專題04圓錐曲線（難點）（解析版）

專題04圓錐曲線（難點）一、單選題1．已知直線與雙曲線無公共交點，則雙曲線C離心率e的取值范圍為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】利用直線與雙曲線的漸近線的位置關系即可求得結(jié)果.【解析】由題意得，的斜率為，而的漸近線為，由于直線與雙曲線沒有公共交點，如圖，所以，即，故，即，所以，故，即.故選：C.2．已知拋物線的焦點為，準線為，過點且傾斜角為30°的直線交拋物線于點（在第一象限），，垂足為，直線交軸于點，若，則拋物線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】如圖所示，過點作，垂足為.先證明是等邊三角形，再求出，求出的值即得解.【解析】解：如圖所示，過點作，垂足為.由題得,所以.因為，所以是等邊三角形.因為是的中點，所以，所以，所以.所以.所以所以拋物線的方程是.故選：C3．已知雙曲線：斜率為的直線與的左右兩支分別交于，兩點，點的坐標為，直線交于另一點，直線交于另一點，如圖1.若直線的斜率為，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設，線段AB的中點，代入雙曲線的方程中可得，兩式相減得，可得①，設，線段CD的中點，同理得②，由，得三點共線，從而求得，由此可求得雙曲線的離心率.【解析】設，線段AB的中點，則，兩式相減得，所以①，設，線段CD的中點，同理得②，因為，所以，則三點共線，所以，將①②代入得：，即，所以，即，所以，故選：D.4．已知是拋物線：的焦點，直線與拋物線相交于，兩點，滿足，記線段的中點到拋物線的準線的距離為，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設，過點，分別作拋物線的準線的垂線，垂足分別為，進而得，再結(jié)合余弦定理得，進而根據(jù)基本不等式求解得.【解析】解：設，過點，分別作拋物線的準線的垂線，垂足分別為，則，因為點為線段的中點，所以根據(jù)梯形中位線定理得點到拋物線的準線的距離為，因為，所以在中，由余弦定理得，所以，又因為，所以，當且僅當時等號成立，所以，故.所以的最大值為.故選：C【點睛】本題考查拋物線的定義，直線與拋物線的位置關系，余弦定理，基本不等式，考查運算求解能力，是中檔題.本題解題的關鍵在于根據(jù)題意，設，進而結(jié)合拋物線的定于與余弦定理得，，再求最值.5．已知F是橢圓的左焦點，A是該橢圓的右頂點，過點F的直線l（不與x軸重合）與該橢圓相交于點M，N．記，設該橢圓的離心率為e，下列結(jié)論正確的是（

）A．當時， B．當時，C．當時， D．當時，【答案】A【分析】設在軸上方，在軸下方，設直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可求的坐標，同理可求的坐標，利用三點共線可得，利用離心率的范圍可得，從而可判斷為銳角.【解析】不失一般性，設在軸上方，在軸下方，設直線的斜率為，傾斜角為，直線的斜率為，傾斜角為，則，，，且.又.又直線的方程為，由可得，故，所以，故，同理，故，因為共線，故，整理得到即，若，，因為，，故，所以，故.故選：A.【點睛】思路點睛：與橢圓有關的角的計算，一般利用其正切來刻畫，因為角的正切與直線的斜率相關，注意運算結(jié)果的準確性.6．是拋物線C：上一定點，A，B是C上異于P的兩點，直線PA，PB的斜率，滿足為常數(shù)，，且直線AB的斜率存在，則直線AB過定點（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設，結(jié)合題意可得①，設直線AB：并聯(lián)立拋物線，應用韋達定理及①求參數(shù)b關于的關系式，并將直線化為，利用其過定點求x、y，即可確定坐標.【解析】設，則，相減得，，同理得：，

為常數(shù)，，，整理有，①設直線AB：，代入拋物線方程得：，，則，代入①，得：，有，代入AB的直線方程，得：，，，直線過定點，則，解得：，即，直線AB所過定點

