2022-2023學(xué)年人教中考數(shù)學(xué)重難點題型分類必刷題 09 平行線的性質(zhì)與判定壓軸題真題(含詳解)

專題09高分必刷題-平行線的性質(zhì)與判定壓軸題真題(原卷版)

專題簡介：本份資料專攻《相交線與平行線》這一章中平行線的性質(zhì)與判定的壓軸題，所選題目源自各名

校月考、期末試題中的壓軸題真題，難度較大，適合于想挑戰(zhàn)滿分的學(xué)生考

前刷題使用，也適合于培訓(xùn)機構(gòu)的老師培訓(xùn)尖子生時使用。

1.(師大)如圖1,直線與直線A8、C。分別交于點E、F,NMEB與NDFN互補.

(1)若NBEF與/EFQ的角平分線交于點

P,EP與CD交于點G,點H是MN上一點,且G”_LEG,求證：PF//GH；

(2)如圖2,在(1)的條件下，連接PH,K是GH上一點使NPHK=NHPK,作PQ平分NEPK,問

/HPQ的大小是否發(fā)生變化？若不變，請求出其值；若變化，請說明理由.

2.(雅禮、青竹湖)如圖，已知，BC//OA,ZC=ZOAB=100°,試回答下列問題：

(1)如圖1,求證：0C〃A8；

(2)如圖2,點E、F在線段BC上，且滿足NEOB=NAOB,并且O尸平分NBOC：

①若平行移動A8,當(dāng)N8OC=6/EOF時，求/ABO；

②若平行移動AB,那么NAog+.coE的值是否隨之發(fā)生變化?若變化，試說明理由；若不變，求出

ZABO

這個比值.

圖1,己知A8〃C￡>,點E,尸是分別是直線AB,C￡>上的一點且/FE4=5/尸E8.

(1)填空：NFEB=°；(2)如圖1所示，射線EP繞點E從E4開始順時針旋轉(zhuǎn)至E8便立

即回轉(zhuǎn)至E4位置，EP轉(zhuǎn)動的速度是每秒2度.在這個運動過程中，何時射線EP與線段EF的夾角為

10°?

(3)如圖2所示，射線EP繞點E從EA開始順時針旋轉(zhuǎn)至EB便立即回轉(zhuǎn)至EA位置，射線FQ繞點F

從FC開始逆時針旋轉(zhuǎn)至尸D若EP轉(zhuǎn)動的速度是每秒2度，F(xiàn)Q轉(zhuǎn)動的速度是每秒1度，射線EP先

運動15秒，設(shè)射線FQ的運動時間為f,當(dāng)/為何值時，射線EP與射線尸?；ハ啻怪?

AEAE

4.（青竹湖）將一副直角三角板（NA=30°

ZF=45°）按圖1方式擺放（即AC與。E重合、BC與。F共線）.

（1）如圖2,當(dāng)繞點。旋轉(zhuǎn)至E尸〃AC時，求的度數(shù)；

（2）若△OE/繞點。以每秒5°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，回到起始位置停止，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為f,當(dāng)f為何值

時，AB//EF（AB與E尸始終不共線）；

（3）若ADEF繞點D以每秒5°的速度順時針旋轉(zhuǎn)的同時，△ABC也繞點C以每秒20°的速度順時

針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)△ABC回到起始位置時全都停止旋轉(zhuǎn).設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為力在運動過程中，當(dāng)/為何值時，△

ABC的邊所在直線恰好平分/EOF?試直接寫出“直.

B0(D)

F5.（師大）如圖1,已知直線PQ〃政V,點A、B分別在直線

MN、尸。上，射線AM繞點A以5°/秒的速度按順時針開始旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至與AN（或AM）重合后便立即回

轉(zhuǎn)，射線BQ繞點B以2°/秒的速度按順時針開始旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至與BP重合后便停止轉(zhuǎn)動，旋轉(zhuǎn)后的射線

分別記為AM和BQ'.

