圖形的相似與位似-經(jīng)典題解

圖形的相似與位似經(jīng)典題3.1圖形的相似〔2023北京，15，5〕，求代數(shù)式的值．【解析】【答案】設(shè)a=2k,b=3k，原式=【點(diǎn)評】此題考查了見比設(shè)份的解題方法，以及分式中的因式分解，約分等。3.2線段的比、黃金分割與比例的性質(zhì)〔2023山東省濰坊市，題號8，分值3〕8、矩形ABCD中，AB=1,在BC上取一點(diǎn)E,沿AE將△ABE向上折疊，使B點(diǎn)落在AD上的F點(diǎn)，假設(shè)四邊形EFDC與矩形ABCD相似，那么AD=〔〕A．B．C．D．2考點(diǎn)：多邊形的相似、一元二次方程的解法解答：根據(jù)得四邊形ABEF為正方形。因?yàn)樗倪呅蜤FDC與矩形ABCD相似所以DF:EF=AB:BC即〔AD-1〕:1=1:AD整理得：,解得由于AD為正，得到AD=，此題正確答案是B.點(diǎn)評：此題綜合考察了一元二次方程和多邊形的相似，綜合性強(qiáng)。3.3相似三角形的判定〔2023山東省聊城，11，3分〕如圖，△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，以下結(jié)論不正確的選項(xiàng)是〔〕A.BC=2DEB.△ADE∽△ABCC.D.解析：根據(jù)三角形中位線定義與性質(zhì)可知，BC=2DE；因DE//BC，所以△ADE∽△ABC，AD：AB=AE：AC，即AD：AE=AB：AC，.所以選項(xiàng)D錯誤.答案：D點(diǎn)評：三角形的中位線平行且等于第三邊的一半.有三角形中位線，可以得出線段倍分關(guān)系、比例關(guān)系、三角形相似、三角形面積之間關(guān)系等.〔2023四川省資陽市，10，3分〕如圖，在△ABC中，∠C＝90°，將△ABC沿直線MN翻折后，頂點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)D處，MN∥AB，MC＝6，NC＝，那么四邊形MABN的面積是A． B．C． D．〔第10題圖〕〔第10題圖〕【解析】由MC＝6，NC＝，∠C＝90°得S△CMN=，再由翻折前后△CMN≌△DMN得對應(yīng)高相等；由MN∥AB得△CMN∽△CAB且相似比為1:2，故兩者的面積比為1:4，從而得S△CMN：S四邊形MABN=1:3，應(yīng)選C.【答案】C【點(diǎn)評】此題綜合考查了直角三角形的面積算法、翻折的性質(zhì)、由平行得相似的三角形相似的判定方法、相似圖形的面積比等于相似比的平方等一些類知識點(diǎn).知識點(diǎn)豐富；考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識來解決問題的能力.難度較大.〔2023湖北隨州，14,4分〕如圖，點(diǎn)D,E分別在AB、AC上，且∠ABC=∠AED。假設(shè)DE=4，AE=5，BC=8，那么AB的長為______________。10解析：：∵∠ABC=∠AED，∠BAC=∠EAD∴△AED∽△ABC，∴，DE=10答案：10點(diǎn)評：此題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)。利用兩三角形的相似比，通過邊長度求解某邊長度，是常用的一種計(jì)算線段長度的方法。3.4相似三角形的性質(zhì)(2023重慶，12，4分)△ABC∽△DEF，△ABC的周長為3，△DEF的周長為1，那么△ABC與△DEF的面積之比為_______解析：相似三角形的周長比等于相似比，相似三角形的面積比等于相似比的平方，故可求出答案。答案：9：1點(diǎn)評：此題考查相似三角形的根本性質(zhì)。〔2023浙江省衢州，15，4分〕如圖，□ABCD中，E是CD的延長線上一點(diǎn)，BE與AD交于點(diǎn)F，CD=2DE.假設(shè)△DEF的面積為a，那么□ABCD中的面積為.(用a的代數(shù)式表示)【解析】根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，利用得出△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)分別得出△CEB、△ABF的面積為4a、9a，然后推出四邊形BCDF的面積為8a即可.【答案】12a【點(diǎn)評】此題主要考查相似三角形的判定、性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)等知識點(diǎn)的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理．〔2023山東省荷澤市，16(1),6〕(1)如圖，∠DAB=∠CAE，請你再補(bǔ)充一個條件____________,使得△ABC∽△ADE，并說明理由.【解析】從條件中可得出一組角對應(yīng)相等，要判定兩個三角形相似，可以增加另外一組對應(yīng)相等或者是這兩角的兩邊對應(yīng)成比.【答案】------------------------------2分理由：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似--------------------------6分【點(diǎn)評】判斷兩個三角形相似的條件中兩角對應(yīng)相等兩三角形相似比擬常用，在選擇方法一定要根據(jù)題目中或圖形中所給提供的條件進(jìn)行添加.