重難點(diǎn)13六種雙曲線解題方法（核心考點(diǎn)講與練）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)講與練（新高考專(zhuān)用）解析版

重難點(diǎn)13六種雙曲線解題方法（核心考點(diǎn)講與練）題型一：待定系數(shù)法求雙曲線方程一、單選題1．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（文））已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，一條漸近線方程為，過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交雙曲線的右支于A，B兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為36，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得，則雙曲線方程為，，，可得直線為，代入雙曲線方程中，利用弦長(zhǎng)公式求出，再由雙曲線的定義和的周長(zhǎng)為36，可求出，從而可求出雙曲線的方程【詳解】因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為，所以，則雙曲線方程為，，，所以直線為，設(shè)，由，得，則，所以，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為36，所以，

所以，得，所以雙曲線方程為，故選：C2．（2022·四川·宜賓市教科所三模（理））若等軸雙曲線的焦距為4，則它的一個(gè)頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】A【分析】用坐標(biāo)法求解，求出等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到頂點(diǎn)和漸近線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】不妨設(shè)等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，解得：.所以等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.此時(shí)，頂點(diǎn)坐標(biāo)，其中一條漸近線方程為：.所以頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為.故選：A3．（2022·寧夏·石嘴山市第一中學(xué)三模（理））雙曲線E與橢圓焦點(diǎn)相同且離心率是橢圓C離心率的倍，則雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】求出雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率，求出雙曲線的a、b、c即可求其標(biāo)準(zhǔn)方程．【詳解】雙曲線與橢圓焦點(diǎn)相同，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為，橢圓的離心率為，∴雙曲線的離心率為，設(shè)雙曲線實(shí)半軸長(zhǎng)為，虛半軸長(zhǎng)為，焦距為2c，則c=2，，∴，∴所求雙曲線方程為：．故選：C．

4．（2022·內(nèi)蒙古包頭·二模（理））已知，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，R是C上的一點(diǎn)，且，，C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則C的實(shí)軸長(zhǎng)為（

）A． B． C．6 D．3【答案】B【分析】由雙曲線定義及分別求出，再由余弦定理得，進(jìn)而結(jié)合C經(jīng)過(guò)點(diǎn)解出即可求解.【詳解】由雙曲線定義可得，又可得，由余弦定理可得，即，化簡(jiǎn)得，又，可得；又C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故，即，解得，故C的實(shí)軸長(zhǎng)為.故選：B.二、多選題5．（2022·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)高三階段練習(xí)）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，兩條漸近線的夾角正切值為，直線：與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，設(shè)的內(nèi)心為，則（

）

A．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 B．滿足的直線有2條C． D．與的面積的比值的取值范圍是【答案】ACD【分析】A:設(shè)其中一條漸近線的傾斜角為，，由題干條件可知，從而解出，即，又有焦點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立可解出，從而求出雙曲線方程；B：直線過(guò)焦點(diǎn)，判斷過(guò)焦點(diǎn)弦的最短弦可判斷B；C：由雙曲線的定義和切線的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化可判斷；D：將三角形的面積用內(nèi)切圓的半徑和邊長(zhǎng)計(jì)算，結(jié)合定義，可得到，由的范圍可求出比值的范圍.【詳解】A選項(xiàng)，設(shè)雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，，因?yàn)椋?，從而，解得或（舍去），所以，又，所以，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故A正確；B選項(xiàng)，直線的方程，即，則直線恒過(guò)右焦點(diǎn)，又過(guò)焦點(diǎn)的弦最短為，所以滿足的直線只有1條，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由雙曲線的定義可知，，即，因此是的內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)，因此，C正確；D選項(xiàng)，由題知，因?yàn)椋?，D正確.【點(diǎn)睛】知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑（過(guò)焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸所在的直線的弦），其長(zhǎng)度為；異支的弦中最短的為實(shí)軸，其長(zhǎng)度為.（2）由圓外一點(diǎn)引圓的切線，切線長(zhǎng)相等.6．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線，其焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A．雙曲線的方程為 B．雙曲線的漸近線方程為C．雙曲線的離心率為 D．雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為【答案】ACD【分析】由題意知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)雙曲線，根據(jù)焦點(diǎn)到漸近線的距離為，可求得，即可求得雙曲線方程，再根據(jù)雙曲線的性質(zhì)逐一分析各選項(xiàng)即可的解.【詳解】解：由題意知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)雙曲線，雙曲線的漸近線方程為，取，即焦點(diǎn)到漸近線的距離為．所以，所以，所以雙曲線的方程為，故選項(xiàng)A正確；雙曲線的漸近線方程為故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；離心率，故選項(xiàng)C正確；雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD．7．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線：（，）的一條漸近線的方程為，且過(guò)點(diǎn)，橢圓：（）的焦距與雙曲線的焦距相同，且橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線交于（），兩點(diǎn)，則下列敘述正確的是（

）A．雙曲線的離心率為2B．雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為C．點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為D．點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為【答案】AD【分析】通過(guò)計(jì)算求出雙曲線的離心率和實(shí)軸長(zhǎng)，即可判斷選項(xiàng)A和B的正誤；聯(lián)立直線