（1）若射線8Q先轉(zhuǎn)動30秒，射線AM才開始轉(zhuǎn)動，在射線AM第一次到達AN之前，射線4M轉(zhuǎn)動

幾秒后

（2）若射線AM,BQ同時轉(zhuǎn)動f秒，在射線BQ停止轉(zhuǎn)動之前，記射線AM1與BQ，交于點”，若NAHB

=90°,求/的值；

（3）射線AM,BQ同時轉(zhuǎn)動，在射線AM第一次到達AN之前，記射線A"與BQ'交于點K,過K作

KC_LAK交PQ于點C,如圖2,若NBAN=30°,則在旋轉(zhuǎn)過程中，/BAK與/BKC有何數(shù)量關(guān)系？

并說明理由.

p_BQB

圖1圖26.（青竹湖）已知，如圖1,射線PE分別與直

線A8、C。相交于E、尸兩點，/P尸。的平分線與直線AB相交于點M,射線PM交CO于點N,設(shè)/

PFM=a,且例602Cl+4-30|=0.

（1）a=°,0=°；直線48與CD的位置關(guān)系是；

（2）如圖2,若點G是射線M4上任意一點，且NMGH=NPNF,試找出/FMN與/GHF之間存在

的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）若將圖中的射線PM繞著端點P逆時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖3）,分別與A3、CD相交于點必和點

/FPN

Ni時，作NPMiB的角平分線M1Q與射線FM相交于點Q,問在旋轉(zhuǎn)的過程中--/工的值變不變?

ZQ

若不變，請求出其值；若變化，請說明理由.

（廣益）如圖，兩個形狀，大小

完全相同的含有30°、60°的三角板如圖放置，PA,PB與直線MN重合，且三角板以C,三角板PB。均

可以繞點尸逆時針旋轉(zhuǎn).

（1）①如圖1,ZDPC=度.

②我們規(guī)定，如果兩個三角形只要有一組邊平行，我們就稱這兩個三角形為“攣生三角形”，如圖

1,三角板BP。不動，三角板布C從圖示位置開始每秒10°逆時針旋轉(zhuǎn)一周（0°〈旋轉(zhuǎn)＜360°）,

問旋轉(zhuǎn)時間，為多少時，這兩個三角形是“李生三角形”.

（2）如圖3,若三角板以C的邊孫從PN外開始繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速3°/秒，同時三角板PBD

的邊PB從PM處開始繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速2°/秒，在兩個三角板旋轉(zhuǎn)過程中，（PC轉(zhuǎn)到與PM

重合時，兩三角板都停止轉(zhuǎn)動）.設(shè)兩個三角板旋轉(zhuǎn)時間為/秒，以下兩個結(jié)論：①40PD為定值;②

ZBPN

NBPN+/CPO為定值，請選擇你認為對的結(jié)論加以證明.

圖38.(師大梅溪湖)我們已經(jīng)學(xué)

過了對頂角、鄰補角、同位角等，知道了它們的特征.現(xiàn)在若有兩個角，它們不是同一個頂點，但這兩角

的兩邊相互平行，我們就把滿足這個條件的兩個角稱作“平行角”.如圖1,已知AB//CD,

AD//BC,因此N3和N。是''平行角”.

(1)圖1中，證明N8=N。；

⑵如圖2,延長。C到E,可知NA和NBCE也是“平行角”，但它們的數(shù)量關(guān)系是

(3)如圖3,OE平分NADC,平分NA3C,請說明圖中的N1和N2是“平行角”.

9.(廣益)已知A3〃C。，點E為

平面內(nèi)一點，BELCE于E.

(1)如圖1,請直接寫出N48K和2CE之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2,過點E作EF_LCQ,垂足為F,求證：NCEF=ZABE；

(3)如圖3,在(2)的條件下，作EG平分NCEE,交。產(chǎn)于點G,作ED平分NBEE,交8于O,

連接3D,若NO5E+NAB。=180°，且ZBDE=3NGEF,求N5EG的度數(shù).

10.如圖，點E,F分別在直線A3,CC上，AB

//CD,NCFE=60°.射線EA/從EA開始，繞點E以每秒3度的速度順時針旋轉(zhuǎn)至EB后立即返回,

同時，射線FN從尸C開始，繞點尸以每秒2度的速度順時針旋轉(zhuǎn)至FQ停止.射線FN停止運動的同

時，射線EM也停止運動，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為f(s).

(1)當(dāng)射線FN經(jīng)過點E時，直接寫出此時f的值;

(2)當(dāng)30<f<45時，射線與FN交于點P,過點P作KP_LFN交A8于點K,求NKPE：(用含

f的式子表示)

(3)當(dāng)EM〃印時，求/的值.

