高數(shù)微積分極值與最值

節(jié)多元函數(shù)的極值與最值2021/5/91實(shí)例：某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每瓶進(jìn)價(jià)1元，外地牌子每瓶進(jìn)價(jià)1.2元，店主估計(jì)，如果本地牌子的每瓶賣元，外地牌子的每瓶賣元，則每天可賣出瓶本地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁問：店主每天以什么價(jià)格賣兩種牌子的果汁可取得最大收益？每天的收益為求最大收益即為求二元函數(shù)的最大值.一、問題的提出2021/5/92二、多元函數(shù)的極值2021/5/931、二元函數(shù)極值的定義2021/5/94例1例２例３2021/5/952、多元函數(shù)取得極值的條件證:2021/5/96仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的駐點(diǎn).駐點(diǎn)極值點(diǎn)(具有偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù))注意：2021/5/97偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)

也可能是函數(shù)的極值點(diǎn)。

例如：不存在。也不存在，所以，與一元類似要想研究極值需找出所有駐點(diǎn)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。溫馨提示：但是極大值點(diǎn)。問題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？2021/5/982021/5/99

對(duì)這一定理不作證明,僅介紹它的記憶之法:2021/5/910解2021/5/9112021/5/9122021/5/913實(shí)例：小王有200元錢，他決定用來(lái)購(gòu)買兩種急需物品：計(jì)算機(jī)磁盤和錄音磁帶，設(shè)他購(gòu)買張磁盤，盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果，效果函數(shù)為．設(shè)每張磁盤8元，每盒磁帶10元，問他如何分配這200元以達(dá)到最佳效果．問題的實(shí)質(zhì)：求在條件下的極值點(diǎn)．三、條件極值、拉格朗日乘數(shù)法2021/5/914條件極值：對(duì)自變量有附加條件的極值．解決辦法：（1）化為無(wú)條件極值（用代入法）（2）直接求極值。（拉格朗日乘數(shù)法）無(wú)條件極值：對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)以外，并無(wú)其他條件.2021/5/915一些較簡(jiǎn)單的條件極值問題可以把它轉(zhuǎn)化為無(wú)條件極值來(lái)求解——降元法，但這種方法需要經(jīng)過(guò)解方程和代入的手續(xù)，對(duì)于較復(fù)雜的方程就不容易作到，有時(shí)甚至是不可能的解決條件極值問題的一般方法是Lagrange乘數(shù)法——升元法求z=f(x,y)其幾何意義是其中點(diǎn)(x,y)在曲線L上2021/5/916假定點(diǎn)P(x0,y0)為條件極值點(diǎn)在(x0,y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)且不同時(shí)為0f(x,y)可微確定了一個(gè)隱函數(shù)y=y(x)故z=f[x,y(x)]在P(x0,y0)處取得極值故即又由隱函數(shù)的微分法知2021/5/917代入上式令得P

(x0,y0)為條件極值點(diǎn)的必要條件為2021/5/9182021/5/919xyzoz=f(x,y)LM無(wú)條件極值點(diǎn).P條件極值點(diǎn).2021/5/9202021/5/921例5求內(nèi)接于橢球的最大長(zhǎng)方體的體積,長(zhǎng)方體的各面平行于坐標(biāo)面解一設(shè)內(nèi)接于橢球且各面平行于坐標(biāo)面的長(zhǎng)方體在第一卦限的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y,z)則長(zhǎng)方體的體積為V=8xyz令2021/5/922解得或兩式相除同理即代入解得三式分別乘以x,y,z后相加得2021/5/923解二任意固定z0(0<z0<c)先在所有高為2z0的長(zhǎng)方體中求體積最大者因?yàn)楦呤枪潭ǖ?，故?dāng)?shù)酌娣e最大時(shí)體積最大今上底面為內(nèi)接于橢圓邊平行于x,y軸的長(zhǎng)方形當(dāng)長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)分別為（一元函數(shù)極值問題）2021/5/924長(zhǎng)方形面積最大得到高為2z0的長(zhǎng)方體中最大體積為V(z0)

最大這時(shí)長(zhǎng)方體在第一卦限的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為解三作變換問題變成在下求XYZ的最大值易知為立方體2021/5/925解四即求的最大值而此三個(gè)正數(shù)的和一定（=1）當(dāng)積最大2021/5/926將給定的正數(shù)m分成三個(gè)非負(fù)數(shù)x,y,z之和其中a,b,c為給定的正數(shù)例6解令D為平面x+y+z=m在第一卦限的部分由于在D的邊界上，總有u=0而在D內(nèi)有u>0且u在D上連續(xù)，故必存在最大值，且一定在D內(nèi)取得另一方面由于u和lnu在D內(nèi)有相同的極值點(diǎn)故問題轉(zhuǎn)化為求lnu在條件x+y+z=m下的極值。2021/5/927令則與x+y+z=m聯(lián)立解得2021/5/928注:拉格朗日函數(shù)分別對(duì)各自變量及拉格朗日乘數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零。2021/5/929有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)求最值的一般方法：

