解三角形講義(教師版)

實(shí)用文檔解三角形1．正弦、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝c2＋a2－2cacos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C變形(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2．S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計(jì)算R、r.3．在△ABC中，已知a、b和A時(shí)，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解4．實(shí)際問題中的常用角(1)仰角和俯角與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角(如圖①)．(2)方向角：相對(duì)于某正方向的水平角，如南偏東30°，北偏西45°等．(3)方位角指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖②)．(4)坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值．題型一正弦定理（已知兩邊一角）例1．在△ABC中，a=4，b=4，A=45°，則三角形的解的個(gè)數(shù)是（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．不確定 【解答】解：∵a=4，b=4，A=45°，∴則由正弦定理可得：=，∴解得sinB=1．又∵B∈（0°，180°），可得：B=90°，此三角形有1解故選：B．練1.在△ABC中，a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，B＝45°.求角A、C和邊c.解：由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，即eq\f(\r(3),sinA)＝eq\f(\r(2),sin45°)，∴sinA＝eq\f(\r(3),2).∵a>b，∴A＝60°或A＝120°.當(dāng)A＝60°時(shí)，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)；當(dāng)A＝120°時(shí)，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(\r(6)－\r(2),2).（已知兩角一邊）例2．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，則c等于()．A．5eq\r(2)B．10eq\r(2)C.eq\f(10\r(6),3)D．5eq\r(6)解：由A＋B＋C＝180°，知C＝45°，由正弦定理得：eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，即eq\f(10,\f(\r(3),2))＝eq\f(c,\f(\r(2),2)).∴c＝eq\f(10\r(6),3).答案C練1．在中，B＝45°，C＝60°，c＝1，則最短邊的邊長(zhǎng)是A． B． C． D．【解析】∵B角最小，∴最短邊是b，由，得b＝．故選A．（已知三角形中的某三個(gè)元素求其它元素）例2.在△ABC中，(1)若a＝4，B＝30°，C＝105°，則b＝________．(2)若b＝3，c＝eq\r(2)，C＝45°，則a＝________．(3)若AB＝eq\r(3)，BC＝eq\r(6)，C＝30°，則∠A＝________．答案：(1)2eq\r(2)(2)無(wú)解(3)45°或135°解：(1)已知兩角和一邊只有一解，由∠B＝30°，∠C＝105°，得∠A＝45°.由正弦定理，得b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(4sin30°,sin45°)＝2eq\r(2).(2)由正弦定理得sinB＝eq\f(bsinC,C)＝eq\f(3,2)>1，∴無(wú)解．(3)由正弦定理eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AB,sinC)，得eq\f(\r(6),sinA)＝eq\f(\r(3),\f(1,2))，∴sinA＝eq\f(\r(2),2).∵BC>AB，∴A>C，∴∠A＝45°或135°.練1.在△ABC中，若b＝5，∠B＝eq\f(π,4)，tanA＝2，則sinA＝________；a＝________.解：因?yàn)椤鰽BC中，tanA＝2，所以A是銳角，且eq\f(sinA,cosA)＝2，sin2A＋cos2A＝1，聯(lián)立解得sinA＝eq\f(2\r(5),5)，再由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，代入數(shù)據(jù)解得a＝2eq\r(10).