〔湖南株洲市6,20題〕〔〔此題總分值6分〕如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8,沿直線MN對折，使A、C重合，直線MN交AC于O.〔1〕、求證：△COM∽△CBA；〔2〕、求線段OM的長度.【解析】要證明△COM∽△CBA就是要找出∠COM=∠B即可，求線段的長就是利用第〔1〕問中的相似建立比例式，構(gòu)造出OM的方程求解.【解】〔1〕證明：A與C關(guān)于直線MN對稱ACMN∠COM=90°在矩形ABCD中，∠B=90°∠COM=∠B----------------------------------------1分又∠ACB=∠ACB------------------------------------2分△COM∽△CBA---------------------------------3分〔2〕在Rt△CBA中，AB=6，BC=8AC=10----------------------------------------------4分OC=5△COM∽△CBA----------------------------------------5分OM=----------------------------------------------6分【點(diǎn)評】求證兩個三角形相似的方法主要是兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似、兩邊對應(yīng)成比例及夾角相等，兩三角形相似及三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似，求線段的長的方法，主要是利用三角形相似及直角三角形的勾股定理.〔2023湖南婁底，25，10分〕如圖13，在△ABC中，ABAC，∠B30，BC8，D在邊BC上，E在線段DC上，DE4，△DEF是等邊三角形，邊DF交邊AB于點(diǎn)M，邊EF交邊AC于點(diǎn)N.〔1〕求證：△BMD∽△CNE；〔2〕當(dāng)BD為何值時，以M為圓心，以MF為半徑的圓與BC相切？〔3〕設(shè)BDx，五邊形ANEDM的面積為y，求y與x之間的函數(shù)解析式〔要求寫出自變量x的取值范圍〕；當(dāng)x為何值時，y有最大值？并求y的最大值.BBDECNAFM【解析】〔1〕由AB=AC，∠B=30°，根據(jù)等邊對等角，可求得∠C=∠B=30°，又由△DEF是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，易求得∠MDB=∠NEC=120°，∠BMD=∠B=∠C=∠CNE=30°，即可判定：△BMD∽△CNE；〔2〕首先過點(diǎn)M作MH⊥BC，設(shè)BD=x，由以M為圓心，以MF為半徑的圓與BC相切，可得MH=MF=4-x，由〔1〕可得MD=BD，然后在Rt△DMH中，利用正弦函數(shù)，即可求得答案；〔3〕首先求得△ABC的面積，繼而求得△BDM的面積，然后由相似三角形的性質(zhì)，可求得△BCN的面積，再利用二次函數(shù)的最值問題，即可求得答案．【答案】〔1〕證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°.∵△DEF是等邊三角形，∴∠FDE=∠FED=60°，∴∠MDB=∠NEC=120°，∴∠BMD=∠B=∠C=∠CNE=30°，∴△BMD∽△CNE；〔2〕過點(diǎn)M作MH⊥BC，∵以M為圓心，以MF為半徑的圓與BC相切，∴MH=MF，設(shè)BD=x，∵△DEF是等邊三角形，∴∠FDE=60°，∵∠B=30°，∴∠BMD=∠FDE-∠B=60°-30°=30°=∠B，∴DM=BD=x，∴MH=MF=DF-MD=4-x，在Rt△DMH中，sin∠MDH=sin60°===，解得：x=，∴當(dāng)BD=時，以M為圓心，以MF為半徑的圓與BC相切；〔3〕過點(diǎn)M作MH⊥BC于H，過點(diǎn)A作AK⊥BC于K，∵AB=AC，∴BK=BC=×8=4?！摺螧=30°，∴AK=BK?tan∠B=4×=，∴S△ABC=BC?AK=×8×=，由〔2〕得：MD=BD=x，∴MH=MD?sin∠MDH=x，∴S△BDM=?x?x=.∵△DEF是等邊三角形且DE=4，BC=8，∴EC=BC-BD-DE=8-x-4=4-x，∵△BMD∽△CNE，∴S△BDM：S△CEN==，∴S△CEN=，∴y=S△ABC-S△CEN-S△BDM===〔0≤x≤4〕，當(dāng)x=2時，y有最大值，最大值為．【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識．此題綜合性較強(qiáng)，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．(2023重慶，12，4分)△ABC∽△DEF，△ABC的周長為3，△DEF的周長為1，那么△ABC與△DEF的面積之比為_______解析：相似三角形的周長比等于相似比，相似三角形的面積比等于相似比的平方，故可求出答案。答案：9：1點(diǎn)評：此題考查相似三角形的根本性質(zhì)?！?023浙江省衢州，15，4分〕如圖，□ABCD中，E是CD的延長線上一點(diǎn)，BE與AD交于點(diǎn)F，CD=2DE.假設(shè)△DEF的面積為a，那么□ABCD中的面積為.