和橢圓的方程求出，即得點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍，即可判斷選項(xiàng)C和D的正誤.【詳解】雙曲線：（，）的一條漸近線的方程為，則設(shè)雙曲線的方程為（），由雙曲線且過(guò)點(diǎn)，得，得，∴雙曲線的方程為，即，∴雙曲線的離心率，實(shí)軸的長(zhǎng)為1，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；易知橢圓的兩焦點(diǎn)為，，將（）代入（）得，∴，∴直線的方程為，聯(lián)立整理得，，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，則．由得，則，∴，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確，故選：AD．三、填空題8．（2022·福建寧德·模擬預(yù)測(cè)）若過(guò)點(diǎn)的雙曲線的漸近線為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是___________.【答案】

【分析】由題設(shè)雙曲線方程為，進(jìn)而待定系數(shù)求解即可.【詳解】解：因?yàn)殡p曲線的漸近線為，故設(shè)其方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，，即所求方程為.故答案為：四、解答題9．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，點(diǎn)在雙曲線E上.(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若動(dòng)直線l與雙曲線E相切，過(guò)點(diǎn)作直線l的垂線，垂足為H，試判斷是否為定值？如果是，請(qǐng)求出該值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)是定值，定值為【分析】（1）利用已知條件求出a，b的值即可求解；（2）由題意得出直線l的斜率不為0，當(dāng)切線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立直線與雙曲線E的方程得到m，k的關(guān)系式，聯(lián)立直線PH與l表示出點(diǎn)H坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求解；當(dāng)切線l的斜率不存在時(shí)，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)即可求解.(1)設(shè)雙曲線E的漸近線方程為，因?yàn)橐粭l漸近線的傾斜角為，所以;又雙曲線E經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，而，故解得，，所以雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)由題意可得直線l的斜率不為0，當(dāng)切線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立直線l和雙曲線E的方程得，消去y并整理得，

因?yàn)橹本€l與雙曲線E相切，即方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以且，化簡(jiǎn)并整理得，又因?yàn)橹本€PH與l垂直，，所以直線PH的方程為，聯(lián)立，解得，即點(diǎn)，所以，所以；當(dāng)切線l的斜率不存在時(shí)，直線，過(guò)點(diǎn)作直線l的垂線為，此時(shí)或，則，綜上所述，恒為定值.【點(diǎn)睛】本題以雙曲線為背景，考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程?直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查邏輯推理?數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).，解得的關(guān)鍵是明確解題的思路，計(jì)算要準(zhǔn)確.10．（2022·上海市七寶中學(xué)高三期中）雙曲線：（a＞0，b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且漸近線方程為．(1)求，的值；(2)點(diǎn)，，是雙曲線上不同的三點(diǎn)，且，兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，的外接圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．求證：點(diǎn)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)互為倒數(shù)；(3)在（2）的條件下，試問(wèn)是否存在一個(gè)定圓與直線相切，若有，求出定圓方程，沒(méi)有說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)存在定圓與直線相切【分析】（1）運(yùn)用代入法,結(jié)合雙曲線的漸近線方程進(jìn)行求解即可;（2）設(shè)出直線的方程,與雙曲線方程聯(lián)立,根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,結(jié)合圓的性質(zhì)進(jìn)行求解即可（3）易求原點(diǎn)到直線

的距離為定值，故存在定圓與直線相切(1),解得,則(2)證明:易知直線一定不為水平直線,設(shè)為,設(shè),,聯(lián)立,整理得,則,由于外接圓過(guò)原點(diǎn)且關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),設(shè)為,則又，所以(3)因?yàn)?所以則原點(diǎn)到直線的距離,故存在定圓與直線相切11．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知雙曲線：（）的右焦點(diǎn)，點(diǎn)分別在的兩條漸近線上，軸，∥（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

(1)求雙曲線的方程；(2)過(guò)上一點(diǎn)的直線與直線相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)，證明：當(dāng)點(diǎn)在上移動(dòng)時(shí)，恒為定值，并求此定值.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析，定值為【分析】（1）表達(dá)出直線OB方程，直線BF的方程，聯(lián)立后得到B點(diǎn)坐標(biāo)，得到直線AB的斜率，根據(jù)垂直關(guān)系得到方程，求出，從而求出雙曲線方程；（2）求出M點(diǎn)坐標(biāo)，N點(diǎn)坐標(biāo)，表達(dá)出，結(jié)合得到，從而得到恒為定值，并求此定值.(1)設(shè)，因?yàn)椋?，直線OB方程為，直線BF的方程為，解得：，又直線OA的方程為，則又因?yàn)锳BOB，所以，解得：，故雙曲線C的方程為(2)由（1）知，則直線的方程為，即，因?yàn)橹本€AF的方程為，

所以直線與AF的交點(diǎn)直線與直線的交點(diǎn)為，則因?yàn)槭荂上一點(diǎn)，則，代入上式得，所求定值為.12．（2022·河北衡水中學(xué)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的離心率為，實(shí)軸長(zhǎng)為4.(1)求C的方程；(2)如圖，點(diǎn)A為雙曲線的下頂點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)且垂直于y軸（P位于原點(diǎn)與上頂點(diǎn)之間），過(guò)P的直線交C于G，H兩點(diǎn)，直線AG，AH分別與l交于M，N兩點(diǎn)，若O，A，N，M四點(diǎn)共圓，求點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)雙曲線的離心率結(jié)合實(shí)軸長(zhǎng)，可求得a,b,即得答案;（2）根據(jù)O，A，N，M四點(diǎn)共圓結(jié)合幾何性質(zhì)可推出，設(shè)，，，從而可以用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出t,再設(shè)直線，聯(lián)立雙曲線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系式，代入t的表達(dá)式中化簡(jiǎn)，可得答案.(1)因?yàn)閷?shí)軸長(zhǎng)為4，即，，又，所以，，