.故選：C.7．已知橢圓的左、右焦點為，直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點，線段的垂直平分線與的交點的軌跡為曲線，若，且是曲線上不同的點，滿足，則的取值范圍為A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知條件推導出曲線C2：y2=4x．，，由AB⊥BC，推導出，由此能求出的取值范圍．【解析】∵橢圓C1：+=1的左右焦點為F1，F(xiàn)2，∴F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），直線l1：x=﹣1，設l2：y=t，設P（﹣1，t），（t∈R），M（x，y），則y=t，且由|MP|=|MF2|，∴（x+1）2=（x﹣1）2+y2，∴曲線C2：y2=4x．∵A（1，2），B（x1，y1），C（x2，y2）是C2上不同的點，∴，，∵AB⊥BC，∴=（x1﹣1）（x2﹣x1）+（y1﹣2）（y2﹣y1）=0，∵，，∴（﹣4）（﹣）+=0，∵y1≠2，y1≠y2，∴，整理，得，關于y1的方程有不為2的解，∴，且y2≠﹣6，∴0，且y2≠﹣6，解得y2＜﹣6，或y2≥10．故選A．【點睛】本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查點的軌跡方程的求法，綜合性強，難度大，解題時要熟練掌握圓錐曲線的簡單性質(zhì)，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．8．在平面直角坐標系中，，，，，角的平分線與P點的軌跡相交于I點．存在非零實數(shù)，使得過點A的直線與C點的軌跡相交于MN兩點．若的面積為，則原點O到直線MN的距離為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】由條件可知點C的軌跡為橢圓，容易驗證直線MN不垂直與x軸，設，直線MN的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)的面積為求出t，繼而可求出結(jié)果．【解析】設點，的三個內(nèi)角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，由，知G為的重心，則G的坐標為，由，知點P在角的平分線上，又角的平分線與P點的軌跡相交于I點，因此點I為的內(nèi)心，如圖，設角平分線交于，則，故，由為角平分線可得，而，故，故即,因此，點C的軌跡是橢圓，點C的軌跡方程為．若直線MN垂直于x軸，則，此時，不符合題意；所以直線MN不垂直于x軸，設直線MN的方程為：，，由，得：，可知：，所以，所以，解得，所以直線MN的方程為：，則原點O到直線MN的距離為：．故選：C．二、多選題9．在平面直角坐標系中，有兩個圓和，其中r1，r2為正常數(shù)，滿足或，一個動圓P與兩圓都相切，則動圓圓心的軌跡方程可以是（

）A．兩個橢圓 B．兩個雙曲線C．一個雙曲線和一條直線 D．一個橢圓和一個雙曲線【答案】BCD【分析】兩圓圓心距C1C2＝4，當r1+r2＜4，即兩圓外離時，動圓P可能與兩圓均內(nèi)切或均外切或一個內(nèi)切一個外切；當r1+r2＞4，兩圓相交，動圓P可能與兩圓均內(nèi)切或均外切或一個內(nèi)切一個外切，分別討論，得出結(jié)論．【解析】解：根據(jù)題意圓，半徑r1，圓，半徑r2，所以，設圓P的半徑為r，（1）當，即兩圓外離時，動圓P可能與兩圓均內(nèi)切或均外切或一個內(nèi)切一個外切，①均內(nèi)切時，，此時，當時，此時P點的軌跡是以C1，C2為焦點的雙曲線，當時，此時點P在C1，C2的垂直平分線上．②均外切時|PC1|＝r+r1，|PC2|＝r+r2，此時．此時P點的軌跡是與①相同．③與一個內(nèi)切與一個外切時，不妨設與圓C1內(nèi)切，與圓C2外切，|PC1|＝r﹣r1，|PC2|＝r+r2，與圓C2內(nèi)切，與圓C1外切時，同理得，此時點P的軌跡是以C1，C2為焦點的雙曲線，與①中雙曲線不一樣．（2）當，兩圓相交，動圓P可能與兩圓均內(nèi)切或均外切或一個內(nèi)切一個外切，④均內(nèi)切時軌跡和①相同．⑤均外切時軌跡和①相同⑥與一個內(nèi)切另一個外切時，不妨設與圓C1內(nèi)切，與圓C2外切，|PC1|＝r1﹣r，|PC2|＝r+r2，|PC1|+|PC2|＝r1+r2此時點P的軌跡是以C1，C2為焦點的橢圓．與圓C2內(nèi)切，與圓C1外切時，同理得，此時點P的軌跡是以C1，C2為焦點的橢圓．故選：BCD．【點睛】本題考查動點的軌跡問題，圓與圓的位置關系以及橢圓與雙曲線的定義的應用，解答本題的關鍵是根據(jù)動圓圓心與已知圓的圓心距離，的和與差與，間的關系，結(jié)合橢圓與雙曲線的定義進行分析10．已知拋物線C：與圓O：交于A，B兩點，且，直線過C的焦點F，且與C交于M，N兩點，則下列說法中正確的是（