(用a的代數(shù)式表示)【解析】根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，利用得出△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)分別得出△CEB、△ABF的面積為4a、9a，然后推出四邊形BCDF的面積為8a即可.【答案】12a【點(diǎn)評】此題主要考查相似三角形的判定、性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)等知識點(diǎn)的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理．〔2023山東省荷澤市，16(1),6〕(1)如圖，∠DAB=∠CAE，請你再補(bǔ)充一個條件____________,使得△ABC∽△ADE，并說明理由.【解析】從條件中可得出一組角對應(yīng)相等，要判定兩個三角形相似，可以增加另外一組對應(yīng)相等或者是這兩角的兩邊對應(yīng)成比.【答案】------------------2分理由：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似----------------6分【點(diǎn)評】判斷兩個三角形相似的條件中兩角對應(yīng)相等兩三角形相似比擬常用，在選擇方法一定要根據(jù)題目中或圖形中所給提供的條件進(jìn)行添加.〔2023山東泰安，17，3分〕如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)B與CD的中點(diǎn)重合，假設(shè)AB=2，BC=3，那么△FC與△DG的面積之比為〔〕A.9：4B.3：2C.4：3D.16：9【解析】設(shè)CF=x，那么BF=3-x，由折疊得F=BF=3-x,在Rt△FC中，由由勾股定理得CF2+C2=F2，x2+12=(3-x)2,解得x=,由可證Rt△FC∽Rt△DG，AR所以S△FC與S△DG的面積為〔：1〕2=.【答案】D.【點(diǎn)評】此題綜合考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的面積比等于相似比的平方?！?023年四川省德陽市，第11題、3分．〕如圖，點(diǎn)D是△ABC的邊AB的延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)F是邊BC上的一個動點(diǎn)〔不與點(diǎn)B重合〕.以BD、BF為鄰邊作平行四邊形BDEF，又APBE〔點(diǎn)P、E在直線AB的同側(cè)〕，如果，那么△PBC的面積與△ABC面積之比為A.B.C.D.【解析】連接FP,延長AP交BC的延長線于H,過點(diǎn)A、P分別作,垂足M、N.∵四邊形BDEF是平行四邊形，,又APBE，∴E、F、P共線，即,四邊形APEB是平行四邊形，∴EP=AB，又∴EF=DB=AB=PF,∴PF=AB,∵△ABH~△PFH,∴,∴.【答案】D.【點(diǎn)評】此題應(yīng)用了平行四邊形，相似三角形和三角形面積的相關(guān)知識，能夠合理作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵，〔2023山東省荷澤市，18,10〕如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF邊上的5個格點(diǎn)，請按要求完成以下各題：〔1〕試證明三角形△ABC為直角三角形；〔2〕判斷△ABC和△DEF是否相似，并說明理由；〔3〕畫一個三角形，它的三個頂點(diǎn)為中的3個格點(diǎn)并且與△ABC相似；〔要求：用尺規(guī)作圖，保存痕跡，不寫作法與證明〕【解析】在網(wǎng)格中借助勾股定理求△ABC三邊的長，然后利用勾股定理的逆定理來判斷△ABC的形狀.【答案】解：〔1〕根據(jù)勾股定理，得，，BC=5；顯然有，根據(jù)勾股定理的逆定理得△ABC為直角三角形△ABC和△DEF相似．根據(jù)勾股定理，得，，BC=5ACBFEDPACBFEDP1P2P3P4P5，∴△ABC∽△DEF．〔3〕如圖：△P2P4P5．【點(diǎn)評】在網(wǎng)格中計(jì)算線段的長，勾股定理是首先的計(jì)算方法，在網(wǎng)格中證明三角形相似，常用的方法是兩邊對應(yīng)成比且夾角相等或者三邊對應(yīng)成比例.〔2023安徽，22，12分〕如圖1，在△ABC中，D、E、F分別為三邊的中點(diǎn)，G點(diǎn)在邊AB上，△BDG與四邊形ACDG的周長相等，設(shè)BC=a、AC=b、AB=c.〔1〕求線段BG的長；解：〔2〕求證：DG平分∠EDF;證：〔3〕連接CG，如圖2，假設(shè)△BDG與△DFG相似，求證：BG⊥CG.證：解析：三角形三邊中點(diǎn)連線，利用三角形中位線性質(zhì)計(jì)算證明.〔1〕△ABC的邊長，由三角形中位線性質(zhì)知，根據(jù)△BDG與四邊形ACDG周長相等，可得.〔2〕由〔1〕的結(jié)論，利用等腰三角形性質(zhì)和平行線性質(zhì)可證.〔3〕利用兩個三角形相似，對應(yīng)角相等，從而等角對等邊，BD=DG=CD，即可證明.