故C的方程為.(2)由O，A，N，M四點(diǎn)共圓可知，，又，即，故，即，所以,設(shè)，，，由題意可知，則直線，直線，因?yàn)镸在直線l上，所以，代入直線AG方程，可知，故M坐標(biāo)為，所以，又，由，則，整理可得，當(dāng)直線GH斜率不存在時(shí)，顯然不符合題意，故設(shè)直線，代入雙曲線方程：中，可得，所以，，又，所以,故，即，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為.

【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線方程的求解，以及直線和雙曲線的位置關(guān)系的問(wèn)題，解答時(shí)要注意明確點(diǎn)線的位置關(guān)系，能設(shè)相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而表示出參數(shù)的表達(dá)式，再結(jié)合聯(lián)立直線和雙曲線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系式化簡(jiǎn)，難點(diǎn)在于較為繁雜的計(jì)算，要十分細(xì)心.13．（2022·河南·三模（理））已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，，，成等差數(shù)列，過(guò)的直線交雙曲線于?兩點(diǎn)，若雙曲線過(guò)點(diǎn).(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)雙曲線的左頂點(diǎn)作直線?，分別與直線交于?兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得以為直徑的圓恒過(guò)，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)存在，或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求雙曲線方程；（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得以為直徑的圓恒過(guò)，則，結(jié)合韋達(dá)定理可得的值.(1)由已知設(shè)雙曲線方程為，又，，成等差數(shù)列，且雙曲線過(guò)點(diǎn)，則，解得，，，故所求方程為，(2)由（1）得，設(shè)?方程分別為?，則，，因?yàn)橐詾橹睆降膱A經(jīng)過(guò)，所以即，即，設(shè)方程為，與聯(lián)立得，設(shè)，，則，，所以，即，

所以，，解得或.題型二：相同漸近線雙曲線方程求法一、單選題1．（2022·浙江嘉興·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C的漸近線方程為，且焦距為10，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)共漸近線的雙曲線的設(shè)法，結(jié)合題意分析求解．【詳解】漸近線方程為的雙曲線為，即，故，故，故選：C．2．（2020·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線與雙曲線有公共的漸近線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（

）．A． B． C．4 D．2【答案】D【解析】雙曲線與雙曲線有公共的漸近線，設(shè)雙曲線C的方程，其中λ≠0，又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，再代入點(diǎn)P的坐標(biāo)即可得到雙曲線C的方程，然后求解焦距即可．【詳解】雙曲線與雙曲線有公共的漸近線，設(shè)雙曲線C的方程，其中λ≠0，∵點(diǎn)在雙曲線上，∴，解之得，因此雙曲線方程為,

故離心率為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)及離心率，根據(jù)題意列出未知數(shù)，解出a，b，c即可求得離心率，屬于中等題.3．（2020·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，且與雙曲線的漸近線相同，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸和漸近線方程設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)求解.【詳解】∵雙曲線與的漸近線相同，且焦點(diǎn)在軸上，∴可設(shè)雙曲線的方程為，一個(gè)焦點(diǎn)為，∴，∴，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)雙曲線的漸近線和焦點(diǎn)求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，易錯(cuò)點(diǎn)在于漏掉考慮焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸導(dǎo)致方程形式出錯(cuò).二、多選題4．（2020·全國(guó)·高三階段練習(xí)）已知雙曲線過(guò)點(diǎn)且漸近線為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的方程為 B．的離心率為2C．曲線經(jīng)過(guò)的一個(gè)焦點(diǎn) D．直線與有兩個(gè)公共點(diǎn)【答案】BC【解析】設(shè)所求雙曲線方程為，將點(diǎn)代入可判斷A；由A求出，即可求出離心率，判斷B；求出雙曲線的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入曲線方程即可判斷C；聯(lián)立方程組可判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由可得，

從而可設(shè)所求雙曲線方程為.又由雙曲線過(guò)點(diǎn)，代入得，即，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，由雙曲線的方程可知，，，所以的離心率，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，雙曲線的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，滿足，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，聯(lián)立，解得，，所以直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)?直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解?推理論證能力，考查直觀想象?數(shù)學(xué)運(yùn)算?邏輯推理核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題.5．（2021·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，一條漸近線過(guò)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．雙曲線的離心率為B．雙曲線與雙曲線有相同的漸近線C．若到漸近線的距離為2，則雙曲線的方程為D．若直線與漸近線圍成的三角形面積為則焦距為【答案】BCD【解析】根據(jù)漸近線所過(guò)的點(diǎn)可求的關(guān)系，從而可求漸近線的方程和離心率，故可判斷A、B的正誤，利用已知的條件和的關(guān)系可求基本量，從而可判斷C、D的正誤.【詳解】漸近線的方程為，因?yàn)橐粭l漸近線過(guò)點(diǎn)，故即，故離心率為，故A錯(cuò)誤.

