專題2.6直線與圓的位置關(guān)系大題專練（培優(yōu)強(qiáng)化30題）-2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【蘇科版】（解析版）

2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【蘇科版】專題2.6直線與圓的位置關(guān)系大題專練（培優(yōu)強(qiáng)化30題）一、解答題1．（2021·江蘇鹽城·九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠ABC=90o，利用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)的字母．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）(1)①作∠BAC的平分線，交BC于點(diǎn)O；②以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓；(2)在你所作的圖中，判斷AC與⊙O的位置關(guān)系并說(shuō)明理由；(3)若AB=6，BC=8，求⊙O的半徑．【答案】(1)①見(jiàn)解析②見(jiàn)解析(2)AC與⊙O相切，理由見(jiàn)解析(3)3【分析】（1）根據(jù)題意直接作圖即可；（2）根據(jù)（1）中作圖方法得出AO平分∠BAC，由角平分線的性質(zhì)得出OE=OB，利用切線的判定方法證明即可；（3）設(shè)⊙O的半徑為r，根據(jù)三角形等面積法列出一元一次方程求解即可．（1）解：如圖所示（2）AC與⊙O相切，

證明：過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC于點(diǎn)E，∵∠ABC=90°，AO平分∠BAC，∴OE=OB，又∵OE⊥AC，OB為圓的半徑，∴AC與⊙O相切；（3）設(shè)⊙O的半徑為r，∵S又∵AB=6，BC=8，∠ABC=90°∴AC=10∴1∴1∴r=3即⊙O的半徑為3．【點(diǎn)睛】題目主要考查基本的作圖方法及角平分線的性質(zhì)，切線的判定，一元一次方程的應(yīng)用等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．2．（2021·江蘇泰州·九年級(jí)期中）如圖，在△AEF中，點(diǎn)O是AF上的一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，AO為半徑的⊙O與△AEF的三邊分別交于點(diǎn)B、C、D．給出下列信息：①AD平分∠EAF；②∠AEF＝90°；③直線EF是⊙O的切線．(1)請(qǐng)?jiān)谏鲜?條信息中選擇其中兩條作為條件，其余的一條信息作為結(jié)論，組成一個(gè)真命題．你選擇的條件是，結(jié)論是（只要填寫(xiě)序號(hào)），并說(shuō)明理由．(2)在（1）的情況下，若AO＝2，DF＝42，求BF的長(zhǎng)【答案】(1)①②，③（答案不唯一）理由見(jiàn)解析(2)4【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)與判定任選2個(gè)作為條件，剩下的一個(gè)作為結(jié)論；（2）連接DO，在直角三角形ODF中利用勾股定理得OD（1）解：選擇條件是①AD平分∠EAF；②∠AEF＝90°；結(jié)論是③直線EF是⊙O的切線．理由如下，連接DO，∵AD平分∠EAF；∴∠EAD=∠OAD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠ODA=∠EAD，∴AE∥∵∠AEF=90°，∴AE⊥EF，∴OD⊥EF，∴直線EF是⊙O的切線．故答案為：①②，③選擇條件是①AD平分∠EAF；③直線EF是⊙O的切線；結(jié)論是②∠AEF＝90°．理由如下，∵連接DO，∵AD平分∠EAF；∴∠EAD=∠OAD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠ODA=∠EAD，∴AE∥∵直線EF是⊙O的切線．∴OD⊥EF，∴AE⊥EF，∴∠AEF=90°，選擇條件是②∠AEF＝90°；③直線EF是⊙O的切線；結(jié)論是①AD平分∠EAF．理由如下，∵連接DO，∵直線EF是⊙O的切線，∠AEF=90°，∴OD⊥EF，AE⊥EF，∴AE∥∴∠ODA=∠EAD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠EAD=∠OAD，∴AD平分∠EAF；（2）連接DO，∵直線EF是⊙O的切線，∴OD⊥EF，在直角三角形ODF中，由勾股定理得OD∵AO＝2，DF＝42∴OD=AO=BO=2，∴2解得OF=6，∴BF=OF-OB=6-2=4．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的的性質(zhì)與判定，勾股定理，掌握切線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．3．（2021·江蘇淮安·九年級(jí)期中）如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別是D、E、F．已知∠A＝100°，(1)則∠DFE的度數(shù)＝__________°．(2)連接OA、OC，則∠AOC的度數(shù)＝__________°．(3)連接DE，若△ABC的周長(zhǎng)為20cm，AC【答案】(1)60(2)120(3)4cm【分析】（1）由已知中∠A=100°，∠C=20°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得∠B的大小，結(jié)合切線的性質(zhì)，可得∠DOE的度數(shù)，再由圓周角定理即可得到∠DFE的度數(shù)．（2）根據(jù)切線長(zhǎng)定理，可得∠FAO=∠DAO=12∠DAF=50°，∠FCO=∠ECO=12∠ECF（3）根據(jù)題意以及切線長(zhǎng)定理求得BE=4，證明△BDE是等邊三角形即可求解．(1)解：∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別是D、E、F∴∠BDO=∠BEO=90°∴∠BDO+∠BEO=180°∵∠B=180°-∠A-∠C=180-100°-20°=60°，∴∠DOE=180°-∠B=180°-60°=120°，又∵DE=∴∠DFE=12∠DOE=60°故答案為：60；(2)如圖，連接OA,OC,OF，∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別是D、E、F，∴CE=CF，AD=AF，∴∠FAO=∠DAO=12∠DAF=50°，∠FCO=∠ECO=12∠ECF∴∠AOC=180°-∠FAO-∠FCO=120°，故答案為：120；(3)如圖，連接DE，∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別是D、E、F，∴CE=CF，AD=AF，BD=BE，設(shè)AD=AF=a，BD=BE=b，CE=CF=c，∵△ABC的周長(zhǎng)為20cm∴2a+b+c=20cm，a+c=6∴b=4cm，即BD=BE=4cm，∵BD=BE，∠B=60°，∴△BDE是等邊三角形，∴DE=BD=4cm．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，掌握切線長(zhǎng)定理是解題的關(guān)鍵．4．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)期中）平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB＝3，AD＝5，點(diǎn)P在對(duì)角線AC上運(yùn)動(dòng)，以P為圓心，PA為半徑作⊙P．