解〔1〕∵D、C、F分別是△ABC三邊中點(diǎn)∴DE∥AB,DF∥AC，又∵△BDG與四邊形ACDG周長相等即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG∴BG=AC+AG∵BG=AB－AG∴BG==〔2〕證明：BG=，F(xiàn)G=BG－BF=－∴FG=DF,∴∠FDG=∠FGD又∵DE∥AB∴∠EDG=∠FGD∠FDG=∠EDG∴DG平分∠EDF〔3〕在△DFG中，∠FDG=∠FGD,△DFG是等腰三角形,∵△BDG與△DFG相似,∴△BDG是等腰三角形,∴∠B=∠BGD,∴BD=DG,那么CD=BD=DG,∴B、CG、三點(diǎn)共圓,∴∠BGC=90°,∴BG⊥CG點(diǎn)評：這是一道幾何綜合題，在計(jì)算證明時，根據(jù)題中條件，結(jié)合圖形性質(zhì)來完成.后面的問題可以結(jié)合前面問題來做.〔2023山東泰安，28，10分〕如圖，E是矩形ABCE的邊BC上一點(diǎn)，EF⊥AE，EF分別交AC、CD于點(diǎn)M、F，BG⊥AC，垂足為G，BG交AE于點(diǎn)H?！?〕求證：△ABE∽△ECF；〔2〕找出與△ABH相似的三角形，并證明；〔3〕假設(shè)E是BC中點(diǎn)，BC=2AB，AB=2，求EM的長。【解析】〔1〕由四邊形ABCD是矩形，可得∠ABE=∠ECF=90°，又由EF⊥AE，利用同角的余角相等，可得∠BAE=∠CEF，然后利用有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，即可證得：△ABE∽△ECF；〔2〕由BG⊥AC，易證得∠ABH=∠ECM，又由〔1〕中∠BAH=∠CEM，即可證得△ABH∽△ECM；〔3〕首先作MR⊥BC，垂足為R，由AB：BC=MR：RC=2，∠AEB=45°，即可求得MR的長，又由EM=，即可求得答案．【答案】〔1〕證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABE=∠ECF=90°．∵AE⊥EF，∠AEB+∠FEC=90°．∴∠AEB+∠BEA=90°，∴∠BAE=∠CEF，∴△ABE∽△ECF.〔2〕△ABH∽△ECM．證明：∵BG⊥AC，∴∠ABG+∠BAG=90°，∴∠ABH=∠ECM，由〔1〕知，∠BAH=∠CEM，∴△ABH∽△ECM.〔3〕解：作MR⊥BC，垂足為R，∵AB=BE=EC=2，∴AB：BC=MR：RC=2，∠AEB=45°，∴∠MER=45°，CR=2MR，∴MR=ER=RC=，∴EM==．【點(diǎn)評】考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識．解題時注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意掌握“有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似〞定理的應(yīng)用．〔2023貴州銅仁，8，4分如圖，六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL，相似比為2:1，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是〔〕A．∠E=2∠KB.BC=2HI8題圖C.六邊形ABCDEF的周長=六邊形GHIJKL的周長8題圖D.S六邊形ABCDEF=2S六邊形GHIJK【解析】A、∵六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL，∴∠E=∠K，故本選項(xiàng)錯誤；B、∵六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL，相似比為2：1，∴BC=2HI，故本選項(xiàng)正確；C、∵六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL，相似比為2：1，∴六邊形ABCDEF的周長=六邊形GHIJKL的周長×2，故本選項(xiàng)錯誤；D、∵六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL，相似比為2：1，∴S六邊形ABCDEF=4S六邊形GHIJKL，故本選項(xiàng)錯誤．【解答】B.【點(diǎn)評】此題考查相似圖形的性質(zhì).兩個圖形相似，對應(yīng)角相等，邊長的比和周長的比都等于相似比，面積比等于相似比的平方.解答此題應(yīng)注意相似圖形邊長的比、周長的比、面積比與相似比之間的關(guān)系.〔2023陜西5，3分〕如圖，在是兩條中線，那么〔〕 A．1∶2 B．2∶3 C．1∶3 D．1∶4【解析】由題意可知，為的中位線，那么△CED∽△CAB∴，應(yīng)選D．【答案】D【點(diǎn)評】此題主要考查了三角形的中線的定義、中位線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)等.難度中等.〔2023湖北咸寧，6，3分〕如圖，正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，O為位似中心，相似比為1∶，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，0)，那么E點(diǎn)的坐標(biāo)為〔〕．〔第6題〕〔第6題〕yxAOCBDEF A．(，0) B．(，) C．(，) D．(2，2)【解析】由得，E點(diǎn)的坐標(biāo)就是點(diǎn)A坐標(biāo)的倍．【答案】C【點(diǎn)評】此題著重考查了位似圖形的坐標(biāo)特點(diǎn)，注意此題是同向位似．