）A．若直線的斜率為，則B．的最小值為C．若以MF為直徑的圓與y軸的公共點為，則點M的橫坐標為D．若點，則周長的最小值為【答案】BC【分析】首先求出拋物線的解析式，設出MN坐標聯(lián)立進行求解當時，，進而判斷選項A；再根據(jù)韋達定理和不等式求最小值后進行判斷選項B；畫出大致圖像過點M作準線的垂線，垂足為，交y軸于，結(jié)合拋物線定義判斷選項C；過G作GH垂直于準線，垂足為H，結(jié)合的周長為進而進行判斷選項D即可．【解析】解：由題意得點在拋物線C：上，所以，解得，所以C：，則，設直線：，與聯(lián)立得，設，，所以，，所以，當時，，故A項錯誤；，則，當且僅當，時等號成立，故B項正確；如圖，過點M作準線的垂線，垂足為，交y軸于，取MF的中點為D，過點D作y軸的垂線，垂足為，則，是梯形的中位線，由拋物線的定義可得，所以，所以以MF為直徑的圓與y軸相切，所以為圓與y軸的切點，所以點D的縱坐標為，又D為MF的中點，所以點M的縱坐標為，又點M在拋物線上，所以點M的橫坐標為，故C項正確；過G作GH垂直于準線，垂足為H，所以的周長為，當且僅當點M的坐標為時取等號，故D項錯誤．故選:BC．11．已知為坐標原點，雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，離心率為2，過的直線與雙曲線的右支交于，兩點，且的最小值為6，則（

）A．該雙曲線的方程為 B．若，則直線的斜率為C．的最小值為25 D．面積的最小值為12【答案】ACD【分析】由題知，，進而可求得雙曲線的方程判斷A；設直線，由已知可知，聯(lián)立直線與雙曲線方程結(jié)合可判斷B；利用兩點之間的距離公式化簡計算可判斷C；利用面積公式及弦長公式可求得面積，再利用函數(shù)思想求得最值可判斷D.【解析】對于A，依題意可知，，，結(jié)合，得，，所以雙曲線的方程為，故A正確；對于B，易知，拋物線漸近線的斜率為，設，，直線，由直線與雙曲線的右支交于兩點，所以，從而，聯(lián)立，得，則，，，若，則，即，解得，不滿足，故B錯誤；對于C，由，則，，所以因為，所以，故C正確；對于D，，設，則，，令，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此，故D正確，故選：ACD．12．已知，分別為橢圓的左、右焦點，P為橢圓上任意一點（不在x軸上），外接圓的圓心為H，內(nèi)切圓的圓心為I，直線PI交x軸于點M，O為坐標原點．則（

）A．存在，使得成立B．的最小值為C．過點I的直線l斜率為，且與橢圓相交于A，B兩點，線段AB的中點為N，直線ON的斜率為，則D．橢圓C的離心率【答案】ABD【分析】對A，根據(jù)表示與同向的單位向量，表示與同向的單位向量，進而判斷出與共線，最后判斷答案；對B，根據(jù)，然后結(jié)合平面向量數(shù)量積的幾何意義與基本不等式求得答案；對C，利用“點差法”即可求得答案；對D，運用角平分線定理即可求得答案.【解析】對A，表示與同向的單位向量，表示與同向的單位向量，所以與共線，而.A正確；對B，，取線段的中點G，則HG⊥，由平面向量數(shù)量積的定義可知，，同理，所以.由基本不等式易得：，當且僅當時取“=”.B正確；對C，設，則，所以，有因為，即.C錯誤；對D，易知，分別是的角平分線，由角平分線定理可知：.D正確.故選：ABD.三、填空題13．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點為橢圓與雙曲線的第一象限的交點，且，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】設，則由橢圓和雙曲線的定義結(jié)合余弦定理可得，設，則可得，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得其范圍【解析】解：設，由橢圓的定義得①，由雙曲線的定義得②，①②得，，①②得，，由余弦定理可得，所以③，設，則，解得所以，當時，最大值為時，的值為2，所以的取值范圍是.故答案為：14．已知雙曲線：，分別是雙曲線的左、右焦點，為右支上一點，在線段上取“的周長中點”，滿足，同理可在線段上也取“的周長中點”.若的面積最大值為1，則________．【答案】【分析】根據(jù)題目中對周長中點的定義，可以列出圖像中各線段之間的關系，將兩式相加，相減，得到與雙曲線定義，焦距相關的式子，結(jié)合三角形的面積公式，即可求解【解析】解：由題意作出圖形，設雙曲線的焦距為,根據(jù)題意可得：,①,②①②得：，即所以，所以：①②得：所以,所以,,所以當時,的面積取最大值,所以,所以,故答案為:.15．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，為雙曲線右支上的動點，過作兩漸近線的垂線，垂足分別為A，．若圓與雙曲線的漸近線相切，則下列命題正確的是________（1）雙曲線的離心率

