專題17圓錐曲線問題運(yùn)算策略（學(xué)生版）

專題17：圓錐曲線問題運(yùn)算策略<<<專題綜述>>><<<專題綜述>>>圓錐曲線的方程都是二次方程，因而解決與此相關(guān)的問題時(shí)，往往涉及到較為復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算，特別是含參問題的運(yùn)算，有時(shí)極為復(fù)雜．這時(shí)如何采用合理手段簡(jiǎn)化運(yùn)算，成為能否順利解決這類問題的關(guān)鍵．<<<專題探究>>><<<專題探究>>>題型題型一：定比點(diǎn)差法及應(yīng)用定比分點(diǎn)：若AM=λMB,則稱點(diǎn)M為AB的入定比分點(diǎn)，若Ax證明:設(shè)M(x0,y利用對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相等即可推出M:x調(diào)和定比分點(diǎn)的性質(zhì),若AM=λMB且AN=-λNB,則稱M,N調(diào)和分割A(yù),B,根據(jù)定義，那么A,B也調(diào)和分割M,N.（其中M在線段AB定理：再橢圓或雙曲線中，設(shè)A,B若存在PQ兩點(diǎn)，滿足AP=-λPB,AQ=-λ例1(2022·浙江省溫州市模擬)已知橢圓C的離心率為22，橢圓C的右焦點(diǎn)F2和拋物線y2=42x的焦點(diǎn)重合，橢圓C與y軸的一個(gè)交點(diǎn)為N，且F1是橢圓C的左焦點(diǎn)．

(1)求證：△NF1F2是等腰直角三角形；

(2)當(dāng)過(guò)點(diǎn)P(4,1)的動(dòng)直線l與橢圓C相交于兩不同點(diǎn)A【思路點(diǎn)撥】(Ⅰ)由題意解得a2=4，b2=2，所求橢圓方程為

x24+y22=1.由此能證明△NF1F2是等腰直角三角形．

(Ⅱ)例2(2022·天津市模擬)過(guò)點(diǎn)P(1,1)的直線l與橢圓x2A+y23=1交于點(diǎn)A和B，且AP=λPB，點(diǎn)Q滿足AQ=-λQB【思路點(diǎn)撥】設(shè)Ax1,y1，Bx2練1(2022·安徽省聯(lián)考)已知點(diǎn)P(0,1)，橢圓x24+y2=m(m>1)上兩點(diǎn)A，B滿足AP=2PB【思路點(diǎn)撥】設(shè)A(x1,y1)，有x22=m-(練2(2022·湖北省武漢市模擬)已知橢圓方程：x2a2+y2b2=1(a>b>0)內(nèi)有一定點(diǎn)P(1,1)，過(guò)點(diǎn)P的兩條直線l1，l2分別與橢圓交于A、C和B、D兩點(diǎn)，且滿足AP=λA.12 B.22 C.32【思路點(diǎn)撥】由向量的坐標(biāo)運(yùn)算得(y1+y2)+λ(y3+y4)=(題型二：題型二：非對(duì)稱韋達(dá)及應(yīng)用求解解析幾何問題時(shí)，會(huì)遇到兩根不對(duì)稱的結(jié)構(gòu),比如x1x2,λx1+μ常用的策略有：（1）對(duì)于非對(duì)稱型題，韋達(dá)定理無(wú)法直接代入，可以通過(guò)韋達(dá)定理構(gòu)造互化公式，先局部互化，然后可整理成對(duì)稱型；（2）和積互化公式：x1例3(2023·浙江省臺(tái)州市模擬)橢圓有兩個(gè)頂點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),過(guò)其焦點(diǎn)F(0,1)的直線l與橢圓交于C,D兩點(diǎn)，并與x軸交于點(diǎn)P，直線AC與BD交于點(diǎn)Q．

(1)當(dāng)CD=322時(shí)，求直線l(2)當(dāng)P點(diǎn)異于A,B兩點(diǎn)時(shí)，證明：OP?【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)橢圓有兩頂點(diǎn)A(-1,0)、B(1,0)，焦點(diǎn)F(0,1)，可知橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，b=1，c=1，可以求得橢圓的方程，聯(lián)立直線和橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式可求出直線l的方程；

