虛擬激勵(lì)法在汽車振動(dòng)分析中的應(yīng)用

虛擬激勵(lì)法在汽車振動(dòng)分析中的應(yīng)用

由于車輛在路面上行駛，由于路面的高度和深度是隨機(jī)的，因此車輛的行駛也是隨機(jī)的。這種隨機(jī)噪聲直接影響到車輛的行駛平整度。而汽車行駛平順性又是汽車主要使用性能之一,因此,汽車隨機(jī)振動(dòng)對(duì)汽車行駛平順性的研究至關(guān)重要。以往的研究,是應(yīng)用傅里葉分析方法研究汽車行駛平順性。雖然這種方法已經(jīng)發(fā)展得比較成熟,但存在著推導(dǎo)過(guò)于復(fù)雜的問(wèn)題,既要推導(dǎo)汽車振動(dòng)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性,又要推導(dǎo)汽車振動(dòng)響應(yīng)量的頻率響應(yīng)特性。虛擬激勵(lì)法是由我國(guó)學(xué)者提出的用于分析結(jié)構(gòu)系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)的新方法,是具有理論研究與工程應(yīng)用前景的創(chuàng)新性成果。本文從工程應(yīng)用角度出發(fā),對(duì)虛擬激勵(lì)法進(jìn)行研究與論述,基于1/2汽車四自由度系統(tǒng)振動(dòng)模型,應(yīng)用虛擬激勵(lì)法對(duì)汽車行駛平順性進(jìn)行研究。1虛擬激勵(lì)法的基本理論1.1常系數(shù)線性系統(tǒng)頻率響應(yīng)特性的確定對(duì)于線性系統(tǒng),頻率響應(yīng)特性是表征系統(tǒng)在頻域的動(dòng)態(tài)特性的函數(shù),決定了系統(tǒng)響應(yīng)(輸出)與激勵(lì)(輸入)之間的關(guān)系,是頻率的函數(shù)。在零初始條件下,對(duì)常系數(shù)線性系統(tǒng),頻率響應(yīng)特性是響應(yīng)和激勵(lì)的復(fù)數(shù)之比,即Η(f)=Yf(t)Xf(t)(1)H(f)=Yf(t)Xf(t)(1)式中:H(f)為頻率響應(yīng)特性;f為頻率;Yf(t)為響應(yīng)y(t)的復(fù)數(shù)表示或傅里葉變換;Xf(t)為激勵(lì)x(t)的復(fù)數(shù)表示或傅里葉變換。1.2虛擬激勵(lì)和虛擬響應(yīng)對(duì)于受到平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)的線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng),如果平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)x(t)的自功率譜密度Sx(f)已知,則可以構(gòu)造如下形式的虛擬激勵(lì)?x(t)x?(t)?x(t)=√Sx(f)ej2πft(2)x?(t)=Sx(f)?????√ej2πft(2)式中:j為虛數(shù)單位。由式(1),可得與虛擬激勵(lì)對(duì)應(yīng)的虛擬響應(yīng)?y(t)y?(t)?y(t)=Η(f)?x(t)=Η(f)√Sx(f)ej2πft(3)y?(t)=H(f)x?(t)=H(f)Sx(f)?????√ej2πft(3)由于結(jié)構(gòu)系統(tǒng)受到的實(shí)際激勵(lì)和響應(yīng)是x(t)和y(t),因此,將式(2)和式(3)表示的激勵(lì)和響應(yīng),稱為虛擬激勵(lì)和虛擬響應(yīng)。在構(gòu)造虛擬激勵(lì)和獲得虛擬響應(yīng)的基礎(chǔ)上,由兩者求解實(shí)際響應(yīng)自功率譜密度、實(shí)際激勵(lì)與實(shí)際響應(yīng)互功率譜密度的基本公式是Sy(f)=?y(t)*?y(t)(4)Syx(f)=?y(t)*?x(t)(5)Sxy(f)=?x(t)*?y(t)(6)Sy(f)=y?