2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)專家點撥-圓的綜合提高

2。就隼九隼氨數(shù)學(xué)

狀元必讀專家點撥

狀元必讀［明確考Q/注重難點］

一、考點突破

近幾年的中考中，圓占的比重越來越高，分值一般在10分左右，主要考查以下內(nèi)容:

（1）圓的有關(guān)性質(zhì)和定理的應(yīng)用，如利用圓的對稱性設(shè)計圖形，利用''垂徑定理”“圓心角、

弧、弦、弦心距相等關(guān)系定理”“圓周角定理”證明線段、角相等；（2）直線與圓的位置關(guān)

系，特別是切線的判定及性質(zhì)的運用更是中考的重點內(nèi)容；（3）對圓與圓的位置關(guān)系的考查

一般圍繞內(nèi)切與外切進(jìn)行；（4）利用弧長、扇形面積、圓錐面積、圓錐側(cè)面積公式進(jìn)行有關(guān)

計算。常見的題型有填空題、選擇題、解答題，其中解答題常常與函數(shù)、方程、動點的變化

規(guī)律等內(nèi)容相結(jié)合，難度較大。

二、重難點提示

重點：圓的有關(guān)概念和性質(zhì)；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；正多邊形和圓的關(guān)系；弧長和扇形

面積。

難點：正確理解圓的對稱性，并能靈活運用這一性質(zhì)解決與圓有關(guān)的證明題、計算題。

專家點撥【特高級6家傾力打曲】

?'、狀元典［列【限空例題剖析激活知題思維】

能力提升類

例1如圖，。。的直徑AB與弦EF相交于點尸，交角為45°,若PE2+PF?=8,

求直徑AB。

一點通：根據(jù)已知條件求出弦的半弦長和弦心距的平方和，也就是半徑的平方，即

可求出半徑，從而可求出直徑。（也可作E點關(guān)于A3的對稱點求解）

解：作OG_L所于點G,連結(jié)0E,

根據(jù)垂徑定理，可設(shè)石G=/G=x,則PE=x+PG,PF=x-PG,

又；PE?+PF2=8,

：.(x+PG)2+(x-PG)2=8,

整理得2X2+2PG?=8,X2+PG2=4,

???交角為45°,

OG=PG,

：.OE2^OG2+EG2=4,

即圓的半徑是2,

二直徑是4.

評析：解答此題需注意應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，熟練運用勾股定理和完全平方公式。

例2如圖，正方形ABCO內(nèi)接于。。，點P在劣弧A8上，連結(jié)。尸，交AC于點

Q.若QP=QO,求耍的值。

QA

一點通：設(shè)。。的半徑為r，QO=m,則=QC=r+m,QA=r-m.利

用相交線定理，求出〃7與r的關(guān)系，即用〃表示出即可得出所求比值。

解：如圖，設(shè)。。的半徑為r,QO=m,則QP=根，QC=r+m,QA=r-m.

在。。中，根據(jù)相交弦定理，得QA-QC=QPQD.

2?

r~—irr

即（r—〃2）（廠+加）=加??！辏?所以?！辏?-------.

m

連結(jié)。0,由勾股定理，得。02=。。2+。。2,

22

即一一一）2二戶+加2,

m

巧

解得加二——r

3

所以更=3=曰里=6+2.

QAr-m43-1

評析：本題考查了相交弦定理，即“圓內(nèi)兩弦相交于圓內(nèi)一點，各弦被該點所分得的兩

線段的長的乘積相等”。熟記并靈活應(yīng)用定理是解答本題的關(guān)鍵。

綜合運用類

例3如圖，已知直徑與等邊三角形ABC的高相等的圓與三角形的A3邊和BC邊相

切于點。和E,與4c邊相交于點尸和G,求NO所的度數(shù)。

A

D

/V\Vz

5---

一點通：先過點E作BC的垂線與圓交于點H,與4c交于點。，連結(jié)A”和￡>〃，

作垂足為M,再根據(jù)切線的判定和性質(zhì)得，△D6E是正三角形，從而得出

四邊形AWEH是矩形，由矩形的性質(zhì)和切線長定理可求得NOEF=75°,ZDEO=Z

EOC=30°,從而得出/DE五的度數(shù)。

解：過點E作8c的垂線與圓交于點“，與AC交于點0.連結(jié)4H和￡>”，作AM

±BC,垂足為M.