(1)當(dāng)⊙P與邊CD相切時(shí)，AP＝；(2)當(dāng)⊙P與邊BC相切時(shí)，求AP的長(zhǎng)；(3)請(qǐng)根據(jù)AP的取值范圍探索⊙P與平行四邊形ABCD四邊公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【答案】(1)2(2)1.5(3)當(dāng)0＜AP＜1.5和3.125＜AP≤4時(shí)，2個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)AP＝1.5和AP＝3.125時(shí)，3個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)1.5＜AP＜3.125時(shí)，4個(gè)公共點(diǎn)【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB⊥AC，根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)切線的性質(zhì)求出AP；(2)根據(jù)切線的性質(zhì)得到PE⊥BC，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程求出AP；(3)根據(jù)勾股定理求出OP過(guò)點(diǎn)D時(shí)AP的長(zhǎng)，結(jié)合圖形得到OP與平行四邊形ABCD四邊公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．(1)解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，BC＝AD＝5，∵AB⊥AC，∴∠ACD＝∠BAC＝90°，∴AC＝BC2-AB2當(dāng)⊙P與邊CD相切時(shí)，AC為⊙P的直徑，∴AP＝2．故答案為：2．(2)如圖2，當(dāng)⊙P與邊BC相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為E，連接PE，則PE⊥BC，∵AB⊥AC，點(diǎn)P在邊AC上，∴⊙P與AB相切，∵⊙P與BC相切于點(diǎn)E，∴BE＝AB＝3，EC＝2，設(shè)AP＝x，則PE＝x，PC＝4﹣x，在Rt△PCE中，由勾股定理得x2+4＝（4﹣x）2，解得，x＝1.5，即AP＝1.5．故答案為：1.5．(3)如圖3，當(dāng)⊙P過(guò)點(diǎn)D時(shí)，連接PD，設(shè)AP＝x，則PD＝x，PC＝4﹣x，在Rt△PCD中，由勾股定理得（4﹣x）2+9＝x2，解得x＝3.125，即AP＝3.125，則⊙P與平行四邊形ABCD四邊公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)情況如下：當(dāng)0＜AP＜1.5和3.125＜AP≤4時(shí)，2個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)AP＝1.5和AP＝3.125時(shí)，3個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)1.5＜AP＜3.125時(shí)，4個(gè)公共點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，掌握切線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．5．（2022·江蘇·九年級(jí)期中）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的一條弦，AB⊥CD,連接AC,OD.(1)求證：∠BOD=2∠A;(2)連接DB,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥DB,交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DO,交AC于點(diǎn)F，若F為AC的中點(diǎn)，求證：直線CE為⊙O的切線．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)AB交CD于點(diǎn)H，連接OC，證明Rt△COH?Rt△DOH，故可得∠COH=∠DOH，于是BC=（2）連接AD，解出∠COB=60°，根據(jù)AB為直徑得到∠ADB=90°，進(jìn)而得到∠ABD=60°，即可證明OC∥DB，故可證明直線CE為⊙O的切線．（1）證明：設(shè)AB交CD于點(diǎn)H，連接OC，由題可知，∴OC=OD，∠OHC=∠OHD=90°，∵OH=OH，∴Rt∴∠COH=∠DOH，∴BC∴∠COB=∠BOD，∵∠COB=2∠A，∴∠BOD=2∠A；（2）證明：連接AD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，同理可得：∠OAC=∠OCA,∠OCD=∠ODC，∵點(diǎn)H是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，∴∠OAD=∠ODA=∠OAC=∠OCA=∠OCD=∠ODC，∵∠OAD+∠ODA+∠OAC+∠OCA+∠OCD+∠ODC=180°，∴∠OAD=∠ODA=∠OAC=∠OCA=∠OCD=∠ODC=30°，∴∠COB=2∠CAO=2×30°=60°，∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，∴∠ABD=90-∠DAO=90°-30°=60°，∴∠ABD=∠COB=60°，∴OC∥DE，∵CE⊥BE，∴CE⊥OC，∴直線CE為⊙O的切線．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的判定與性質(zhì)，同弧所對(duì)的圓周角相等，圓周角定理，直線平行的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和公式，證明三角形全等以及證明平行線是解題的關(guān)鍵．6．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)期中）如圖，AB為⊙O的直徑，D、E在⊙O上，C是AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠CEB=∠D．(1)判斷直線CE與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若∠D=35°，則∠C的度數(shù)為_(kāi)_____°．【答案】(1)CE與⊙O相切，理由見(jiàn)解析(2)20【分析】（1）連接OE，由圓周角定理證得∠EAB+∠EBA=90°，由已知和等腰三角形的性質(zhì)證得∠EAB=∠CEB，∠OEB=∠OBE，進(jìn)而證得∠OEC=90°，根據(jù)切線的判定定理即可證得CE與⊙O相切；（2）先求出∠CEB=∠EAB=35°，進(jìn)而求出∠EBA=55°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求出∠C．(1)證明：CE與⊙O相切，理由如下：連接OE，∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEB=90°，∴∠EAB+∠EBA=90°，∵∠EAB=∠D，∠CEB=∠D，∴∠EAB=∠CEB，∵OE=OB，∴∠OEB=∠OBE，∴∠OEC=∠OEB+∠CEB=∠EBA+∠EAB=90°，∵OE是⊙O的半徑，∴CE與⊙O相切；(2)解：由（1）知∠EAB+∠EBA=90°，∵∠EAB=∠D=35°，∴∠EBA=90°-35°=55°，∠CEB=∠D=35°，∵∠EBA=∠CEB+∠C，∴∠C=∠EBA-∠CEB=55°-35°=20°，故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，圓周角定理，三角形的外角定理，根據(jù)圓周角定理∠CEB=∠EAB是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．7．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)期中）如圖，已知AB是⊙P的直徑，點(diǎn)C在⊙P上，D為⊙P外一點(diǎn)，且∠ADC＝90°，2∠B＋∠DAB＝180°(1)試說(shuō)明：直線CD為⊙P的切線．