廈門市八年級上冊期末數(shù)學(xué)試卷

廈門市八年級上冊期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1、許多數(shù)學(xué)符號蘊(yùn)含著對稱美，在下列數(shù)學(xué)符號中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的符號是（

）A． B． C． D．2、2021年11月3日揭曉的2020年度國家自然科學(xué)獎，共評出了兩項(xiàng)一等獎，其中一項(xiàng)是“有序介孔高分子和碳材料的創(chuàng)制應(yīng)用”．有序介孔材料是上世紀(jì)90年代迅速興起的新型納米材料，孔徑在0.000000002米～0.000000005米范圍內(nèi)．?dāng)?shù)據(jù)0.000000005用科學(xué)記數(shù)法可表示為（

）A．5×10-9 B．5×10-8 C．5×10-7 D．0.5×10-73、下列計(jì)算錯(cuò)誤的是（

）A．a(chǎn)3·a-5=a-2 B．a(chǎn)5÷a-2=a7 C．(-2a2)3=-8a5 D．=14、若分式的值為0，則x的值是（

）A． B． C．3 D．25、下列各式從左到右的變形，是因式分解的是（

）A． B．C． D．6、下列各式從左到右的變形一定正確的是（

）A． B． C． D．7、如圖，點(diǎn)E，C，F(xiàn)，B在同一條直線上，ACDF，EC＝BF，則添加下列條件中的一個(gè)條件后，不一定能判定△ABC≌△DEF的是（）A．AC＝DF B．AB＝DE C．∠A＝∠D D．ABDE8、下列說法錯(cuò)誤的是（

）．A．“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”是真命題 B．中心對稱的兩個(gè)圖形中，連接對稱點(diǎn)的線段都被對稱中心平分C．用若干正六邊形能鑲嵌整個(gè)平面 D．解分式方程時(shí)，產(chǎn)生增根，則9、如圖，，D在邊上，，，則的度數(shù)為（