(2023山東日照，8，3分)在菱形ABCD中，E是BC邊上的點(diǎn)，連接AE交BD于點(diǎn)F,假設(shè)EC=2BE,那么的值是〔〕AABCDFEA.B.C.D.解析：如圖，由菱形ABCD得AD∥BE,，所以△BEF∽△ADF,又由EC=2BE,得AD=BC=3BE,故==.解答：選B．點(diǎn)評：此題主要考查了棱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，正確畫出圖形是解題的關(guān)鍵.〔2023·湖南省張家界市·10題·3分〕與相似且面積比為4∶25，那么與的相似比為．【分析】相似三角形相似比等于面積比的算術(shù)平方根.【解答】與的相似比為=.【點(diǎn)評】相似三角形面積比等于相似比的平方.〔2023山東省濱州，18，4分〕如圖，銳角三角形ABC的邊AB，AC上的高線CE和BF相交于點(diǎn)D，請寫出圖中的兩對相似三角形：〔用相似符號連接〕．【解析】〔１〕由于∠BDE=∠CDF∠BED=∠CFD=90°，可得△BDE∽△CDF。由于∠A=∠A，∠AFB=∠AEC=90°，可得△ABF∽△ACE。解：〔1〕在△BDE和△CDF中∠BDE=∠CDF∠BED=∠CFD=90°，∴△BDE∽△CDF．〔2〕在△ABF和△ACE中，∵∠A=∠A，∠AFB=∠AEC=90°，∴△ABF∽△ACE．【答案】△BDE∽△CDF，△ABF∽△ACE【點(diǎn)評】此題考查相似三角形的判定方法．三角形相似的判定方法有，AA，AAS、ASA、SAS等．(2023貴州黔西南州，17，3分)如圖5，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，假設(shè)AD=1，BC=3，△AOD的面積為3，那么△BOC的面積為___________．【解析】由題意知AD∥BC，所以∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC，所以△OAD∽△OCB．又AD=1，BC=3，所以△OAD與△OCB的相似比為1:3，面積之比為1:9，而△AOD的面積為3，所以△BOC的面積為27．【答案】27．【點(diǎn)評】理解相似三角形的相似比與周長比、面積比之間的關(guān)系，是解決此題的關(guān)鍵．〔2023貴州遵義，7,3分〕如圖，在△ABC中，EF∥BC，=，S四邊形BCFE=8，那么S△ABC=〔〕A．9B．10C．12D．13解析：求出的值，推出△AEF∽△ABC，得出=，把S四邊形BCFE=8代入求出即可．解：∵=，∴==，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴==，∴9S△AEF=S△ABC，∵S四邊形BCFE=8，∴9〔S△ABC﹣8〕=S△ABC，解得：S△ABC=9．應(yīng)選A．答案：A點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：相似三角形的面積比等于相似比的平方，題型較好，但是一道比擬容易出錯的題目．〔2023·湖北省恩施市，題號20分值8〕如圖8，用紙折出黃金分割點(diǎn)：裁一張正方形紙片ABCD，先折出BC的中點(diǎn)E，再折出線段AE，然后通過折疊使EB落在線段EA上，折出點(diǎn)B的新位置B1，因而EB1=EB。類似的，在AB上折出點(diǎn)B11使AB11=AB1。這是B11就是AB的黃金分割點(diǎn)。請你證明這個結(jié)論?！窘馕觥吭O(shè)BE=1，可知BC=AB=2，AE=，由EB1=EB得AB11=AB1=-1,根據(jù)黃金分割意義AB11：AB=〔-1〕：2，問題得證。【答案】證明：設(shè)BE=1，那么BC=AB=2，，AE==，∵EB1=EB，∴AB11=AB1=-1,∴AB11：AB=〔-1〕：2，∴B11是AB的黃金分割點(diǎn)?！军c(diǎn)評此題既考查學(xué)生閱讀理解能力，又考查考查黃金分割點(diǎn)的意義，難度中等。數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)非常重視培養(yǎng)學(xué)生的動手操作能力，提倡讓學(xué)生在操作中感受和體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識的形成和開展．把握折疊過程中的等邊是解答此類問題的關(guān)鍵，勾股定理是計(jì)算折疊問題中線段長度的重要工具?！?023南京市，15，2〕如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=10厘米，CD=6厘米，E為AD上一點(diǎn)，且BE=BC,CE=CD，那么DE=厘米.解析：△BCE與△CDE均為等腰三角形，且兩個底角∠DEC=∠BCE，∴△BCE∽△CDE，∴=,∴=,∴DE=3.6厘米.答案：3.6.點(diǎn)評：在圖形中，利用相似，得出比例式，可以求出線段的長.〔2023湖北黃岡，25，14〕如圖，拋物線的方程C1:y=-(x+2)(x-m)(m>0)與x軸相交于點(diǎn)B、C，與y軸相交于點(diǎn)E，且點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè).(1)假設(shè)拋物線C1過點(diǎn)M(2，2)，求實(shí)數(shù)m的值．(2)在(1)的條件下，求△BCE的面積．