專題2.11等邊三角形的性質(zhì)與判定大題專練（重難點(diǎn)培優(yōu)）-【講練課堂】2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典（解析版）【蘇科版】

【講練課堂】2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典【蘇科版】一、解答題1．如圖△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長(zhǎng)BC到E，使CE＝CD．求證：DB＝DE．【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根據(jù)角之間的關(guān)系求得∠DBC=∠CED，根據(jù)等角對(duì)等邊即可得到DB=DE．【詳解】證明：∵△ABC是等邊三角形，BD是中線，∴∠ABC＝∠ACB＝60°．∠DBC＝30°（等腰三角形三線合一）．又∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED．又∵∠BCD＝∠CDE+∠CED，∴∠CDE＝∠CED＝∠BCD＝30°．∴∠DBC＝∠DEC．∴DB＝DE（等角對(duì)等邊）．【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對(duì)等邊三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)的理解及運(yùn)用；利用三角形外角的性質(zhì)得到∠CED=30°是正確解答本題的關(guān)鍵．2．如圖1，點(diǎn)P、Q分別是等邊△ABC邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），點(diǎn)P從頂點(diǎn)A、點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的運(yùn)動(dòng)速度相同，連接AQ、CP交于點(diǎn)M．(1)求證：：(2)當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在AB、BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠QMC的大小變化嗎？若變化，請(qǐng)說明理由：若不變，求出它的度數(shù)．(3)如圖2，若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動(dòng)，直線AQ、CP相交于點(diǎn)M，則∠QMC的大小變化嗎？若變化，請(qǐng)說明理由：若不變，則求出它的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)∠QMC的大小不變，∠QMC=60°(3)∠QMC的大小不變，∠QMC＝120°【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，利用SAS證明△ABQ≌△CAP；（2）由△ABQ≌△CAP根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAQ=∠ACP，從而得到∠QMC=60°；（3）由△ABQ≌△CAP根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAQ=∠ACP，從而得到∠QMC=120°．(1)證明：∵△ABC是等邊三角形∴∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA，又∵點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)速度相同，∴AP＝BQ，在△ABQ與△CAP中，∵，∴（SAS）；(2)解：點(diǎn)P、Q分別在AB、BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠QMC的大小不變，∠QMC＝60°．理由：∵，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC＝∠ACP＋∠MAC，∴∠QMC＝∠BAQ＋∠MAC＝∠BAC＝60°(3)解：點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠QMC的大小不變．理由：同理可得，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC＝∠BAQ＋∠APM，∴∠QMC＝∠ACP＋∠APM＝180°－∠PAC＝180°－60°＝120°．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．3．如圖，是等邊三角形，是中線，延長(zhǎng)至，使．求證：．【答案】見解析【解析】【分析】利用等腰三角形三線合一得出，再結(jié)合等腰三角形的底角相等和外角的性質(zhì)得出，利用等角對(duì)等邊證明即可．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，．∵是中線，∴．∵，∴．∵，∴．∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和等腰三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行推理證明．4．如圖，在△ABC中，AB=AC，D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），在AD的右側(cè)作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，連接CE．