(2)若∠B＝30°，AD＝2，求CD的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)2【分析】（1）連接PC，則∠APC＝2∠B，可證PC∥DA，證得PC⊥CD，則結(jié)論得證；（2）連接AC，根據(jù)∠B=30°，等腰三角形外角性質(zhì)∠CPA=2∠B=60°，再證△APC為等邊三角形，可求∠DCA=90°-∠ACP=90°-60°=30°，AD＝2，∠ADC＝90°，利用30°直角三角形性質(zhì)得出AC=2AD=4，然后根據(jù)勾股定理CD==A（1）連接PC，∵PC＝PB，∴∠B＝∠PCB，∴∠APC＝2∠B，∵2∠B+∠DAB＝180°，∴∠DAP+∠APC＝180°，∴PC∥DA，∵∠ADC＝90°，∴∠DCP＝90°，即DC⊥CP，∴直線CD為⊙P的切線；（2）連接AC，∵∠B=30°，∴∠CPA=2∠B=60°，∵AP=CP，∠CPA=60°，∴△APC為等邊三角形，∵∠DCP=90°，∴∠DCA=90°-∠ACP=90°-60°=30°，∵AD＝2，∠ADC＝90°，∴AC=2AD=4，∴CD==A【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定、平行線判定與性質(zhì)，勾股定理、等腰三角形性質(zhì)，外角性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決問(wèn)題．8．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)期中）數(shù)學(xué)課上老師提出問(wèn)題：“在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，E是AB的中點(diǎn)，P是BC邊上一點(diǎn)，以P為圓心，PE為半徑作⊙P，當(dāng)BP等于多少時(shí)，⊙P與矩形ABCD的邊相切？”．小明的思路是：解題應(yīng)分類討論，顯然⊙P不可能與邊AB及BC所在直線相切，只需討論⊙P與邊AD及CD相切兩種情形．請(qǐng)你根據(jù)小明所畫(huà)的圖形解決下列問(wèn)題：(1)如圖1，當(dāng)⊙P與AD相切于點(diǎn)T時(shí)，求BP的長(zhǎng)；(2)如圖2，當(dāng)⊙P與CD相切時(shí)，①求BP的長(zhǎng)；②若點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC移動(dòng)，連接AQ，M是AQ的中點(diǎn)，則在點(diǎn)Q的移動(dòng)過(guò)程中，直接寫(xiě)出點(diǎn)M在⊙P內(nèi)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】(1)BP=23(2)①4.8；②9.6【分析】（1）連接PT，由⊙P與AD相切于點(diǎn)T，可得四邊形ABPT是矩形，即得PT=AB=4=PE，在Rt△BPE中，用勾股定理即得BP=23；（2）①由⊙P與CD相切，有PC=PE，設(shè)BP=x，則PC=PE=10-x，在Rt△BPE中，由勾股定理得x2+22=（10-x）2，即可解得BP=4.8；②點(diǎn)M在⊙P內(nèi)的路徑為EM，過(guò)P作PN⊥EM于N，由EM是△ABQ的中位線，可得四邊形BPNE是矩形，即知EN=BP=4.8，故EM=2EN=9.6．(1)連接PT，如圖：∵⊙P與AD相切于點(diǎn)T，∴∠ATP=90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90°，∴四邊形ABPT是矩形，∴PT=AB=4=PE，∵E是AB的中點(diǎn)，∴BE=12AB=2在Rt△BPE中，BP=P(2)①∵⊙P與CD相切，∴PC=PE，設(shè)BP=x，則PC=PE=10-x，在Rt△BPE中，BP2+BE2=PE2，∴x2+22=（10-x）2，解得x=4.8，∴BP=4.8；②點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC移動(dòng)，M是AQ的中點(diǎn)，點(diǎn)M在⊙P內(nèi)的路徑為EM，過(guò)P作PN⊥EM于N，如圖：由題可知，EM是△ABQ的中位線，∴EM∥BQ，∴∠BEM=90°=∠B，∵PN⊥EM，∴∠PNE=90°，EM=2EN，∴四邊形BPNE是矩形，∴EN=BP=4.8，∴EM=2EN=9.6．故答案為：9.6．【點(diǎn)睛】本題考查矩形與圓的綜合應(yīng)用，涉及直線和圓相切、勾股定理、動(dòng)點(diǎn)軌跡等，解題的關(guān)鍵是理解M的軌跡是△ABQ的中位線．9．（2021·江蘇·蘇州市第十六中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)A和動(dòng)點(diǎn)P在直線l上，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為Q，以AQ為邊作Rt△ABQ，使∠BAQ＝90°，AQ：AB＝3：4，作△ABQ的外接圓O．點(diǎn)C在點(diǎn)P右側(cè)，PC＝4，過(guò)點(diǎn)C作直線m⊥l，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥m于點(diǎn)D，交AB右側(cè)的圓弧于點(diǎn)E．在射線CD上取點(diǎn)F，使DF＝32CD，以DE，DF為鄰邊作矩形DEGF．設(shè)AQ＝3(1)用關(guān)于x的代數(shù)式表示BQ＝，DF＝．(2)當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，若矩形DEGF的面積等于90，求AP的長(zhǎng)．(3)當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，作直線BG交⊙O于點(diǎn)N，若BN的弦心距為2，求AP的長(zhǎng)．【答案】(1)5x，3x(2)9(3)12【分析】（1）設(shè)AB交OD于點(diǎn)H，根據(jù)AQ：AB＝3：4，AQ＝3x．可得AB=4x，再由勾股定理可得BQ=5x，再由∠BAQ＝90°，可得BQ為直徑，從而得到AH=12AB=2x，進(jìn)而得到CD=2x，再由DF＝32CD（2）過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AQ于點(diǎn)M，根據(jù)題意可得CQ=6x+4，再證得OD=MC，根據(jù)BQ為直徑，可得QM=AM=12AQ=32x（3）過(guò)點(diǎn)B作BJ⊥EG于點(diǎn)J，過(guò)點(diǎn)O作OK⊥BN于點(diǎn)K，連接NQ，設(shè)直線BG交直線l于點(diǎn)I，則OK=2，∠NQB=90°，點(diǎn)K為BN的中點(diǎn)，可先證明∠JBG=45°，從而得到∠NIQ=45°，進(jìn)而得到IN=NQ=4，AI=AB=4x，即可求解．(1)解：如圖，設(shè)AB交OD于點(diǎn)H，在Rt△ABQ中，∵AQ：AB＝3：4，AQ＝3x．∴AB=4x，∴BQ=AB∵m⊥l，OD⊥m，∴OD∥l，CD=AH，∵∠BAQ＝90°，∴BQ為直徑，∴OB=OQ，∴BHAH=OBOQ=1∴CD=2x，∵DF＝32∴DF=3x；(2)解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AQ于點(diǎn)M，∵AP=AQ=3x，PC=4，∴CQ=6x+4，∵AB⊥AQ，∴OM∥AB，∵DE⊥DF，∴OD=MC，∵∠BAQ＝90°，∴BQ為直徑，∴OB=OQ，∴QM=AM=12∴OD=MC=32∵OE=12∴DE=2x+4，∵矩形DEGF的面積等于90，∴DE×DF=3x2x+4=90解得：x1=3,∴AP=3x=9；(3)解：過(guò)點(diǎn)B作BJ⊥EG于點(diǎn)J，過(guò)點(diǎn)O作OK⊥BN于點(diǎn)K，連接NQ，設(shè)直線BG交直線l于點(diǎn)I，則OK=2，∠NQB=90°，點(diǎn)K為BN的中點(diǎn)，∵點(diǎn)O為BQ的中點(diǎn)，∴NQ=2OK=4，∵EG⊥DE，AB⊥OD，∴BJ=HE，JE=BH=2x，∵GE=DF=3x，∴GJ=x，由（1）知H為AB的中點(diǎn)，∴OH=12∴BJ=HE=OE-OH=52∴BJ=GJ，∴∠GBJ=45°，根據(jù)題意得：BJ∥IQ，∴∠NIQ=45°，∴∠IQN=45°，∠ABN=45°，∴∠NIQ=∠IQN，∠NIQ=∠ABN，∴IN=NQ=4，AI=AB=4x，∴IQ=42，IQ=AI-AQ=4x-3x=x∴x=42∴AP=3x=122【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，圓中圓周角是直角所對(duì)的弦為直徑，勾股定理，垂徑定理，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)，圓中直角所對(duì)的弦為直徑，勾股定理，垂徑定理，矩形的性質(zhì)等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10．