(3)在(1)的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)H，使BH+EH最小，并求出點(diǎn)H的坐標(biāo)．(4)在第四象限內(nèi)，拋物線C1上是否存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)B、C、F為頂點(diǎn)的三角與△BCE相似?假設(shè)存在，求m的值；假設(shè)不存在，請說明理由．【解析】〔1〕把M(2，2)代入y=-(x+2)(x-m)即可求出m；〔2〕求出B、C、E三點(diǎn)坐標(biāo)即可求出S△BCE；〔3〕利用“兩點(diǎn)之間，線段最短〞和軸對稱的性質(zhì)可探索解題思路；〔4〕分兩種情況來探討解題過程，最后利用相似三角形的性質(zhì)和方程思想來解決問題.【答案】解：〔1〕依題意把M(2，2)代入y=-(x+2)(x-m)得：2=-(2+2)(2-m)，解得m=4.〔2〕由y=0得：-(x+2)(x-4)=0得x1=-2，x2=4∴B〔-2，0〕C〔4，0〕.由x=0得：y=2∴E〔0，2〕∴S△BCE=BCOE=×6×2=6.〔3〕當(dāng)m=4時，C1的對稱軸為x=×〔-2+4〕=1，點(diǎn)B、C關(guān)于直線x=1對稱.連EC交對稱軸于點(diǎn)H，那么H點(diǎn)使得BH+EH最小.設(shè)直線EC的解析式為y=kx+b，把E〔0，2〕、C〔4，0〕代入得y=-x+2，把x=1代入得H〔1，〕.〔4〕分兩種情況：=1\*GB3①當(dāng)△BEC∽△BCF時，那么∠EBC=∠CBF=45°，即，作FT⊥x軸于點(diǎn)T，∴可設(shè)F〔x，-x-2〕〔x＞0〕，那么-x-2=-(x+2)(x-m)∵x+2＞0∴x=2m，F(xiàn)〔2m，-2m-2〕.∴BF=，BE=，BC=m+2.∴解得m=，又m＞0，∴m=.=2\*GB3②當(dāng)△BEC∽△FCB時，那么，∠EBC=∠CFB，△BTF∽△COE，∴，∴可設(shè)F〔x，-〔x+2〕〕〔x＞0〕，∴-〔x+2〕=-(x+2)(x-m)，∵x+2＞0∴x=m+2，F(xiàn)〔m+2，-〕，EC=，BC=m+2，BF=∴，整理得0=16，顯然不成立.綜上：在第四象限內(nèi)，拋物線上存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)B、C、F為頂點(diǎn)的三角與△BCE相似，m=.【點(diǎn)評】此題綜合考查了二次函數(shù)性質(zhì)、軸對稱性質(zhì)、相似三角形性質(zhì)等知識，但解題的關(guān)鍵要充分運(yùn)用方程思想和分類思想，同時解題過程中大量的數(shù)學(xué)計(jì)算和代數(shù)式變形也是不小的考驗(yàn).難度較大.〔2023河南，22，10分〕類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常用到，如下是一個案例，請補(bǔ)充完整.原題：如圖1，在□ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AE上一點(diǎn)，BF的延長線交射線CD于點(diǎn)G，假設(shè)，求的值.〔1〕嘗試探究在圖1中，過點(diǎn)E作交BG于點(diǎn)H，那么AB和EH的數(shù)量關(guān)系是，CG和EH的數(shù)量關(guān)系是，的值是〔2〕類比延伸如圖2，在原題的條件下，假設(shè)那么的值是〔用含的代數(shù)式表示〕，試寫出解答過程.〔3〕拓展遷移如圖3，梯形ABCD中，DC∥AB，點(diǎn)E是BC延長線上一點(diǎn)，AE和BD相交于點(diǎn)F，假設(shè)，那么的值是〔用含的代數(shù)式表示〕.解析：〔1〕如圖1，利用得△EHF∽△ABF，對應(yīng)邊成比例得AB=3EH，然后利用中位線定理得CG=2EH，又∵CD=AB，∴得出CD與CG的關(guān)系；〔2〕與〔1〕方法道理都相同；〔3〕此問是〔1〕、〔2〕類比、拓展延伸，根據(jù)前面問題研究方法，要利用所給條件，所以添加如圖3，過點(diǎn)E作EH∥AB交BD的延長線于點(diǎn)H，那么有,,兩式相比就可得出〔1〕(2)作EH∥AB交BG于點(diǎn)H，那么△EHF∽△ABF∴∵AB=CD，∴EH∥AB∥CD，∴△BEH∽△BCG∴，∴CG=2EH∴〔3〕點(diǎn)評：這是一道幾何綜合題，利用平行線截三角形相似，對應(yīng)線段成比例，關(guān)鍵是研究問題的方法，類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方的滲透，這類題的一層一層推進(jìn)，但方法總是類似的，原理是一樣的.〔2023湖北武漢，24，10分〕△ABC中，AB＝2，AC＝4，BC＝6〔1〕如圖1點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，在線段AC上取點(diǎn)N，使△AMN與△ABC相似，求線段MN的長；〔2〕如圖2,是由100個邊長為1的小正方形組成的10×10正方形網(wǎng)格，設(shè)頂點(diǎn)在這些小正方形頂點(diǎn)的三角形為格點(diǎn)三角形，=1\*GB3①請你在所給的網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△A1B1C1，使得△A1B1C1與△ABC全等〔畫出一個即可，不需證明〕=2\*GB3②試直接寫出在所給的網(wǎng)格中與△ABC相似且面積最大的格點(diǎn)三角形的個數(shù)，并畫出其中的一個〔不需證明〕解析：1、當(dāng)△AMN∽△ABC時，易證MN為中位線，MN==3，當(dāng)△AMN∽△ACB時,有,根據(jù)AM,AC,BC的值，可求出MN。