）A．35° B．40° C．50° D．65°二、填空題10、一個(gè)大正方形和四個(gè)全等的小正方形按圖①、②兩種方式擺放，則圖②的大正方形中未被小正方形覆蓋部分的面積是（）A．2ab B．a(chǎn)b C．a(chǎn)2﹣4b2 D．（a﹣2b）211、當(dāng)x_______時(shí)，分式的值為零．12、點(diǎn)(4，-6)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是_______．13、已知x為整數(shù)，且為正整數(shù)，則整數(shù)________．14、若3m＝6，3n＝2，則3m－n＝_________15、如圖，在銳角中，，邊上有一定點(diǎn)分別是和邊上的動點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，的度數(shù)是_________．16、若是一個(gè)完全平方式，則的值是___________．17、已知，則______．18、如圖，已知ABC中，AB＝AC＝16cm，∠B＝∠C，BC＝10cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，如果點(diǎn)P在線段BC上以1厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動．若當(dāng)BPD與CQP全等時(shí)，則點(diǎn)Q運(yùn)動速度可能為_____厘米/秒．三、解答題19、因式分解(1)x2y－4y(2)2x2－12x＋1820、解分式方程．21、如圖，點(diǎn)、、、在同一條直線上，，，．求證：（1）；（2）．22、閱讀材料，回答下列問題：【材料提出】“八字型”是數(shù)學(xué)幾何的常用模型，通常由一組對頂角所在的兩個(gè)三角形構(gòu)成．【探索研究】探索一：如圖1，在八字形中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為；探索二：如圖2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度數(shù)為；探索三：如圖3，CP、AG分別平分∠BCE、∠FAD，AG反向延長線交CP于點(diǎn)P，則∠P、∠B、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為．【模型應(yīng)用】應(yīng)用一：如圖4，在四邊形MNCB中，設(shè)∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四邊形的內(nèi)角∠MBC與外角∠NCD的角平分線BP，CP相交于點(diǎn)P．則∠A＝（用含有α和β的代數(shù)式表示），∠P＝．（用含有α和β的代數(shù)式表示）應(yīng)用二：如圖5，在四邊形MNCB中，設(shè)∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四邊形的內(nèi)角∠MBC與外角∠NCD的角平分線所在的直線相交于點(diǎn)P，∠P＝．（用含有α和β的代數(shù)式表示）【拓展延伸】拓展一：如圖6，若設(shè)∠C＝x，∠B＝y(tǒng)，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，試問∠P與∠C、∠B之間的數(shù)量關(guān)系為．（用x、y表示∠P）拓展二：如圖7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的鄰補(bǔ)角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的關(guān)系，直接寫出結(jié)論．23、某部隊(duì)工兵連接到搶修一段長3600米道路的任務(wù)，按原計(jì)劃完成總?cè)蝿?wù)的后，為了讓道路盡快投入使用，工兵連將工作效率提高了50%，一共用了9小時(shí)完成任務(wù)．(1)按原計(jì)劃完成總?cè)蝿?wù)的時(shí)，已搶修道路_____________米；(2)求原計(jì)劃每小時(shí)搶修道路多少米?24、已知一個(gè)三位自然數(shù)，若滿足百位數(shù)字等于十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和，則稱這個(gè)數(shù)為“好數(shù)”，若滿足百位數(shù)字等于十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的平方差，則稱這個(gè)數(shù)為“友數(shù)”．如果一個(gè)數(shù)既是“好數(shù)”，又是“友數(shù)”，則稱這個(gè)數(shù)為“好友數(shù)”．例如321，∵3＝2+1，∴321是“好數(shù)”，∵3＝22﹣12，∴321是“友數(shù)”，∴321是“好友數(shù)”．（1）最小的好友數(shù)是，最大的好友數(shù)是；（2）證明：任意“好友數(shù)”的十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大1；（3）已知m＝10b+3c+817（0≤b≤5，1≤c≤9，且b，c均為整數(shù)）是一個(gè)“好數(shù)”，請求出所有符合條件的m的值．25、在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB分別交x軸，y軸于A（a，0），B（0，b），且滿足a2+b2+4a﹣8b+20＝0．（1）求a，b的值；（2）點(diǎn)P在直線AB的右側(cè)；且∠APB＝45°，①若點(diǎn)P在x軸上（圖1），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為；②若△ABP為直角三角形，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．一、選擇題1、B【解析】B【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，圖形旋轉(zhuǎn)180°后與原圖重合．【詳解】解：A．是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；B．是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；C．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；D．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查中心對稱圖形和軸對稱圖形的知識，關(guān)鍵是掌握好中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．2、A【解析】A【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10-n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．【詳解】解：數(shù)據(jù)0.000000005用科學(xué)記數(shù)法表示為5×10-8、故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10-n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．3、C【解析】C【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法法則，冪的乘方運(yùn)算法則以及0次冪的含義即可進(jìn)行解答．【詳解】A：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；故A正確，不符合題意；B：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減；故B正確，不符合題意；C：(-2a2)3=-8a6，故C錯(cuò)誤，符合題意；D：任何非零數(shù)的零次冪都得1；故D正確，不符合題意；故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪的運(yùn)算，熟練地掌握同底數(shù)冪的乘除法運(yùn)算法則，積的乘方和冪的乘方的運(yùn)算法則以及0次冪的意義是解題的關(guān)鍵．4、C【解析】C【分析】根據(jù)分式有意義的條件及值為0的條件，即可求得【詳解】解：分式的值為0，解得故x的值是3，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了分式有意義的條件及值為0的條件，熟練掌握和運(yùn)用分式有意義的條件及值為0的條件是解決本題的關(guān)鍵．5、B【解析】B【分析】根據(jù)因式分解的定義判斷是否分解成幾個(gè)因式的乘積即可求解．【詳解】解：A、是整式的計(jì)算，故該選項(xiàng)不符合題意；B.，是因式分解，故正確；C、，含有加法，不是因式分解，故該選項(xiàng)不符合題意；