（1）當(dāng)D在線段BC上時(shí)，①求證：△BAD≌△CAE；②若AC⊥DE，求證：BD=DC；（2）當(dāng)CE∥AB時(shí)，若△ABD中最小角為20°，試探究∠ADB的度數(shù)（直接寫出結(jié)果）【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）100°或40°或20°【解析】【分析】（1）①根據(jù)SAS即可證明；②利用等腰三角形的三線合一得到∠DAC=∠EAC，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BAD=∠EAC，利用等腰三角形的性質(zhì)得到BD=DC；（2）分D在線段BC上、當(dāng)點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上、點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上三種情形根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【詳解】解：（1）①∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE；②如圖，∵AE=AD，AC⊥DE，∴∠DAC=∠EAC，∵△BAD≌△CAE，∴∠BAD=∠EAC，∴∠DAC=∠BAD，∵AB=AC，∴BD=DC；（2）如圖，當(dāng)D在線段BC上時(shí)，∵CE∥AB，∴∠ACE=∠BAC，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∴∠ABD=∠BAC，又∠ABC=∠ACB，∴△ABC為等邊三角形，∴∠ABC=60°，∴∠ADB=180°-60°-20°=100°；如圖，當(dāng)點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，同理可得，∠ABC=60°，∴∠ADB=40°，當(dāng)△ABD中的最小角是∠ADB時(shí)，∠ADB=20°，當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，只能∠ADB=20°，∴∠ADB的度數(shù)為100°或40°或20°．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的首先思考問題．5．【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，△ABC和△ADE均為等邊三角形，點(diǎn)B，D，E在同一直線上，連接CE，容易發(fā)現(xiàn)：①∠BEC的度數(shù)為；②線段BD、CE之間的數(shù)量關(guān)系為；【類比探究】（2）如圖2，△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，點(diǎn)B，D，E在同一直線上，連接CE，試判斷∠BEC的度數(shù)及線段BE、CE、DE之間的數(shù)列關(guān)系，并說明理由；【問題解決】（3）如圖3，∠AOB＝∠ACB＝90°，OA＝3，OB＝6，AC＝BC，則OC2的值為．【答案】（1）60°，BD=CE；（2）∠BEC=90°，BE=CE+DE，理由見解析；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，得到∠BAD=∠CAE，證明△BAD≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；（2）由“SAS”可證△ABD≌△ACE，可得BD=CE，∠AEC=∠ADB=135°，即可求解；（3）由“AAS”可證△ACF≌△CBE，可得BE=CF，AF=CE，可求OF=CF=，由勾股定理可求解．【詳解】解：（1）∵△ABC和△ADE為等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE；∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=120°，∴∠BEC=∠AEC-∠AED=120°-60°=60°，故答案為：60°，BD=CE；（2）∠BEC=90°，BE=CE+DE，理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∠AEC=∠ADB=135°，∴∠BEC=∠AEC-∠AED=135°-45°=90°，∵BE=BD+DE，∴BE=CE+DE；（3）如圖，過點(diǎn)C作CF⊥AO交AO延長(zhǎng)線于F，過點(diǎn)B作BE⊥CF于E，∵∠ACB=90°=∠E=∠AFC，∴∠BCE+∠ACF=90°=∠BCE+∠CBE，∴∠ACF=∠CBE，又∵AC=BC，∠AFC=∠E，∴△ACF≌△CBE（AAS），∴BE=CF，AF=CE，∵OA=3，OB=6，∴EC+CF=BO=6，OA=AF-OF=CE-BE=CE-CF=3，∴EC=，CF==OF，∴OC2=CF2+OF2=()2+()2=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．6．如圖，是等邊三角形，D是BC邊上一點(diǎn)，以AD為邊向右作等邊，連接CE．求證：（1）；（2）．【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）由三角形ADE與三角形ABC都為等邊三角形，得到兩對(duì)邊相等，一對(duì)角相等為60°，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS即可得證；（2）利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到∠ACE=∠B=60°，再由∠BAC=60°，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行即可得證．【詳解】證明：（1）∵△ADE與△ABC都是等邊三角形，∴AC=AB，AE=AD，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAE-∠CAD=∠BAC-∠CAD，即∠CAE=∠BAD，在△CAE和△BAD中，，∴（SAS）；（2）∵△CAE≌△BAD，∴∠ACE=∠B=60°，∴∠ACE=∠BAC=60°，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．7．如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊AB為邊作等邊，連接DC，以DC為邊作等邊，使點(diǎn)B和點(diǎn)E在CD的同側(cè)，CE與BD交于點(diǎn)F，連接BE．