2021百校聯(lián)盟全國高考數(shù)學(xué)理科模擬I卷含答案解析

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2021百校聯(lián)盟全國高考數(shù)學(xué)理科模擬I卷含答案解析

7及留族學(xué)2021屆普通高中教育教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測考試

全國I卷理科數(shù)學(xué)

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第I卷（非選擇d）兩部分.

2.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考低號填寫在本試卷相應(yīng)的位■.

3.全部答案寫在答胸卡上，耳在本試卷上無效.

4.本試卷痔分150分,費試時間120分怦.

5.壽試危圉：高考全部內(nèi)容.

第I卷

一、選擇題：本大題共12小誨小?5分,在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.設(shè)集合A-《川，一則AR（CaBJ-

A.[-Uy]B.（-?o.l]C.[y,l]D.[-l,+oo）

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足!■為純虛數(shù)《在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點的坐標(biāo)為.則

A.X-y-0B.工+產(chǎn)0

C.（X—＞）（x4-y）=0D.n'+3'=1

3.數(shù)據(jù)顯示2021年3月以來文化類旅游的市場占比顯著提升,某旅訥服

每日訂單fit及增長情況

務(wù)平臺收集并整理了2021年3月1口至7日期間某文化類景區(qū)門票日

訂單fiH單位：萬張）和增長速度的數(shù)據(jù).繪制「右邊的統(tǒng)計圖.則卜.列結(jié)

論正確的是（增長速度=（本期數(shù)一上期數(shù)）/上期數(shù)）

A.7天的增長速度逐日增加

B.7天中有3天的增長速度為正

C.7天的增長速度的平均值為負

D.3月6H的訂單R約為3.19（萬張）

5.《九章算術(shù)》是中國古代張蒞,耿壽昌所撰寫的一部數(shù)學(xué)專著，全書總結(jié)了故國，秦,漢時期的數(shù)學(xué)成就中

有如下問題：“今有五人分五錢.令上二人所得與下三人等,問各得幾何？”其意思為「今有5人分5錢?各人

所得錢數(shù)依次為等差數(shù)列，其中前2人所得之和與后3人所得之和相等，問各得多少錢則第4人所得錢數(shù)

為

A.{ttB.c.於D.I錢

6.已知a=々，6=3+,c=log,2,則

\,a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.a<c<b

7及&腺幺2021屆普通高中教育軟學(xué)質(zhì).監(jiān)利考試（全國1?）理科數(shù)學(xué)第1頁共4頁

7.巳知點D?O分別為0B健的廈點和底面IB心,△ABC為隗譙底面的內(nèi)接正三角形?AD=AB,則異面直線AD

與BO所成角的余弦值為

A.-B&C,-D—

人6壯6。3U-3

8.巳知A?B是彼打線上的點.C是_r軸上的點?AC_Lr軸./XABC為等邊三角形.則A的橫坐標(biāo)為

AfB-fC.3D.學(xué)

9.已知點A,B,C在園O上，1期+加|?|現(xiàn)一仍|?八或一〃區(qū)二說,則嚴+*=

A.yB.1C.yD.2

10.10個不同的數(shù)持成4行,第1行】個數(shù),第2行2個數(shù),第3行3個數(shù),第4行4個數(shù).設(shè)為是第￡"=1?2,

3,4)行中的最大數(shù)，則即Va,V，Va,的微率為

A$BE仁吉Dn

II.設(shè)函數(shù)，(公是奇函數(shù)義工》(I工0)的導(dǎo)函數(shù)=當(dāng)1>0時?，(公>1?則使得成立的

x的取值范序是

A.(-oo,-l)U(0,l)B.(-1.0)U(l.+°°)

C.(-oot-l)U(h+?>)D.(-1,0)11(0.1)

12.已知正方體木塊ABCD-A&G。的校長為4.P.Q.R分別是校AB?AD,AA上的點，△PQR是邊長為

2々的等邊三角形，若將正方體木塊切割成以△PQR為底面的直三檢柱,則三校柱的高的最大值為

A.2B.2MC.2GD.4

第11卷

本卷包括必考題和選考題兩部分.第13黑~第21?為必考瑪，每個試■考生都必31作答.第22??第23

?為選考題,考生根據(jù)要求作答.

二、填空■:本大■共4小題,每小?5分.

0<N+2

13.設(shè)x.>滿足約束條件”22x，則r=x+y的■小值為________.