將函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來(lái)求函數(shù)的最大值和最小值.四、多元函數(shù)的最值、2021/5/930求最值步驟：1、求D內(nèi)駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)。2、求邊界上的條件極值點(diǎn)（用代入法或拉格朗日乘數(shù)法）3、求邊界的邊界上的最值疑點(diǎn)。4、計(jì)算這些點(diǎn)的函數(shù)值，比較大小，最大的為最大值，最小的為最小值。2021/5/931解如圖,2021/5/9322021/5/933解由2021/5/9342021/5/9352021/5/936注：要求函數(shù)在D上的最大值和最小值往往相當(dāng)復(fù)雜，在通常遇到的實(shí)際問題中，如果根據(jù)問題的性質(zhì)，可以判斷出該函數(shù)的最值一定在D的內(nèi)部取得，而函數(shù)在D內(nèi)又只有一個(gè)駐點(diǎn)，可判定該點(diǎn)即為所求最值點(diǎn)。2021/5/937解則2021/5/938解2021/5/9392021/5/9402021/5/941可得即2021/5/942多元函數(shù)的極值拉格朗日乘數(shù)法（取得極值的必要條件、充分條件）多元函數(shù)的最值小結(jié)2021/5/943思考題2021/5/944思考題解答2021/5/945選擇題已知函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0,0)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù),則(A)點(diǎn)(0,0)不是f(x,y)的極值點(diǎn).(B)點(diǎn)(0,0)是f(x,y)的極大值點(diǎn).(C)點(diǎn)(0,0)是f(x,y)的極小值點(diǎn).(D)根據(jù)所給條件無(wú)法判斷點(diǎn)(0,0)是否為f(x,y)的極值點(diǎn).練習(xí)：2021/5/946在（0，0）的任何鄰域內(nèi)都有大于0和小于0的點(diǎn)，所以不是極值點(diǎn)2021/5/947解(1)求函數(shù)在D內(nèi)的駐點(diǎn)由于所以函數(shù)在D內(nèi)無(wú)極值.(2)求函數(shù)在D邊界上的最值(現(xiàn)最值只能在邊界上)圍成的三角形閉域D上的最大(小)值.例D2021/5/948＊在邊界線＊在邊界線由于最小,由于又在端點(diǎn)(1,0)處,所以,最大.有駐點(diǎn)

函數(shù)值有單調(diào)上升.D2021/5/949＊在邊界線所以,最值在端點(diǎn)處.由于函數(shù)單調(diào)下降,(3)比較D2021/5/950解此時(shí)的最大值與最小值.駐點(diǎn)得（一元函數(shù)求最值要考慮端點(diǎn)。）例：2021/5/951解例已知長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高的和為18,問長(zhǎng)、寬、高各取什么值時(shí)長(zhǎng)方體的體積最大？設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為由題意長(zhǎng)方體的體積為且長(zhǎng)方體體積一定有最大值,體體積最大.故當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)、寬、高都為6時(shí)長(zhǎng)方由于V在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn),2021/5/952解為簡(jiǎn)化計(jì)算,令是曲面上的點(diǎn),它與已知點(diǎn)的距離為問題化為在下求的最小值.目標(biāo)函數(shù)約束條件例：2021/5/953設(shè)(1)(2)(3)(4)2021/5/954由于問題確實(shí)存在最小值，故得唯一駐點(diǎn)還有別的簡(jiǎn)單方法嗎?用幾何法!2021/5/955解為此作拉格朗日乘函數(shù):上的最大值與最小值.在圓內(nèi)的可能的極值點(diǎn);在圓上的最大、最小值.2021/5/956最大值為最小值為2021/5/957設(shè)有一小山,取它的底面所在的平面為xOy坐標(biāo)面,其底部所占的區(qū)域?yàn)樾∩降母叨群瘮?shù)為(1)設(shè)M(x0,y0)為區(qū)域D上一點(diǎn),問h(x,y)在該點(diǎn)沿平面上什么方向的方向?qū)?shù)最大?若記此方向?qū)?shù)的最大值為g(x0,y0),試寫出g(x0,y0)的表達(dá)式.(2)現(xiàn)欲利用此小山開展攀巖活動(dòng),為此需要在山腳尋找一上山坡度最大的點(diǎn)作為攀登的起點(diǎn).是說(shuō),要在D的邊界線上找出使(1)中的g(x,y)達(dá)到最大值的點(diǎn).試確