?；￡為切點，

二EH必過圓心，即EH是直徑，

:.DHA.DE,

,:D、￡是切點，

BD=BE,

VZS=60°,

??.△DBE是等邊三角形，

二N6OE=NB4C=60°,

ADE//AC,DH±AC,

由已知得，AM=EH，又AM〃七//,

四邊形AWE"是矩形，

：.AH±HE,即A”是切線，

/.AD=AH,AC垂直平分?！?，AC必過圓心，

/.AC與E”的交點。是圓心，

:.OE=OF,

COE=90°—/C=30°,

：.NOEF=75°,

'：ZDEO=ZEOC=30a,

：.ZDEF=300+75°=105°

評析：本題考查了切線長定理、矩形的判定和性質(zhì)、切線的判定和性質(zhì)等知識，綜合性

強(qiáng)，難度較大。

例4已知△ABC中，ZACB=90°,A8邊上的高線C4與△ABC的兩條內(nèi)角平

分線4M、BN分別交于P、。兩點，PM、QN的中點分別為E、F.

求證：EF//AB

一點通：只要證明了和同時垂直于同一條直線，即可得證。

解：連結(jié)FC、FHo

因為BN是/ABC的平分線，所以NABN=NCBN.

又因為CH_LA3,

所以ZCQN=NBQH=90°-NABN=90°-ZCBN=NCNB,

因此CQ=NC.

又F是QN的中點，所以CF_LQN,所以/CFB=90°=/CHB,

因此C、F、H、8四點共圓。

又NFBH=NFBC,所以FC=FH,故點F在C4的中垂線上。

同理可證，點￡在CH的中垂線上。

因此跖_LCH又ABLCH,所以

評析：本題考查了四點共圓的性質(zhì)和等量代換的數(shù)學(xué)思想。

思維拓展類

例5在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，O為原點，點A的坐標(biāo)為（1,0）,點C的坐標(biāo)為（0,4）,

直線CM〃x軸（如圖所示）.點B與點A關(guān)于原點對稱，直線y=x+b（b為常數(shù)）經(jīng)過點

B,且與直線CM相交于點D,連結(jié)OD.

(1)求b的值和點D的坐標(biāo)；

(2)設(shè)點P在x軸的正半軸上，若aPOD是等腰三角形，求點P的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，如果以PD為半徑的。P與。O外切，求。O的半徑。

一點通：(1)先求出點B的坐標(biāo)，由直線過點B,把點B的坐標(biāo)代入解析式，可求得b

的值；點D在直線CM上，其縱坐標(biāo)為4,利用求得的解析式確定該點的橫坐標(biāo)即可。

(2)APOD為等腰三角形，有三種情況：PO=OD,PO=PD,DO-DP,故需分類討

論，要求點P的坐標(biāo)，只要求出點P到原點O的距離即可；

(3)結(jié)合(2),可知。O的半徑也需根據(jù)點P的不同位置進(jìn)行分類討論。

解：(1)；B與A(1,0)關(guān)于原點對稱

AB(-1,0)

Vy=x+b過點B

—l+b=0,b=1

.?.y=x+l

當(dāng)y=4時，x+l=4,x=3

AD(3,4)；

/.OD=5.

若APOD為等腰三角形，則有以下三種情況：

①以O(shè)為圓心，OD為半徑作弧交x軸的正半軸于點P”則OPi=OD=5,

APi(5,0).