（2）當點異于頂點時，△的內(nèi)切圓的圓心總在直線上

（3）為定值

（4）的最小值為【答案】（1）（3）（4）【分析】先依據(jù)題給條件求得雙曲線的標準方程.求得雙曲線的離心率判斷（1）；求得△的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標判斷（2）；對化簡整理，并求值判斷（3）；求得的最小值判斷（4）.【解析】雙曲線的左、右焦點分別為，雙曲線的漸近線為，由圓與雙曲線的漸近線相切，可得，解之得或（舍），則雙曲線，，，（1）雙曲線的離心率.判斷正確；（2）為雙曲線右支上（異于右頂點）一點，設△的內(nèi)切圓與x軸相切于M點，則，解之得，則切點則△的內(nèi)切圓的圓心橫坐標為，則圓心總在直線上.判斷錯誤；（3）設雙曲線右支上的動點坐標為，則又雙曲線的漸近線為則，即為定值.判斷正確；（4）設雙曲線右支上的動點坐標為，則由，可得由，可得不妨令，則由為雙曲線右支上的動點，可得，則則，即的最小值為.判斷正確.故答案為：（1）（3）（4）16．已知橢圓的左?右焦點分別為，過原點的直線與C交于A，B兩點(A在第一象限)，若，且，則橢圓離心率的取值范圍是___________.【答案】【分析】首先根據(jù)已知條件找到，轉(zhuǎn)化為，進而整理，然后把整體看做變量，找到其范圍，求出函數(shù)的值域即可.【解析】∵直線AB過原點，所以A，B關于原點對稱，即又∵，∴四邊形為矩形∴則在中，∵，∴∵

∴∵A在第一象限，∴∴∴令，則有，即故答案為：【點睛】橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．17．已知分別為雙曲線的左、右焦點，過且傾斜角為的直線與雙曲線的右支交于兩點，記的內(nèi)切圓的半徑為，的內(nèi)切圓的半徑為，圓的面積為，圓的面積為，則______________.①的取值范圍是