（1）根據(jù)題中給定的條件，補(bǔ)全圖形；（2）求證：；（3）求證：BD垂直平分CE．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的定義作圖連線即可；（2）根據(jù)等邊三角形及等腰直角三角形的定義，利用SSS證明；（3）證明△BED≌△ACD，推出BE=BC，得到點(diǎn)B在CE的垂直平分線上，根據(jù)ED=CD，得到點(diǎn)D在CE的垂直平分線上，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：補(bǔ)圖如下：（2）證明：∵△ABD和△DCE是等邊三角形，∴BD=AD，ED=CD，∠ADF=∠CDE=60°．∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC．在△ACD和△BCD中，∴△ACD≌△BCD（SSS）．（3）解：由（2）得△ACD≌△BCD，∴∠ADC=∠BDC=30°，∴∠BDE=60°-30°=30°．在△BED和△ACD中，∴△BED≌△ACD（SAS）．∴BE=AC．∴BE=BC．∴點(diǎn)B在CE的垂直平分線上．又ED=CD，∴點(diǎn)D在CE的垂直平分線上．∴BD垂直平分CE．【點(diǎn)睛】此題考查等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，線段垂直平分線的判定定理，作圖能力，掌握各知識(shí)點(diǎn)、邏輯推理能力是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在等邊△ABC中，線段AM為BC邊上的中線．動(dòng)點(diǎn)D在直線AM上時(shí)，以CD為一邊在CD的下方作等邊△CDE，連結(jié)BE．（1）求∠CAM的度數(shù)；（2）若點(diǎn)D在線段AM上時(shí)，求證：△ADC≌△BEC；（3）當(dāng)動(dòng)D在直線AM上時(shí)，設(shè)直線BE與直線AM的交點(diǎn)為O，試判斷∠AOB是否為定值？并說明理由．【答案】（1）30°；（2）見解析；（3）是定值，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以直接得出結(jié)論；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出，，，由等式的性質(zhì)就可以，根據(jù)就可以得出；（3）分情況討論：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖1，由（2）可知，就可以求出結(jié)論；當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，可以得出而有而得出結(jié)論；當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，通過得出同樣可以得出結(jié)論．【詳解】解：（1）是等邊三角形，．線段為邊上的中線，，．故答案為：30°；（2）與都是等邊三角形，，，，，．在和中，，；（3）是定值，，理由如下：①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖1，由（2）可知，則，又，，是等邊三角形，線段為邊上的中線，平分，即，．②當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，與都是等邊三角形，，，，，，在和中，，，，同理可得：，．③當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，與都是等邊三角形，，，，，，在和中，，，，同理可得：，，，，．綜上，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在直線上時(shí)，是定值，．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，等式的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．9．在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC上，BD＝CE，BE＝CF，（1）求證：∠B＝∠DEF；（2）連接DF，當(dāng)∠A的度數(shù)是多少時(shí)，△DEF是等邊三角形．【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)∠A＝60°時(shí)，△DEF是等邊三角形．【解析】【分析】（1）首先證明△DBE≌△ECF，推出∠BDE=∠CEF，由在△DBE中，∠B+∠BDE+∠DEB=180°推出∠B=180°-∠BDE-∠DEB由∠CEF+∠DEF+∠DEB=180°推出∠DEF=180°-∠CEF-∠DEB可得∠B=∠DEF；（2）當(dāng)∠A=60°時(shí)，△DEF是等邊三角形，利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問題；【詳解】解：（1）證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△DBE與△ECF中，∵BD＝CE，∠B＝∠C，BE＝CF，∴△DBE≌△ECF，∴∠BDE＝∠CEF，∵在△DBE中，∠B+∠BDE+∠DEB＝180°∴∠B＝180°﹣∠BDE﹣∠DEB∵∠CEF+∠DEF+∠DEB＝180°∴∠DEF＝180°﹣∠CEF﹣∠DEB∴∠B＝∠DEF．（2）當(dāng)∠A＝60°時(shí)，△DEF是等邊三角形，理由如下∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠B＝60°，即∠DEF＝60°，∵△DBE≌△ECF∴ED＝EF，∵ED＝EF，∠DEF＝60°，∴△DEF是等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．10．