又漸近線的方程為，而雙曲線的漸近線的方程為，故B正確.若到漸近線的距離為2，則，故，所以雙曲線的方程為，故C正確.直線與漸近線的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：及，故即，而，故，，所以，所以，故焦距為，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）求雙曲線的漸近線的方程，一般是將等號(hào)右邊的常數(shù)變?yōu)榱?；?）雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為.三、填空題6．（2022·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）焦點(diǎn)在軸上的雙曲線與雙曲線有共同的漸近線，且的焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為，則雙曲線的方程為_(kāi)_____．【答案】【分析】由共漸近線的雙曲線系方程可設(shè)，根據(jù)焦點(diǎn)到漸近線距離為可構(gòu)造方程求得，由此可得雙曲線方程.【詳解】由題意可設(shè)雙曲線的方程為：，即；則，，雙曲線焦點(diǎn)到漸近線距離為，，解得：，雙曲線的方程為：.7．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若雙曲線（，）與雙曲線有相同的漸近線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的實(shí)軸長(zhǎng)為_(kāi)________

【答案】【分析】根據(jù)給定條件求出a，b的關(guān)系，再由雙曲線過(guò)的點(diǎn)即可計(jì)算作答.【詳解】雙曲線的漸近線為，而雙曲線的漸近線為，依題意，，又雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，解得：，所以雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為.故答案為：四、解答題8．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線與有相同的漸近線，點(diǎn)為的右焦點(diǎn)，為的左，右頂點(diǎn).（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線過(guò)點(diǎn)交雙曲線的右支于兩點(diǎn)，設(shè)直線斜率分別為，是否存在實(shí)數(shù)入使得?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【分析】（1）根據(jù)的漸近線方程求出，然后再根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求出的值，從而求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立消元寫(xiě)韋達(dá)；然后表示出直線斜率，根據(jù)韋達(dá)定理求的值，從而求出的值.【詳解】（1）的漸近線為，，，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）由已知，，過(guò)點(diǎn)與右支交于兩點(diǎn)，則斜率不為零，設(shè)，由，消元得，

因?yàn)榕c雙曲線右支交于兩點(diǎn)，所以，解得，，，，，，，存在使得.題型三：直接法解決離心率問(wèn)題一、單選題1．（2022·廣東·佛山市南海區(qū)藝術(shù)高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的方程，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由雙曲線方程可求得，由此可求得離心率.【詳解】由可得：，故離心率為，故選：D2．（2022·黑龍江·哈九中模擬預(yù)測(cè)（理））如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)．若雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，從發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)圖2中的A，B兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)和．且，，則的離心率為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，，由雙曲線的定義可得，，在直角三角形中，在中，運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理和余弦定理，化簡(jiǎn)整理，結(jié)合離心率公式，可得所求值．【詳解】解：設(shè)，，由雙曲線的定義可得，，由，可得，在直角三角形中，，①，②在中，可得③由①②可得，，代入③可得，即為，

則，故選：D．3．（2022·浙江金華·三模）已知雙曲線C：，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線的左焦點(diǎn)，若的右支上存在一點(diǎn)，使得外接圓的半徑為，且四邊形為菱形，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接，易證為直角三角形，解出與代離心率的計(jì)算公式即可求解【詳解】如圖所示，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接因?yàn)橥饨訄A的半徑為，則又四邊形為菱形，所以則為正三角形，所以，因?yàn)?，所以，又所以為正三角形，所以，所以在中，，，所以所以故選：B

4．（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）如圖，已知，為雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，分別作直線，交雙曲線于，，，四點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形，且以為直徑的圓過(guò)，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用雙曲線的定義，幾何關(guān)系以及對(duì)稱(chēng)性，再利用平行四邊形的特點(diǎn)，以及點(diǎn)在圓周上的向量垂直特點(diǎn)，列方程可解.【詳解】設(shè)，則，由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性和平行四邊形的對(duì)稱(chēng)性可知：，連接，則有，由于在以AD為直徑的圓周上，，∵ABCD為平行四邊形，，，在直角三角形中，，，解得：，；在直角三角形中，，，得，，故選：D.5．（2022·貴州黔東南·一模（理））已知雙曲線，直線與C交于A、B

兩點(diǎn)（A在B的上方），，點(diǎn)E在y軸上，且軸．若的內(nèi)心到y(tǒng)軸的距離為，則C的離心率為（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題目信息畫(huà)出準(zhǔn)確圖像，本題重難點(diǎn)在于合理利用三角形內(nèi)心性質(zhì)，以及角平分線定理，得到關(guān)系后即可求出離心率.【詳解】因?yàn)锳在B的上方，且這兩點(diǎn)都在C上，所以，則．因?yàn)?，所以A是線段的中點(diǎn)，又軸，所以，，所以的內(nèi)心G在線段上．因?yàn)镚到y(tǒng)軸的距離為，所以，所以，因此，即．故．故選：B二、多選題6．（2022·山東煙臺(tái)·一模）已知雙曲線C：，，為C的左、右焦點(diǎn)，則（