②直線與軸垂直③若，則

④的取值范圍是【答案】②③④【分析】根據(jù)雙曲線漸近線的傾斜角判斷①；利用雙曲線的性質(zhì)和切線長的定義判斷②；根據(jù)平面幾何的知識得后，再根據(jù)直角三角形相似求得判斷③；根據(jù)得范圍，再根據(jù)基本不等式求解即可.【解析】解：如圖，設與圓的切點分別為，由切線的性質(zhì)得的橫坐標相等，，由雙曲線的定義得，所以，所以，設，則，解得，即的橫坐標，同理可得的橫坐標也是，對于①，雙曲線的漸近線方程為，傾斜角分別為，故當過且傾斜角滿足時，直線與雙曲線的右支交于兩點，故錯誤；對于②，由于兩點橫坐標相等，故直線與軸垂直，正確；對于③，連接，由三角形的內(nèi)切圓圓心是角平分線的交點得，所以，，，故，即，當時，解得，此時直線軸，，，所以，故正確；對于④，因為，所以，，所以，又因為，故，所以，所以，故正確.故答案為：②③④18．已知曲線：，拋物線：，為曲線上一動點，為拋物線上一動點，與兩條曲線都相切的直線叫做這兩條曲線的公切線，則以下說法正確的有___________①直線l：是曲線和的公切線：②曲線和的公切線有且僅有一條；③最小值為；④當軸時，最小值為.【答案】①③④【分析】對于①利用導數(shù)的幾何意義即可求解；對于②，分別設兩條曲線上的切線方程，然后根據(jù)公切線的定義建立方程，將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，研究函數(shù)的零點即可；對于③，利用拋物線的焦半徑公式轉(zhuǎn)化求的最小值，進而建立函數(shù)，然后再研究函數(shù)的單調(diào)性即可；對于④，先設動點的坐標，根據(jù)軸，進而建立目標函數(shù)，然后研究該函數(shù)單調(diào)性即可.【解析】解：選項①，對于曲線，，當時，，，故直線與曲線相切與點；聯(lián)立，可得，故此時直線與切于點，故直線l：是曲線和的公切線，故①正確；對于②，設公切線分別與切于點，則曲線的切線為：，曲線的切線為，根據(jù)與表示同一條直線，則有，解得，令，則有，可得在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有，根據(jù)零點存在性定理可知，在區(qū)間上存在一個零點，即存在一條公切線故曲線和的公切線有且僅有2條，故②錯誤；對于③，如圖所示，可得，根據(jù)拋物線的焦半徑公式可得，故有：，設點的坐標為：，則有：，令，可得，再次求導可得：，故在上單調(diào)遞增，又，可得：當時，，即在上單調(diào)遞減；當時，，即在上單調(diào)遞增；故，則，故，故③正確；對于④，當軸時，設，則，則有：，記，則有，令，解得：，故當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；故有，故，故選項④正確.故答案為：①③④.四、解答題19．已知、為橢圓C：的左右頂點，直線與C交于兩點，直線和直線交于點.(1)求點的軌跡方程.(2)直線l與點的軌跡交于兩點，直線的斜率與直線斜率之比為，求證以為直徑的圓一定過C的左頂點.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）設，由題可得，，根據(jù)斜率公式結(jié)合條件即得；（2）由題可設直線，方程，與聯(lián)立可得，進而可得，然后根據(jù)斜率關系即得.（1）由題意得，，設，，，則，，即，，得，又∵點在C上，即，得，∴；（2）∵，設直線方程為，則方程為，聯(lián)立，得（且），設，得，，同理設，得，，，，∴，即，∴以MN為直徑的圓一定過C的左頂點.20．拋物線的焦點是橢圓的一個焦點．(1)求的準線方程；(2)若是直線上的一動點，過向作兩條切線，切點為M，N，當點到直線的距離最大值時，求點的坐標．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用橢圓的焦點坐標可得到拋物線的焦點坐標，即可得到答案；（2）利用（1）可得到的方程為，對其進行求導得到切線，的方程，通過計算可得到直線的方程，可知直線恒過定點，則到直線的距離達到最大值時，必有，即可得到答案（1）由橢圓可得，所以橢圓的焦點坐標為和，