備用圖11.我區(qū)正在

打造某河流夜間景觀帶，計劃在河兩岸設(shè)置兩座可以旋轉(zhuǎn)的射燈.如圖1,燈A射線從AM開始順時針

旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈8射線從開始順時針旋轉(zhuǎn)至3Q便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射.若燈

A轉(zhuǎn)動的速度是2度/秒，燈8轉(zhuǎn)動的速度是1度/秒，假定河兩岸是平行的，即且

2ZBAN.

(2)燈A射線從AM開始順時針旋轉(zhuǎn)至AN需要秒；

(3)若燈B射線BD(交MN于點D)先轉(zhuǎn)動30秒，燈A射線AC(交PQ于點C)才開始轉(zhuǎn)動.設(shè)

AC轉(zhuǎn)動時間為f秒，當(dāng)AC到達AN之前時，如圖2所示.

①NP8O=度，ZMAC=度(用含有/的代數(shù)式表示)；

②求當(dāng)AC轉(zhuǎn)動幾秒時，兩燈的光束射線AC〃B。？

(4)在8。到達8。之前，是否還存在某一時刻，使兩燈的光束射線AC〃8O?若存在，直接寫出轉(zhuǎn)動

時間，若不存在，請說明理由.

12.如圖1,己知PQ〃政V,且

(1)填空：/BAN=:

(2)如圖1所示，射線AM繞點A開始順時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)至AM位置，射線繞點3開

始順時針旋轉(zhuǎn)至B。便立即回轉(zhuǎn)至8P位置.若AM轉(zhuǎn)動的速度是每秒2度，8P轉(zhuǎn)動的速度是每秒1度，

若射線8P先轉(zhuǎn)動30秒，射線AM才開始轉(zhuǎn)動，在射線8P到達BQ之前，射線AM轉(zhuǎn)動幾秒，兩射線

互相平行？

(3)如圖2,若兩射線分別繞點A,8順時針方向同時轉(zhuǎn)動，速度同題(2),在射線4例到達4V之前.若

兩射線交于點C,過C作NACO交尸。于點。，且N4c0=120°,則在轉(zhuǎn)動過程中，請?zhí)骄縉B4C與/

BCD的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請說明理

專題09高分必刷題-平行線的性質(zhì)與判定壓軸題真題(解析版)

專題簡介：本份資料專攻《相交線與平行線》這一章中平行線的性質(zhì)與判定的壓軸題，所選題目源自各名

校月考、期末試題中的壓軸題真題，難度較大，適合于想挑戰(zhàn)滿分的學(xué)生考

前刷題使用，也適合于培訓(xùn)機構(gòu)的老師培訓(xùn)尖子生時使用。

1.(師大)如圖1,直線與直線A8、C。分別交于點E、F,NMEB與NDFN互補.

(1)若NBEF與/EFQ的角平分線交于點

P,EP與CD交于點G,點H是MN上一點、,且G”_LEG,求證：PF//GH；

(2)如圖2,在(1)的條件下，連接PH,K是GH上一點、使NPHK=NHPK,作PQ平分NEPK,問

/HPQ的大小是否發(fā)生變化？若不變，請求出其值；若變化，請說明理由.

【解答】解：(1)證明：VZMEB+ZB￡：F=180o,/ME8與/。尸N互補，:.NBEF=NDFN

J.AB//CD,：.ZBEF+ZDFE=\S0°,又；N8E戶與NEED的角平分線交于點P

ZFEP+ZEFP=1.(ZBEF+ZDFE)=90°,；.NEPF=90°,BPEGVPF,'：GHLEG,

2

Z.PF//GH.

(2)/HPQ的大小不會發(fā)生變化，利用如下：VZPHK=ZHPK,：.ZPKG=2ZHPK,；GHLEG

：.ZKPG=90°-/PKG=90°-2ZHPK,，/EPK=180°-NKPG=90°+2NHPK,

;尸。平分NEPK，:.NQPK=!/EPK=45°+ZHPK,；.NHPQ=NQPK-NHPK=45°,

2

/HP。的大小不會發(fā)生變化，其值為45°.