）A．雙曲線和C的離心率相等B．若P為C上一點(diǎn)，且，則的周長(zhǎng)為C．若直線與C沒(méi)有公共點(diǎn)，則或D．在C的左、右兩支上分別存在點(diǎn)M，N使得

【答案】BC【分析】求得雙曲線和C的離心率判斷選項(xiàng)A；求得的周長(zhǎng)判斷選項(xiàng)B；由直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定判斷選項(xiàng)C；求解滿足題意條件的直線MN判斷選項(xiàng)D.【詳解】選項(xiàng)A：雙曲線C：的離心率雙曲線的離心率則雙曲線和C的離心率不一定相等.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：P為C：上一點(diǎn)，且則有，整理得則的周長(zhǎng)為.判斷正確；選項(xiàng)C：由，可得由題意可知，方程無(wú)解當(dāng)時(shí)，方程有解；當(dāng)時(shí)，則有，解之得或故若直線與C沒(méi)有公共點(diǎn)，則或.判斷正確；選項(xiàng)D：根據(jù)題意，過(guò)雙曲線C的左焦點(diǎn)的直線方程可設(shè)為令，由，可得由，可得則有，則有，整理得，顯然不成立.當(dāng)過(guò)雙曲線C的左焦點(diǎn)的直線為水平直線時(shí)，方程為

則，，即.綜上可知，不存在分別在C的左、右兩支上M，N使得.判斷錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題7．（2022·安徽·合肥一中模擬預(yù)測(cè)（理））已知雙曲線C：（），以C的焦點(diǎn)為圓心，3為半徑的圓與C的漸近線相交，則雙曲線C的離心率的取值范圍是________________．【答案】【分析】根據(jù)圓心到直線的距離小于半徑，即可得的范圍，進(jìn)而可得離心率范圍.【詳解】雙曲線C的漸近線方程為，右焦點(diǎn)，∵漸近線與圓相交，∴，即，∴，可得，∴雙曲線C的離心率為：，且．∴．故答案為：8．（2022·山東日照·二模）如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn).若雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，從發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)圖2中的A，B兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)C和D，且，，則E的離心率為_(kāi)__________.

【答案】【分析】連接，，設(shè)，則，根據(jù)誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，，再根據(jù)銳角三角函數(shù)得到、，從而得到方程求出，再在利用勾股定理計(jì)算可得；【詳解】解：如圖，連接，，則，，和，，都三點(diǎn)共線，設(shè)，則.由，所以所以，又，所以，即，，即，又，

因此，即，在中，即.故.故答案為：9．（2022·浙江·三模）已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是雙曲線第一象限上一點(diǎn)，在點(diǎn)P處作雙曲線C的切線l，若點(diǎn)到切線l的距離之積為3，則雙曲線C的離心率為_(kāi)______．【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系可求得在點(diǎn)P處的切線方程，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式分別求出點(diǎn)到切線l的距離，列出方程，求出，即可求出離心率．【詳解】設(shè)點(diǎn)，有．設(shè)在點(diǎn)P處的切線方程為，聯(lián)立雙曲線方程，由可解得，所以切線方程為，到切線l距離，到切線l距離，所以，即，所以，故．故答案為：．四、解答題

10．（2022·河北張家口·三模）已知，點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，點(diǎn)P的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)直線與曲線C相切，與曲線交于M?N兩點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求曲線E的離心率.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間距離距離公式，結(jié)合已知等式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)曲線切線的性質(zhì)，結(jié)合一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)關(guān)系、平面向量垂直的性質(zhì)、雙曲線的離心率公式進(jìn)行求解即可.(1)設(shè)，由得，整理得即為曲線C；(2)與曲線C相切，，即.設(shè)，，將代入曲線E整理得：，，，，.，，即.，，整理得，，即，，.故曲線E的離心率為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.題型四：構(gòu)造齊次方程法求離心率的值或范圍一、單選題

1．（2022·湖北省天門(mén)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知共焦點(diǎn)的橢圓和雙曲線，焦點(diǎn)為，，記它們其中的一個(gè)交點(diǎn)為P，且，則該橢圓離心率與雙曲線離心率必定滿足的關(guān)系式為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)，焦距，根據(jù)橢圓及雙曲線的定義可以用表示出,在中根據(jù)余弦定理可得到的值.【詳解】如圖，設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)為，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義，，設(shè)，則在中由余弦定理得，化簡(jiǎn)，該式變成.故選：C.2．（2022·浙江·赫威斯育才高中模擬預(yù)測(cè)）已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線左、右支分別交于，兩點(diǎn)，若，的面積為，雙曲線的離心率為，則（

）A． B．2C． D．

【答案】D【分析】利用雙曲線的定義得到，，利用余弦定理表達(dá)出，進(jìn)而表達(dá)出正弦，求出與面積相加，得到的面積，得到方程，解出離心率的平方.【詳解】如圖，由雙曲線的定義可知：，，因?yàn)?，所以，代入中，可得：，因?yàn)?，所以在三角形中，由余弦定理得：，因?yàn)?，所以，則，取的中點(diǎn)M，連接BM，因?yàn)?，所以，，所以，，又因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得：，同除以得：，解得：或（舍去）