如圖，已知在△ABC中，∠A＝60°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，CE⊥AB，BF⊥AC，垂足分別為E、F，連接DE、DF、EF．求證：△DEF為等邊三角形．【答案】證明見解析．【解析】【分析】根據(jù)直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半證明DF=DE，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠ABC+∠ACB=120°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DEB=∠ABC，∠DFC=∠ACB，即可得出∠BDE+∠CDF=120°，根據(jù)等邊三角形的判定定理證明結(jié)論．【詳解】證明：∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵BF⊥AC，CE⊥AB，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴DB=DE，DC=DF，DE=BC，DF=BC，∴∠DEB=∠ABC，∠DFC=∠ACB，DF=DE，∴∠DEB+∠ABC+∠DFC+∠ACB=240°，∴∠BDE+∠CDF=120°，∴∠FDE=60°，又DF=DE，∴△DFE是等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．11．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F是線段AD的中點(diǎn)，連接EF，CF．（1）求證：EF＝CF；（2）若∠BAC=30°，連接EC，試判斷△EFC的形狀，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）△EFC是等邊三角形．理由見解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)斜邊中線等于斜邊的一半證明即可；（2）利用外角的性質(zhì)得出∠EFC=2∠BAC=60°，再根據(jù)等邊三角形的判定證明即可．【詳解】（1）證明：∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°，∵點(diǎn)F是斜邊AD的中點(diǎn)，∴EF＝AD，CF＝AD，∴EF＝CF；（2）△EFC是等邊三角形，由（1）得EF＝AF＝CF，∴∠FEA＝∠FAE，∠FCA＝∠FAC，∴∠EFC=2∠BAC=60°，∵EF＝CF，∴△EFC是等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行證明．12．如圖，在中，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作射線AE，過點(diǎn)C作CF⊥AE于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BG⊥AE于點(diǎn)G，連接FD并延長(zhǎng)，交BG于點(diǎn)H（1）求證：；（2）若∠CFD=120°，求證：為等邊三角形．【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)，，可證，利用點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，根據(jù)ASA可證明；（2）首先根據(jù)角的和差關(guān)系可以計(jì)算出，再由可得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，，進(jìn)而得到結(jié)論．【詳解】證明：（1）如圖示，，，，，，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，，在和中，，；（2），，，，，是直角三角形，，，為等邊三角形．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定定理．13．如圖，在中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點(diǎn)D、E在BC上，且AE＝BE．（1）求∠CAE的度數(shù)；（2）若點(diǎn)D為線段EC的中點(diǎn)，求證：是等邊三角形．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】【分析】（1）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)角的和差即可得；（2）先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)等邊三角形的判定即可得證．【詳解】（1）在中，，，，，；（2）由（1）可知，，，點(diǎn)D為線段EC的中點(diǎn)，即AD為斜邊EC上的中線，，是等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（2），熟練掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題關(guān)鍵．14．已知點(diǎn)C和點(diǎn)F在線段BE上，且AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF，AC和DF相交于點(diǎn)G．（1）求證：△ABC≌△DEF；（2）當(dāng)∠AGF＝120°，猜想△GFC的形狀，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）△GFC是等邊三角形，理由見解析【解析】【分析】（1）由“SAS”可證△ABC≌△DEF；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得∠GFC=∠GCF，由外角性質(zhì)可得∠GFC=∠GCF=60°，可證△GFC是等邊三角形．【詳解】證明：（1）∵AB=DE，且∠B=∠E，BC=EF，∴△ABC≌△DEF（SAS）；（2）△GFC是等邊三角形，理由如下：∵△ABC≌△DEF，∴∠GFC=∠GCF，∵∠AGF=∠GFC+∠GCF=120°，∴∠GFC=∠GCF=60°，∴△GFC是等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定，證明△ABC≌△DEF是本題的關(guān)鍵．