[酎+3、2—6

(x,?

】4.已知函數(shù)八工)-,，若對于任意的lER.|/"(z)])0x,則a-

】5上知雙曲線=lQ>0,6>0)的左焦點為F,O為坐標(biāo)原點，P為雙曲線C右支上一點，|PF|一

|PO|=》?則雙曲線C的離心率的取值范圍是..

16.已知數(shù)列儲.｝篇足見=l,a?r=。：+。?，數(shù)列也,)的前n項和為S..a12?=a..若S.VMAWZ),則k的最

小值為_____.

三、II答金：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步■.

】7.(本小題滿分12分)

△ABC的內(nèi)角A,B?C的對邊分別為a?,c,設(shè)々csin(B+￡)=a.

⑴求a

(2)若。=2,<1=々6,求aABC的面枳.

72021屆普通高中敏國載學(xué)防?施利考試(全國1卷)理科數(shù)學(xué)第2頁共4頁

18.（本小?橫分】2分）

加圖.三蝮柱ABC-AtBtC,的底面是等18直角三角形,NACB-NBCC-90??四邊形ACQA,是菱形.

ZACCi?120\

（D證明：4iC_LABn

（2）求二面角A-BBi-C的余弦值.

19.（本小■■分12分）

中國是世界上沙漠化最嚴重的國家之一，沙漠化造成生態(tài)系統(tǒng)失蠹,可耕地面枳不斷縮小?對中國工農(nóng)業(yè)生

產(chǎn)和人民生活帶來產(chǎn)重影響.周看燎合國力逐步增強,西北某地區(qū)大力興建防風(fēng)林帶?引水拉沙?引洪淤地，

開展「改造沙漠的巨大工程,該地區(qū)于2017年投入即漠治理經(jīng)費2億元,從2018年到2020年連續(xù)3年每

年增加沙漠治理注費1億元.近4年沙漠治理經(jīng)費投入工（億元）和沙漠治理面枳乂萬鹵）的相關(guān)數(shù)據(jù)如下

（2）建立y關(guān)于工的回歸方程,

（3）若保持以往的沙漠治理經(jīng)費增加幗度?請fit測到騫一年沙漠治理面積突破100萬畝.

參考數(shù)據(jù)：枝;口,一力,=21.4屋=2.2,

￡《工.一z）（y一夕）及5—7）6,一夕）

叁考公式：式關(guān)累敲r-不a—，.一二?工--------------.a-5-&T.

J冬5—工廠與G,—"與《工?一方

20.（本小題濡分12分）

巳知標(biāo)浜孑+￡=l（a>b>0）的離心率為考,過左焦點F且與I軸垂友的弦長為

C）求888。的方程；

《2》已知A.B為.BIC上兩點Q為坐標(biāo)原點.斜率為A的直線/經(jīng)過點p《o］）,若A,B關(guān)于/對稱,且

3_LO8.求/的方程.

7?■般占2021屆普通高中敘育教學(xué)質(zhì)?施潸考試（全國I卷）理科數(shù)學(xué)第3頁共4頁

21.(小小題滿分12分)

已知嘀散/(I)+lnx.

(I)判斷函數(shù)八I)的單調(diào)性?并證明人工)有且僅有一個零點?

(2)若上(1—a)，ln(er).求a的取值范困.

說考生從第22、23?中任選一■作答?并用2B18第將答?卡上所選?目對應(yīng)的方框米黑,接所透涂?號

迸行評分；多涂、鬣答，按所涂的■■進行評分；不*,按本選才■的首■進行再分.

22.(本小題濡分10分)【選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方裳】

iNa+cosa

人上Q為參數(shù))?以坐標(biāo)原點為極點，工軸的正半軸為

(ss

1yb+sina

極軸建立極坐標(biāo)系,曲城G的極坐標(biāo)方程為p?2coM.

(1)若與C?有且只有】個公共點?求a；

⑵若a-g冬曲線GC交于A，B西點，求IABIL

23.(本小0濡分10分)【選修4一51不等式選講】

已知。.6為正數(shù)?函數(shù)/(*)=|工一巧|+|n+6|的值域為［1—一十8).

(1)若c—-1.證明：a+b>2a6,

(2)若c>0,證明；.二6(,二斗9一、>8.