又因為的焦點在軸正半軸上，所以的焦點坐標為，從而的準線方程為；（2）由（1）知的方程為，即，則，

設，切點，，從而切線方程為，即，

同理切線方程為，

分別代入有，從而和均滿足直線方程，所以直線的方程為，即，

又因為在直線上，所以，

所以直線的方程為，從而直線恒過定點，

當?shù)街本€的距離達到最大值時，必有，因為，所以，所以，從而此時的坐標為21．從①點關于軸的對稱點與、三點共線；②這兩個條件中選一個，補充在下面的問題中，并作答．已知為平面直角坐標系的坐標原點，，為坐標平面內(nèi)一動點，且．(1)求動點的軌跡方程；(2)設點的軌跡為曲線，過點作直線交曲線于、兩點，軸上是否存在一定點，使得______？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．注：如果選擇兩個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)(2)條件選擇見解析，存在滿足題意【分析】（1）設點，根據(jù)條件可得出關于、的等式，化簡可得出點的軌跡方程；（2）選①，分析可知直線的斜率存在，分兩種情況討論：時，直接驗證；時，設直線的方程為，設、，將該直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，寫出直線的方程，求出直線所過定點的坐標，綜合可得出結(jié)論；選②，假設存在滿足題意，分析可知直線的斜率存在，設直線的方程為，設、，將該直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，根據(jù)可得出關于的等式，求出的值，即可得出結(jié)論.（1）解：設，又、，則，，由，得，化簡得，點的軌跡方程為．（2）解：若選①，若直線軸，則該直線與曲線只有一個交點，不合乎題意，所以，直線的斜率存在．當時，與重合，此時對軸上任意一點，、、三點共線．當時，設直線的方程為，設、，聯(lián)立得，，則，由韋達定理可得，，則直線的斜率，所以，直線的方程為，化簡得，所以，直線過定點，存在滿足題意．綜上，滿足題意的點的坐標為；若選②，假設存在滿足題意，若直線軸，則該直線與曲線只有一個交點，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，設直線的方程為，設、，聯(lián)立得，，則，由韋達定理可得，，，所以，，即對任意的恒成立，則.所以，存在滿足題意．【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據(jù)題設條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.22．已知點A、F分別為雙曲線C：的左頂點和右焦點，且點A、F到直線的距離相等．(1)求雙曲線C的離心率；(2)設M為雙曲線C上的點，且點M到雙曲線C的兩條漸近線的距離乘積為．①求雙曲線C的方程；②設過點F且與坐標軸不垂直的直線l與雙曲線C相交于點P、Q，線段PQ的垂直平分線與x軸交于點B，求值．【答案】(1)2(2)①；②1【分析】（1）根據(jù)已知條件列出等式，化簡可以得到雙曲線C的離心率；（2）①由（1）可得，設，代入雙曲線方程，由根據(jù)點M到雙曲線C的兩條漸近線的距離乘積為列出等式，結(jié)合可求出a的值，從而求得雙曲線C的方程；②由①得，設直線l的方程為，，，與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理，表示PQ中點坐標，得到線段PQ的垂直平分線的方程，用m表示與，從而得到的值．（1）點A、F到直線的距離相等，得，即，所以c＝2a，所以，即雙曲線C的離心率為2．（2）①由（1）c＝2a，所以，所以雙曲線C：，漸近線方程為．設，則，即．因為點M到雙曲線C的兩條漸近線的距離乘積為，所以，即，所以，解得a＝1．所以雙曲線C的方程為．②由①得F（2，0），設直線l的方程為x＝my＋2，，，，則由得．所以．設線段PQ中點E為，則，，所以線段PQ的垂直平分線的方程為．令y＝0，則，即．所以．由，得，所以，所以，即的值為1．23．已知橢圓的離心率為，橢圓上一動點與左?右焦點構(gòu)成的三角形面積最大值為.(1)求橢圓的方程；(2)設橢圓的左?右頂點分別為，直線交橢圓于兩點，記直線的斜率為，直線的斜率為，已知.①求證：直線恒過定點；②設和的面積分別為，求的最大值.【答案】(1)；(2)①證明見解析；②.【分析】（1）由離心率、焦點三角形最大面積及橢圓參數(shù)關系列方程組求橢圓參數(shù)，即可得方程；（2）①設為，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)已知條件，應用韋達定理、兩點斜率公式化簡求得，即可證結(jié)論；②由面積公式與韋達定理化簡后轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值.（1）由題意，解得，所以橢圓C的方程為．（2）①依題意，設，若直線的斜率為0則P，Q關于y軸對稱，必有，不合題意．所以直線斜率必不為0，設其方程為，與橢圓C聯(lián)立，整理得：，所以，且因為是橢圓上一點，即，所以，則，即因為，所以，此時，故直線恒過x軸上一定點．②由①得：，所以，而，當時的最大值為．24．已知橢圓的離心率為，半焦距為，且．經(jīng)過橢圓的左焦點F，斜率為的直線與橢圓交于A、B兩點，O為坐標原點．(1)求橢圓的標準方程；(2)當時，求的值；(3)設，延長AR，BR分別與橢圓交于C，D兩點，直線CD的斜率為，求證：為定值．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）由題意列出關于的方程，解方程求出，即可得出答案.（2）由（1）得到直線AB的方程與橢圓方程聯(lián)立得到關于的一元二次方程，設，，由韋達定理代入求出，設O點到直線AB的距離為d，求出d，由面積公式即可求出答案.（3）設，，設，由題目條件表示結(jié)合定比分點公式由表示，設同理用表示，代入，可求得答案.（1）由題意，得解得∴，故的方程為．（2）由（1）知，∴直線AB的方程為，由即，設，，則，，∴．設O點到直線AB的距離為d，則．∴．（3）設AB直線方程，設，，，，由由定比分點坐標公式：，由于A，C滿足橢圓方程，故得兩式作差得③，將①②代