15．已知是等邊三角形，．（1）如圖1，點(diǎn)在線段上從點(diǎn)出發(fā)沿射線以的速度運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作交線段于點(diǎn)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿的延長(zhǎng)線以的速度運(yùn)動(dòng)，連接、．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．①求證：是等邊三角形；②當(dāng)點(diǎn)不與點(diǎn)、重合時(shí)，求證：．（2）如圖2，點(diǎn)為的中點(diǎn)，作直線，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)的過程中，的最小值是多少？請(qǐng)說明理由．【答案】（1）①證明見解析；②證明見解析；（2）的最小值為4，理由見解析．【解析】【分析】（1）①根據(jù)平行線的性質(zhì)證明兩個(gè)角是，可得結(jié)論；②根據(jù)條件得，由證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）以AC為邊作等邊三角形ACD，連接SD，如圖2所示．證明△ACT≌△DCS，可得AT=DS，可得AT的最小值為4．連接，證得，證明，可得，即點(diǎn)在直線上，的最小值為4．【詳解】解：（1）①是等邊三角形，．，．．是等邊三角形．②如圖1，是等邊三角形，，．是等邊三角形，，．，．．，．．．（2）解：以AC為邊作等邊三角形ACD，連接SD，如圖2所示．∵△ABC為等邊三角形，且AK為△ABC的對(duì)稱軸，∴∠ACK=60°，∠CAK=30°，∴∠DAS=90°，∵∠SCT=60°，∴∠SCD=∠ACT．∵AC＝CD，∠ACT＝∠SCD，CT＝CS，∴△ACT≌△DCS（SAS），∴AT=SD，∴AT的最小值為AD的長(zhǎng)=4．【點(diǎn)睛】本題是運(yùn)動(dòng)型幾何綜合題，考查了等邊三角形、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定及分類討論的數(shù)學(xué)思想，解題關(guān)鍵是深刻理解圖形的運(yùn)動(dòng)過程，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)．16．如圖,△ABC中,AB=BC=AC=12cm,現(xiàn)有兩點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A．點(diǎn)B同時(shí)出發(fā),沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度為1cm/s，點(diǎn)N的速度為2cm/s.當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).(1)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)_________秒后，△AMN是等邊三角形?(2)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)_______秒后得到以MN為底邊的等腰三角形△AMN?(3)M、N同時(shí)運(yùn)動(dòng)幾秒后，△AMN是直角三角形？請(qǐng)說明理由.【答案】（1）4；（2）16；（3）M、N同時(shí)運(yùn)動(dòng)3，，15，18秒后，△AMN是直角三角形，理由見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)t秒后，可得到等邊三角形△AMN，然后表示出AM，AN的長(zhǎng)，由于∠A等于60°，所以只要AM=AN三角形ANM就是等邊三角形；（2）由△AMN是等腰三角形，可證出△ACM≌△ABN，可得CM=BN，設(shè)出運(yùn)動(dòng)時(shí)間，表示出CM，NB，NM的長(zhǎng)，列出方程，可解出未知數(shù)的值；（3）分點(diǎn)N在AB，AC，BC上運(yùn)動(dòng)的三種情況，再分別就∠AMN=90°和∠ANM=90°列方程求解可得．【詳解】解：（1）設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)t秒后，可得到等邊三角形△AMN，如圖1，AM=t，AN=12-2t，∵AB=BC=AC，∴△ACB是等邊三角形，∴∠A=60°，當(dāng)AM=AN時(shí)，△AMN是等邊三角形∴t=12-2t，解得t=4，∴點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)4秒后，△AMN是等邊三角形；（2）設(shè)當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)t秒后得到以MN為底邊的等腰三角形△AMN，由題意知12秒時(shí)M、N兩點(diǎn)重合，恰好在C處，如圖2，假設(shè)△AMN是等腰三角形，∴AM=AN，∴∠AMN=∠ANM，∴∠AMC=∠ANB，∵AB=BC=AC，∴△ACB是等邊三角形，∴∠C=∠B，在△ACM和△ABN中，∵∠AMC=∠ANB，∠C=∠B，AC=AB∴△ACM≌△ABN（AAS），∴CM=BN，∴t-12=36-2t，解得t=16，符合題意．