（2016·江蘇鹽城·九年級(jí)期中）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，作OD∥BC與過(guò)點(diǎn)A的切線交于點(diǎn)D，連接DC并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AE＝6，CE＝23，求線段CE、BE與劣弧BC所圍成的圖形面積．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）23﹣23【分析】（1）由題意可證△ADO≌△CDO，可得∠DCO＝∠DAO＝90°，即可證DE是⊙O的切線；（2）由題意可證△CBE∽△ACE，可求BE的長(zhǎng)，AB的長(zhǎng)，OB的長(zhǎng)，OC的長(zhǎng)，根據(jù)銳角三角函數(shù)可求∠COB＝60°，根據(jù)線段CE、BE與劣弧BC所圍成的圖形面積＝△COE的面積﹣扇形OBC的面積可求解．【詳解】解：（1）證明：連接OC，∵AD是⊙O的切線∴∠DAO＝90°∵OC＝OB∴∠OBC＝∠OCB∵OD∥BC∴∠DOC＝∠OCB，∠DOA＝∠OBC∴∠DOA＝∠DOC且AO＝CO，DO＝DO∴△ADO≌△CDO（SAS）∴∠DCO＝∠DAO＝90°∵∠DCO＝90°，OC是半徑∴DE是⊙O的切線；（2）∵DE是⊙O的切線，AB是直徑，∴∠ACB=∠ECO=90°,∴∠ACO=∠ECB,∵OA=OC,∴∠OCA=∠CAB,∴∠ECB＝∠CAB，且∠CEA＝∠CEA∴△CBE∽△ACE∴CEAE=∴BE＝2∵AB＝AE﹣BE∴BA＝4∴OB＝2＝AO＝OC∴OE＝4∵sin∠COE＝CEOE＝23∴∠COE＝60°∴線段CE、BE與劣弧BC所圍成的圖形面積＝12×2×23﹣60°×π×4360°＝【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，熟練運(yùn)用相似三角形求線段的長(zhǎng)度是解答本題的關(guān)鍵．11．（2021·江蘇·南京鄭和外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，在△ABE中，AB＝AE，以AB為直徑作⊙O，與邊BE交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AE，垂足為D．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）24【分析】（1）連接OC，證明OC∥AE，則∠OCD＝∠CDE＝90°，由切線的判定定理即可證明CD是⊙O的切線；（2）連接AC，由AB是⊙O的直徑得∠ACB＝90°，根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再由等腰三角形的性質(zhì)得EC＝BC＝6，再用面積法列方程求出CD的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：如圖，連接OC，∵OC=OB，∴∠OCB=∠B，∵AB=AE，∴∠E=∠B，∴∠OCB=∠E，∴OC∥AE，∵CD⊥AE于點(diǎn)D，∴∠CDE=90°，∴∠OCD=∠CDE=90°，∵OC是⊙O的半徑，且CD⊥OC，∴CD是⊙O的切線；（2）如圖，連接AC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BE，∵AB=AE，∴EC=BC=6，∵AB=10，BC=6，∴AC=102-∵∠ACE=90°，CD⊥AE，AE=AB=10，∴12AE?CD=12AC×EC=S△∴12×10CD=12∴CD=245∴CD的長(zhǎng)為245．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、用面積法求值等知識(shí)與方法，解題的關(guān)鍵是正確地作出所需要的輔助線．12．（2021·江蘇常州·九年級(jí)期中）△ABC中，∠C＝90°，（1）如圖1，點(diǎn)O在斜邊AB上，以點(diǎn)O為圓心，OB長(zhǎng)為半徑的圓⊙O交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，與邊AC相切于點(diǎn)F，求證：∠1＝∠2；（2）在圖2中作⊙M，使它滿足下列條件：①圓心在邊AB上；②經(jīng)過(guò)點(diǎn)B；③與邊AC相切(尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）連接OF，由OF垂直CA且等于OB，通過(guò)內(nèi)錯(cuò)角相等，△OFB為等腰三角形求得∠1=∠3=∠2（2）利用（1）的結(jié)論，圓O與三角形ABC相切時(shí)，切點(diǎn)F在∠B的平分線上，所以作∠B角平分線交AC于點(diǎn)F，再根據(jù)垂徑定理作FB的中垂線與AB的交點(diǎn)即為圓心．【詳解】解:（1）如圖所示，連接OF∵⊙O與邊AC相切于點(diǎn)F，∴OF⊥AC.∴∠AFO=∠C=90o∴OF∥BC，∴∠1=∠OFB.∵OF=OB，∴∠OFB=∠2，∴∠1=∠2.

（2）如圖2所示.

【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線性質(zhì)和垂徑定理在尺規(guī)作圖中的應(yīng)用，掌握這些知識(shí)點(diǎn)是解體的關(guān)鍵．13．（2021·江蘇南通·九年級(jí)期中）如圖，⊙O是△GDP的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為A、B、H，切線EF與⊙O相切于點(diǎn)C，分別交PA、PB于點(diǎn)E、F．（1）若△PEF的周長(zhǎng)為12，求線段PA的長(zhǎng)；（2）若∠G＝90°，GD=3，GP=4，求⊙O半徑．【答案】（1）6；（2）1【分析】（1）由切線長(zhǎng)定理可得PA=PB，EA=EC，F(xiàn)C=FB，再由△PEF的周長(zhǎng)為12，即可得到PA+PB=12，由此即可得到答案；（2）連接OA、OB、OH、OP、OD、OG，設(shè)圓的半徑為r，由S△DGP=S△DOP+S△DOG【詳解】解：（1）由題意得，AP，BP，EF都是圓O的切線，∴由切線長(zhǎng)定理可得PA=PB，EA=EC，F(xiàn)C=FB，∵△PEF的周長(zhǎng)為12，∴PF+EF+PE=PF+FC+EC+PE=PA+PB=12，∴PA=PB=6；（2）如圖所示，連接OA、OB、OH、OP、OD、OG，設(shè)圓的半徑為r，∴OA=OB=OH=r，由切線的性質(zhì)可得OA⊥PD，OB⊥PG，OH⊥DG，∴S=1∵∠G＝90°，GD=3，GP=4，∴S△DGP=1∴12PD+PG+GD?r∴r=1，∴⊙O的半徑為1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線長(zhǎng)定理，切線的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握切線長(zhǎng)定理和切線的性質(zhì)．14．（2021·江蘇常州·九年級(jí)期中）如圖，⊙O的直徑BE為4，∠BAE的平分線AD交⊙O于點(diǎn)D，交BE于點(diǎn)F，C是BE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且FC＝AC．（1）求BD的長(zhǎng)．（2）求證：AC是⊙O的切線．【答案】（1）22；（2【分析】（1）連接OD，根據(jù)角平分線的定義和圓周角定理可得∠BOD=2∠BAD=90°，由勾股定理求解即可；（2）連接OA，根據(jù)等腰三角形等邊對(duì)等角性質(zhì)可得∠CAF=∠CFA，∠OAF=∠ODF，進(jìn)而可證明OA⊥AC，根據(jù)圓的切線的判定即可證得結(jié)論．【詳解】（1）解：連接OD，∵⊙O的直徑BE為4，∴∠BAE=90°，BO=OD=2，∵AD平分∠BAE，∴∠BOD=2∠BAD=90°，在Rt△BOD中，由勾股定理得：BD=2（2）證明：連接OA，∵FC=AC，OA=OD，∴∠CAF=∠CFA，∠OAF=∠ODF，∵∠CFA=∠DFO，∠BOD=90°，∴∠CAF+∠OAF=∠CFA+∠ODF=∠DFO+∠ODF=90°，∴∠OAC=90°，即OA⊥AC，∵OA為⊙O的半徑，∴AC是⊙O的切線．