答案eq\f(2\r(5),5)2eq\r(10)練2．在△ABC中，若eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosB,b)，則B的值為()．A．30°B．45°C．60°D．90°解：由正弦定理知：eq\f(sinA,sinA)＝eq\f(cosB,sinB)，∴sinB＝cosB，∴B＝45°.答案B專項(xiàng)練習(xí)1．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，A=45°，則角B的大小為（）A．60°B．120°C．60°或120° D．15°或75° 【解答】解：∵，，A=45°，∴由正弦定理，可得：sinB===，∵b＞a，可得：B∈（45°，135°），∴B=60°或120°．故選：C．2．在△ABC中，a=，A=60°，B=45°．則b=（）A． B．2 C． D．2 解：∵a=，A=60°，B=45°．∴由正弦定理，可得：b===．故選：A．3．在△ABC中，a=2，b=2，A=，則B等于（）A． B． C．或 D．或 解：∵a=2，b=2，A=，∴由正弦定理，可得：sinB===∵b＜a，可得B為銳角，∴B=．故選：A．4、在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a=sinB+cosB=，b=2，則角A的值為．【解答】解：在△ABC中，由a=sinB+cosB=，得a=，，∴sin（B+）=1．∵0＜B＜π，∴，則B+，即B=．由，得，∴sinA=．∵a＜b，∴A=．故答案為：．5．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a＝b，A＝2B，則cosB= A． B． C． D．6．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知A:B:C＝1:2:3，則a:b:c＝A．1:2:3 B．1:2: C．1::2 D．2::1【解析】因?yàn)樵谥?，A＋B＋C＝π，且A:B:C＝1:2:3，所以A＝，B=，C=，由正弦定理的變形，得a:b:c＝sinA:sinB:sinC1::2．故選C．7、在△ABC中，若B=2A，：a：b=1：，則A=30°．【解答】解：根據(jù)正弦定理=得：sinA：sinB=a：b=1：，所以sinB=sinA，又B=2A，所以sin2A=sinA，即2sinAcosA=sinA，又A為三角形的內(nèi)角，得到sinA≠0，所以cosA=，則A=30°．8．在中，若B＝30°，AB＝2，AC＝2，則的周長(zhǎng)為______________．9．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知btanA+btanB=2ctanz則A=（）A． B． C． D． 【解答】解：∵btanA+btanB=2ctanB，∴由正弦定理可得：sinBtanA+sinBtanB=2sinCtanB，可得：sinB+sinB=2sinC，∴整理可得：sinBcosBsinA+cosAsin2B=2sinCsinBcosA，∵sinB≠0，∴sinAcosB+cosAsinB=2sinCcosA，可得：sinC=2sinCcosA，∵sinC≠0，∴cosA=，∵A∈（0，π），∴A=．故選：C．10．在△ABC中，角A，B所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，其中b＞a且2asin（A+B）=，則角A等于（）A． B．或 C． D．或 【解答】解：∵c=2asin（A+B），∴由正弦定理得：sinC=2sinAsin（A+B），∵A+B+C=π，可得sinC=2sinAsinC，∴由sinC＞0，得，sinA=，∵b＞a，A為銳角，∴A=．故選：A．11．在△ABC中，若，則=（）A． B． C． D．2 解：由A=60°，a=3，根據(jù)正弦定理得：=2，得：a=2sinA，b=2sinB，c=2sin則==2選D．12．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知b=a（cosC+sinC），a=2，c=，則角C=（）A． B． C． D． 解：∵b=a（cosC+sinC），∴由正弦定理可得：sinB=sinAcosC+sinCsinA，又∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴可得：sinA=cosA，可得：tanA=，∵A∈（0，π），∴A=，可得：sinA=，又∵a=2，c=，∴由正弦定理得：sinC===，∵c＜a，C為銳角，∴C=．故選D．13．在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則角B的大小為（）A． B． C． D． 解：∵在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，∴由正弦定理得：cosB=sinB，∵0＜B＜π，∴角B=．