2.(雅禮、青竹湖)如圖，已知，BC//OA,/C=NOAB=100°,試回答下列問題：

(1)如圖1,求證：OC〃AB；

(2)如圖2,點E、尸在線段8C上，且滿足NEOB=/AOB,并且OP平分/8OC：

①若平行移動A8,當(dāng)NBOC=6NEOF時，求NABO；

②若平行移動A8,那么/AOg+/COE的值是否隨之發(fā)生變化?若變化，試說明理由：若不變，求出這

ZAB0

個比

值.圖1圖2備用圖

【解答】(1)證明：'：BC//OA,.,.NC+NCOA=180°,/BAO+NABC=180°,；NC=/8AO=

100°,

NCOA=ZA8C=8()°,：.ZCOA+ZOAB=\SO°,：.OC//AB；

(2)①如圖②中，設(shè)NEOF=x,則N8OC=6x,ZBOF=3>x,ZBOE=ZAOB=4x,

'：Z\OB+ZBOC+ZOCB=180°,A4x+6x+100°=180°,，x=8°,：.ZABO=ZBOC=6x=

48°.

如圖③中，設(shè)/EOF=x,則/BOC=6x,/8OF=3x,NBOE=NAOB=2x,；NAO8+/8OC+N

OCB=I80°,.,.2x+6jr+100°=180°,；.x=10°,/.ZABO=ZBOC=6x=60°.

綜上所述，滿足條件的/A8O為48°或60°；

@"：BC//OA,ZC=100°,ZAOC=80°,'：ZEOB=ZAOB,：.ZCOE=80°-2ZAOB,

VOC//AB,：.ZBOC^ZABO,二408=80°-ZABO,

：.ZCOE=80°-2NAOB=80°-2(80°-ZABO)=2ZABO-80°,

0

-ZAQC+ZCOE=80°+2ZAB0-8Q=2.

ZABOZABO

.?.平行移動AB,NAOg+NCOE的值不發(fā)生變化.

ZABO

3.(雅禮)如圖1,已知AB〃CQ,點E,尸是分別是直線AB,C￡>上的一點且NFE4=5NFEB.

(1)填空：ZFEB=°；

(2)如圖1所示，射線EP繞點E從EA開始順時針旋轉(zhuǎn)至EB便立即回轉(zhuǎn)至EA位置，EP轉(zhuǎn)動的速度

是每秒2度.在這個運動過程中，何時射線EP與線段EF的夾角為10°?

(3)如圖2所示，射線EP繞點E從24開始順時針旋轉(zhuǎn)至仍便立即回轉(zhuǎn)至E4位置，射線FQ繞點F

從FC開始逆時針旋轉(zhuǎn)至FD.若EP轉(zhuǎn)動的速度是每秒2度，F(xiàn)Q轉(zhuǎn)動的速度是每秒1度，射線EP先

運動15秒，設(shè)射線尸。的運動時間為f,當(dāng)f為何值時，射線EP與射線尸?；ハ啻怪保?/p>

【解答】解：(1)?.?/尸￡4=5/尸E8,ZFEA+

ZFEB=180°,：.ZFEB=30a,ZFEA=\50°,故答案為：30；

(2)設(shè)經(jīng)過x秒后，射線EF與線段E尸的夾角為10°,

由題意可得：2^+10°=150°或2x70°=150°或2x70°=180°+30°或2x+10°=180°+30°,

.?.x=70或80或110或100,

答：經(jīng)過70秒或80秒或110秒或100秒后，射線EP與線段Ek的夾角為10°,

(3)由題意可得：150°-2/-30°+30°7=90°,解得：f=20,

答：當(dāng)f為20時，射線EP與射線F。互相垂直.

4.(青竹湖)將一副直角三角板(/A=30°/尸=45°)按圖1方式擺放(即AC與。E重合、BC與DF

共線).

(1)如圖2,當(dāng)△￡)￡/繞點。旋轉(zhuǎn)至E尸〃AC時，求的度數(shù)；

(2)若△￡>￡/繞點。以每秒5。的速度順時針旋轉(zhuǎn)，回到起始位置停止，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為f,當(dāng)f為何值

時，AB//EF(AB與EF始終不共線)；

(3)若△DEF繞點。以每秒5。的速度順時針旋轉(zhuǎn)的同時，△ABC也繞點C以每秒20°的速度順時

針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)△ABC回到起始位置時全都停止旋轉(zhuǎn).設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為f,在運動過程中，當(dāng)f為何值時，△

ABC的邊所在直線恰好平分/EDF?試直接寫出f值.