故選：D3．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，M為右支上一點(diǎn)，的內(nèi)切圓圓心為Q，直線交x軸于點(diǎn)N，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由切線長(zhǎng)定理及雙曲線的定義求得點(diǎn)橫坐標(biāo)為，再由直線的方程求出，再借助求得，進(jìn)而求得，在，由雙曲線的定義及余弦定理即可求出.【詳解】如圖，設(shè)內(nèi)切圓Q與的三邊分別切于三點(diǎn)，過(guò)作軸于點(diǎn)，易得，

又由雙曲線定義得，即，又，故，即點(diǎn)橫坐標(biāo)為，又，則，故直線的方程為，代入，解得，即，又，則，故，又，則，，在中，由余弦定理得，即，化簡(jiǎn)得，即，解得或，又離心率大于1，故離心率為.故選：A.二、多選題4．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的右焦點(diǎn)為，是的一條漸近線，以為圓心，為半徑的圓與交于，兩點(diǎn)，則（

）A．過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)B．的離心率的最大值是C．若，則的離心率的取值范圍是D．若，則的離心率為【答案】ACD【分析】選項(xiàng)A.

雙曲線的漸近線與圓交于，兩點(diǎn)，所以過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線與沒(méi)有公共點(diǎn)從而可判斷；選項(xiàng)B.過(guò)點(diǎn)作,則，故可得，從而可得離心率的范圍，從而可判斷；選項(xiàng)C.由條件可得，即，從而

，從而可得離心率的范圍，從而可判斷；選項(xiàng)D.由條件可得為線段的中點(diǎn)，由勾股定理得出的關(guān)系，從而可得離心率的范圍，從而可判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)殡p曲線的漸近線與圓交于，兩點(diǎn)，所以過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線與沒(méi)有公共點(diǎn)（如圖），故選項(xiàng)A正確．對(duì)于B，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，易知，因?yàn)閳A與直線相交，所以，又，所以，即，所以的離心率的取值范圍是，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤．對(duì)于C，若，則，故，故，所以，即，，，得，又由B知，所以，故選項(xiàng)C正確．對(duì)于D，因?yàn)椋詾榫€段的中點(diǎn)，設(shè)，則，，在和中，由勾股定理得，，消去得，，即，所以，故選項(xiàng)D正確．故選：ACD三、雙空題

5．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知，，是雙曲線C：的左右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線左支交于點(diǎn)A，與右支交于點(diǎn)B，與內(nèi)切圓的圓心分別為，，半徑分別為，，則的橫坐標(biāo)為_(kāi)_________；若，則雙曲線離心率為_(kāi)_________.【答案】

2【分析】根據(jù)題意，利用三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)及雙曲線的定義可得雙曲線焦點(diǎn)三角形內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為；利用三角形相似及兩個(gè)內(nèi)切圓半徑的比值，構(gòu)造的齊次方程，即可求解離心率.【詳解】如圖，在中，圓為內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為，故，又是雙曲線上的一點(diǎn)，故，即，又，故，則.故的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為，同理可得，的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為，即；又，則，即，解得.故答案為：；2.四、填空題6．（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

的直線與雙曲線的左?右兩支分別交于兩點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率是__________．【答案】【分析】在中，由正弦定理可得，再根據(jù)雙曲線的定義可求得，設(shè)的中點(diǎn)為，根據(jù)題意可得,再根據(jù)雙曲線的定義可求得，在中，利用余弦定理求得的關(guān)系，即可得出答案.【詳解】解：在中，由，得，因?yàn)?，所以，又，設(shè)的中點(diǎn)為，則，所以，所以，所以,設(shè)，則，又，則，解得，所以，所以是正三角形，從而,在中，由，得，所以．故答案為：.

7．（2022·福建三明·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為?，雙曲線上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為B，且滿足，，則該雙曲線的離心率為_(kāi)__________.【答案】【分析】利用雙曲線的定義，結(jié)合，且，由是矩形，且，利用勾股定理求解.【詳解】解：如圖所示：由雙曲線的定義得：，又，且，所以是矩形，且，又因?yàn)?，即，解得?/p>

故答案為：8．（2022·安徽馬鞍山·三模（文））已知雙曲線E的焦點(diǎn)在x軸上，中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為E的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作直線與E的左右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作直線與E的右支交于C，D兩點(diǎn)，若點(diǎn)B恰為的重心，且為等腰直角三角形，則雙曲線E的離心率為_(kāi)__________.【答案】【分析】設(shè)雙曲線方程為，由重心可知為的一條中線，即可判斷點(diǎn)為的中點(diǎn)，則為，分別討論的兩腰，并檢驗(yàn)點(diǎn)為重心，即可求解.【詳解】由題，設(shè)雙曲線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)B恰為的重心，則為的一條中線，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，則為，因?yàn)闉榈妊苯侨切?，若，則點(diǎn)為左支的頂點(diǎn)，且，所以設(shè)，則，即，所以，因?yàn)?，解得，即，此時(shí)，，，所以重心為，即為，是點(diǎn)，符合題意；若，則設(shè)點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，所以可設(shè)，則，即，所以，解得，即，此時(shí)，，則重心為，即，又，即重心不在雙曲線上，不符合條件，綜上，，故答案為：2【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）雙曲線的離心率大于1；（2）對(duì)于等腰直角三角形，需討論哪兩條邊為腰。五、解答題