②以D為圓心，DO為半徑作弧交x軸的正半軸于點P2,則DP2=DO=5,

?.*DE±OP2

.,.P2E=OE=3,

.,.OP2=6,

：.P2(6,0).

③取0D的中點M,過M作OD的垂線交x軸的正半軸于點P3,則OP3=DP3,

設(shè)P3(x,y),則PD=x,EP=x-3,

由勾股定理，得PD2=DE?+EP2,

x2=42+(x—3)2,

解得x=X25

6

綜上所述，符合條件的點P有三個，分別是Pi(5,0),P2(6,0),P3(—，0).

6

(3)①當(dāng)Pi(5,0)時，PiE=OPi-OE=5-3=2,OP,=5.

；.PID=2G

...OP的半徑為2G.

?；。0與。P外切，

二。0的半徑為5—2石.

②當(dāng)P2(6,0)時，p2D=DO=5,OP2=6,

.?.0P的半徑為5.

：。0與0P外切，

，。0的半徑為1.

2525

③當(dāng)P3(一.0)時，P3D=OP3=—.

66

25

.?.0P的半徑為

6

?.?oo與0p外切，

...OO的半徑為0,即此圓不存在。

評析：本題考查了運用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，同學(xué)們注意到分類討論是解決本題的

關(guān)鍵。

例6已知AB為半圓O的直徑，點P為直徑AB上的任意一點.以點A為圓心，AP

為半徑作。A,G)A與半圓。相交于點C；以點B為圓心，BP為半徑作。B,OB與半圓O

相交于點D,且線段CD的中點為M.求證：MP分別與OA和OB相切。

一點通：要證MP分別與。A和。B相切，如圖所示，連結(jié)AC,AD,BC,BD,并且

分別過點C,D作CELAB,DF±AB,垂足分別為點E,F,則CE〃DF.因為AB是00

的直徑，所以/ACB=NADB=90°.在RtZkABC和RtZ;sABD中，則有PA2=AC2=AE?

AB,PB2=BD2=BF*AB.兩式相減可得PA?—PB』AB(AE-BF),又PA2-PB』(PA

+PB)(PA-PB)=AB(PA-PB),于是有AE-BF=PA—PB,即PA—AE=PB~BF,所

以PE=PF,也就是說，點P是線段EF的中點.因此，MP是直角梯形CEFD的中位線，于

是得MP_LAB,進(jìn)而可得MP分別與0A和。B相切。

證明：如圖，連結(jié)AC,AD,BC,BD,并且分別過點C,D作CE_LAB,DF_LAB,

垂足分別為點E,F

；.CE〃DF,ZAEC=90°,ZBFD=90°.

VAB是。O的直徑，

.\ZACB=ZADB=90o.

又；ZCAB是AACB和4AEC的公共角，

/.△ACB^AAEC,

AAC：AB=AE：AC

B[JPA)=AC2=AE，AB,

同理PB』BD2=BF?AB.

兩式相減可得PA2-PB2=AB(AE-BF),

；.PA2-PB2=(PA+PB)(PA-PB)=AB(PA-PB),

；.AE—BF=PA-PB,即PA-AE=PB-BF,

；.PE=PF,

二點P是線段EF的中點。

?.?M是CD的中點，

AMP是直角梯形CEFD的中位線，

/.MP1AB,

AMP分別與。A和。B相切。

評析：這道題考查了相切兩圓的性質(zhì)和射影定理的應(yīng)用，以及中位線的知識，對于這些

重點知識，同學(xué)們應(yīng)熟練掌握。

狀元第i己【萬千妙招及叼m結(jié)】

一、思想方法總結(jié)

數(shù)形結(jié)合思想：將數(shù)與形結(jié)合起來進(jìn)行分析、研究、解決問題的一種思想方法，特別是

幾何圖形的直觀性，能收到事半功倍的效果。

轉(zhuǎn)化思想：能將復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為簡單圖形，將圓的有關(guān)計算問題轉(zhuǎn)化為三角形、四邊形