D、，含有分式，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查因式分解的識別，解題的關(guān)鍵是熟知因式分解的定義．6、D【解析】D【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)判斷即可，分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變．【詳解】解：A、，故A不符合題意．B、當(dāng)c=0時(shí)，，故B不符合題意．C、，故C不符合題意．D、，故D符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的基本性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．7、B【解析】B【分析】先證明∠ACB＝∠DFE，EF＝BC，然后根據(jù)全等三角形的判定方法對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵AC//DF，∴∠ACB＝∠DFE，∵EC＝BF，∴EC+CF＝BF+CF，即EF＝BC，∴當(dāng)添加AC＝DF時(shí)，可根據(jù)“SAS”判定△ABC≌△DEF；當(dāng)添加∠A＝∠D時(shí)，可根據(jù)“AAS”判定△ABC≌△DEF；當(dāng)添加AB∥DE時(shí)，∠B＝∠E，可根據(jù)“ASA”判定△ABC≌△DEF．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關(guān)鍵．選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．8、D【解析】D【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理可以判斷A，根據(jù)中心對稱的性質(zhì)可以判斷B，根據(jù)正多邊形鑲嵌的條件可以判斷C，根據(jù)分式方程產(chǎn)生增根的情況計(jì)算即可判斷D．【詳解】解：A選項(xiàng)，平行四邊形的一個(gè)判定定理是：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，是真命題，正確，符合題意；B選項(xiàng)，中心對稱的兩個(gè)圖形中，連接對稱點(diǎn)的線段都被對稱中心平分，正確，符合題意；C選項(xiàng)，正六邊形的每個(gè)內(nèi)角都是，，可以鑲嵌整個(gè)平面，正確，符合題意；D選項(xiàng)，原分式方程化為，因?yàn)榉质椒匠逃性龈?，故可將代入得，錯(cuò)誤，不符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了真命題和假命題的判斷、平行四邊形的判定定理、中心對稱的性質(zhì)、平面鑲嵌、分式方程，正確掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9、D【解析】D【分析】由可知，是△ADC的一個(gè)外角，已知與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角，即可求出的度數(shù)．【詳解】∵∴∵在△ADC中，，∴=30°+35°=65°故選：D【點(diǎn)睛】本題只要你考查了三角形的全等的性質(zhì)，掌握全等三角形對應(yīng)角相等以及三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和是解題的關(guān)鍵．二、填空題10、B【解析】B【分析】設(shè)小正方形的邊長為x，大正方形的邊長為y，列方程求解，用大正方形的面積減去4個(gè)小正方形的面積即可．【詳解】解：設(shè)小正方形的邊長為x，大正方形的邊長為y，則：，解得：，∴陰影面積=（）2﹣4×（）2＝ab．故選B【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，求得大正方形的邊長和小正方形的邊長是解題的關(guān)鍵．11、=3【分析】根據(jù)分母為0是分式無意義，分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零列式計(jì)算即可．【詳解】解：根據(jù)題意，∵分式的值為零，∴，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是分式為0的條件、分式有意義的條件，掌握分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零是解題的關(guān)鍵．12、（4，6）【分析】根據(jù)坐標(biāo)的對稱特征計(jì)算求值即可；【詳解】解：點(diǎn)（4，-6）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，6），故答案為：（4，6）【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)的對稱特征：關(guān)于x軸對稱時(shí)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對稱時(shí)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)．13、4或5##5或4【分析】根據(jù)異分母分式加減法計(jì)算得，利用x為整數(shù)，且為正整數(shù)，得到x-3=1或x-3=2，由此得到x的值．【詳解】解：===