(t)?y?(t)(4)Syx(f)=y?(t)?x?(t)(5)Sxy(f)=x?(t)?y?(t)(6)式中:Sy(f)為實(shí)際響應(yīng)的自功率譜密度;Syx(f)為實(shí)際響應(yīng)與實(shí)際激勵(lì)的互功率譜密度;Sxy(f)為實(shí)際激勵(lì)與實(shí)際響應(yīng)的互功率譜密度;?x(t)*x?(t)?、?y(t)*y?(t)?為?x(t)x?(t)、?y(t)y?(t)的共軛函數(shù)。1.3平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)的虛擬激勵(lì)法將式(2)和式(3)代入式(4)~式(6),得到的最后結(jié)果就是傳統(tǒng)的單點(diǎn)激勵(lì)和單點(diǎn)響應(yīng)的功率譜密度公式,說(shuō)明了式(2)~式(6)的正確性。但是,式(4)~式(6)的左邊,是實(shí)際(真實(shí))響應(yīng)的自功率譜密度和實(shí)際(真實(shí))響應(yīng)與實(shí)際(真實(shí))激勵(lì)對(duì)應(yīng)的互功率譜密度;右邊卻不是系統(tǒng)實(shí)際響應(yīng)和實(shí)際激勵(lì),而是實(shí)際響應(yīng)和實(shí)際激勵(lì)的虛擬表達(dá)形式,而且這種形式不受實(shí)際響應(yīng)和實(shí)際激勵(lì)的真實(shí)表達(dá)式的影響與約束。因此,式(4)~式(6)最重要的意義是,只要知道實(shí)際激勵(lì)的功率譜密度,不管實(shí)際激勵(lì)和實(shí)際響應(yīng)的表示形式如何以及如何復(fù)雜,都可以由虛擬激勵(lì)和虛擬響應(yīng)得到與實(shí)際響應(yīng)和實(shí)際激勵(lì)對(duì)應(yīng)的功率譜密度。這種通過(guò)虛擬激勵(lì)獲得虛擬響應(yīng),求取實(shí)際響應(yīng)的自功率譜密度、實(shí)際激勵(lì)與實(shí)際響應(yīng)互功率譜密度的方法,稱為平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)的虛擬激勵(lì)法,簡(jiǎn)稱為虛擬激勵(lì)法。(1)式(4)~式(6)是虛擬激勵(lì)法規(guī)定的基本公式,不是通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)得到的公式。(2)可以將虛擬激勵(lì)既作為虛擬激勵(lì)也作為虛擬響應(yīng)代入式(4)~式(6),得到的就是實(shí)際激勵(lì)的自功率譜密度。(3)應(yīng)將式(4)~式(6)中的?y(t)y?(t)作為一個(gè)廣義的響應(yīng),獨(dú)立的響應(yīng)、與激勵(lì)和響應(yīng)有關(guān)的各種非獨(dú)立的響應(yīng),都可以按照式(4)~式(6)得到響應(yīng)的各種功率譜關(guān)系。(4)如果激勵(lì)為多點(diǎn)激勵(lì),響應(yīng)為多點(diǎn)響應(yīng),則式(1)~式(6)是通過(guò)矩陣形式表示的,而且,激勵(lì)分量與響應(yīng)分量也分別滿足式(1)~式(6)。(5)雖然虛擬激勵(lì)是通過(guò)自功率譜密度還原為時(shí)域激勵(lì),但在求取實(shí)際響應(yīng)的自功率譜密度、實(shí)際激勵(lì)與實(shí)際響應(yīng)的互功率譜密度時(shí),又再一次還原為譜密度特性,還是只保存了幅值信息,不保存相位信息。因此,激勵(lì)的自功率譜密度是與實(shí)際激勵(lì)對(duì)應(yīng)的,求得的實(shí)際響應(yīng)的自功率譜密度、實(shí)際激勵(lì)與實(shí)際響應(yīng)的互功率譜密度也是與實(shí)際激勵(lì)的自功率譜密度對(duì)應(yīng)的,不會(huì)帶來(lái)簡(jiǎn)化的問(wèn)題。