的問題來解決。

分類討論思想：圓的有關(guān)概念、圓周角的有關(guān)求值及直線和圓、圓和圓的位置關(guān)系的討

論等問題均應(yīng)用了這一思想。

方程思想：在相交弦定理、切割線定理及弧長公式/=竺二中，已知其他量，求一個量,

180

運用了方程的思想。

二、與圓有關(guān)的輔助線的添加規(guī)律:

遇直徑，作直徑上的圓周角；

遇切線，作過切點的半徑或連結(jié)圓上某一點構(gòu)成弦切角；

證明圓周角相等，常用同弧上的圓心角過渡或作同弧上的圓周角；

求弦長、弦心距、半徑，常作垂直于弦的半徑，連結(jié)圓心和弦的端點構(gòu)造直角三角形；

證明線段等積或成比例，一般構(gòu)造相交弦、相交割線或相似三角形；

遇到四個點在同一圓周上，要考慮到順次連結(jié)四點構(gòu)成圓內(nèi)接四邊形，再運用其性質(zhì)

解題；

遇到圓外切三角形、多邊形，應(yīng)注意到切線長定理的應(yīng)用。

遇到兩圓相交，添加公共弦或連心線，特別是公共弦，它在相交的兩圓中起著橋梁作

用。

軍^高壩家.■點、［網(wǎng)員熱Q問題通視］

問題：將一把折扇逐漸打開時，容易發(fā)現(xiàn)打開部分的扇形面積隨圓心角的變化而變化，

那么下列函數(shù)中能正確描述這種變化的是（）

A.正比例函數(shù)B.反比例函數(shù)

C.一次函數(shù)丁=依+。（br0）D.二次函數(shù)

錯解：由題意知：折扇逐漸打開時，容易發(fā)現(xiàn)打開部分的扇形面積隨圓心角的變化而變

化，

根據(jù)扇形的面積公式S=——，可知應(yīng)選擇D.

360

錯解分析：這部分同學(xué)沒有分析清楚題目要求，誤以為求S與/?的關(guān)系，一看到/?是二

次，就選擇了D.

正解：由題意知：折扇逐漸打開時，容易發(fā)現(xiàn)打開部分的扇形面積隨圓心角的變化而變

化，

22

根據(jù)扇形的面積S=".而巴一是定值。

360360

則S是圓心角度數(shù)n的正比例函數(shù)。

故選A.