=∵x為整數(shù)，且為正整數(shù)，∴x-3=1或x-3=2，∴x=4或5，故答案為4或4、【點(diǎn)睛】此題考查了異分母分式的加減法，正確掌握異分母分式加減法計(jì)算法則并結(jié)合題意得到x-3=1或x-3=2是解題的關(guān)鍵．14、3【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法運(yùn)算計(jì)算即可．【詳解】解：3m－n＝故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的除法，解題的關(guān)鍵是掌握同底數(shù)冪的除法法則．15、80°【分析】根據(jù)對稱的性質(zhì)，易求得∠C+∠EPF=180°，由∠ACB=50°，易求得∠D+∠G=50°，繼而求得答案；【詳解】∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=90°，【解析】80°【分析】根據(jù)對稱的性質(zhì)，易求得∠C+∠EPF=180°，由∠ACB=50°，易求得∠D+∠G=50°，繼而求得答案；【詳解】∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=90°，∴∠C+∠EPF=180°，∵∠C=50°，∵∠D+∠G+∠EPF=180°，∴∠D+∠G=50°，由對稱可知：∠G=∠GPN，∠D=∠DPM，L∴∠GPN+∠DPM=50°，∴∠MPN=130°-50°=80°，故答案為：80°．【點(diǎn)睛】此題考查了最短路徑問題以及線段垂直平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．16、±4【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可得到k的值．【詳解】解：∵是一個(gè)完全平方式，∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方式的應(yīng)用，兩數(shù)的平方和，再加上或減去他們乘積的倍，就構(gòu)成一個(gè)【解析】±4【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可得到k的值．【詳解】解：∵是一個(gè)完全平方式，∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方式的應(yīng)用，兩數(shù)的平方和，再加上或減去他們乘積的倍，就構(gòu)成一個(gè)完全平方式，熟練掌握完全平方公式的特點(diǎn)是解題關(guān)鍵．17、－1【分析】根據(jù)代入計(jì)算，繼而求得結(jié)果．【詳解】解：∵，，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式，理解是解題關(guān)鍵．【解析】－1【分析】根據(jù)代入計(jì)算，繼而求得結(jié)果．【詳解】解：∵，，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式，理解是解題關(guān)鍵．18、1或1.6【分析】根據(jù)，推出當(dāng)BPD與CQP全等時(shí)，存在兩種情況，①②，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為秒，點(diǎn)的運(yùn)動速度為厘米/秒，則cm，cm，cm，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵【解析】1或1.6【分析】根據(jù)，推出當(dāng)BPD與CQP全等時(shí)，存在兩種情況，①②，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為秒，點(diǎn)的運(yùn)動速度為厘米/秒，則cm，cm，cm，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵∴當(dāng)BPD與CQP全等時(shí)，存在兩種情況，①②設(shè)運(yùn)動時(shí)間為秒，點(diǎn)的運(yùn)動速度為厘米/秒，則cm，cm，cm∵點(diǎn)是中點(diǎn)，cm∴cm當(dāng)時(shí)，∴，解得：當(dāng)時(shí)，、∴，解得：綜上所述：點(diǎn)Q運(yùn)動速度可能為1厘米/秒或厘米/秒．故答案為：1或．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，根據(jù)對應(yīng)角相等分情況討論是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題19、(1)(2)【分析】利用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解即可.(1)解：原式=（x2－4）y=(2)解：原式=2（x2－6x＋9）=【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解，熟練地掌握提公因式法，【解析】(1)(2)【分析】利用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解即可.