9．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)，為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，直線過(guò)右焦點(diǎn)且與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，為等腰直角三角形.（1）求雙曲線的離心率；（2）已知直線，分別交直線于兩點(diǎn)，當(dāng)直線的傾斜角變化時(shí)，以為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）2；（2）以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，.【分析】（1）由已知得，由此可求得雙曲線的離心率.（2）由（1）得雙曲線，設(shè)直線，，，與雙曲線的方程聯(lián)立，得出根與系數(shù)的關(guān)系，得到以為直徑的圓的方程，可得定點(diǎn).【詳解】（1）由軸時(shí)，為等腰直角三角形，可得，所以，即，故，結(jié)合，解得.故雙曲線的離心率為2.（2）因?yàn)?，所以雙曲線，顯然直線l的斜率不為0，設(shè)直線，，，聯(lián)立直線與雙曲線的方程得，化簡(jiǎn)得，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得，①所以，②，③設(shè)直線，直線，令，可得，設(shè)是以為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，則，則以為直徑的圓的方程為，由對(duì)稱(chēng)性可得，若存在定點(diǎn)，則一定在軸上，令，可得，即，

將①②③代入，可得，即，解得或，所以以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：(1)解答直線與雙曲線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系；(2)涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為或不存在等特殊情形．有時(shí)若直線過(guò)x軸上的一點(diǎn)，可將直線設(shè)成橫截式.10．（2021·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)雙曲線的方程為，、為其左?右兩個(gè)頂點(diǎn)，是雙曲線上的任意一點(diǎn)，引，，與交于點(diǎn).（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)（1）中所求軌跡為，、的離心率分別為、，當(dāng)時(shí)，的取值范圍.【答案】（1）（除點(diǎn)外）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意，設(shè)，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)得出、的坐標(biāo)，由，，由直線的斜率公式得出點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系式，從而得出點(diǎn)的軌跡方程；（2）由（1）得的方程為：，利用橢圓的幾何性質(zhì)求出，最后根據(jù)，即可求出的取值范圍.【詳解】解：（1）根據(jù)題意，設(shè)，

，由①②得：，，代入③得，即，即，經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)不合題意，因此Q點(diǎn)的軌跡方程為（除點(diǎn)外）.（2）由（1）得Q點(diǎn)的軌跡方程為（除點(diǎn)外），所以的方程為：，，，，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、直線垂直的條件、不等式的運(yùn)算，以及點(diǎn)的軌跡方程的求法，解題的關(guān)鍵在于求解點(diǎn)的軌跡方程，考查數(shù)形結(jié)合思想和數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力.題型五：漸近線綜合問(wèn)題

一、單選題1．（2022·安徽·安慶一中高三階段練習(xí)（文））已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的右焦點(diǎn)為，離心率，過(guò)的直線與的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為為直角三角形，，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)離心率可得漸近線方程以及漸近線的夾角，結(jié)合Rt△求．【詳解】雙曲線的離心率的漸近線方程為：，兩漸近線的夾角為，不妨設(shè)與直線垂直，垂足為，則．故選:B．2．（2022·山西呂梁·三模（文））已知雙曲線的離心率是它的一條漸近線斜率的2倍，則（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)列式可求出結(jié)果.

【詳解】由題意得,解得，即.故選：A.3．（2022·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)（文））若雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則該雙曲線的焦距為(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線漸近線的性質(zhì)即可求解．【詳解】斜率為，過(guò)點(diǎn)A的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則該直線與雙曲線的漸近線平行，且過(guò)雙曲線右頂點(diǎn)(a，0)，故=，且a-3=0，解得a=3，b=1，故c=，故焦距為2c=．故選：D．4．（2022·四川遂寧·模擬預(yù)測(cè)（文））設(shè)雙曲線C：（，）的左、右焦點(diǎn)是，，為原點(diǎn)，若以為直徑的圓與C的漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為P，且，則C的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】不妨設(shè)其中一條漸近線為，P在上，設(shè)的傾斜角為，由余弦定理求得，即可求得漸近線方程.【詳解】由題意可知，不妨設(shè)其中一條漸近線為，P在上，設(shè)的傾斜角為，則,故在中，，即，則，故，故C的漸近線方程為，

故選：A5．（2022·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得雙曲線的漸近線方程為，根據(jù)一條漸近線與直線垂直，求得，繼而求得，可得答案.【詳解】由題意知，雙曲線的漸近線方程為，因?yàn)殡p曲線的其中一條漸近線與直線垂直，故，而，故，故雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：B二、多選題6．（2022·福建南平·三模）已知雙曲線的方程為，，分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過(guò)且與x軸垂直的直線交雙曲線于M，N兩點(diǎn)，又，則（

）A．雙曲線的漸近線方程為B．雙曲線的頂點(diǎn)到兩漸近線距離的積的5倍等于焦點(diǎn)到漸近線距離的平方C．雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)?虛軸長(zhǎng)?焦距成等比數(shù)列D．雙曲線上存在點(diǎn)，滿足【答案】AB【分析】先由求得，即可求出漸近線判斷A選項(xiàng)，由點(diǎn)到直線的距離公式即可判斷B選項(xiàng)，由實(shí)軸長(zhǎng)?虛軸長(zhǎng)?焦距結(jié)合等比中項(xiàng)即可判斷C選項(xiàng)，由雙曲線定義結(jié)合的范圍即可判斷D選項(xiàng).【詳解】易知雙曲線的方程為，令得，故，解得，雙曲線的漸近線方程為，即，故A正確；

