專題10解三角形問題（講）【原卷版】

第一篇熱點、難點突破篇專題10解三角形問題（講）真題體驗感悟高考1．（2022·全國·高考真題（理））已知中，點D在邊BC上，．當取得最小值時，________．2.（2022·全國·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．3．（2022·全國·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．總結(jié)規(guī)律預測考向（一）規(guī)律與預測1．正弦定理或余弦定理獨立命題；2．正弦定理與余弦定理綜合命題；3．與三角函數(shù)的變換結(jié)合命題；4．考查較為靈活，題型多變，選擇題、填空題的形式往往獨立考查正弦定理或余弦定理，解答題往往綜合考查定理在確定三角形邊角中的應用，多與三角形周長、面積有關(guān)；有時也會與平面向量、三角恒等變換、立體幾何、解析幾何等結(jié)合考查.．（二）本專題考向展示考點突破典例分析考向一正弦定理的應用【核心知識】正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，其中R是三角形外接圓的半徑．由正弦定理可以變形為：a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)等形式，以解決不同的三角形問題．【典例分析】典例1.（2022·西藏·日喀則市江孜高級高三期中）已知中，，，則B等于（

）A． B． C．或 D．或典例2.（2021·浙江省義烏高三階段練習）在中，已知，且邊上的高為，則______；______．典例3.（2019·全國高考真題（文））的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsinA+acosB=0，則B=___________.【規(guī)律方法】1.已知兩角一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．2.已知兩邊和一邊對角，解三角形時，利用正弦定理求另一邊的對角時要注意討論該角，這是解題的難點，應引起注意．3.已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形時，注意解的情況．如已知a，b，A，則A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的個數(shù)無解一解兩解一解一解無解考向二余弦定理的應用【核心知識】余弦定理：，，.變形公式cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，osC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)【典例分析】典例4.（2021·浙江·高考真題）在中，，M是的中點，，則___________，___________.典例5.（2020·全國·高考真題（文））△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，證明：△ABC是直角三角形．典例6.（2021·全國·高考真題）在中，角、、所對的邊長分別為、、，，.．（1）若，求的面積；（2）是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【總結(jié)提升】利用余弦定理及其推論解三角形的類型：(1)已知三角形的三條邊求三個角；(2)已知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角；(3)已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，解三角形．考向三三角形中邊角計算【核心知識】三角恒等變換公式正弦定理余弦定理【典例分析】典例7.（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·高三期中（理））在中，已知．(1)求的大??；(2)若，求cosB和a的值．典例8.（2021·全國·高考真題）記是內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，點在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.典例9.（2022·全國·高考真題（文））記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)證明：【規(guī)律方法】考向四三角形面積、周長問題【核心知識】面積公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB【典例分析】典例11.（2022·浙江·高考真題）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．典例12.（2022·全國·高考真題（理））記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長．典例13.（2021·寧夏·永寧縣第二（永寧縣回民高級）模擬預測（文））在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，滿足．(1)求；(2)若的面積為，，求的周長．考向五三角形范圍和最值問題【核心知識】輔助角公式均值不等式【典例分析】典例14.（2022·河南·民權(quán)縣第一高級模擬預測（文））已知在中，角的對邊分別為，，，且．(1)求；(2)求面積的最大值．典例15.（2020·全國·高考真題（理））中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求周長的最大值.典例16.（2022·湖北·高三階段練習）已知在中，邊,,所對的角分別為，，，.(1)證明：,,成等比數(shù)列；(2)求角的最大值.【規(guī)律方法】三角形中的最值與范圍問題主要有兩種解決方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是將所求式轉(zhuǎn)化為只含有三角形某一個角的三角函數(shù)形式，結(jié)合角的范圍確定所求式的范圍．考向六數(shù)學文化與實際應用【核心知識】實際問題中的有關(guān)概念(1)仰角和俯角：在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖1)．(2)方位角：從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖2)．(3)方向角：相對于某一正方向的水平角(如圖3)①北偏東α°即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)α°到達目標方向．②北偏西α°即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)α°到達目標方向．③南偏西等其他方向角類似．(4)坡度：①定義：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖4，角θ為坡角)．②坡比：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖4，i為坡比)．【典例分析】典例17.（2021·全國·高考真題（理））2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點，且A，B，C在同一水平面上的投影滿足，．由C點測得B點的仰角為，與的差為100；由B點測得A點的仰角為，則A，C兩點到水平面的高度差約為（）（

）A．346 B．373 C．446 D．473典例18.（2022·浙江·高考真題）我國南宋著名數(shù)學家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補了我國傳統(tǒng)數(shù)學的一個空白．如果把這個方法寫成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設某三角形的三邊，則該三角形的面積___________．【總結(jié)提升】求解高度問題的三個關(guān)注點(1)在