司F狀元試M【其戰(zhàn)黃練，沖擊我元】

（答題時間：60分鐘）

一、選擇題

1.如圖所示，AB、AC與圓O相切于點B、C,/A=50°,點P是圓上異于B、C的一

動點，則NBPC的度數(shù)是（）

A.65°B.115°C.65°和115°D.130°和50°

2.如圖所示，A是半徑為5的圓O內(nèi)的一點，且OA=3,過點A且長小于8的弦有（）

A.0條B.1條C.2條D.4條

3.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，。。的半徑為1,則直線y=-x+后與。。的位置

關(guān)系是（）

A.相離B.相交C.相切D.以上三種情形都有可能

4.給出下列命題：

①任意一個三角形一定有一個外接圓，并且只有一個外接圓；②任意一個圓一定有一個

內(nèi)接三角形，并且只有一個內(nèi)接三角形；③任意一個三角形一定有一個內(nèi)切圓，并且只有一

個內(nèi)切圓；④任意一個圓一定有一個外切三角形，并且只有一個外切三角形。其中真命題的

個數(shù)為（）

A.IB,2C.3D.4

5.如圖所示，半圓A和半圓B均與y軸相切于點0,其直徑CD、EF均和x軸垂直，以

CE、DF為直徑的兩個半圓也均與x軸相切于點0,則圖中陰影部分的面積是（）

11

A.—KB.—n

84

二、填空題

1.如圖所示,已知AB是圓O的直徑，弦CDJ_AB于點P,CD=12cm,AP：PB=2：3,

則圓O的直徑是cm。

2.如圖所示，Rtz^ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,以點C為圓心，CA為半徑的

圓與AB、BC分別交于點D、E,則AB=,AD=

3.如圖所示，在4ABC中，ZACB=90°,AC=2,BC=273,以A為圓心，以AC

為半徑作弧交AB于D,則圖中陰影部分的面積是

4.如圖所示，同底等高的圓錐和圓柱，它們的底面直徑和高相等（即2R=h）,那么圓錐

和圓柱的側(cè)面積之比為。

5.如圖所示，將邊長為8cm的正方形ABCD沿直線/向右滾動（不滑動），當(dāng)正方形滾動

兩周時（當(dāng)正方形的四個頂點的位置首次與起始位置相同時，稱為正方形滾動一周），正方

形的頂點A所經(jīng)過的路線長是cm。

ADiBXA)AD

BCBC

三、解答題

1.已知：。0與。O'外離，（DO的半徑為4cm,G）O'的半徑為6cm,00'=20cm,求兩圓

的公切線的長。

2.已知：如圖，和。02外切于點P,過點P的直線AB分別與。0人。。2相交于點

A、B,BD切。Oi于點B,交。Ch于點C、D,AE是。Ch的直徑。

22

求證：（1）AE_LBD；（2）AAPD^ACPB；（3）AD+BCBD=ABO

--哥白尼

意試題簽案

一、選擇題

1.C

解析：若點P在劣弧BC上，連結(jié)OB、0C

則NBOC=180°—50°=130°

二劣弧BC的度數(shù)為130°,優(yōu)弧BC的度數(shù)為230°

ZBPC的度數(shù)為-x230°=115°

2

當(dāng)點P在優(yōu)弧BC上時，ZBPC--X1300=65°

2

故選C.

2.A

解析：作圓O過A點的直徑BC,則BC=10cm

作DE_LBC于A,連結(jié)OD

則DA=A/52-32=4,DE=8

而DE是過點A最短的弦，它不可能小于8,

???選A.

3.C點撥：畫出直線，得到直線與x軸、y軸的交點坐標(biāo)分別為（、歷,0）、（0,、歷）.則直

線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1,所以圓心到直線的距離是1,即圓心到直線的距離

等于圓的半徑，故直線與圓相切，所以選C.

4.B點撥：一個圓有無數(shù)個內(nèi)接三角形，也有無數(shù)個外切三角形，所以②④錯誤。

5.C點撥：由題意知，題中四個半圓組成的圖形關(guān)于y軸對稱，故y軸左側(cè)陰影部分面

積等于半圓B中的空白部分面積，所以所求陰影部分面積等于半圓B的面積，即S阿

11

--7t?1~0=—71,故選C.

22

二、填空題

1.5^/6

解析：設(shè)AP=2x,PB=3x

TAB_LCD,???PC=PD=6

又PA?PB=PC?PD

/.2x-3x=36

x2=6

/.x=±V6（舍負(fù)）

2x=2而3x=36

/.AB=5V6

2.5,電

5

解析：作CF_LAB于E?.?/ACB=90°

.?.可證AC?=AF-AB

又AB=>/32+42=5

AC29

/.AF=------=—

AB5

ACc918

AD=2x—=—

55

3.2后--7i

3

解析：由勾股定理得AB=4,...NB=30°,ZA=60°

?c_60_2_2

扇JKGW3603

SAABC=5X2X2V3-2V3

...陰影面積=2-2乃

3

4.V5：4點撥：圓柱的側(cè)面積為4小2,圓錐的側(cè)面積為岳*2.

5.8缶+16萬點撥：第一次滾動，點A經(jīng)過的路線長是以C為圓心、CA為半徑、

圓心角為90°的扇形弧長；第二次滾動，點A經(jīng)過的路線長是以D為圓心、邊長DA為半

徑、圓心角為90°的扇形弧長；第三次滾動，