(2)根據(jù)過(guò)其焦點(diǎn)F(0,1)的直線l的方程可求出點(diǎn)P,該直線與橢圓交于C、D兩點(diǎn),和直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q,求出直線AC與直線BD的方程,解該方程組即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo),代入OP?例4(2022年湖南婁底模擬)設(shè)F為橢圓C:x22+y2=1的右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)(2,0)的直線（1）若點(diǎn)B為橢圓C的上頂點(diǎn),求直線AF的方程;（2）設(shè)直線AF，BF的斜率分別為k1,k2【思路點(diǎn)撥】本題第（1）問可由A43,13及F(1,0)第（2）問可以將y1y2轉(zhuǎn)化為y1+y2，也可y練3(2022·江蘇省南京市模擬)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與定點(diǎn)F(1,0)的距離和它到定直線l:x=4的距離之比為12，記P的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)M(4,0)的直線與曲線C交于A,B兩點(diǎn)，R,Q分別為曲線C與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，直線AR,BQ交于點(diǎn)N，求證：點(diǎn)N在定直線上．【思路點(diǎn)撥】(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)，可得(x-1)2+y2|x-4|=12，整理可得曲線C的方程；

(2)設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，NxN,yN，直線方程練4(2023·安徽省合肥市模擬)已知A，B分別為橢圓E：x2a2+y2=1(a>1)的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，AG?GB=8.P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D.【思路點(diǎn)撥】(1)求出AG?GB=a2-1=8，解出a，求出E的方程即可；

(2)聯(lián)立直線和橢圓的方程求出題型三：題型三：齊次化的應(yīng)用x1+x2x1?x”即次數(shù)相等的意思，例如fx=ax因?yàn)閒x中每一項(xiàng)都是關(guān)于、齊次化方法一般適用于兩直線斜率之和（或積）為常數(shù)的題型，可以解決與斜率之和（或積）有關(guān)的定點(diǎn)、定值或軌跡等問題：使用齊次化方法時(shí)，可以有兩種處理方法:方法1：先平移坐標(biāo)系,將原點(diǎn)平移至給定的點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為兩直線過(guò)原點(diǎn)的類型;方法2：不進(jìn)行坐標(biāo)平移,直線方程須化為mx-x0+ny-y0=1的形式,其中x0,,例5(2017年全國(guó)高考新課標(biāo)理科Ⅰ卷)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，四點(diǎn)P1(1,1)(1)求C的方程；(2)設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，得到P2(0,1)，P3(-1,32)，P4(1,32)三點(diǎn)在橢圓C上．把P2(0,1)，P3(-1,32)代入橢圓C，求出a2=4，例6(2022·江蘇省南京市模擬變式)已知橢圓的中心為O,長(zhǎng)軸、短軸分別為2a,2ba>b>0,P,Q分別在橢圓上,且OP⊥OQ,求證:1OP【思路點(diǎn)撥】設(shè)△OPQ的面積為S,O到PQ的距離為d,證明1OP2+1OQ設(shè)直線PQ方程為mx+ny=1,代入橢圓方程作齊次化處理.練5(2022·江蘇省蘇州市模擬)已知圓C1的方程為x+22+y2=24,點(diǎn)C2的坐標(biāo)為2,0.點(diǎn)P為圓C1(2)點(diǎn)Q是圓x2+y2=r2r>0上異于點(diǎn)A-r,0和Br,0的任一點(diǎn),直線AQ與軌跡E交于M,N直線BQ與軌跡E交于點(diǎn)S,T.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線OM,ON,OS,OT的斜率分別為kOM,kON,kOS,kOT,【思路點(diǎn)撥】(1)由題意，可推出點(diǎn)D的軌跡E是以C1，C2為焦點(diǎn)的橢圓，由此可得軌跡E的方程；

(2)設(shè)直線AQ的方程為AQ:x=my-r,將直線AQ的方程與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理及直線的練6(2020·安徽省合肥市模擬)已知Q1,Q2為橢圓x2過(guò)原點(diǎn)O作直線Q1Q2的垂線OD，垂足為D【思路點(diǎn)撥】設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x0,y0).欲求其軌跡方程，即尋找x，y的關(guān)系式，由直線Q1<<<專題訓(xùn)練>>><<<專題訓(xùn)練>>>1.雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)A作斜率為-1的直線,該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為A.2B.3C.5D.102.設(shè)F1,F2分別為橢圓x23+y2=1的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)A3.已知橢圓x26+y22=1的左右焦點(diǎn)分別為4.已知拋物線C:y2=4x與定點(diǎn)P(2,1),直線l與拋物線交于A,B兩點(diǎn),且有AP=15.已知橢圓C：x2a2+y2b（1）求橢圓C的方程；（2）記橢圓C的上下頂點(diǎn)分別為A,B，過(guò)點(diǎn)0,4斜率為k的直線與橢圓C交于M,N兩點(diǎn)，證明：直線BM與AN的交