故選：B．14、在△ABC中，tanA=．（1）求角C的大??；（2）若AB邊的長(zhǎng)為5，求BC邊的長(zhǎng)．【解答】解：（I）∵C=π﹣（A+B）∴又∵0＜C＜π，∴（2）由，且，得∵由正弦定理可得，∴題型二余弦定理（知三邊）例1．(2011·鄭州聯(lián)考)在△ABC中，a＝eq\r(3)，b＝1，c＝2，則A等于()．A．30°B．45°C．60°D．75°解：由余弦定理得：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1＋4－3,2×1×2)＝eq\f(1,2)，∵0＜A＜π，∴A＝60°.答案C（變形）1．已知△ABC三邊滿足a2＋b2＝c2－eq\r(3)ab，則此三角形的最大內(nèi)角為________．解：∵a2＋b2－c2＝－eq\r(3)ab，∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝－eq\f(\r(3),2)，故C＝150°為三角形的最大內(nèi)角．答案150°（變形）2.在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=5：7：8，則∠B的大小為（）A． B． C． D． 【解答】解：在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=5：7：8，∴a：b：c=5：7：8．不妨設(shè)a=5t，b=7t，c=8t，由余弦定理可得：49t2=25t2+64t2﹣2×5t×8tcosB，∴cosB=．∴B=．故選：B．（知兩邊一角）例2．在中，若，則最大角的余弦值是A． B． C． D．【解析】由余弦定理得，解得，可知角最大，則．故選C．練1、在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，則AC=（）A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，AB2=BC2+AC2﹣2AC?BCcosC，可得：13=9+AC2+3AC，解得AC=1或AC=﹣4（舍去）．故選：A．專項(xiàng)練習(xí)1．已知△ABC中，AB=2，B=，BC邊上的中線AE=2，則BE=（）A．2 B．4 C．6 D．8 【解答】解：∵B=，BC邊上的中線AE=2，∴由余弦定理知：AE2=AB2+BE2﹣2AB?BE?cos∠ABE，得：（2）2=22+BE2﹣2×，∴解得BE=6．故選：C．2．在ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊.若=2，，則=()A.B.C.D.解：C由正弦定理可得，，又，由余弦定理可得，，又，所以.3．在中，，那么（）A.B.C.D.解：D4．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，則角等于A． B． C． D．5．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則A． B． C． D．【解析】因?yàn)樗?，根?jù)余弦定理得又，所以，故選B．6、如圖，在△ABC中，∠ACB=30°，點(diǎn)D在BC上，AD=BD=1，AB=，則∠BAC=（）A．120° B．150° C．135° D．90° 【解答】解：∵在△ABD中，cos∠ADB===﹣．cos∠DAB===，∴∠ADB=120°，∠DAB=30°∴∠ADC=180°﹣∠ADB=60°．∴∠CAD=180°﹣∠ACB﹣∠ADC=90°∴∠BAC=∠CAD+∠DAB=90°+30°=120°．故選：A．7.在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足，則A為（）A．30° B．60° C．90° D．120° 解：∵，∴由余弦定理可得：=，整理可得：a2=c2+b2，∴可得A=90°．故選：C．8．在△ABC中，若acosB﹣c﹣=0，a2=bc，且b＞c，則等于（）A． B．2 C． D．3 解：由acosB﹣c﹣=0，及余弦定理得：a?=c+所以：b2+c2=a2﹣bc因?yàn)椋篴2=bc，所以：b2+c2=bc﹣bc=bc，可得：（）2﹣?+1=0所以解得：=或2．…（7分）因?yàn)椋篵＞c，∴=2故選：B．綜合4．已知△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且9..，b=2，，則=（）A． B． C．2 D．4 解：根據(jù)，∴cos2A+sin2A=1，即2sin（2A+）=1∵0＜A＜π∴2A+=，則A=．∵b=2，=cbsinA，即c×2××=，∴c=1．余弦定理：a2=b2+c2﹣2bc?cosA=5﹣2=3得：a=．正弦定理，可得=2R===2，故選：C．10.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則A=（）A．30° B．60° C．