AA

圖1圖2

F【解答】解：(1)'：EF//AC,：.ZE=ZADE

=45°,：.ZEDB=ZADB+ZADE=90°+45°=135°；

J

(2)如圖3,若EF與Afi在點C兩側(cè)，延長BC交EF于點H,圖3

".,EF//AB,.*.NA8C=NCHF=60°,:/CHF=NE+NECH=45°+ZECH,，/ECH=15°,

：.ZACE=15°,.，，=K：_=15S；如圖4,若AB與EF在點C同側(cè)，設(shè)EF與BC交于點H,

5。

'：EF//AB,，/48C=/CH尸=60°,;NCHF=NE+NECH=45°+ZECH,：.ZECH^\5Q,

1

ZACE=9Q°+15°=105°,.-.z=360_zl^_=515,

5。

綜上所述：當(dāng)/為15s或51s時，AB//EF；

(3)若AC所在直線恰好平分NE￡>F,.*.20/-5r=45,或20f-5f=225,解得：f=3s或15s,

若8c所在直線恰好平分/EOF,.,.20「5f=135,或20f-5r=315°,

解得：f=9s,或21s>18s(不合題意舍去)

綜上所述：f=3s或%?或15s時，ZVIBC的邊所在直線恰好平分/EOF.

5.(師大)如圖1,已知直線尸?！∕N,點A、8分別在直線MMPQ上，射線AM繞點4以5°/秒的

速度按順時針開始旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至與AN(或AM)重合后便立即回轉(zhuǎn)，射線BQ繞點B以2°/秒的速度

按順時針開始旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至與BP重合后便停止轉(zhuǎn)動，旋轉(zhuǎn)后的射線分別記為AM1和3。:

(1)若射線8Q先轉(zhuǎn)動30秒，射線4M才開始轉(zhuǎn)動，在射線AM第一次到達4V之前，射線4M轉(zhuǎn)動

幾秒后4"〃8。,；

(2)若射線AM,BQ同時轉(zhuǎn)動，秒，在射線BQ停止轉(zhuǎn)動之前，記射線AM與BQ，交于點”，若NAHB

=90°,求f的值；

(3)射線AM,BQ同時轉(zhuǎn)動，在射線AM第一次到達AN之前，記射線AM與BQ，交于點K,過K作

KCLAK交PQ于點C,如圖2,若NBAN=30°,則在旋轉(zhuǎn)過程中，NBAK與NBKC有何數(shù)量關(guān)系？

【解答】解：(1)由題意當(dāng)5f=60+2/時,

BQ'//AM',，f=20s時，BQ'//AM'.

(2)?.?點Q的運動時間r=2弛=90(秒)，分三種情形：①射線AM第一次到達4V之前：如圖1

2

中，

NAHB=90°，則有2什180°-5t

=90°,解得f=30(秒)，

②射線4M返回途中：如圖2中,

解得/=鯉(秒)，

7

③射線AA/第二次到達AN之前，如圖2中，當(dāng)/MAM'+ZPBQ'=90°時，乙4,8=90°,

則有180°-2t+(5/-360°)=90°,解得f=90(秒)，

④到達AN再返回途中，如圖1,5f-180+2尸90/=磔秒；

7

綜上所述，滿足條件的t的值為30秒或鯉秒或90秒或2坦秒.

77

(3)如圖3中，設(shè)/必8=x,ZBKC=y.設(shè)直線CK交MN于G.

■：AKLKC,；./AKG=90°,K4G+NAGK=90°,'：PQ//MN,：.ZAGK^ZQCK,

：.180°-5r+2r+y=90°,.,.r=30°-AV)Vx=30°-(180°-5/),：.x=5t-150°,

3'

/.X=5(30--Ay)-150°,：.x=^.y,：3/KAB=NBKC.

335

6.(青竹湖)已知，如圖1,射線PE分別與直線AB、CZ)相交于E、F兩點,NPAD的平分線與直線AB

相交于點M,射線交CD于點N,設(shè)NPFM=a,Z￡MF=p,且病友『+IB-30|=0.