2虛擬路面和虛擬路面的高度2.1路面不清晰度的計(jì)算路面激勵(lì)q(t)是路面對(duì)汽車振動(dòng)系統(tǒng)的輸入,是時(shí)間的函數(shù),它既考慮了路面不平度的自然狀態(tài),也考慮了汽車的速度特性。設(shè)時(shí)間頻率f內(nèi)的路面激勵(lì)的位移譜密度為Gq(f),汽車行駛速度為u,路面不平度空間頻率譜密度為Gq(n),則有Gq(f)=1uGq(n)(7)Gq(f)=1uGq(n)(7)Gq(n)=Gq(n0)(nn0)-W(8)Gq(n)=Gq(n0)(nn0)?W(8)式中:n為空間頻率;n0=0.1m-1為參考空間頻率;Gq(n0)為參考空間頻率n0下的路面不平度系數(shù);W為頻率指數(shù)。國(guó)際和國(guó)內(nèi)標(biāo)準(zhǔn)按路面功率譜密度把路面不平度分為8級(jí),給出了各級(jí)路面不平度系數(shù)Gq(n0)的范圍及其幾何平均值,而且規(guī)定分級(jí)路面譜的頻率指數(shù)W=2。2.2時(shí)滯關(guān)系分析由式(2),可以構(gòu)造出與路面激勵(lì)q(t)對(duì)應(yīng)的虛擬路面激勵(lì)?q(t)q?(t)?q(t)=√Gq(f)ej2πft(9)q?(t)=Gq(f)?????√ej2πft(9)在假設(shè)汽車結(jié)構(gòu)左右對(duì)稱和左右路面輪廓相同的前提下,可以將路面激勵(lì)簡(jiǎn)化為只作用在汽車的前輪和后輪。進(jìn)一步假設(shè)前輪與后輪路面激勵(lì)的統(tǒng)計(jì)特性相同,且前輪與后輪輪跡完全重合,則前輪與后輪的路面激勵(lì)q1(t)和q2(t)存在一定的時(shí)滯關(guān)系,即q2(t)=q1(t-τ),τ=l/u(10)q2(t)=q1(t?τ),τ=l/u(10)式中:u為車速,m/s;l為前輪與后輪之間的距離,m。由式(9)可知,前輪路面激勵(lì)q1(t)對(duì)應(yīng)的虛擬路面激勵(lì)?q1(t)q?1(t)可以表示為?q1(t)=√Gq(f)ej2πft=?q(t)(11)q?1(t)=Gq(f)?????√ej2πft=q?(t)(11)由式(10)可知,后輪路面激勵(lì)q2(t)對(duì)應(yīng)的虛擬路面激勵(lì)?q2(t)q?2(t)可以表示為?q2(t)=?q1(t-τ)=√Gq(f)ej2πf(t-τ)=e-j2πfτ?q(t)(12)q?2(t)=q?1(t?τ)=Gq(f)?????√ej2πf(t?τ)=e?j2πfτq?(t)(12)式(11)和式(12)可以表示成矩陣形式,即{?q(t)}={?q1(t)?q2(t)}={1e-j2πfτ}?q(t)={Ηq(f)}?q(t)(13){q?(t)}={q?1(t)q?2(t)}={1e?j2πfτ}q?(t)={Hq(f)}q?(t)(13)因此,當(dāng)路面通過(guò)前輪和后輪對(duì)汽車產(chǎn)生激勵(lì)時(shí),可以簡(jiǎn)化為輸入為?q(t)q?(t),輸出為{?q(t)}{q?(t)}的線性系統(tǒng),其頻率響應(yīng)特性為{Hq(f)},這樣,就將兩個(gè)激勵(lì)作用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為廣義單點(diǎn)激勵(lì)問(wèn)題,使問(wèn)題的處理得到簡(jiǎn)化。3虛擬激勵(lì)法適用于1.2車輛四交叉系統(tǒng)的振動(dòng)分析3.1求解參數(shù)2.[c],求解z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,kf,z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,k1/kf1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c11/2汽車四自由度系統(tǒng),考慮了車身的俯仰和垂向運(yùn)動(dòng)及前后軸的垂向跳動(dòng),反映了汽車的基本行駛特性。