雙曲線的漸近線方程為，由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性，不妨取右頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)，則頂點(diǎn)到兩漸近線距離的積為，焦點(diǎn)到漸近線距離的平方為，又，，故，B正確；，，顯然，C錯(cuò)誤；若，又由雙曲線定義，解得，故不存在點(diǎn)，滿足，D錯(cuò)誤.故選：AB.7．（2022·湖南·一模）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F作C的一條漸近線的平行線交C于點(diǎn)A，交另一條漸近線于點(diǎn)B．若，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．雙曲線C的漸近線方程為 B．雙曲線C的離心率為C．點(diǎn)A到兩漸近線的距離的乘積為 D．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則【答案】BCD【分析】根據(jù)共線向量的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的漸近線方程、離心率公式逐一判斷即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，不妨設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線與直線平行，交于C于點(diǎn)A.對(duì)于A：設(shè)雙曲線半焦距為c，過(guò)點(diǎn)F與直線平行的直線的方程為，與聯(lián)立，解得，由，設(shè)，所以，可得，依題：，得，故漸近線方程為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由可得，B正確；對(duì)于C：A到兩漸近線距離的乘積，C正確

對(duì)于D：故，故，所以D正確．故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求出兩點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.8．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列雙曲線的漸近線方程為的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】的漸近線方程為：，的漸近線方程為：.【詳解】A選項(xiàng)，的漸近線方程為，A正確；B選項(xiàng)，的漸近線方程為：，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，的漸近線方程為：，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，的漸近線方程為：，D正確.故選：AD三、填空題9．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，分別是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的序號(hào)是___________.①；②若，則雙曲線C的離心率為；③若點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，與y軸交于M，，則；④若雙曲線C的離心率為，則兩條漸近線夾角余弦值為.【答案】②③④【分析】根據(jù)雙曲線的定義知，得到①錯(cuò)誤；由，求得離心率為，得到②正確；由

與y軸交于M，且，得到軸，將代入曲線，求得，得到③正確；設(shè)漸近線的傾斜角為，得到，結(jié)合，求得，進(jìn)而求得的值，得到④正確.【詳解】對(duì)于①中，根據(jù)雙曲線的定義知，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②中，若，則雙曲線C為等軸雙曲線，其離心率為，故②正確；對(duì)于③中，由與y軸交于M，且，所以M是的中點(diǎn)，所以軸，將代入，得，所以，故③正確；對(duì)于④，設(shè)漸近線的傾斜角為，則，所以，因?yàn)殡p曲線C的離心率為，所以，所以，根據(jù)漸近線的對(duì)稱(chēng)性得，漸近線的夾角的余弦值等于，故④正確.故說(shuō)法正確的序號(hào)是②③④.故答案為：②③④.四、解答題10．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的一條漸近線的方程為，且右焦點(diǎn)到的距離為1．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，傾斜角為的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，且為等邊三角形，求直線在軸上的截距．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)漸近線方程可確定的關(guān)系式，由到的距離為1，可求解的大小，結(jié)合雙曲線中，即可求解.（2）設(shè)直線截距式方程，與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求解兩交點(diǎn)縱坐標(biāo)之間的關(guān)系式，并求解線段中點(diǎn)坐標(biāo)，利用等邊三角形的性質(zhì)及點(diǎn)到直線的距離即可求解直線在軸上的截距.(1)解：設(shè)右焦點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為1，

所以，所以，由漸近線方程知，所以，又，所以，，所以，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(2)解：設(shè)直線，易知，與雙曲線方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)可得，由，得．設(shè)，，則，，所以，故的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)，易知，所以，解得，故．因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，所以，得，滿足，故直線在軸上的截距為．題型六：利用自變量范圍求離心率范圍一、單選題

1．（2022·山西太原·二模（理））已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)Q為雙曲線左支上一動(dòng)點(diǎn)，圓與y軸的一個(gè)交點(diǎn)為P，若，則雙曲線離心率的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將條件轉(zhuǎn)化為三角形兩邊之和大于第三邊，得到實(shí)半軸長(zhǎng)的取值范圍，進(jìn)而得到離心率的最大值.【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為,則，所以，由題意可得所以，，，所以.故選：A.2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線C：（，）的右焦點(diǎn)F（，0），點(diǎn)Q是雙曲線C的左支上一動(dòng)點(diǎn)，圓E：與y軸的一個(gè)交點(diǎn)為P，若，則雙曲線C的離心率的最大值為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用雙曲線的定義進(jìn)行焦半徑的轉(zhuǎn)化，由此求出的最小值即可求出a的范圍，再根據(jù)離心率計(jì)算公式可求離心率最大值.

【詳解】設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為，則，即，故．由題意可得，∵，∴，則雙曲線C的離心率．故選：A．3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（文））已知點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，直線，與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】不妨設(shè)在第一象限，根據(jù)，可設(shè).把點(diǎn)的坐標(biāo)