人教A版數(shù)學(xué)高中選擇性必修一《3.1.1橢圓及其標準方程》

第三章

圓錐曲線的方程3.1.1橢圓及其標準方程【想一想】在圓

上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足，當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡方程什么？軌跡是什么圖形？

【賞一賞】圓錐曲線的由來及無處不在的橢圓

【畫一畫】畫橢圓

一橢圓的定義：定義：平面內(nèi)到兩個定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)

的點的軌跡叫做橢圓。

這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距。M注

：1、F1、F2是平面內(nèi)兩個不同定點2、M是橢圓上任意一點，滿足：|MF1|+|MF2|=常數(shù)；3、通常這個常數(shù)記為2a，焦距記為2c，且2a>2c

如果2a=2c，則M點的軌跡是線段F1F2.

如果2a<2c，則M點的軌跡不存在.（由三角形的性質(zhì)知）（大于|F1F2|）

如果c=0，則M點的軌跡是圓?探討建立平面直角坐標系的方案OxyOxyOxyMF1F2方案一F1F2方案二OxyM二、

橢圓的標準方程：OXYF1F2M如圖所示：F1、F2為兩定點，且|F1F2|=2c，求平面內(nèi)到兩定點F1、F2距離之和為定值2a（2a>2c)的動點M的軌跡方程。

解：以F1F2所在直線為X軸，F(xiàn)1F2

的中點為原點建立平面直角坐標系，則焦點F1、F2的坐標分別為(-c,0)、(c,0)。(-c,0)(c,0)(x,y)

設(shè)M（x,y)為所求軌跡上的任意一點，則:OXYF1F2M(-c,0)(c,0)(x,y)兩邊平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)因為2a>2c，即a>c，所以a2-c2>0，令a2-c2=b2，其中b>0，代入上式可得：b2x2+a2y2=a2b2兩邊同時除以a2b2得：(a>b>0)這個方程叫做橢圓的標準方程，它所表示的橢圓的焦點在x軸上。Caba、b、c在圖中代表什么a、b、c構(gòu)成直角三角形a2=b2+c2OxyMF1F2方案一F1F2方案二OxyM猜想方案2的標準方程：OXYF1F2M(-c,0)(c,0)YXOF1F2M(0,-c)(0,c)（1）橢圓標準方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是1（3）三個參數(shù)a、b、c構(gòu)成系數(shù)直角三角形，滿足a2=b2+c2。（4）求方程：先確定焦點在哪，再求a、b、c，即先定位，再定量。

（2）橢圓的標準方程中，x2與y2的分母哪一個大，則焦點在哪一個軸上，大的分母為a平方。F(±c，0)在Ｘ軸上F(0，±c)在Ｙ軸上【試一試】已知橢圓的兩個焦點坐標分別是（-2,0）,（2,0）,并且經(jīng)過點,求它的標準方程?！鞠胍幌搿吭趫A

上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足，當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是什么圖形？

看一看：伸縮圓

圖形方程焦點F(±c，0)在Ｘ軸上F(0，±c)在Ｙ軸上a,b,c之間的關(guān)系a2=b2+c2P={M||MF1|+|MF2|=2a｝(2a>2c>0)定義12yoFFMx1oFyx2FM小結(jié)&作業(yè)：注：哪個分母大，焦點就在相應(yīng)的哪條坐標軸上！【課后思考