因此,本文選取其作為研究對(duì)象,介紹虛擬激勵(lì)法在汽車振動(dòng)分析中的應(yīng)用。1/2汽車四自由度系統(tǒng)力學(xué)模型如圖1所示,圖中各符號(hào)的意義見(jiàn)表1。對(duì)圖1所示的力學(xué)模型,應(yīng)用拉格朗日方程,可以得到系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,即[m]{??z(t)}+[c]{˙z(t)}+[k]{z(t)}={f(t)}(14){f(t)}={kf}{q(t)}(15)[m]{z??(t)}+[c]{z˙(t)}+[k]{z(t)}={f(t)}(14){f(t)}={kf}{q(t)}(15)式中:{z(t)}={z1(t),z2(t),z3(t),z4(t)}Τ{q(t)}={q1(t),q2(t)}Τ[m]=[m1m200m3m4][c]=[c1+c2-ac1+bc2-c1-c2-ac1+bc2a2c1+b2c2ac1-bc2-c1ac1c10-c2-bc20c2]{z(t)}={z1(t),z2(t),z3(t),z4(t)}T{q(t)}={q1(t),q2(t)}T[m]=??????m1m200m3m4??????[c]=??????c1+c2?ac1+bc2?c1?c2?ac1+bc2a2c1+b2c2ac1?bc2?c1ac1c10?c2?bc20c2??????[k]=[k1+k2-ak1+bk2-k1-k2-ak1+bk2a2k1+b2k2ak1-bk2-k1ak1k1+ktf0-k2-bk20k2+ktr][k]=??????k1+k2?ak1+bk2?k1?k2?ak1+bk2a2k1+b2k2ak1?bk2?k1ak1k1+ktf0?k2?bk20k2+ktr??????[kf]=[00ktf0000ktr]Τ[kf]=[0000ktf00ktr]T3.2單次運(yùn)行狀態(tài)對(duì)于多自由度系統(tǒng),其頻率響應(yīng)特性是響應(yīng)向量和激勵(lì)向量的復(fù)數(shù)之比。對(duì)于1/2汽車四自由度系統(tǒng),設(shè)其頻率響應(yīng)特性為[H(f)],則虛擬響應(yīng)與虛擬激勵(lì)的關(guān)系可以表示為{?z(t)}=[Η(f)]{?q(t)}(16){z?(t)}=[H(f)]{q?(t)}(16)將式(13)代入式(16)得{?z(t)}=[Η(f)]{Ηq(f)}?q(t)={hq(f)}?q(t)(17){hq(f)}=[Η(f)]{Ηq(f)}(18){z?(t)}=[H(f)]{Hq(f)}q?(t)={hq(f)}q?(t)(17){hq(f)}=[H(f)]{Hq(f)}(18)式(16)和式(17)分別說(shuō)明,1/2汽車四自由度系統(tǒng),屬于兩點(diǎn)激勵(lì)與四點(diǎn)響應(yīng)的振動(dòng)問(wèn)題,但最終可以轉(zhuǎn)化為單點(diǎn)激勵(lì)與四點(diǎn)響應(yīng)振動(dòng)問(wèn)題,轉(zhuǎn)化后的系統(tǒng)頻率響應(yīng)特性為{hq(f)}。對(duì)式(17)求導(dǎo)兩次得{˙?z(t)}={hq(f)}˙?q(t)=(j2πf){hq(f)}?q(t)(19){???z(t)}={hq(f)}???q(t)=-(2πf)2{hq(f)}?q(t)(20){z?˙(t)}={hq(f)}q?˙(t)=(j2πf){hq(f)}q?(t)(19){z???(t)}={hq(f)}q???(t)=?(2πf)2{hq(f)}q?