(1)a=°,0=°；直線AB與CO的位置關(guān)系是；

(2)如圖2,若點G是射線MA上任意一點，且NMGH=NPNF,試找出/FMV與/G//F之間存在

的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)若將圖中的射線PM繞著端點P逆時針方向旋轉(zhuǎn)(如圖3),分

別與AB、CQ相交于點Mi和點M時，作NPMiB的角平分線MiQ與射線相交于點Q,問在旋轉(zhuǎn)

/FPN

的過程中__一的值變不變？若不變，請求出其值；若變化，請說明理由.

ZQ

【解答】（1）證明:

,?'V60-2CI+IP-30|=0,.?.a=B=30,ZPFM=ZMFN=30°,NEMF=30°,

:./EMF=NMFN,：.AB//CD；故答案為：30；30：AB//CD；

(2)解：ZFMN+ZGHF=180°.理由：'：AB//CD,：.ZMNF=ZPME,,:乙MGH=NMNF,

：.ZPME=ZMGH,：.GH//PN,:.NGHM=NFMN,'：ZGHF+ZGHM=]S0°,:.N.FMNMGHF

=180°.

NFPNi川出ZFPN.

(3)解:.的值不變，——---=2

NQZQ

,/NPER=LNPEMI，NPFQ=_1N

22

PFN,：.ZPER=ZPFQ,

：.ER//FQ,：.ZFQM]^ZR,設(shè)NPER=NREB=x,/PM|R=

y=x+ZRZEPM.

則有：，,,可rZ得R/EPMi=2/R,：.ZEPMi^2ZFQM]：-------L=2.

2y=2x+/EPM]ZFQMJ

7.（廣益）如圖，兩個形狀，大小完全相同的含有30°、60°的三角板如圖放置，PA,PB與直線MN重

合，且三角板抬C,三角板PBO均可以繞點P逆時針旋轉(zhuǎn).

（1）①如圖1,ZDPC=度.

②我們規(guī)定，如果兩個三角形只要有一組邊平行，我們就稱這兩個三角形為“攣生三角形”，如圖

1,三角板BPO不動，三角板以C從圖示位置開始每秒10°逆時針旋轉(zhuǎn)一周（0°（旋轉(zhuǎn)＜360°）,

問旋轉(zhuǎn)時間，為多少時，這兩個三角形是“攣生三角形”.

（2）如圖3,若三角板以C的邊心從PN外開始繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速3°/秒，同時三角板尸8。

的邊PB從PM處開始繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速2°/秒，在兩個三角板旋轉(zhuǎn)過程中，（PC轉(zhuǎn)到與PM

重合時，兩三角板都停止轉(zhuǎn)動）.設(shè)兩個三角板旋轉(zhuǎn)時間為f秒，以下兩個結(jié)論：①岑理為定值；②

ZBPN

NBPN+NCPD為定值，請選擇你認為對的結(jié)論加以證明.

【解答】解：（1）①???/

DPC=1800-ZCPA-ZDPB,NCB4=60°,N￡>P8=30°,

ZDPC=180-30-60=90",故答案為90；

②如圖1-1,BD//PC,

圖I4'：PC//BD,NDBP=90°,:.NCPN=NDBP=90°,VZCM=60",

/APN=30°,

?.?轉(zhuǎn)速為10°/秒，.?.旋轉(zhuǎn)時間為3秒;

如圖1-2,PC//BD,

D

__

MB/q/,N

圖1-2CPC//BC,NPBD=90°,；.NCPB=NDBP=90°,"：ZCPA=60a,

/.ZAPM=30°，;三角板以C繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)。的角度為180°+30°=210°,：轉(zhuǎn)速為10°/

秒，，旋轉(zhuǎn)時間為21秒，

如圖I-3,PA//BD,即點。與點C重合，此時/ACP=ZBPD=30°,則AC//BP,

D?

