第七章matlab解方程與函數(shù)極值

第七章MATLAB解方程與函數(shù)極值11/14/20231

線性方程組求解非線性方程數(shù)值求解常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值解法函數(shù)極值11/14/202327.1線性方程組求解7.1.1直接解法

1.利用左除運(yùn)算符的直接解法對(duì)于線性方程組Ax=b，可以利用左除運(yùn)算符“\”求解：

x=A\b例7-1用直接解法求解下列線性方程組。11/14/202332.利用矩陣的分解求解線性方程組矩陣分解是指根據(jù)一定的原理用某種算法將一個(gè)矩陣分解成若干個(gè)矩陣的乘積。常見(jiàn)的矩陣分解有LU分解、QR分解、Cholesky分解，以及Schur分解、Hessenberg分解、奇異分解等。11/14/20234(1)LU分解矩陣的LU分解就是將一個(gè)矩陣表示為一個(gè)交換下三角矩陣和一個(gè)上三角矩陣的乘積形式。線性代數(shù)中已經(jīng)證明，只要方陣A是非奇異的，LU分解總是可以進(jìn)行的。

MATLAB提供的lu函數(shù)用于對(duì)矩陣進(jìn)行LU分解，其調(diào)用格式為：

[L,U]=lu(X)：產(chǎn)生一個(gè)上三角陣U和一個(gè)變換形式的下三角陣L(行交換)，使之滿足X=LU。注意，這里的矩陣X必須是方陣。

[L,U,P]=lu(X)：產(chǎn)生一個(gè)上三角陣U和一個(gè)下三角陣L以及一個(gè)置換矩陣P，使之滿足PX=LU。當(dāng)然矩陣X同樣必須是方陣。實(shí)現(xiàn)LU分解后，線性方程組Ax=b的解x=U\(L\b)或x=U\(L\Pb)，這樣可以大大提高運(yùn)算速度。例7-2用LU分解求解例7-1中的線性方程組。11/14/20235(2)QR分解對(duì)矩陣X進(jìn)行QR分解，就是把X分解為一個(gè)正交矩陣Q和一個(gè)上三角矩陣R的乘積形式。QR分解只能對(duì)方陣進(jìn)行。MATLAB的函數(shù)qr可用于對(duì)矩陣進(jìn)行QR分解，其調(diào)用格式為：

[Q,R]=qr(X)：產(chǎn)生一個(gè)一個(gè)正交矩陣Q和一個(gè)上三角矩陣R，使之滿足X=QR。

[Q,R,E]=qr(X)：產(chǎn)生一個(gè)一個(gè)正交矩陣Q、一個(gè)上三角矩陣R以及一個(gè)置換矩陣E，使之滿足XE=QR。實(shí)現(xiàn)QR分解后，線性方程組Ax=b的解x=R\(Q\b)或x=E(R\(Q\b))。例7-3用QR分解求解例7-1中的線性方程組。11/14/20236

(3)Cholesky分解如果矩陣X是對(duì)稱正定的，則Cholesky分解將矩陣X分解成一個(gè)下三角矩陣和上三角矩陣的乘積。設(shè)上三角矩陣為R，則下三角矩陣為其轉(zhuǎn)置，即X=R'R。MATLAB函數(shù)chol(X)用于對(duì)矩陣X進(jìn)行Cholesky分解，其調(diào)用格式為：

R=chol(X)：產(chǎn)生一個(gè)上三角陣R，使R'R=X。若X為非對(duì)稱正定，則輸出一個(gè)出錯(cuò)信息。

[R,p]=chol(X)：這個(gè)命令格式將不輸出出錯(cuò)信息。當(dāng)X為對(duì)稱正定的，則p=0，R與上述格式得到的結(jié)果相同；否則p為一個(gè)正整數(shù)。如果X為滿秩矩陣，則R為一個(gè)階數(shù)為q=p-1的上三角陣，且滿足R'R=X(1:q,1:q)。實(shí)現(xiàn)Cholesky分解后，線性方程組Ax=b變成R‘Rx=b，所以x=R\(R’\b)。11/14/20237例7-4用Cholesky分解求解例7-1中的線性方程組。命令如下：

A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];b=[13,-9,6,0]';R=chol(A)???Errorusing==>cholMatrixmustbepositivedefinite

命令執(zhí)行時(shí)，出現(xiàn)錯(cuò)誤信息，說(shuō)明A為非正定矩陣。11/14/202387.1.2迭代解法迭代解法非常適合求解大型系數(shù)矩陣的方程組。在數(shù)值分析中，迭代解法主要包括

Jacobi迭代法、Gauss-Serdel迭代法、超松弛迭代法和兩步迭代法。

1.Jacobi迭代法對(duì)于線性方程組Ax=b，如果A為非奇異方陣，即aii≠0(i=1,2,…,n)，則可將A分解為A=D-L-U，其中D為對(duì)角陣，其元素為A的對(duì)角元素，L與U為A的下三角陣和上三角陣，于是Ax=b化為：

x=D-1(L+U)x+D-1b

與之對(duì)應(yīng)的迭代公式為：

x(k+1)=D-1(L+U)x(k)+D-1b

這就是Jacobi迭代公式。如果序列{x(k+1)}收斂于x，則x必是方程Ax=b的解。11/14/20239例7-5用Jacobi迭代法求解下列線性方程組。設(shè)迭代初值為0，迭代精度為10-6。