7〃■伊?2021癌■通高中敏胃敏學(xué)員?痣澳試(全51卷)理科數(shù)學(xué)第4頁共4M

7成劇棘g2021屆普通高中教育教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測考試

全國I卷理科數(shù)學(xué)參考答案

1.A1解析］八=>f.?昇則,\n<C.B>=<T|

L-嚀.

2.C1解析】由題意可知==，+v，.「［、［則三=±±g=,+-普i?若為純/數(shù)?

￡jr-yi（x-jl）（.r-+-^i）j-4-yjr-by

則"—y：=（）,即（］―>）（/+丫）=（）.

3.D【解析】結(jié)合統(tǒng)計圖可知.3日.1日和7日的增長速度比前一天均下降?A選項不正確；7天中?2日?5日?6

日和7日的增長速度均為正.B選項不正確；根據(jù)統(tǒng)計圖可知7天的增長速度的平均值為正.C選項不正確；3

月5日的訂單盤約為2.2（萬張）.則3月6日的訂單盤約為2.2X（l+0.45）=3.19（萬張）?【）選項正確.

4.C【解析】八一」）=|一x|（eeD=#<d-e，）=-/（*）?故/J）為奇函數(shù)?函數(shù)圖象關(guān)于蟆點中心

對稱.排除B選項：當(dāng)工>0時,e，>l.OVe，Vl.e，-e,0?旦|”|>0.故，（工）=|#（e，-e，）>0.排除

A.D選項.

5.C【解析】設(shè)從前到后的5個人所得錢數(shù)構(gòu)成首項為小?公差為d的等差數(shù)列；a.則仃”+小+

m+8</=o

.“i+a：+a.?+s+a-=5?故，?解得，

lai+2</=1

d=

6.C【解析】由a&>16=3+>3=1.可得a-（2^）*21S,b=（3+）'-3：=9.則有/V〃.所以IVaV

Aic=log,2<!ogj3=1?wc<a<.b.

7.B【解析】如圖所示.連接CD.8D?延長BO交AC于點E?取CD中點F?連接EF,義

BF.因為△ABC為正三角形?且O為△ABC的外心?所以E為AC的中點,故EF///X

AD,則4EF即為異面自線AD與BO所成的角.設(shè)AD=AB=2?則EF=1.BE=/

G.由題意可知ZXBCD為等邊三角形?則BF=J?，在△BEF中,co§NBEF=/

際+E尸-8產(chǎn)4%三赤:強S

-2BE?EF-=T*---Si^gg

8.B【解析】設(shè)八（M?w）?3（y.山》?因為△A3C為等邊三角形.所以點3為線段AC的中庭線與拋物線E的

交點.即加=9，且15—川=哼f1?解得1g1=孚?從而5=￡.

9.B【解析】由+加（H加得（審+05）（T）AD/b.則有審+2次?DB+OB二審

26?。方+萬喬.即示?「或（）.依意意得示HTCT.把八DX〃濟力T兩邊平方得I和

4-//OB2A//OX-o5-of.即ii示+〃二百.所以大十〃1.

io.B【解析】最大一個數(shù)在第I行的概率為5=看?在任意排好第I行后?余下的6個數(shù)排在前3行?符合要求

的排列的假率為■?在任堂推好第3行后?余卜的3個數(shù)排在前2行?符合要求的排列的概率為《故

oLo

《VaiVaiVa,的做率為產(chǎn)二；乂亍=看

U.B【解析】由/（1）>1（1>0）.可得/（1）-1>0?令月《，）八］）一上?則?'3）=八］>一1>。?故g（i）在

Z及黑低幺2021屆普通高中教育教學(xué)質(zhì)?監(jiān)測考試（全國I卷）理科數(shù)學(xué)答案第1頁

（0.十,）上單調(diào)遞增.因為-1）=一1?所以小一】）八一1）+1=0?又因為/（/）為奇函數(shù)?所以小上）

一/（.r）/為奇函數(shù),所以g（l）=O?且住區(qū)間（?0）上，g《.r）單調(diào)遞增.所以使得/（X）〉.，?即gJ>>0

成立的」的取值范圍是（-1,0）11（1?+8）.

12.C【解析】由題意可知.P?Q?R分別是核AB.AD.4Ai的中點.如圖所示,連接

AiG?BG?CD?并分別取它們的中點Ri.Pi.Q：?連接RR?PP-QQ?R,H.

PiQ,.QK,則RR,〃AC.PH〃AC.QQ,/ZAC,,flRRPPQQ,=yAC,.