所以點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)16秒后能得到以MN為底的等腰三角形；（3）①當(dāng)點(diǎn)N在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖3，若∠AMN=90°，∵BN=2t，AM=t，∴AN=12-2t，∵∠A=60°，∴2AM=AN，即2t=12-2t，解得t=3；如圖4，若∠ANM=90°，由2AN=AM得2（12-2t）=t，解得t=；②當(dāng)點(diǎn)N在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M也在AC上，此時(shí)A，M，N不能構(gòu)成三角形；③當(dāng)點(diǎn)N在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖5，當(dāng)點(diǎn)N位于BC中點(diǎn)處時(shí)，由△ABC時(shí)等邊三角形知AN⊥BC，即△AMN是直角三角形，則2t-24=6，解得t=15；如圖6，當(dāng)點(diǎn)M位于BC中點(diǎn)處時(shí)，由△ABC時(shí)等邊三角形知AM⊥BC，即△AMN是直角三角形，則t-12=6解得t=18；綜上，M、N同時(shí)運(yùn)動(dòng)3，，15，18秒后，△AMN是直角三角形；故答案為3，，15，18．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)及判定和直角三角形的定義與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，理清線段之間的數(shù)量關(guān)系．17．如圖1所示，在邊長(zhǎng)為6cm的等邊△ABC中，動(dòng)點(diǎn)P以1cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），t＞0(1)當(dāng)t＝時(shí)，△PAC是直角三角形；(2)如圖2，若另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，且動(dòng)點(diǎn)P，Q均以1cm/s的速度同時(shí)出發(fā)，那么當(dāng)t取何值時(shí)，△PAQ是直角三角形？請(qǐng)說明理由；(3)如圖3，若另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線BC方向運(yùn)動(dòng)，且動(dòng)點(diǎn)P，Q均以1cm/s的速度同時(shí)出發(fā)．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接PQ交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作PE⊥AC于E，試問線段DE的長(zhǎng)度是否變化？若変化，請(qǐng)說明如何變化；若不變，請(qǐng)求出DE的長(zhǎng)度．【答案】(1)3(2)2或4，理由見解析(3)不變化，【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，當(dāng)，即為的中點(diǎn)時(shí)，△PAC是直角三角形，據(jù)此分析即可；（2）分①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，建立一元一次方程解方求解即可；（3）過作，進(jìn)而證明，可得(1)解：依題意，當(dāng)△PAC是直角三角形時(shí)，，是等邊三角形則此時(shí)為的中點(diǎn)時(shí)，故答案為：3(2)解：①當(dāng)時(shí)，如圖，是等邊三角形，則在中，,即解得②當(dāng)時(shí)，如圖，同理可得即解得綜上所述，當(dāng)t為或時(shí)，△PAQ是直角三角形(3)如圖，過點(diǎn)作，是等邊三角形是等邊三角形∴，的速度相等∴，【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握等邊三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．18．如圖，已知點(diǎn)D，E在△ABC的邊BC上，AB＝AC，AD＝AE．（1）求證：BD＝CE；（2）若點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上，BD＝DE，求∠B的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）∠B＝30°．【解析】【分析】（1）作AF⊥BC于點(diǎn)F，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到BF＝CF，DF＝EF，相減后即可得到正確的結(jié)論．（2）證明DA＝DE＝AE，得出△ADE是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得出∠ADE＝60°，由三角形外角的性質(zhì)則可得出答案．【詳解】（1）證明：如圖，過點(diǎn)A作AF⊥BC于F．∵AB＝AC，AD＝AE．∴BF＝CF，DF＝EF，∴BD＝CE．（2）解：∵點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上，DA＝DB，∵DB＝DE，∴DA＝DE，∵AD＝EA，

∴DA＝DE＝AE，∴△ADE是等邊三角形，∴∠ADE＝60°，∵∠ADE是△ADB的外角，∴∠ADE＝∠B+∠BAD，∵DA＝DB，∴∠B＝∠BAD＝30°．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．19．如圖，△ABC為等邊三角形，直線l過點(diǎn)C，在l上位于C點(diǎn)右側(cè)的點(diǎn)D滿足∠BDC＝60°（1）如圖1，在l上位于C點(diǎn)左側(cè)取一點(diǎn)E，使∠AEC＝60°，求證：△AEC≌△CDB；（2）如圖2，點(diǎn)F、G在直線l上，連AF，在l上方作∠AFH＝120°，且AF＝HF，∠HGF＝120°，求證：HG+BD＝CF；（3）在（2）的條件下，當(dāng)A、B位于直線l兩側(cè)，其余條件不變時(shí)（如圖3），線段HG、CF、BD的數(shù)量關(guān)系為．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）CF=EF-BD．