(1)解：原式=（x2－4）y=(2)解：原式=2（x2－6x＋9）=【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解，熟練地掌握提公因式法，公式法，和分組分解法是解題的關(guān)鍵.20、原方程無解【詳解】試題分析：觀察可得最簡公分母是（x﹣2），方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解：方程的兩邊同乘（x﹣2），得1﹣x=﹣1+x﹣2，解得x=1、檢驗(yàn)：【解析】原方程無解【詳解】試題分析：觀察可得最簡公分母是（x﹣2），方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解：方程的兩邊同乘（x﹣2），得1﹣x=﹣1+x﹣2，解得x=1、檢驗(yàn)：把x=2代入（x﹣2）=0，x=2是原方程的增根，∴原方程無解．21、（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）由平行得出，根據(jù)SAS即可證明；（2）利用全等三角形的性質(zhì)即可證明；【詳解】證明：（1）∵，∴，∵，∴，即，在和中，，∴.（2）∵，∴【解析】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）由平行得出，根據(jù)SAS即可證明；（2）利用全等三角形的性質(zhì)即可證明；【詳解】證明：（1）∵，∴，∵，∴，即，在和中，，∴.（2）∵，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用全等三角形的判定和性質(zhì)定理進(jìn)行證明推理．22、∠A+∠B＝∠C+∠D；25°；∠P＝；α+β﹣180°，∠P＝；；∠P＝；2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．【分析】探索一：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，結(jié)合對頂角的性質(zhì)可求解；探索二：根據(jù)角平分線【解析】∠A+∠B＝∠C+∠D；25°；∠P＝；α+β﹣180°，∠P＝；；∠P＝；2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．【分析】探索一：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，結(jié)合對頂角的性質(zhì)可求解；探索二：根據(jù)角平分線的定義可得∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，結(jié)合（1）的結(jié)論可得2∠P＝∠B+∠D，再代入計(jì)算可求解；探索三：運(yùn)用探索一和探索二的結(jié)論即可求得答案；應(yīng)用一：如圖4，延長BM、CN，交于點(diǎn)A，利用三角形內(nèi)角和定理可得∠A＝α+β﹣180°，再運(yùn)用角平分線定義及三角形外角性質(zhì)即可求得答案；應(yīng)用二：如圖5，延長MB、NC，交于點(diǎn)A，設(shè)T是CB的延長線上一點(diǎn)，R是BC延長線上一點(diǎn)，利用應(yīng)用一的結(jié)論即可求得答案；拓展一：運(yùn)用探索一的結(jié)論可得：∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝∠C+∠CAB，再結(jié)合已知條件即可求得答案；拓展二：運(yùn)用探索一的結(jié)論及角平分線定義即可求得答案．【詳解】解：探索一：如圖1，∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D，故答案為∠A+∠B＝∠C+∠D；探索二：如圖2，∵AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，由（1）可得：∠1+∠B＝∠3+∠P，∠2+∠P＝∠4+∠D，∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，即2∠P＝∠B+∠D，∵∠B＝36°，∠D＝14°，∴∠P＝25°，故答案為25°；探索三：由①∠D+2∠1＝∠B+2∠3，由②2∠B+2∠3＝2∠P+2∠1，①+②得：∠D+2∠B+2∠1+2∠3＝∠B+2∠3+2∠P+2∠1∠D+2∠B＝2∠P+∠B．∴∠P＝．故答案為：∠P＝．應(yīng)用一：如圖4，延長BM、CN，交于點(diǎn)A，∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，∴∠AMN＝180°﹣α，∠ANM＝180°﹣β，∴∠A＝180°﹣（∠AMN+∠ANM）＝180°﹣（180°﹣α+180°﹣β）＝α+β﹣180°；∵BP、CP分別平分∠ABC、∠ACB，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，∵∠PCD＝∠P+∠PBC，∴∠P＝∠PCD﹣∠PBC＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A＝，故答案為：α+β﹣180°，；應(yīng)用二：如圖5，延長MB、NC，交于點(diǎn)A，設(shè)T是CB的延長線上一點(diǎn)，R是BC延長線上一點(diǎn)，∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，∴∠A＝180°﹣α