(t)(20)將上述兩式代入式(14)和式(15)并采用虛擬形式,整理得[Η(f)]=([k]-4π2f2[m]+j2πf[c])-1{kf}(21)[H(f)]=([k]?4π2f2[m]+j2πf[c])?1{kf}(21)上式與應(yīng)用傅里葉分析方法推導(dǎo)出的[H(f)]完全相同,但這里是完全獨(dú)立于傅里葉分析方法,應(yīng)用虛擬激勵(lì)法進(jìn)行推導(dǎo)的,只要掌握虛擬激勵(lì)法的基本理論就可以進(jìn)行推導(dǎo),不必了解傅里葉分析方法。3.3兩組相關(guān)系數(shù),車輪相對(duì)動(dòng)載聚乙二醇ffd,增加車輪相對(duì)動(dòng)載,提高車輪相對(duì)動(dòng)載,既移動(dòng)懸架動(dòng)撓度,既移動(dòng)懸架動(dòng)撓度,既移動(dòng)懸架動(dòng)撓度,既移動(dòng)懸架動(dòng)撓度,既移動(dòng)懸架動(dòng)撓度,既移動(dòng)車輪相對(duì)動(dòng)載,既移動(dòng)懸架動(dòng)撓度,既移動(dòng)懸架動(dòng)撓度,既移動(dòng)懸架動(dòng)撓度,既移動(dòng)懸架動(dòng)撓度,既移動(dòng)懸架動(dòng)載,既移動(dòng)懸架動(dòng)撓度,既移動(dòng)懸架動(dòng)載提高了發(fā)展空間在對(duì)汽車行駛平順性進(jìn)行分析時(shí),一般將車身垂直加速度、懸架動(dòng)撓度、車輪相對(duì)動(dòng)載作為汽車行駛平順性分析的系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)量。對(duì)于1/2汽車四自由度系統(tǒng),車身垂直加速度為??z1(t)z??1(t),前后懸架動(dòng)撓度分別為ffd(t)和frd(t),而前后車輪相對(duì)動(dòng)載分別為Ffd(t)/Gf和Frd(t)/Gr。ffd(t)=z1(t)-az2(t)-z3(t)(22)frd(t)=z1(t)+bz2(t)-z4(t)(23)Ffd(t)Gf=ktf[z3(t)-q1(t)]Gf(24)Ffd(t)Gf=ktf[z3(t)?q1(t)]Gf(24)Frd(t)Gr=ktr[z4(t)-q2(t)]Gr(25)Gf=(m3+m1ba+b)g(26)Gr=(m4+m1aa+b)g(27)式中:g為重力加速度。3.4求解系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)量的虛擬量的確定汽車行駛在路面上,由于路面激勵(lì)是具有統(tǒng)計(jì)特性的隨機(jī)過(guò)程,因此,需要確定系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)量的功率譜密度,以分析汽車受路面激勵(lì)產(chǎn)生的隨機(jī)振動(dòng)。在汽車參數(shù)與路面激勵(lì)參數(shù)已知的情況下,根據(jù)式(17)和式(20)可以分別求得虛擬響應(yīng){?z(t)}和{???z(t)}。由{?z(t)}根據(jù)式(22)~式(27)可以分別求得虛擬的前后懸架動(dòng)撓度?ffd(t)和?frd(t),以及虛擬的前后車輪相對(duì)動(dòng)載?Ffd(t)/Gf和?Frd(t)/Gr,而由{???z(t)}可以提取出虛擬車身垂直加速度為???z1(t)。于是,描述汽車振動(dòng)的系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)量的虛擬量就可以全部確定。根據(jù)虛擬激勵(lì)法的基本理論,由式(4)可得求取系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)量的實(shí)際功率譜密度的公式Gp(f)=?p(t)*?p(t)(28)式中:?p(t)為系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)量p(t)對(duì)應(yīng)的虛擬振