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義、勾股定理、對(duì)頂角相等、切線的判定、直角三角形的兩銳角互余等知識(shí)，解答的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用．15．（2021·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)期中）如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D、E、F，∠ABC=60°，（1）求∠BOC的度數(shù)．（2）求∠EDF的度數(shù)．【答案】（1）115°；（2）65°【分析】（1）由題意可知BO，CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，則∠OBC和∠OCB的度數(shù)可求出，進(jìn)而可求出∠BOC的度數(shù)；（2）連接OE，OF．由三角形內(nèi)角和定理可求得∠A=50°，由切線的性質(zhì)可知：∠OFA=90°，∠OEA=90°，從而得到∠A+∠EOF=180°，故可求得∠EOF=130°，即可解決問(wèn)題．【詳解】解：（1）∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D、E、F，∴BO，CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，∴∠OBC=12∠ABC=30°，∠OCB=12∠ACB∴∠BOC=180°-30°-35°=115°；（2）如圖所示；連接OE，OF．∵∠ABC=60°，∠ACB=70°，∴∠BAC=180°-60°-70°=50°．∵AB是圓O的切線，∴∠OFA=90°．同理∠OEA=90°．∴∠BAC+∠EOF=180°．∴∠EOF=130°，∴∠EDF=12∠EOF=65°【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、三角形、四邊形的內(nèi)角和、圓周角定理，求得∠EOF的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．16．（2021·江蘇南京·九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在射線AD上，⊙P與直線AB相切，切點(diǎn)為E．（1）求證：⊙P與直線AC相切．（2）當(dāng)⊙P是△ABC內(nèi)切圓時(shí)，求⊙P的半徑．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）r=1.5【分析】（1）如圖，連接PE，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AC，垂足為F，⊙P與直線AB相切，切點(diǎn)為E可得，PE⊥AB，由等腰三角形三線合一可得，∠BAD=∠CAD，即∠EAP=∠FAP，根據(jù)AAS可證△EAP?△FAP，由全等的性質(zhì)可得，PE=PF，故PF為半徑，即得證；（2）如圖，連接BP，CP，設(shè)⊙P半徑為r，根據(jù)勾股定理求出AD，由S△ABP【詳解】解：（1）如圖，連接PE，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AC，垂足為F，∵⊙P與直線AB相切，切點(diǎn)為E，∴PE⊥AB，∵在△ABC中，AB=AC，D為AC的中點(diǎn)，∴∠BAD=∠CAD，即∠EAP=∠FAP，在△EAP與△FAP中，∠AEP=∠AFP=90°∠EAP=∠FAP∴△EAP?△FAP(AAS)，∴PE=PF，∴⊙P與直線AC相切；（2）如圖，連接BP、CP，∵AB=AC=5，BC=6，D為BC的中點(diǎn)，∴BD=3，AD=A設(shè)⊙P半徑為r，∵S∴1∴1解得：r=1.5．【點(diǎn)睛】本題考查圓的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，掌握通過(guò)做輔助線切線的證明方法是解題的關(guān)鍵．17．（2021·江蘇南京·九年級(jí)期中）已知四邊形ABCD中，AD//BC，BC=6，∠B=60°，∠C=90°，AB=m，以BC為直徑作⊙O．（1）如圖①，⊙O與AD邊相切，切點(diǎn)為E，求m的值；（2）就m的取值范圍討論⊙O與邊AB、AD除點(diǎn)B外的公共點(diǎn)總個(gè)數(shù)的情況（直接寫(xiě)出答案）．【答案】（1）m=23；（2）0<m<3或m>23時(shí)，有1個(gè)公共點(diǎn)；m=3或m=23時(shí)，有2個(gè)公共點(diǎn)；3<m<2【分析】（1）連接OE，作AH⊥BC，由題意可知OE=OB=12BC=3，∠AHO=∠HAE=∠AEO=90°，從而四邊形AHOE是矩形，根據(jù)∠B=60°，∠AHB=90°，得到∠BAH=30°（2）當(dāng)點(diǎn)A在⊙O上時(shí)，可求出m=3，然后判斷出當(dāng)m≥3時(shí)，與AB有1個(gè)交點(diǎn)（除B外），m=23，與AD有1個(gè)交點(diǎn)，從而再判斷與邊AB、AD【詳解】解：（1）連接OE，作AH⊥BC，∵BC為直徑，BC=6，∴OB=1∵⊙O與AD邊相切，∴OB=OE=3，∠AEO=90°，∵AH⊥BC，∴∠AHO=90°，∵AD//BC，∴∠AHO=∠HAE=90°，∴∠AHO=∠HAE=∠AEO=90°，∴四邊形AHOE是矩形∴AH=OE=3，∵∠B=60°，∠AHB=90°，∴∠BAH=30°，在Rt△ABH中，∵AH=3，∠BAH=30°，∴AB=23故m=23（2）當(dāng)點(diǎn)A在⊙O上，連接OA，∵OA=OB=3，∠B=60°，∴△AOB為等邊三角形，∴AB=OB=1∴m=3，∴當(dāng)m≥3時(shí)，與AB有1個(gè)交點(diǎn)（除B外），當(dāng)AD與⊙O相切時(shí)，此時(shí)m=23，與AD有1∴3<m<23時(shí)，與邊AB、AD有3個(gè)交點(diǎn)（除B當(dāng)0<m<3時(shí)，與邊AB、AD有1個(gè)交點(diǎn)（除B外），綜上所述：0<m<3或m>23時(shí)，有1個(gè)公共點(diǎn)；m=3或m=23時(shí)，有2個(gè)公共點(diǎn)；3<m<23【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是理解題意．18．（2021·江蘇鹽城·九年級(jí)期中）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D的切線分別交AB，AC的延長(zhǎng)線于E，F(xiàn)，連接BD．（1）求證：AF⊥EF；（2）若AC=6，CF=2，求⊙O的半徑．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）5【分析】（1）連接OD，由切線的性質(zhì)和已知條件可證得OD//EF，則可證得結(jié)論；（2）過(guò)D作DG⊥AE于點(diǎn)G，連接CD，則可證得ΔADF≌ΔADG、ΔCDF≌ΔBDG，則可求得AB的長(zhǎng)，可求得圓的半徑．【詳解】（1）證明：如圖1，連接OD，∵EF是⊙O的切線，且點(diǎn)D在⊙O上，∴OD⊥EF，∵OA=OD，∴∠DAB=∠ADO，∵AD平分∠BAC，∴∠DAB=∠DAC，∴∠ADO=∠DAC，∴AF//OD，∴AF⊥EF；（2）解：如圖2，過(guò)D作DG⊥AE于點(diǎn)G，連接CD，∵∠BAD=∠DAF，AF⊥EF，DG⊥AE，∴BD=CD，DG=DF，在Rt△ADF和Rt△ADG中{∴Rt△ADF≌Rt△ADG(HL)，同理可得Rt△CDF≌Rt△BDG，∴BG=CF=2，AG=AF=AC+CF=6+2=8，∴AB=AG+BG=8+2=10，∴⊙O的半徑OA=1【點(diǎn)睛】本題主要考查切線的性質(zhì)及圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握過(guò)切點(diǎn)的半徑與切線垂直，注意全等三角形的應(yīng)用．19．