120° D．150° 解：△ABC中，，∴a2﹣c2=b2+bc，∴b2+c2﹣a2=﹣bc，∴cosA===﹣；又A∈（0°，180°），∴A=150°．故選：D．11．已知三角形的三邊滿足條件，則∠A=（）A．30° B．45° C．60° D．120° 解：△ABC中，，∴a2﹣（b2﹣2bc+c2）=bc，b2+c2﹣a2=bc，∴cosA===，又A∈（0°，180°），∴A=60°．故選：C．12．△ABC中，下列結(jié)論：①a2＞b2+c2，則△ABC為鈍角三角形；②a2=b2+c2+，則∠A為45°；③a2+b2＞c2，則△ABC為銳角三角形；④若∠A：∠B：∠C=1：2：3，則a：b：c=1：2：3．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：對(duì)于①，若a2＞b2+c2，則b2+c2﹣a2＜0，即有cosA=＜0，即A為鈍角，故①對(duì)；對(duì)于②，若a2=b2+c2+bc，即b2+c2﹣a2=﹣bc，則cosA==﹣，即有A=135°，故②錯(cuò)；對(duì)于③，若a2+b2＞c2，則a2+b2﹣c2＞0，即cosC＞0，即C為銳角，不能說明A，B也是銳角，故③錯(cuò)；對(duì)于④，若A：B：C=1：2：3，則A=30°，B=60°，C=90°，故a：b：c=sin30°：sin60°：sin90°=1：：2．故④錯(cuò)．故選：A．13．在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosB等于（）A． B． C．﹣ D． 【解答】解：△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，由正弦定理得a：b：c=2：3：4，設(shè)a=2k，b=3k，c=4k，且k≠0，由余弦定理得cosB===．故選：A．14．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，a2+b2＜c2且，則C=（）A．60° B．120° C．60°或120° D．以上答案都不對(duì) 【解答】解：在△ABC中，由a2+b2＜c2，得cosC=＜0，∴C為鈍角，又，可得C=120°．故選：B．15．在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若sin2B﹣sin2C﹣sin2A=sinAsinC，則角B的大小為（）A．30° B．60° C．120° D．150° 【解答】解：在△ABC中，根據(jù)sin2B﹣sin2C﹣sin2A=sinAsinC，利用正弦定理可得b2﹣c2﹣a2=ac，即c2+a2﹣b2=﹣ac，∴cosB==﹣，∴B=150°，故選：D．16．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求的值；（2）求的值．（2）由（1）可得，，因?yàn)?，且，所以．題型三判斷三角形形狀例1．在△ABC中，a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若，則該三角形的形狀為（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 解：∵，∴由余弦定理可得：1+=1+=1+，整理可得：c2（a2﹣b2）=（a2﹣b2）（a2+b2）．∴解得：a=b，或c2=a2+b2，即該三角形的形狀為等腰或直角三角形．故選：D．例2．在△ABC，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊a，b，c滿足a=2bcosC，那么這個(gè)三角形一定是（）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【解答】解：因?yàn)椋篴=2bcosC，由正弦定理可知，sinA=2sinBcosC，因?yàn)椋篈+B+C=π，所以：sin（B+C）=2sinBcosC，所以sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，可得：sin（B﹣C）=0，B﹣C=kπ，k∈Z，因?yàn)椋篈、B、C是三角形內(nèi)角，所以：B=C．所以：三角形是等腰三角形．故選：A．例3.在△ABC中，sin2A＞sin2B+sin2C，則△ABC是（）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形 【解答】解：△ABC中，sin2A＞sin2B+sin2C，∴a2＞b2+c2，∴cosA=＜0，A∈（0，π），∴A為鈍角，△ABC是鈍角三角形．故選：C．例4．已知中，，則的形狀是（）A．銳角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．鈍角三角形解：D由余弦定理得，所以最大角為B角，因?yàn)?，所以B角為鈍角，選D.例5．