第三章線性代數(shù)方程組的直接解法

§3.5向量范數(shù)與矩陣范數(shù)一、向量范數(shù)（/*VectorNorm*/）設(shè)是的一個映射，若對存在唯一實數(shù)與之對應(yīng)，且滿足

正定性：

齊次性：

三角不等性：且則稱為中向量的范數(shù)。非負(fù)實值函數(shù)稱為賦范線性空間可以推廣到常用的幾種向量范數(shù)：設(shè)

1-范數(shù)：

2-范數(shù)：

-范數(shù)：上述3種向量范數(shù)統(tǒng)稱為P-范數(shù)(或者Holder范數(shù))設(shè)由夾逼定理

兩個重要不等式

閔可夫斯基(Minkowski)不等式：

柯西-許瓦滋(Cauchy-Schwartz)不等式：或者例1：設(shè)是n階實對稱正定矩陣，則是中的一種向量范數(shù)。證明：只需驗證范數(shù)的3個條件成立即可。

非負(fù)性：

齊次性：

三角不等性：存在非奇異下三角陣?yán)?：證明是線性空間上的一種范數(shù)。證明：只需驗證范數(shù)的3個條件成立即可。

非負(fù)性：

齊次性：

三角不等性：閔可夫斯基(Minkowski)不等式：

向量范數(shù)的性質(zhì)：性質(zhì)1性質(zhì)2是的n元連續(xù)函數(shù).設(shè)和

是上定義的兩種范數(shù)，如果存在正數(shù)滿足則稱和是上等價的向量范數(shù)。（等價性/*EquivalenceProperty*/）性質(zhì)3例如性質(zhì)4向量范數(shù)的等價性具有傳遞性。性質(zhì)5的所有向量范數(shù)是彼此等價的。（向量序列的范數(shù)極限）即向量序列的范數(shù)收斂等價于向量分量收斂性質(zhì)6設(shè),則的充要條件是二、矩陣范數(shù)（/*MatrixNorm*/）

正定性：

齊次性：

三角不等性：且則稱為中矩陣的范數(shù)。賦范線性空間可以推廣到

相容性:設(shè)是的一個映射，若對存在唯一實數(shù)與之對應(yīng)，且滿足是一種矩陣范數(shù)。例3：設(shè)，證明：證明：只需驗證范數(shù)的4個條件成立即可。上述范數(shù)可以看成是維向量的2-范數(shù)，故只需驗證

記Frobenius范數(shù)簡稱F-范數(shù)其中稱之為矩陣的跡是的特征值設(shè)是上的范數(shù)，是上的范數(shù)如果對滿足則稱上述矩陣范數(shù)與向量范數(shù)相容。相容性（/*Compatibility*/）證明：設(shè)顯然它是一種向量范數(shù)。令設(shè)是中的任意一種矩陣范數(shù)，則在中至少存在一種向量范數(shù)，使得和是相容的。性質(zhì)記由得而從屬性（/*Subordination*/）設(shè)矩陣范數(shù)與向量范數(shù)相容，且對每一個都存在一個非零向量滿足則稱是從屬于向量范數(shù)的矩陣范數(shù)。從屬于向量范數(shù)的必要條件：證明：

矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性：設(shè)是中的一種向量范數(shù),若定義則是上的一種矩陣范數(shù).

非負(fù)性：設(shè)，則由

知

齊次性：

三角不等性：

相容性：矩陣范數(shù)的一般定義形式：上述一般定義形式中分別取從而得到常用的3種分別從屬于它們的矩陣范數(shù)：

列范數(shù)：記

行范數(shù)：

譜范數(shù)：其中是的最大特征值譜半徑

譜范數(shù)：其中是的最大特征值證明：因為是半正定的對稱陣,可設(shè)其特征值為其對應(yīng)的正交規(guī)范特征向量為則對例4：給定矩陣求矩陣的1、2、范數(shù)。若是實對稱矩陣，則矩陣的特征值為

設(shè),則

對任意的正交矩陣和,有設(shè)是上的任意一種矩陣范數(shù)，則對有

對至少存在一種從屬的矩陣范數(shù)，滿足可看成是維向量空間，由向量范數(shù)的性質(zhì)3得設(shè)和

是上定義的兩種范數(shù)，則存在正數(shù)，滿足（矩陣范數(shù)的等價性）設(shè),則有收斂的充要條件是.設(shè),則有

當(dāng)收斂時,有且存在從屬矩陣范數(shù)滿足可逆且