（2021·江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，直角坐標(biāo)系中，以M（6，0）為圓心的⊙M交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交x軸正半軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C、D．（1）若C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，8），求點(diǎn)A坐標(biāo)．（2）在（1）的條件下，在⊙M上，是否存在點(diǎn)P，使∠CPM＝45°，若存在，求出滿足條件的點(diǎn)P．（3）過(guò)C作⊙M的切線CE，過(guò)A作AN⊥CE于F，交⊙M于N，當(dāng)⊙M的半徑大小發(fā)生變化時(shí)．AN的長(zhǎng)度是否變化？若變化，求變化范圍，若不變，證明并求值．【答案】（1）A（-4，0）；（2）存在兩個(gè)這樣的點(diǎn)P，P1（14，6），P2（﹣2，﹣6）；（3）AN的長(zhǎng)不變?yōu)?2．【分析】（1）結(jié)合題意，連接CM，根據(jù)點(diǎn)M和點(diǎn)C的坐標(biāo)可得出⊙M的半徑，即MA的長(zhǎng)，利用M的坐標(biāo)即可得出A的坐標(biāo)；（2）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，根據(jù)題意，可知△CMP為等腰直角三角形，且CM=MP=10．根據(jù)圓的方程和兩點(diǎn)直接的距離公式列出方程組，解之即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）作MH⊥AN于H，則AH=NH，易證△AMH≌△MCO，故AH=MO．從而可證AH為一定值．【詳解】（1）如圖①，連接CM，在Rt△COM中，OC=8，OM=6，CM=OC2∴AM=10，∴OA=4，∴A（-4，0）；（2）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P（x，y），結(jié)合題意，可得△CMP為等腰直角三角形，且CM=PM=10，故CP=102；又∵M(jìn)（6，0），C（0，8），∴（x-6解之得：x1=14即存在兩個(gè)這樣的點(diǎn)P；P1（14，6），P2（﹣2，﹣6）；（3）AN的長(zhǎng)不變?yōu)?2．如圖②，連接CM，作MH⊥AN于H，則AH=HN，∵EC切⊙M，∴∠ECM=90°，∴四邊形HMCF是矩形，∴∠CMH=90°，在△AMH和△MCO中，∵∠CMO=∠MAH=90°-∠AMH，∠COM=∠AHM=90°，CM=AM，∴△AMH≌△MCO，∴AH=MO=6，即AN=HN+AH=6+6=12．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是垂徑定理的應(yīng)用和切線與圓之間的性質(zhì)關(guān)系，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，方程組的解法，綜合性強(qiáng)，能夠熟練掌握垂徑定理的應(yīng)用和切線與圓之間的性質(zhì)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．20．（2021·江蘇南通·九年級(jí)期中）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，∠ACB的平分線與AB交于點(diǎn)E，與⊙O交于點(diǎn)D，P為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠PCB＝∠PAC．（1）試判斷直線PC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．（2）若AC＝8，BC＝6，求⊙O的半徑及AD的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2）OA=OB=5；AD=【分析】（1）連結(jié)OC，由OA=OC，可得∠ACO=∠CAO=∠BCP，由AB為⊙O的直徑，可得∠ACO+∠OCB=90°，可證∠OCP=90°即可；（2）連結(jié)BD，由AB為⊙O的直徑，可得∠ACB=90°，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，由勾股定理AB=AC2+BC2=10，可求OA=OB=12AB=5；由CD是∠ACB的平分線，可得∠ACD=∠BCD，可得AD=BD【詳解】解：（1）連結(jié)OC，∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO=∠BCP，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，∴∠BCP+∠OCB=90°，∴∠OCP=90°，∴直線PC是⊙O的切線；（2）連結(jié)BD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∴AB=AC2∴OA=OB=12∵CD是∠ACB的平分線，∴∠ACD=∠BCD，∴AD=∴AD=BD，∠ADB=90°，在Rt△ADB中，AB=A∴AD=【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線判定，直徑所對(duì)圓周角是直角，角平分線定義，圓周角弧弦關(guān)系，勾股定理，等腰直角三角形判定與性質(zhì)，掌握?qǐng)A的切線判定，直徑所對(duì)圓周角是直角，角平分線定義，圓周角弧弦關(guān)系，勾股定理是解題關(guān)鍵．21．（2022·江蘇宿遷·九年級(jí)期末）如圖，已知AB⊥MN于點(diǎn)B，且AB＝10cm，將線段AB繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α（0≤α≤360°）得到線段BC，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥MN于點(diǎn)D，⊙O是△BCD的內(nèi)切圓，直線AO、BC相交于點(diǎn)H．(1)若α＝60°，則CD＝cm．(2)若AO⊥BC①點(diǎn)H與⊙O的位置關(guān)系是A．點(diǎn)H在⊙O外B．點(diǎn)H在⊙O上C．點(diǎn)H在⊙O內(nèi)②求線段AO的長(zhǎng)度．(3)線段AB繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，求點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．【答案】(1)5(2)①B；②10cm(3)52【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知BC=BA=10cm，則CD=12BC=5cm（2）①若⊙O與BC相切于P，則OP⊥BC，則點(diǎn)P與H重合，可得答案；②延長(zhǎng)AO交BD于E，利用∠A=∠CBD=90°-α，用α的代數(shù)式表示∠AOB和∠ABO，從而解決問(wèn)題；（3）在直線BD上取BG=BC，連接OG，以BG為斜邊在等腰直角△BFG，利用SAS證明△BOG≌△BOC，得∠BOC=∠BOG，而∠BOC=135°，從而確定點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑．(1)解：∵線段AB繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α（0≤α≤360°）得到線段BC，∴BC=BA=10cm，當(dāng)α=60°時(shí)，∠CBD=30°，∴CD=12BC=5cm故答案為：5；(2)①當(dāng)AO⊥BC時(shí)，則OH⊥BC，若⊙O與BC相切于P，則OP⊥BC，∴點(diǎn)P與H重合，∴點(diǎn)H在⊙O上，故選：B；②延長(zhǎng)AO交BD于E，∵AO⊥BC，∴∠A=∠CBD=90°-α，∵⊙O是△BCD的內(nèi)切圓，∴BO平分∠CBD，∴∠OBC=12∠CBD=45°-12∴∠AOB=90°-∠OBC=90°-（45°-12α）=45°+12∵∠ABO=∠ABC+∠CBO=α+45°-12α=45°+12∴∠AOB=∠ABO，∴AO=AB=10cm；(3)如圖，在直線BD上取BG=BC，連接OG，以BG為斜邊在等腰直角△BFG，∵∠OBG=∠OBC，OB=OB，∴△BOG≌△BOC（SAS），∴∠BOC=∠BOG，∵∠BCD+∠CBD=90°，∴∠BCO+∠OBC=45°，∴∠BOC=135°，∴∠BOG=135°，∴點(diǎn)O在以F為圓心、BF為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∵BG=BC=10cm，∴BF=52cm∴當(dāng)線段AB繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°時(shí)，O運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為90×π×52180=5【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，主要考查了三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)等知識(shí)，構(gòu)造全等三角形得出點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑是解題的關(guān)鍵，屬于中考?jí)狠S題．