設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若,則△ABC的形狀為（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不確定解：，三角形為直角三角形拓展練習(xí)1．在中，若tanA·tanB＜1，則該三角形一定是A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．直角三角形 D．以上都有可能【解析】由已知條件，得說明cosA，cosB，cosC中有且只有一個(gè)為負(fù)．因此一定是鈍角三角形．故選B．2．在中，已知，且．試判斷的形狀．3、已知關(guān)于x的方程x2﹣（bcosA）x+acosB=0的兩根之積等于兩根之和，且邊a，b為△ABC的兩內(nèi)角A，B所對(duì)的邊，則△ABC是（）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【解答】解：∵方程x2﹣（bcosA）x+acosB=0的兩根之積等于兩根之和，∴bcosA=acosB，由正弦定理可得sinBcosA=sinAcosB，∴sinBcosA﹣sinAcosB=0，即sin（A﹣B）=0，∵A、B為三角形的兩內(nèi)角，∴A=B，∴三角形為等腰三角形．故選：A．4．已知在中，，則的形狀是（）A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角解：，選A5．在ABC中，已知，則這個(gè)三角形的形狀是解：由正弦定理得,三角形為等邊三角形在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC，試判斷△ABC的形狀．解：由已知(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC，得b2[sin(A－B)＋sinC]＝a2[sinC－sin(A－B)]，即b2sinAcosB＝a2cosAsinB，即sin2BsinAcosB＝sin2AcosBsinB，所以sin2B＝sin2A，由于A，B是三角形的內(nèi)角．故0＜2A＜2π，0＜2B＜2π.故只可能2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝eq\f(π,2).故△ABC為等腰三角形或直角三角形．題型四求三角形面積例1．在△ABC中，a＝3eq\r(2)，b＝2eq\r(3)，cosC＝eq\f(1,3)，則△ABC的面積為()．A．3eq\r(3)B．2eq\r(3)C．4eq\r(3)D.eq\r(3)解：∵cosC＝eq\f(1,3)，0＜C＜π，∴sinC＝eq\f(2\r(2),3)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×3eq\r(2)×2eq\r(3)×eq\f(2\r(2),3)＝4eq\r(3).答案C練1．在中，已知，，，則的面積是．解：設(shè),則由余弦定理可得,即,所以或,所以或,故答案為或.練2、在鈍角△ABC中，已知AB=，AC=1，∠B=30°，則△ABC的面積是（）A． B． C． D． 【解答】解：∵在鈍角△ABC中，已知AB=c=，AC=b=1，∠B=30°，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即1=a2+3﹣3a，解得：a=1或a=2，當(dāng)a=1時(shí)，a=b，即∠A=∠B=30°，此時(shí)∠C=120°，滿足題意，△ABC的面積S=acsinB=；當(dāng)a=2時(shí)，滿足a2=c2+b2，即△ABC為直角三角形，不合題意，舍去，則△ABC面積是．故選：B．例2、在△ABC中，a=6，B=30°，C=120°，則△ABC的面積是9．【解答】解：∵在△ABC中，a=6，B=30°，C=120°，即A=30°，∴由正弦定理=得：b==6，則S△ABC=absinC=9．故答案為：9．例3．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知sinB+sinAcosC=0，a=2，，則△ABC的面積為（）A． B． C．1 D． 【解答】解：∵sinB+sinAcosC=0，a=2，，∴由正弦定理可得：b+acosC=0，可得：+2cosC=0，解得：cosC=﹣，∴sinC==，∴S△ABC=absinC==．故選：A．例4．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若bcosC=a，，則△ABC的面積為（）A． B． C． D． 【解答】解：在△ABC中，∵bcosC=a，∴由余弦定理可得：cosC==，可得：a2+c2=b2，可得：B=90°，∵，∴可得：ac=2，∴△ABC的面積S=acsinB==．故選：A．已知內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，則的面積為（）A.B.C.D.解：B專項(xiàng)練習(xí)1.