【解析】【分析】（1）先證明∠ACE=∠CBD，即可利用AAS證明△AEC≌△CDB；（2）在直線l上位于C點(diǎn)左側(cè)去一點(diǎn)E，使得∠AEC=60°，連接AE，由（1）可知△AEC≌△CDB，CE=BD，然后證明△FAE≌△HFG得到GH=EF，則CF=EF+CE=GH+BD即HG+BD=CF；（3）在直線l上位于C點(diǎn)右側(cè)取一點(diǎn)E使得∠AED=60°，連接AE，在直線l上位于D點(diǎn)左側(cè)取一點(diǎn)M使得BM=BD，設(shè)AB與直線l交于N，先證明△BDM是等邊三角形，得到∠DBM=∠DMB=60°，然后證明∠ACE=∠ABD=∠CBM，即可利用AAS證明△AEC≌△CMB得到CE=BM=BD；最后證明△AEF≌△FGH得到HG=EF，則EF=CE+CF=CF+BD即CF=EF-BD．【詳解】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∴∠ACE+∠BCD=180°-∠ACB=120°，∵∠BDC=60°，∴∠BCD+∠CBD=180°-∠BDC=120°，∴∠ACE=∠CBD，在△AEC和△CDB中，，∴△AEC≌△CDB（AAS）（2）如圖所示，在直線l上位于C點(diǎn)左側(cè)取一點(diǎn)E，使得∠AEC=60°，連接AE，由（1）可知△AEC≌△CDB，∴CE=BD，∵∠ACE=60°，∴∠AEF=120°，∴∠AEF=∠AFH=120°，∴∠AFE+∠FAE=180°-∠AEF=60°，∠AFE+∠HFG=180°-∠AFH=60°，∴∠FAE=∠HFG，在△FAE和△HFG中，，∴△FAE≌△HFG（AAS），∴GH=EF，∴CF=EF+CE=GH+BD即HG+BD=CF；（3）如圖所示，在直線l上位于C點(diǎn)右側(cè)取一點(diǎn)E使得∠AED=60°，連接AE，在直線l上位于D點(diǎn)左側(cè)取一點(diǎn)M使得BM=BD，設(shè)AB與直線l交于N∵∠BDC=60°，BM=BD，∴△BDM是等邊三角形，∴∠DBM=∠DMB=60°，∵三角形ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠BAC=60°，AC=BC∴∠ABM+∠CBM=∠ABM+∠ABD，∴∠ABD=∠CBM，∵∠BAC=∠BDC=60°，∠ANE=∠DNB，∴∠ACE=∠ABD=∠CBM，∵∠CMB=180°-∠DMB=120°，∠AEC=180°-∠AED=120°，∴∠CMB=∠AEC，在△AEC和△CMB中，，∴△AEC≌△CMB（AAS），∴CE=BM=BD；∵∠AFH=120°，∴∠AFC+∠GFH=60°，∵∠GFH+∠FHG=180°-∠HGF=60°，∴∠AFC=∠FHG，在△AEF和△FGH中，，∴△AEF≌△FGH（AAS），∴HG=EF，∴EF=CE+CF=CF+BD即CF=EF-BD．故答案為：CF=EF-BD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定條件．20．在△ABC中，AB＝AC，將線段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BD．（1）如圖1，若∠BAC＝40°，則∠ABD＝；（2）如圖2，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判斷△ABE的形狀并加以證明；（3）在（2）的條件下，連接DE，若∠DEC＝45°，設(shè)∠BAC＝α（0°＜α＜60°），求α的值．【答案】（1）∠ABD＝10°；（2）△ABE是等邊三角形，見解析；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠ABC，根據(jù)∠ABD＝∠ABC?∠DBC計(jì)算即可．（2）于△ABD≌△ACD（SSS），推出∠ADB＝∠ADC＝150°，再證明△ABD≌△EBC（AAS），推出AB＝BE即可解決問題．（3）只要證明△DEC是等腰直角三角形，即可推出BC＝CE，∠CBE＝∠CEB＝15°，即可求解．【詳解】（1）如圖1中，∵∠BAC＝40°，AB＝AC，∴∠ABC＝70°∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝70°﹣60°＝10°．（2）結(jié)論：△ABE是等邊三角形，理由：連接AD，CD，ED，∵線段BC繞B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BD，則BC＝BD，∠DBC＝60°，∵∠ABE＝60°，∴∠ABD＝∠EBC，且△BCD為等邊三角形，∴BD=CD，∵∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠ADB＝∠ADC＝150°，∵∠BCE＝150°，∴∠ADB＝∠BCE，∵∠ABD＝∠EBC，BD＝BC，∴△ABD≌△EBC（AAS），∴AB＝BE，∵∠ABE＝60°，∴△ABE是等邊三角形．（3）如圖2中，由（2）可知，∠BCD＝60°，∵∠BCE＝150°，∴∠DCE＝90°，∵∠DEC＝45°，∴∠CDE＝∠DEC＝45°，∴CD＝CE＝CB，∴∠CBE＝∠CEB＝15°，∵∠BAD＝∠DAC＝∠BEC，∴∠BAD＝∠DAC＝15°，∴∠BAC＝30°．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性質(zhì)是全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題．21．問題：如圖1，在等邊三角形△ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，ED＝EC，回答下列問題：（1）與AE相等的線段是．（2）請(qǐng)證明（1）中得到的結(jié)論，證明思路如下：①小聰思路：如圖2，過E作EF//BC，交AC于點(diǎn)F，請(qǐng)你完成剩下解答過程；②小明思路：如圖3，把△EBD沿BE翻折得到△EBF，連接CF，請(qǐng)你完成剩下解答過程．【答案】（1）BD；（2）①見解析；②見解析【解析】【分析】（1）思路見（2）（2）①過E作EF//BC，證明△AEF為等邊三角形，再證明△DBE≌△EFC，即可得到BD=EF=AE；②把△EBD沿BE翻折得到△EBF，連接CF，得到△EBD≌△EBF，再證明△ACE≌△BCF，即可得到AE＝BF＝BD；【詳解】（1）BD（2）①小聰思路：過點(diǎn)E作EF//BC，交AC于F∵△ABC是等邊三角形∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝BC＝AC∵EF//BC

∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，∠FEC＝∠ECB∵又∠A＝60°

∴△AEF是等邊三角形∴AE＝AF＝EF，∠EFC＝∠DBE＝120°，∴CF＝BE∵ED＝EC∴∠D＝∠ECB∴∠D＝∠FEC∴∠FCE＝∠BED在△DBE和△EFC中，∴△DBE≌△EFC（SAS）∴BD＝EF∴BD＝AE②小明思路：∵DE＝EC

∴∠ECB＝∠D∵∠ABC＝∠DEB+∠D，∠ACB＝∠ACE+∠ECB∴∠DEB＝∠ACE∵△EBD翻折到△EBF∴△EBD≌△EBF

∴∠DEB＝∠FEB，DE＝EF∴∠DEB＝∠ACE＝∠FEB∵∠CEB＝∠CEF+∠FEB＝∠A+∠ACE∴∠CEF＝∠A＝60°∵DE＝EF＝CE∴△ECF為等邊三角形∴CE＝CF，∠ECF＝60°∴∠ACE+∠ECB＝∠ECB+∠BCF∴∠ACE＝∠BCF，在△ACE和△BCF中∴△ACE≌△BCF（SAS）∴AE＝BF＝BD【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．22．已知是邊長(zhǎng)為4，面積是的等邊三角形，點(diǎn)起線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，向的右側(cè)作，且，連接．（1）在圖2中畫出點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)的圖形，并證明：；（2）①當(dāng)時(shí)，；（直接寫出結(jié)果）②點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，請(qǐng)直接寫出周長(zhǎng)的最小值：若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）見詳解；（2）2或8；（3）存在4+【解析】【分析】（1）證明△ABD≌△ACE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD＝CE．（2）①分點(diǎn)D在線段BC上和點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上兩種情況，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)解答；②根據(jù)△ABD≌△ACE得到CE＝BD，根據(jù)垂線段最短解答．【詳解】（1）點(diǎn)D在BC延長(zhǎng)線上時(shí)的圖形如圖所示：證明：∵，且∴△ADE與△ABC都是等邊三角形，∴AC＝AB，AE＝AD，∠DAE＝∠BAC＝60°．∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD．即∠CAE＝∠BAD．∴△CAE≌△BAD．∴EC＝DB．（2）①BD為2或8時(shí)，∠DEC＝30°，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上，BD＝2時(shí)，如圖2﹣1中，∵△ABD≌△ACE，∴BD＝EC＝2，∠B＝∠ACE＝60°∵BC＝4，∴CD＝EC＝2，∵∠ACB＝∠ACE＝60°，∴∠DCE＝120°，∴∠DEC＝∠CDE＝30°．當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，BD＝8時(shí)，如圖2﹣2中，∵CA＝CB＝CD＝4，∴∠CAD＝∠CDA，∵∠ACB＝∠CAD+∠CDA＝60°，∴∠ADC＝30°，∵∠B＝∠ACE＝60°∴∠ADE＝∠ECD＝60°，∴∠CDE＝90°，∴∠DEC＝30°，∴BD為2或8時(shí)，∠DEC＝30°．故答案為：2或8．②點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過程中，△DEC的周長(zhǎng)存在最小值，最小值為4+2，理由如下：∵△ABD≌△ACE，∴CE＝BD，則△DEC的周長(zhǎng)＝DE+CE+DC＝BD+CD+DE，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，△DEC的周長(zhǎng)＝BC+DE，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，△DEC的周長(zhǎng)＝BD+CD+DE＞BC+DE，∴△DEC的周長(zhǎng)≥BC+DE，∴當(dāng)D在線段BC上，且DE最小時(shí)，△DEC的周長(zhǎng)最小，∵△ADE為等邊三角形，∴DE＝AD，∴當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD的值最小，∵三角形面積是∴AD=∴△DEC的周長(zhǎng)的最小值為4+2．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．23．已知，如圖，等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)P是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn)，OP＝OC，連接OB．證明：（1）∠APO+∠DCO＝30°；（2）△OPC是等邊三角形；（3）AB＝AO+AP．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【解析】【分析】（1）利用等邊對(duì)等角，即可證得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，則∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，據(jù)此即可求解；（2）證明∠POC=60°且OP=OC，即可證得△OPC是等邊三角形；（3）首先證明△OPA≌△CPE，則AO=CE，AC=AE+CE=AO+AP．【詳解】證明：（1）∵AB=AC，AD