2=1\*GB3①從整數(shù)邊BC出發(fā),選定BC,然后分別過B、C作邊2、4長即可，=2\*GB3②關(guān)鍵在于怎樣在格點(diǎn)中找到面積最大的相似三角形，可考慮在格點(diǎn)中先畫出最長的三角形最長邊〔AC的對應(yīng)邊〕—正方形對角線，從而找到最大三角形。解：1、如圖，當(dāng)△AMN∽△ACB時,有∵M(jìn)為AB中點(diǎn)，AB=2∴AM=∵BC=6，AC=4∴MN=當(dāng)△AMN∽△ABC時，有∠ANM=∠C,∴=∴MN==3∴MN的長為或32、〔1〕如圖3〔答案不唯一〕〔2〕8個，如圖4〔答案不唯一〕點(diǎn)評：此題既考察了相似三角形的性質(zhì)，也考察了圖形的變換作圖，在于學(xué)生需分兩種情況討論，學(xué)生容易忽略；〔2〕問難度在于怎樣找到相似三角形中面積最大的以及找出所有這樣的三角形的個數(shù)，解題時關(guān)鍵在于找到網(wǎng)格中的最長線段，讓它與三角形最長邊對應(yīng)。題目難度較大。(2023山東日照，21，9分)如圖，在正方形ABCD中，E是BC上的一點(diǎn),連結(jié)AE，作BF⊥AE，垂足為H,交CD于F,作CG∥AE,交BF于G.(1)求證CG=BH;(2)FC2=BF·GF;(3)=.BBACDHEFG解析：(1)可證△ABH≌△BCG；(2)證△CFG∽△BFC可得；(3)先證△BCG∽△BFC得BC2=BF·BG,結(jié)合AB=BC可得.證明：〔1〕∵BF⊥AE，CG∥AE,CG⊥BF,∴CG⊥BF.∵在正方形ABCD中，∠ABH+∠CBG=90o,∠CBG+∠BCG=90o,∠BAH+∠ABH=90o,∴∠BAH=∠CBG,∠ABH=∠BCG,AB=BC,∴△ABH≌△BCG,∴CG=BH;(2)∵∠BFC=∠CFG,∠BCF=∠CGF=90o,∴△CFG∽△BFC,∴,即FC2=BF·GF;(3)由〔2〕可知，BC2=BG·BF,∵AB=BC,∴AB2=BG·BF,∴==即=點(diǎn)評：此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形和相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找到全等〔或相似〕三角形，并找到三角形全等〔或相似〕的條件.〔2023，黔東南州，21〕如圖，⊙O是△ABC的外接圓，圓心O在AB上，過點(diǎn)B作⊙O的切線交AC的延長線于點(diǎn)D。〔1〕求證：△ABC∽△BDC?！?〕假設(shè)AC=8，BC=6，求△BDC的面積。解析：第〔1〕小題要證三角形相似，由題意只需證兩角相等即可.第〔2〕小題要利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出的長，這樣就可以求出△BDC的面積.解：(1)證明：.,,,.又,△ABC∽△BDC.(2)△ABC∽△BDC,,.點(diǎn)評：此題以根本圖形：三角形與圓相結(jié)合為背景，綜合考察了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的面積計(jì)算等知識，是一道比擬簡單的題目，能讓學(xué)生發(fā)揮自己的思維水平，難度較小.〔2023四川宜賓，24，12分〕如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，將△DEF與△ABC重合在一起，△ABC不動，△DEF運(yùn)動，并滿足：點(diǎn)E在邊BC上沿B到C的方向運(yùn)動，且DE始終經(jīng)過點(diǎn)A,EF與AC交于M點(diǎn)。求證：△ABE∽△ECM;探究：在△DEF運(yùn)動過程中，重疊局部能否構(gòu)成等腰三角形，假設(shè)能，求出BE的長；假設(shè)不能，請說明理由；當(dāng)線段AM最短時，求重疊局部的面積?！窘馕觥俊?〕由AB=AC，根據(jù)等邊對等角，可得∠B=∠C，又由△ABC≌△DEF與三角形外角的性質(zhì)，易證得∠CEM=∠BAE，那么可證得：△ABE∽△ECM；〔2〕首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，可得AE≠AM，然后分別從AE=EM與AM=EM去分析，注意利用全等三角形與相似三角形的性質(zhì)求解即可求得答案；〔3〕首先設(shè)BE=x，由△ABE∽△ECM，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，易得CM=﹣+x=﹣〔x﹣3〕2+，繼而求得AM的值，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得線段AM的最小值，繼而求得重疊局部的面積．