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a，b，c，已知c＝2，C＝eq\f(π,3).(1)若△ABC的面積等于eq\r(3)，求a，b；(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面積．解：(1)由余弦定理及已知條件，得a2＋b2－ab＝4.又因?yàn)椤鰽BC的面積等于eq\r(3)，所以eq\f(1,2)absinC＝eq\r(3)，得ab＝4，聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2－ab＝4，,ab＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝2.))(2)由題意，得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，即sinBcosA＝2sinAcosA.當(dāng)cosA＝0，即A＝eq\f(π,2)時(shí)，B＝eq\f(π,6)，a＝eq\f(4\r(3),3)，b＝eq\f(2\r(3),3)；當(dāng)cosA≠0時(shí)，得sinB＝2sinA，由正弦定理，得b＝2a.聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2－ab＝4，,b＝2a，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(2\r(3),3)，,b＝\f(4\r(3),3).))所以△ABC的面積S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(2\r(3),3).2.在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且eq\f(cosB,cosC)＝－eq\f(b,2a＋c).(1)求角B的大小；(2)若b＝eq\r(13)，a＋c＝4，求△ABC的面積．解：(1)由余弦定理知：cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).將上式代入eq\f(cosB,cosC)＝－eq\f(b,2a＋c)，得eq\f(a2＋c2－b2,2ac)·eq\f(2ab,a2＋b2－c2)＝－eq\f(b,2a＋c)，整理得a2＋c2－b2＝－ac.∴cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝－eq\f(ac,2ac)＝－eq\f(1,2).∵B為三角形的內(nèi)角，∴B＝eq\f(2,3)π.(2)將b＝eq\r(13)，a＋c＝4，B＝eq\f(2,3)π代入b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac－2accosB，∴13＝16－2aceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))，∴ac＝3.∴S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(3\r(3),4).3.已知A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，其所對(duì)的邊分別為a，b，c，且2cos2eq\f(A,2)＋cosA＝0.(1)求角A的值；(2)若a＝2eq\r(3)，b＋c＝4，求△ABC的面積．解(1)由2cos2eq\f(A,2)＋cosA＝0，得1＋cosA＋cosA＝0，即cosA＝－eq\f(1,2)，∵0＜A＜π，∴A＝eq\f(2π,3).(2)由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA，A＝eq\f(2π,3)，則a2＝(b＋c)2－bc，又a＝2eq\r(3)，b＋c＝4，有12＝42－bc，則bc＝4，故S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\r(3).題型五三角形解的個(gè)數(shù)例1．已知△ABC中，角A，B的對(duì)邊分別為a，b，且，那么滿足條件的△ABC（）A．有一個(gè)解 B．有兩個(gè)解 C．不能確定 D．無(wú)解 【解答】解：△ABC中，∵∠A=30°，a=，b=2，由正弦定理可得：，即：=，得sinB=，∴B=，或B=，故△ABC有2個(gè)解．故選：B．例2．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊分別是a，b，c，若，c=3，且，滿足題意的△ABC有（）A．0個(gè) B．一個(gè) C．2個(gè) D．不能確定 【解答】解：，c=3，且，由正弦定理可得sinB===1，由B為三角形的內(nèi)角，可得B=，可得滿足題意的△ABC有一個(gè)．故選：B．例3．