MBPN

圖1-3

'：PA//BD,:.NDBP=NAPN=90",，三角板B4c繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)。的角度為90°,

;轉(zhuǎn)速為10°/秒，.?.旋轉(zhuǎn)時間為9秒,

如圖1-4,PA//BD,

；NDP3=NACP=30°,C.AC//BP,'：PA//BD,：.ZDBP=ZBPA=90°,

...三角板以C繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)。的角度為90"+180°=270°轉(zhuǎn)速為10°/秒,

二旋轉(zhuǎn)時間為27秒,

如圖1-5,AC點A在MN上方時,

'：AC//DP,/C=/OPC=30°,/APN=180°-30°-30°-60

60°,

...三角板hC繞點尸逆時針旋轉(zhuǎn)。的角度為60°,,??轉(zhuǎn)速為10°/秒，.?.旋轉(zhuǎn)時間為6秒,

當(dāng)W在MN的卜.方時，同理可求旋轉(zhuǎn)時間為24秒,

如圖1-6,AC//BD,

8P=/8AC=90°,...點A在M/V上，三角板PAC

繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)。的角度為180°,.??轉(zhuǎn)速為10°/秒，,旋轉(zhuǎn)時間為18秒,

綜上所述：當(dāng)r為3或6或9或18或21或24或27時，這兩個三角形是“李生三角形”；（2）①正

確，理山如下：設(shè)運動時間為/秒，則

；.NBPN=180°-2r,ZDPM=30°-It,ZAPN=3t.

，ZCPD=180°-ZDPM-ZCPA-ZAPN=90°-t,

.NCPD=D0°-t=1

',ZBPN180°-2t~2

②NBPN+NCP￡>=180°-2/+9O0-r=270°-3t,可以看出NBPN+NCPO隨著時間在變化，不為定

值，結(jié)論錯誤.

8.(師大梅溪湖)我們已經(jīng)學(xué)過了對頂角、鄰補角、同位角等，知道了它們的特征.現(xiàn)在若有兩個角，它們

不是同一個頂點，但這兩角的兩邊相互平行，我們就把滿足這個條件的兩個角稱作“平行角”.如圖1,

已知AB//QD,AD//BC,因此ZB和"是“平行角”.

(1)圖1中，證明N8=ND；

(2)如圖2,延長。。到E,可知NA和NBCE也是“平行角”，但它們的數(shù)量關(guān)系是

(3)如圖3,OE平分NADC,BE平分NA5C,請說明圖中的N1和N2是“平行角

【解答】（1）證明：'.,AB//CD,AD//BC,AZD+Z4=180°,ZB+ZA=180°.：.ZB=ZD.

（2）解：由（1）知NB=N￡>,同理可得，NA=NBCD?.?NBCQ+NBCE=180°,：.ZA+ZBCE=

180°.即/A和NBCE互補.

(3)證明：和/。是“平行角”，.,./ABCu/AOC.平分NAOC,8尸平分/ABC

AZl=AzADC,Z2=AZA6C.，N1=N2.51.,：AB//DC,：.Z2=ZBFC.：.Zl=ZBFC.

22

DE//BF.：.N1和N2是“平行角”.

9.(廣益)已知A8〃CQ,點E為平面內(nèi)一點，BELCE于E.

(1)如圖1,請直接寫出/48E和"CE之間的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2,過點E作所_LC。，垂足

為F,求證：ZCEF=ZABE;

(3)如圖3,在(2)的條件下，作EG平分NCM,交DF于點G,作ED平分NBEF,交CD于D,

連接80,若/。破+乙血>=180",且ZBDE=3NGEF,求N3EG的度數(shù).

BB3

，,S

CDFCDFGCD

圖1度2圖3【解答】解：(1)結(jié)論：NECD

=90°+ZABE.理由：如圖1中,從BE交DC的延長線于H.

4B

上匚

HC-D

圖1■:AB〃CH,：.ZABE=ZH,VBEICE,:?NCEH=90°,

：.ZECH=1SO°-ZCEH-Z//=180°-90c-NH=90°-Z/7,：.ZECD=1SO°-NECH=

180°-(90°-ZH)=90°+NH,

/.ZECD=90°+ZABE.

(2)如圖2中，EM//CD,

匚

FCD

圖2,:EM"CD,8〃AB,：.AB//CD//EM,：?NBEM=NABE,NF+ZFEM=

180°,VEF1CD,

???/尸=90°,.??NbEM=90°,/與NCEM互余，VBE1CE,：.ZBEC=90°,

：?NBEM與/CEM互余,:?NCEF=NBEM,，/CEF=NABE.