22．（2022·江蘇·景山中學(xué)八年級(jí)期末）如圖所示，AB為⊙O的直徑，在△ABC中，AB=BC，AC交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為點(diǎn)E．(1)證明DE是⊙O的切線；(2)AD=8，P為⊙O上一點(diǎn)，P到弦AD的最大距離為8．①尺規(guī)作圖作出此時(shí)的P點(diǎn)，保留作圖痕跡；②求DE的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①見(jiàn)解析；②DE=4.8【分析】（1）連接OD、BD，求出BD⊥AC，可得AD=DC，根據(jù)三角形的中位線得出OD∥BC，推出OD⊥DE，根據(jù)切線的判定推出即可；（2）①利用垂徑定理作出AD的垂直平分線即可；②根據(jù)垂徑定理以及勾股定理求得⊙O的半徑和FO，再根據(jù)中位線中位線定理求得BD，然后根據(jù)三角形面積公式即可求解．（1）證明：連接OD，BD，∵AB為⊙O的直徑，∴BD⊥AD，又∵AB=BC，△ABC是等腰三角形，∴BD又是AC邊上的中線，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥BC，又DE⊥BC，∴DE⊥OD，∵OD是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；（2）解：①如圖，作AD的垂直平分線與☉O相交于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．②如圖，AD的垂直平分線與AD相交于點(diǎn)F，連接BD，∵PF⊥AD，∴AF=12AD=4設(shè)☉O的半徑為r，在Rt△AFO中，AF2+FO2=AO2，即42+(8?r)2=r2，解得r=5．∴FO=PF?PO=3，∵FO是△ABD的中位線，∴BD=2FO=6，∵AB為⊙O的直徑，∴BD⊥AC，又∵AB=BC，△ABC是等腰三角形，∴AD=DC=8，∴BC=AB=10，在Rt△BDC中，S△BDC=12BD?CD=12BC?∴DE=4.8．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，三角形中位線等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．23．（2022·江蘇南京·九年級(jí)期末）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC＝45°，連接OC，交AB于點(diǎn)E．過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．(1)求證：OC∥AD；(2)若AE＝25，CE＝2，求⊙O的半徑．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)4【分析】（1）連接OA，根據(jù)切線的性質(zhì)，圓周角定理，同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行；即可證明；（2）連接OA，設(shè)OA＝OC＝r，在Rt△AOE中由勾股定理列方程求解即可；(1)證明：如圖，連接OA，∵AD與⊙O相切，切點(diǎn)為A，∴AD⊥OA，即∠OAD＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝2∠ABC＝90°，∴∠OAD＋∠AOC＝180°，∴OC∥AD．(2)解：如圖，連接OA，設(shè)OA＝OC＝r，∵CE＝2，∴OE＝OC－CE＝r－2，∵在Rt△AOE中，∠AOE＝90°，AE＝25，∴OE2＋OA2＝AE2，即(r－2)2＋r2＝(25)2，2r2-4r-16=0，（r-4）（r+2）=0解得r＝4，或r=-2（舍去），即⊙O的半徑是4．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，平行線的判定，勾股定理；掌握相關(guān)定理和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．24．（2022·江蘇連云港·九年級(jí)期末）已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AB⊥AC,BC交⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，ED與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)若∠F=30°,BF=2，求△ABC外接圓的半徑．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)4【分析】（1）要證明DE是⊙O的切線，想到連接OD，只要證明∠ODE=90°即可，因?yàn)锳B是⊙O的直徑，想到連接AD，可得∠ADB=90°，然后利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊長(zhǎng)的一半，證出ED=EA，再利用等邊對(duì)等角即可解答；（2）根據(jù)已知易求OB=2，然后證明ΔDOB是等邊三角形，求出∠DBO=60°，最后在Rt△ABC中，求出BC(1)證明：連接OD，∵AB⊥AC，∴∠CAB=90°，∴∠CAD+∠DAO=90°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴∠ADC=180°-∠ADB=90°，∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，∴EA=ED=1∴∠EAD=∠EDA，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠EDA+∠ODA=90°，∴∠ODE=90°，∵OD是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；(2)解：∵∠F=30°，BF=2，∠ODF=90°，∴OF=2OD，∴OB+2=2OD，∵OD=OB，∴OD=OB=2，∵∠DOF=90°-∠F=60°，∴Δ∴∠OBD=60°，在Rt△ABC中，AB=2OB=4，∴BC=AB∵ΔABC外接圓的半徑∴ΔABC外接圓的半徑為：【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，三角形的外接圓與外心，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形外接圓的圓心在斜邊中點(diǎn)處．25．（2022·江蘇宿遷·九年級(jí)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，PA切⊙O于點(diǎn)A，連接OP，過(guò)點(diǎn)B作BC∥OP交⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，且AB＝10(1)PC與⊙O有怎樣的位置關(guān)系？為什么？(2)求CE的長(zhǎng)．