因為八平面PQR?所以RR」平面PQK.PP一平面PQR.QQ」平面

PQR?故校住PQKHQ4為立：棱住?高%RR=苧=2伍?且此時校

住的高最大.

13.-y【解析】作出可行域如圖中陰影部分所示?結(jié)合圖形可知.當(dāng)直線：z+y過點A

（一^..?^^時一取最小值——二—^―-r-=-4r.

11,0【解析】當(dāng)上20時."I）|=JNai,即/（『一a）》0恒成立?則有。40:當(dāng)工<0

時?IfCr）I=>>ax?即彳恒成立?則有?所以“=0.

15.[2?+,）【解析】設(shè)雙曲線C的右焦點為曰.由雙曲線的定義可知PF|-PH

2a?故/"IPF.設(shè),一十匕則P點的橫坐標(biāo)為》因為點P在雙曲線上?顯然有看2a?即，

LZa

2?所以離心率，的取值皰圍是[2?十?）.

16.1t解析】由a.—-u..可得，.|||a.a：+a.?可得必-----上■?故仇3??因為」一工

a—】a.Ta.~rla?+la.-i

------=-L―-!—.所以一J_=所以s=--—?—!—（-???-!—!-—-L—J-+J—L

a.（u.4-l）a.%+1?“-a.+la.u,Sm+1a-\小，+1小?a：a

+…+」----L=1--L.由圖意可知%>0,剜％.|一%=小>0?故｛a.｝為遞增數(shù)列.因為5=1.所以O(shè)V

<2|0?fllola101

」-VL故$-I」一￡(0?1).所以A的最小值為I.

"lolO10I

17.【解析】(I)由建設(shè)可得“(sinB+co、B)=a?

由正弦定理?可得sin3sinC+cosBsinC=sirtA?....................................................................................2分

又因為A=X-(B4-C)?所以sin.A=sin<B+C>=sinBcosC+cosBsinC.

所以sinBsinC=sinBcosC.............................................................................................................................4分

因為B?C6(0?*).

所以得sinC=cosC.則C=4......................................................................................................................6分

4

(2)因為c=2?a=&■乩

由余弦定理得?《笈6尸+?一2?圖?6cos子=I,......................................................................................8分

?I

整理得6?=4?

取b=2,Q=2&..........................................................................................................................................10分

△AEC的面枳S=ya/?sinC=2..................................................................................................................12分

I&【解析】(D連接AG.因為四邊形AACC為菱形.所以AC_LAC.......................................................1分

因為BC±AC.BC±CCt.ACnCC,=C.

所以BCJ_平面ACGA,.且ACU平面人CG?%,所以A>C±BC.

因為BC〃J3iG.所吸AULBC..............................................................................................................3分

7aM快￥2021屆普通高中教育教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測考試（全國I卷）理科數(shù)學(xué)答案第2頁

又因為ACnBC=c?所以ACL平面AB,Ci............................................................................................1分

又ABiU平面八BiC.所以AC_LA氏........................................................5分

(2)由(1)知加工平面AACC?

所以平面A|ACC_L平面ABC.

作八Q_AC于點O.則AQ.平面43c.

因為四邊形AACG為菱形，NAAC=6(T.所以△AiAC為等邊三角形.

所以O(shè)為AC的中點.

以O(shè)為坐標(biāo)原點,樂的方向分別為x軸.、軸?：軸的正方向?葉

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz..............................................................6分尢一卅

設(shè)AC=3C=CC=2?則A(1,O.O)?B(-1.2?O)?B(-2?2?")?C(-I?O.O).'憐]/

A5=(-2,2.0).CB=(0,2,0).BBT=(-1,0,73).JR

設(shè)平面ABB的一個法向量為HI=5.V,NI)?左相二

14?R5=0[―2?+2yl=0

所以，一.則「-

1/??BBi=0I—xj4-V3ci=0

可取n(#.73.1).8分

設(shè)平面CB及的個法向后為〃=(rm).

in..上0則|2*=。

所以

In：

?西=0|-x;+V3e：=0

可取〃=(73.0.1).

cosn./??>

所以二面角A—BB-C的余弦值為手■......................................................12分

19.【解析】(1)由已知數(shù)據(jù)和參節(jié)數(shù)據(jù)得

產(chǎn)2+3甘+5=3.5,產(chǎn)26+39：49+54=42...........................................................................................