(3)如圖3中，設(shè)/GEF=a,NEO尸=樂圖3

ZBDE=3ZGEF=3a,；EG平分/CEF,：.ZCEF=2ZFEG=2a,二NABE=ZCEF=2a,

'.'AB//CD//EM,:.NMED=NEDF=B，NKBD=NBDF=3a+B，ZABD+ZBDF=]SO0,

：.NBED=NBEM+NMED=2a+B，'：ED平分N8E凡NBED=ZFED=2a+^,：.NDEC=R,

VZfiEC=90°,.?.2a+20=9O°,,：ZDBE+ZABD=\SO°,ZABI)+ZBDF=\S0o,

/.ZDBE=ZBDF=ZBDE+ZEDF=3a+p,VZABK=180°,/.ZABE+ZB=DBE+ZKBD=

180°,

即2a+(3a+0)+(3a+p)=180°,/.6a+(2a+2p)=180°,；.a=15°,

:.NBEG=NBEC+NCEG=90°+15°=105°.

10.如圖，點E,F分別在直線AB,CO上，AB//CD,NCFE=60°.射線EM從EA開始，繞點E以每秒

3度的速度順時針旋轉(zhuǎn)至E2后立即返回，同時，射線尸N從PC開始，繞點F以每秒2度的速度順時

針旋轉(zhuǎn)至尸￡)停止.射線尸N停止運動的同時，射線EM也停止運動，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為r(s).

(1)當(dāng)射線在N經(jīng)過點E時，直接寫出此時，的值；

(2)當(dāng)30<fV45時，射線EM與FN交于點P,過點P作KPLFN交AB于點K,求NKPE；(用含

f的式子表示)

(3)當(dāng)EM〃尸N時，求f的值.

(1)的速度為每秒2°,ZCFE=60°,

二當(dāng)射線FN經(jīng)過點E時，所用的時間/為：r=60°+2°=30；

(2)過點P作直線”Q〃48,如圖所示:

'：AB//CD,：.HQ//AB//CD,：,4FPQ=NCFP=2t,NEPQ=NKEP=3t,：.4EPF=NEPQ-4

FPQ=3t-2t=t,,：KPLFN,：.ZKPF=90°,AZKPE=90°-NE尸尸=90°-Z；

(3)與FN的速度不相等，，當(dāng)0VfW60時，EM與FN不平行;

當(dāng)60<fW90時，EM與FN可能平行，當(dāng)EM〃目V時，設(shè)FW與A8交于點G,如圖所示:

cFDEM//FN,：.ZAGF=ZMEB,由題意可得：NMEB=3t-

180°,：.ZAGF=3t-180°,'：AB//CD,

：.ZAGF+ZCF/V=180°,,:/CFN=2t,：.3t-180°+2r=180°,解得：f=72.

11.我區(qū)正在打造某河流夜間景觀帶，計劃在河兩岸設(shè)置兩座可以旋轉(zhuǎn)的射燈.如圖1,燈A射線從AM

開始順時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從B尸開始順時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉

照射.若燈A轉(zhuǎn)動的速度是2度/秒，燈B轉(zhuǎn)動的速度是1度/秒，假定河兩岸是平行的，即PQ〃MN,

且/8AM=2/BAN.

(2)燈A射線從AM開始順時針旋轉(zhuǎn)至4N需要90秒:

(3)若燈B射線BD(交MN于點D)先轉(zhuǎn)動30秒，燈4射線AC(交PQ于點C)才開始轉(zhuǎn)動.設(shè)

AC轉(zhuǎn)動時間為/秒，當(dāng)AC到達AN之前時，如圖2所示.

①NPBD=f+30度,ZMAC=2t(用含有/的代數(shù)式表示)；

②求當(dāng)AC轉(zhuǎn)動幾秒時，兩燈的光束射線AC〃83?

(4)在8。到達8。之前，是否還存在某一時刻，使兩燈的光束射線AC〃B。？若存在，直接寫出轉(zhuǎn)動

時間，若不存在，請說明理由.

【解答】解：（1）VZBAM+ZBA/V=180o,ZBAM：NBAN=2：1,.?.NR4N=180°xA=60°,

3

故答案為：60；

（2）燈A射線從AM開始順時針旋轉(zhuǎn)至AM旋轉(zhuǎn)了180°?.所需時間為180+2=90（秒），

故答案為：90；

（3）①?.?燈B射線BD