【答案】(1)PC與⊙O的切線，見(jiàn)解析；(2)CE=72【分析】（1）連接OC，證明△POC≌△POA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠OCP＝∠OAP，根據(jù)切線的性質(zhì)得到（2）連接AE、BE、AC，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AC于(1)解：PC與⊙O的切線，理由如下：連接OC，∵BC∥OP∴∠POC＝∵OB∴∠OBC∴∠POC在△POC和△POA中，OC=OA∴△POC≌△POA∴∠OCP＝∵PA切⊙O于點(diǎn)A，∴OA⊥AP，∴OC⊥CP，∵OC是⊙O的半徑，∴PC與⊙O的切線；(2)連接AE、BE、AC，過(guò)點(diǎn)B作∴∠BME＝∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB＝∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴∠ECB＝∴BM＝CM=22由勾股定理得：EM=BE∴CE＝EM+CM＝442+3【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)、圓周角定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．26．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)期末）如圖：已知線段AM=5，射線AS垂直于AM，點(diǎn)N在射線AS上，設(shè)AN=n，點(diǎn)P在經(jīng)過(guò)點(diǎn)N且平行于AM的直線上運(yùn)動(dòng)，∠PAM的平分線交直線NP于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作QB∥AP，交線段AM于點(diǎn)B，連接PB交AQ于點(diǎn)C，以Q為圓心，QC為半徑作圓．(1)求證：PB與⊙Q相切；(2)已知⊙Q的半徑為3，當(dāng)AM所求直線與⊙Q相切時(shí)，求n的值及PA的長(zhǎng)；(3)當(dāng)n=2時(shí)，若⊙Q與線段AM只有一個(gè)公共點(diǎn)，則⊙Q的半徑的取值范圍是______．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)n=3，AP=3(3)QC=2或5【分析】（1）由角平分線和平行可證PA=PQ，從而得出四邊形APQB為菱形；則PB⊥AQ，垂足為C，即可證明PB與⊙Q相切；（2）由AN=QD=QC=3，AQ=6，∠ADQ=90°，可得AD=33，設(shè)AP=AB=BQ=x，則BD=33-x，在Rt△BDQ（3）當(dāng)⊙Q與AM相切時(shí)，r=2，此時(shí)⊙Q與AM只有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)⊙Q過(guò)點(diǎn)M時(shí)，連接QM，作QE⊥AM于E，設(shè)QM=QC=x，則AQ=2x，由NQ+ME=AM=5得，(2x)2-22+(1)證明：∵∠PAM的角平分線交直線NP于點(diǎn)Q，∴∠PAQ=∠BAQ，∵PQ//AB，∴∠PQA=∠BAQ，∴∠PAQ=∠PQA，∴PA=PQ，又∵QB//PA，∴四邊形APQB為平行四邊形，∴四邊形APQB為菱形；∴PB⊥AQ，垂足為C，∴PB與⊙Q相切；(2)如圖，當(dāng)AM與⊙Q相切于點(diǎn)D時(shí)，AN=QD=QC=3，AQ=6，∠ADQ=90°，在Rt△ADQ中，AD=A設(shè)AP=AB=BQ=x，則BD=33在Rt△BDQ中，(33解得x=23，即AP=2∴n=3，AP=23(3)當(dāng)⊙Q與AM相切時(shí)，r=2，此時(shí)⊙Q與AM只有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)⊙Q過(guò)點(diǎn)M時(shí)，如圖，連接QM，作QE⊥AM于E，設(shè)QM=QC=x，則AQ=2x，由NQ+ME=AM=5得，(2x)2設(shè)x2則方程轉(zhuǎn)化為9y解得y1=5，y2∴x=5當(dāng)⊙Q第二次經(jīng)過(guò)點(diǎn)M時(shí)，作ME⊥NQ于E，設(shè)QM=QC=x，則AQ=2x，由NQ-EQ=AM=5得，(2x)2設(shè)x2則方程轉(zhuǎn)化為9y解得y1=5，∴x1=2053∴⊙Q與線段AM只有一個(gè)公共點(diǎn)，則⊙Q的半徑的取值范圍是QC=2或5<QC?故答案為：2或5<QC?【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程等知識(shí)，求出⊙Q過(guò)點(diǎn)M時(shí)半徑的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，屬于中考?jí)狠S題．27．（2022·江蘇江蘇·九年級(jí)期末）如圖，四邊形OAEC是平行四邊形，以O(shè)為圓心，OC為半徑的圓交CE于D，延長(zhǎng)CO交⊙O于B，連接AD、AB，AB是⊙O的切線．(1)求證：AD是⊙O的切線．(2)若⊙O的半徑為4，AB=8，求平行四邊形OAEC的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)32【分析】（1）連接OD，證明△AOB≌△AOD，可得∠OBA=∠ODA，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OBA=90°，進(jìn)而可得∠ODA=90°，即可證明AD是⊙O的切線；（2）根據(jù)平行四邊形OAEC的面積等于2倍S△ADO（1）證明：連接OD．∵四邊形OAEC是平行四邊形，∴AO∥∴∠AOD=∠ODC,∠AOB=∠OCD∵OD=OC∴∠ODC=∠OCD∴∠AOB=∠AOD又∵AO=AO,?∴△AOB≌△AOD∴∠OBA=∠ODA，∵AB與⊙O相切于點(diǎn)B，∴OB⊥AB∴∠OBA=90°∴∠ODA=90°，∴OD⊥AD又∵OD是⊙O的半徑，∴AD為⊙O的切線．（2）∵△AOB?△AOD∴AB=AD=8在Rt△AOD中，AD=8∴平行四邊形OABC的面積是2【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，掌握切線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．28．（2022·江蘇連云港·九年級(jí)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，BD切⊙O于點(diǎn)B，C是圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，交AB于點(diǎn)P，與DO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，且ED∥AC，連接（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若AB=12，OP：AP=1：2，求PC的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）PC=4【分析】（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OBD=90°，然后利用SAS證出△BOD≌△COD，可得∠OCD=∠OBD=90°，從而證出結(jié)論；（2）直接根據(jù)已知條件求出OP的長(zhǎng)度，結(jié)合半徑OC的長(zhǎng)度，在Rt△OPC中利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接OC．∵DB切⊙O于點(diǎn)B，∴∠OBD=90°．∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO．∵OD∥AC，∴∠COD=∠ACO，∠CAO=∠BOD，∴∠COD=∠BOD．又∵OC=OB，OD=OD，∴△BOD≌△COD(SAS)，∴∠OCD=∠OBD=90°，即OC⊥CD，且OC為直徑，∴CD是⊙O的切線．（2）解：∵AB=12，AB是直徑，∴OB=OA=OC=6．∵OP∶AP=1∶2，∴OP=2，AP=4．∵CE⊥AB，∴∠OPC=90°，在Rt△OPC中，由勾股定理，PC=OC∴PC=42【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本性質(zhì)，切線的判定，以及勾股定理解三角形等，掌握?qǐng)A中的基本性質(zhì)，以及切線的判定方法是解題關(guān)鍵．