﹣β，∵BP平分∠MBC，CP平分∠NCR，∴BP平分∠ABT，CP平分∠ACB，由應(yīng)用一得：∠P＝∠A＝，故答案為：；拓展一：如圖6，由探索一可得：∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝∠C+∠CAB，∵∠C＝x，∠B＝y(tǒng)，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，∴∠CDB﹣∠CAB＝∠C﹣∠B＝x﹣y，∠PAB＝∠CAB，∠PDB＝∠CDB，∴∠P+∠CAB＝∠B+∠CDB，∠P+∠CDB＝∠C+∠CAB，∴2∠P＝∠C+∠B+（∠CDB﹣∠CAB）＝x+y+（x﹣y）＝，∴∠P＝，故答案為：∠P＝；拓展二：如圖7，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的鄰補(bǔ)角∠BCE，∴∠PAD＝∠BAD，∠PCD＝90°+∠BCD，由探索一得：①∠B+∠BAD＝∠D+∠BCD，②∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，②×2，得：③2∠P+∠BAD＝2∠D+180°+∠BCD，③﹣①，得：2∠P﹣∠B＝∠D+180°，∴2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°，故答案為：2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．【點(diǎn)睛】本題是探究性題目，考查了三角形的相關(guān)計(jì)算、三角形內(nèi)角和定理、角平分線性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等，此類題目遵循題目順序，結(jié)合相關(guān)性質(zhì)和定理，逐步證明求解即可．23、(1)900(2)原計(jì)劃每小時(shí)搶修道路300米【分析】（1）按原計(jì)劃完成總?cè)蝿?wù)的時(shí)，列式計(jì)算即可；（2）設(shè)原計(jì)劃每天修道路x米．根據(jù)原計(jì)劃工作效率用的時(shí)間+實(shí)際工作效率用的時(shí)間=9，等量關(guān)系列【解析】(1)900(2)原計(jì)劃每小時(shí)搶修道路300米【分析】（1）按原計(jì)劃完成總?cè)蝿?wù)的時(shí)，列式計(jì)算即可；（2）設(shè)原計(jì)劃每天修道路x米．根據(jù)原計(jì)劃工作效率用的時(shí)間+實(shí)際工作效率用的時(shí)間=9，等量關(guān)系列出方程．（1）解：（1）按原計(jì)劃完成總?cè)蝿?wù)的時(shí)，已搶修道路為（米），答：按原計(jì)劃完成總?cè)蝿?wù)的時(shí)，已修建道路900米；故答案為：900；（2）解：設(shè)原計(jì)劃每小時(shí)搶修道路米，根據(jù)題意得：，解得：．經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解．答：原計(jì)劃每小時(shí)搶修道路300米．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用．分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．本題應(yīng)用的等量關(guān)系為：工作時(shí)間=工作總量÷工作效率．24、（1）；（2）見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)好友數(shù)的定義，以及最小，最大的個(gè)位數(shù)即可求得；（2）根據(jù)好友數(shù)的定義，設(shè)好友數(shù)的百位數(shù)字為，十位數(shù)字為，個(gè)位數(shù)字為，根據(jù)好友數(shù)的定義，進(jìn)行計(jì)算即可得【解析】（1）；（2）見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)好友數(shù)的定義，以及最小，最大的個(gè)位數(shù)即可求得；（2）根據(jù)好友數(shù)的定義，設(shè)好友數(shù)的百位數(shù)字為，十位數(shù)字為，個(gè)位數(shù)字為，根據(jù)好友數(shù)的定義，進(jìn)行計(jì)算即可得證；（3）首先確定的百位數(shù)，再三種情況討論當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，根據(jù)的范圍以及整數(shù)解，解二元一次方程即可．【詳解】（1）百位數(shù)字最小為1，，最小的好友數(shù)是：110;百位數(shù)字最大為9，，最大的好友數(shù)是：954；故答案為：110,954；（2）設(shè)好友數(shù)的百位數(shù)字為，十位數(shù)字為，個(gè)位數(shù)字為，，，即，任意“好友數(shù)”的十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大1；（3），且是整數(shù)，百位數(shù)字是8，，是整數(shù)，當(dāng)時(shí)，的十位數(shù)字是，個(gè)位數(shù)字是，是一個(gè)“好數(shù)”，，即，或者，或，或者，當(dāng)時(shí)，的十位數(shù)字是，個(gè)