因為y與l的相關(guān)系數(shù)近似為。.998.說明y與/的線性相關(guān)程度相當(dāng)高.從而可以用線性|可/I模型擬合力

與工的關(guān)系...............................................................................6分

2(x,-x)(y,—y)

(2)6=-^―；----------------------=^=9.4..........................................................................................................7分

。一方

a=^-tu=42-9.4X3.5=9.1....................................................................................................................8分

所以回歸方程為&=9.1r+9.L........................................................................................................................9分

(3)當(dāng)工=9時J=9.4X9+9.1=93.7V100................................................................................................10分

當(dāng)了=10時6=9.4X10+9.1=103.1>100................................................................................................11分

所以.到2025年沙漠治理面積可突破100萬畝...............................................12分

2。.1析?！痹O(shè)「GT.則F—,=一,冽丁吟.從而等=反即〃=⑸,.

又因為卜冬即..................................................................

2分

7a6S駐學(xué)2021屆普通高中教育教學(xué)質(zhì)量應(yīng)測考試(全國I卷)理科數(shù)學(xué)答案第3頁

解.得a=g,6=1.

故橢I網(wǎng)的方程為9?+/=1.............................................................................................................................4分

⑵設(shè)直線/的方程為產(chǎn)—+十?當(dāng)4=0時?不符合題意.......................................5分

當(dāng)AW0時?設(shè)直線AB：y=一"r+m?

K

（x2+2y2=2

由！1聯(lián)立?整理得（：+））>一筌1+標(biāo)-1=0，

|y=一工k+〃1CkR

A=-^74（—親〃，“二一1）=-2〃，：+2+親>0.即1+看>，〃：①..............................6分

設(shè)A（.r,）.B（.r：,y：）?則口+^丁“察""。

V+啟=y（r>+"：）+2，〃=?

”於=(一+/1+m)(一如：+m)=*412-,5+/)+加=工；［卜：2..............................7分

A8的中點K《券%?2~1^)在直線/上?

則,心：*=kX+y?整理得ni二之索②......................8分

②式代人①式整理得3公+4A-4>0.

解得號或AV-專.......................................................................9分

因為次.枳5=0.即X,壬+A.V：="黑n+駕/2=0.

整理得3AoM—2公一2=0③.........................................................................................................................10分

將②式代入③得弘’一伏？-1204=士々滿足亭或4〈一亭..........................11分

所以4=土々.故比線/的方程為y=/;r+}.或3=一々I+}........................................................12分

21.【解析】⑴八外=(\+2**+十。>03

由H>0.可知有/(x)>0?

故人力在(0,+8)上單調(diào)遞增..............................................................2分

因為/(D=e>0,/(y)=^-ln2<0,

所以函數(shù)f(i)有唯一零點八,且/VivVl.................................................................................................4分

(2)ft].r(e“)2ln(ej，)?整理得a&e，—-y---

?n，.、In(ex)，.._,,In.r_j-:e#+lru

lxgCr)—e—,g(a-)-</I------------.

由(1)可知/Q)/e’+lna在(0,+。)上單調(diào)遞增.

存在唯一零點r,，且■|<r.VI.

當(dāng)/6(0.]“)時?八外〈0?1(工)〈0?屋口)單調(diào)遞減.

當(dāng)丁￡《網(wǎng)，+8》時./《#>0?『0)>0.爪,)單調(diào)遞增.........................................6分

7〃8!豫》2021屆普通高中教育教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測考試(全國I卷)理科數(shù)學(xué)答案第1頁

即以工）為45》在定義域內(nèi)的以小值.所以

因為"力〉=0?所以H'C'8分

令/?J)=xe'?JvjrVl.

方程①等價于-K-l3）4ViV）?

而『⑺（工+1*在（0,+工）上恒大于零.所以在（0?+oo）單調(diào)遞增.

故h（jce）=h《Tru\,）等價于J=-ln.r.c'---...................................................................................10分

?T。

故屋外的最小值）=e-L=J-----——-=1.

Xojr9jr9JOX?

所以a&l.

所以。的取例翹闈為（一8?口?.............................................................12分

22.【解析】（1）根據(jù)曲歿。的參數(shù)方程可御Jr”）：+《丁一/八1.

因為小+6=1?所以曲線C是經(jīng)過坐標(biāo)蟆點且半徑為1的動■?...........