【答案】〔1〕證明：∵AB=AC,∴∠B=∠C,又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE又△ABC≌△DEF,∴∠AEF=∠B,∴∠CEM=∠BAE,∴△ABE∽△ECM〔2〕解：∵∠AEF=∠B=∠C,且∠AME＞∠C∴∠AME＞∠AEF,∴AE≠AM當(dāng)AE=EM時，那么△ABE≌ECM∴CE=AB=5，∴BE=BC-EC=1當(dāng)AM=EM時，∴∠MAE=∠MEA∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM即∠CAB=∠CAE又∵∠C=∠C,∴△CAE∽△CBA,∴∴CE=,∴BE=6-=〔3〕解：設(shè)BE=x，又∵△ABE∽△ECM∴,∴∴CM=－=+∴AM=5-CM=5-﹝+﹞=+,∴當(dāng)x=3時，AM最短為，又當(dāng)BE=x=3=,點(diǎn)C為BC的中點(diǎn)，∴AE⊥BC,∴AE==4此時，EF⊥AC,∴EM=,∴S△AEM=．【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值問題．此題難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與函數(shù)思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．本小題也可以用幾何法求解?！?023年廣西玉林市，10，3〕如圖，正方形ABCD的兩邊BC、AB分別在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的x軸、y軸的正半軸上，正方形A′B′C′D′與正方形ABCD是以AC的中點(diǎn)O′為中心的位似圖形，AC=，假設(shè)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為〔1，2〕，那么正方形A′B′C′D′與正方形ABCD的相似比是〔〕分析：延長A′B′交BC于點(diǎn)E，根據(jù)大正方形的對角線長求得其邊長，然后求得小正方形的邊長后即可求兩個正方形的相似比．解：∵在正方形ABCD中，AC=∴BC=AB=3，延長A′B′交BC于點(diǎn)E，∵點(diǎn)A′的坐標(biāo)為〔1，2〕，∴OE=1，EC=A′E=3-1=2，∴正方形A′B′C′D′的邊長為1，∴正方形A′B′C′D′與正方形ABCD的相似比是．應(yīng)選B．點(diǎn)評：此題考查了位似變換和坐標(biāo)與圖形的變化的知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)條件求得兩個正方形的邊長．〔2023年吉林省，第25題、10分．〕如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm,AC=4cm,動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以1cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)B同時出發(fā)，沿BA方向以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時，P,Q兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動．以AP為一邊向上作正方形APDE，過點(diǎn)Q作QF∥BC,交AC于點(diǎn)F.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為ts,正方形APDE和梯形BCFQ重合局部的面積為Scm2．〔1〕當(dāng)t=_____s時，點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合；〔2〕當(dāng)t=_____s時，點(diǎn)D在QF上；〔3〕當(dāng)點(diǎn)P在Q,B兩點(diǎn)之間〔不包括 Q,B兩點(diǎn)〕時，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．【解析】(1)由于P,Q的運(yùn)動速度相同都是1cm/s，所以P,Q重合的點(diǎn)是AB的中點(diǎn)．(2)由QF‖BC可證△AQF∽△ABC,得出比例式，問題得證．∽要分兩種情況：①當(dāng)時，重合局部的圖形是直角梯形．確定上下底和高．需證△FEG∽△FAQ和△AQF∽△ABC.②當(dāng)時，重合局部的圖形是六邊形．它的面積【答案】〔1〕∵P,Q的運(yùn)動速度都是1cm/s,∴P,Q在AB的中點(diǎn)重合．∴當(dāng)t=1s時，P,Q重合．〔2〕∵QF‖AC∴即∴AF=4-2t又DP‖AF∴即〔3〕①當(dāng)1＜t≤時，如圖1、圖2.∵FQ‖BC∴即AF=4-2t，EF=4-3t又DE‖AB∴△FEG∽△FAQ得，EG=∴GD=t-()=QP=AP-AQ=t-(2-t)=2t-2S=②當(dāng)時，由△AFQ∽△ABC得，,AF=4-2x.∴同理由△CEH∽△CBA可得EH=，HD=；△BPG∽△BAC,得PG=4-2t，DG=t-(4-2t)=3t-4∴S===【點(diǎn)評】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，利用分類討論思想進(jìn)行分析即可得出答案是解題關(guān)鍵．〔2023陜西18，6分〕如圖，在中，的平分線分別與、交于點(diǎn)、．〔1〕求證：；〔2〕當(dāng)時，求的值．【解析】〔1〕由等角對等邊來進(jìn)行證明；〔2〕由△∽△先求出，再求.【答案】解：〔1〕如圖，在中，，∴．∵是的平分線，∴．∴．∴．〔2〕∴△∽△，∴，∴．【點(diǎn)評】此題綜