壓力）。內(nèi)含“黃金分割比”的五角星形狀也非常耐人尋味，世界上有將近40個國家（如中國、美國、朝鮮、土耳其、古巴等等）的國旗上上的“星”都是五角形的星。50只要留心，到處都可發(fā)現(xiàn)黃金數(shù)這位美的“使者”的足跡．黃金分割規(guī)律還為直接最優(yōu)化方法的建立提供了依據(jù)。優(yōu)選法是一種求最優(yōu)化問題的方法，即怎樣才能使產(chǎn)量最高、質(zhì)量最好、消耗最少．人們通過大量試驗來尋找最優(yōu)解．如何安排試驗，較快較省地求得最優(yōu)解，這就是直接最優(yōu)化方法．如果將實驗點定在區(qū)間的0.618左右，那么實驗的次數(shù)將大大減少．實驗統(tǒng)計表明，對于一個因素問題，用“0.618法”做16次實驗，就可以取得“對分法”做2500次試驗所達的效果。1953年，美國的基弗提出“0.618法”獲得大量應(yīng)用，特別在工程設(shè)計方面應(yīng)用最多，成效最佳．對黃金數(shù)的各種神奇的作用和魔力，數(shù)學(xué)上至今還沒有明確的解釋，只是發(fā)現(xiàn)它屢屢在實際中發(fā)揮我們意想不到的作用．美的東西與有用的東西之間，常常是有聯(lián)系的黃金數(shù)0.618，真是一件造福人類的絢麗瑰寶！51

數(shù)學(xué)中，“從不同的范疇，不同的途徑，得到同一個結(jié)果”的情形是屢見不鮮的．這反映了客觀世界的多樣性和統(tǒng)一性，也反映了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美．黃金分割點0.618的得到，是一個能說明問題的例子．三、數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美52從不同途徑導(dǎo)出黃金比：

1．黃金分割：線段的分割點滿足2．斐波那契數(shù)列前一項與后面一項的比的極限：53

3．方程