Jacobi迭代法的MATLAB函數(shù)文件Jacobi.m11/14/2023102.Gauss-Serdel迭代法在Jacobi迭代過(guò)程中，計(jì)算時(shí)，已經(jīng)得到，不必再用，即原來(lái)的迭代公式Dx(k+1)=(L+U)x(k)+b可以改進(jìn)為Dx(k+1)=Lx(k+1)+Ux(k)+b，于是得到：x(k+1)=(D-L)-1Ux(k)+(D-L)-1b該式即為Gauss-Serdel迭代公式。和Jacobi迭代相比，Gauss-Serdel迭代用新分量代替舊分量，精度會(huì)高些。11/14/202311

Gauss-Serdel迭代法的MATLAB函數(shù)文件gauseidel.m例7-6用Gauss-Serdel迭代法求解下列線性方程組。設(shè)迭代初值為0，迭代精度為10-6。例7-7分別用Jacobi迭代和Gauss-Serdel迭代法求解下列線性方程組，看是否收斂。11/14/2023127.2非線性方程數(shù)值求解7.2.1單變量非線性方程求解在MATLAB中提供了一個(gè)fzero函數(shù)，可以用來(lái)求單變量非線性方程的根。該函數(shù)的調(diào)用格式為：

z=fzero('fname',x0,tol,trace)

其中fname是待求根的函數(shù)文件名，x0為搜索的起點(diǎn)。一個(gè)函數(shù)可能有多個(gè)根，但fzero函數(shù)只給出離x0最近的那個(gè)根。tol控制結(jié)果的相對(duì)精度，缺省時(shí)取tol=eps，trace指定迭代信息是否在運(yùn)算中顯示，為1時(shí)顯示，為0時(shí)不顯示，缺省時(shí)取trace=0。11/14/202313

例7-8求f(x)=x-10x+2=0在x0=0.5附近的根。

步驟如下：

(1)建立函數(shù)文件funx.m。

functionfx=funx(x)

fx=x-10.^x+2;(2)調(diào)用fzero函數(shù)求根。

z=fzero('funx',0.5)z=0.375811/14/2023147.2.2非線性方程組的求解對(duì)于非線性方程組F(X)=0，用fsolve函數(shù)求其數(shù)值解。fsolve函數(shù)的調(diào)用格式為：

X=fsolve('fun',X0,option)

其中X為返回的解，fun是用于定義需求解的非線性方程組的函數(shù)文件名，X0是求根過(guò)程的初值，option為最優(yōu)化工具箱的選項(xiàng)設(shè)定。最優(yōu)化工具箱提供了20多個(gè)選項(xiàng)，用戶可以使用optimset命令將它們顯示出來(lái)。如果想改變其中某個(gè)選項(xiàng)，則可以調(diào)用optimset()函數(shù)來(lái)完成。例如，Display選項(xiàng)決定函數(shù)調(diào)用時(shí)中間結(jié)果的顯示方式，其中‘off’為不顯示，‘iter’表示每步都顯示，‘final’只顯示最終結(jié)果。optimset(‘Display’,‘off’)將設(shè)定Display選項(xiàng)為‘off’。11/14/202315

例7-9求下列非線性方程組在(0.5,0.5)附近的數(shù)值解。

(1)建立函數(shù)文件myfun.m。

functionq=myfun(p)x=p(1);y=p(2);q(1)=x-0.6*sin(x)-0.3*cos(y);q(2)=y-0.6*cos(x)+0.3*sin(y);(2)在給定的初值x0=0.5,y0=0.5下，調(diào)用fsolve函數(shù)求方程的根。

x=fsolve('myfun',[0.5,0.5]',optimset('Display','off'))x=0.63540.373411/14/2023167.3常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值解法7.3.1龍格－庫(kù)塔法基于龍格－庫(kù)塔法，MATLAB提供了求常微分方程數(shù)值解的函數(shù)，一般調(diào)用格式為：

[t,y]=ode23('fname',tspan,y0)[t,y]=ode45('fname',tspan,y0)

其中fname是定義f(t,y)的函數(shù)文件名，該函數(shù)文件必須返回一個(gè)列向量。tspan形式為[t0,tf],

表示求解區(qū)間。y0是初始狀態(tài)列向量。t和y分別給出時(shí)間向量和相應(yīng)的狀態(tài)向量。11/14/202317(1)建立函數(shù)文件funt.m。functionyp=funt(t,y)yp=(y^2-t-2)/4/(t+1);(2)求解微分方程。t0=0;tf=10;y0=2;[t,y]=ode23('funt',[t0,tf],y0);%求數(shù)值解y1=sqrt(t+1)+1;%求精確解t'y'y1'y為數(shù)值解，y1為精確值，顯然兩者近似。例7-10設(shè)有初值問(wèn)題，試求其數(shù)值解，并與精確解相比較(精確解為y1=sqrt(t+1)+1

。)11/14/202318

7.4函數(shù)極值

MATLAB提供了基于單純形算法求解函數(shù)極值的函數(shù)fminbnd和fminsearch，它們分別用于單變量函數(shù)和多變量函數(shù)的最小值，其調(diào)用格式為：

x=fminbnd('fname',x1,x2)x=fminsearch('fname',x0)這兩個(gè)函數(shù)的調(diào)用格式相似。其中fminbnd函數(shù)用于求單變量函數(shù)的最小值點(diǎn)。fname是被最小化的目標(biāo)函數(shù)名，x1和x2限定自變量的取值范圍。fminsearch函數(shù)用于求多變量函數(shù)的最小值點(diǎn)，x0是求解的初始值向量。11/14/202319

MATLAB沒(méi)有專門提供求函數(shù)最大值的函數(shù)，但只要注意到-f(x)在區(qū)間(a,b)上的最小值就是f(x)在(a,b)的最大值，所以fminbnd(f,x1,x2)返回函數(shù)f(x)在