在△ABC中，b=19，c=20，B=60°，那么這樣的三角形有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) 【解答】解：∵在△ABC中，b=19，c=20，B=60°，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得：361=400+a2﹣2×a×20×cos60°，得：a2﹣20a+39=0，（*）∵△=202﹣4×1×39=244＞0，且兩根之和、兩根之積都為正數(shù)，∴方程（*）有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，即有兩個(gè)邊a滿足題中的條件．由此可得滿足條件的△ABC有兩個(gè)解．故選：C．練1．在△ABC中，已知b=40，c=20，C=60°，則此三角形的解的情況是（）A．有一解 B．有兩解 C．無(wú)解 D．有解但解的個(gè)數(shù)不確定 【解答】解：∵在△ABC中，b=40，c=20，C=60°，∴由正弦定理=得：sinB===＞1，則此三角形無(wú)解．故選：C．練2．在△ABC中，如果a=4，b=5，A=30°，則此三角形有（）A．一解 B．兩解 C．無(wú)解 D．無(wú)窮多解 【解答】解：根據(jù)正弦定理得，∴sinB==，∵B∈（0，180°）∴B∈（30°，150°）有兩個(gè)B的值，滿足題意．故選：B．練3．在△ABC中，已知a=4，b=x，A=60°，如果解該三角形有兩解，則（）A．x＞4 B．0＜x≤4 C．x≤ D．4＜x＜【解答】解：如圖所示：∵如果解該三角形有兩解，則必須滿足：CD＜BC＜AC，既有：bsinA＜a＜b，∴xsin60°＜4＜x．∴可解得：4＜x＜．故選：D．練4．（2010春?南充期末）△ABC中，∠A，∠B的對(duì)邊分別為a，b，且∠A=60°，a=，b=4，那么滿足條件的△ABC（）A．有一個(gè)解 B．有兩個(gè)解 C．不能確定 D．無(wú)解 【解答】解：∵，∴根據(jù)正弦定理=得：sinB==，∵sinB∈[﹣1，1]，＞1，則這樣的∠B不存在，即滿足條件的△ABC無(wú)解．故選：D．練5、已知△ABC中，角A，B的對(duì)邊分別為a，b，且，那么滿足條件的△ABC（）A．有一個(gè)解 B．有兩個(gè)解 C．不能確定 D．無(wú)解 【解答】解：△ABC中，∵∠A=30°，a=，b=2，由正弦定理可得：，即：=，得sinB=，∴B=，或B=，故△ABC有2個(gè)解．故選：B．練6．如果滿足條件B=60°，b=12的△ABC有兩個(gè)解，則a的取值范圍是（）A．0＜a≤12 B．12＜a＜8 C．0＜a≤12或a=8 D．12＜a≤8 【解答】解：當(dāng)△ABC有兩個(gè)解時(shí)，有asinB＜b＜a，∵b=12，∠B=60°，∴asin60°＜12＜a，解得12＜a＜8，故選：B．題型六三角形中最值問題例1．在△ABC中，，則AC+BC的最大值為（）A．2 B．3 C．4 D．5 解：△ABC中，，則：2R==，所以：AC+BC=2R（sinA+sinB）=（sinA+sinB），==sin（A+）=4sin（A+），由于：，所以：，當(dāng)A=時(shí)，AC+BC的最大值為4．故選：C．例2．在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，若，則b2+c2的取值范圍是（）A．（20，24] B．（10，12] C．[10，12] D．（5，6] 解：銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，所以：，整理得：a2﹣b2=c2﹣bc，所以：，由于：0＜A＜π，所以：A=，又，利用正弦定理：，解得：b=4sinB，c=4sinC，所以：b2+c2，所以：b2+c2=16（sin2B+sin2C），=16（），=16（1+），由于60°＜B＜90°，故：120°＜2B＜180°，所以：，所以：20＜b2+c2≤24．故選：A．例3．（2015春?河西區(qū)校級(jí)期中）△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且asinB=bcosA，則的最大值為（）A． B． C． D． 【解答】解：由asinB=bcosA以及正弦定理可知sinAsinB=sinBcosA，?A=，∴=2sinB﹣cos（﹣B）=2sinB﹣（coscosB+sinsinB）=2sinB+×cosB﹣×sinB=2sinB+cosB﹣sinB=sin（+B）．∴的最大值為故選：A．例4．在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知a=1，且（1﹣b）（sinA+sinB）=（c﹣b）sinC，則△ABC周長(zhǎng)的取值范圍為（2，3]．【解答】解：在ABC中，∵a=1，（1﹣b）（sinA+sinB）=（c﹣b）sinC，∴（a﹣b）（sinA+sinB）=（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：（a﹣b）（a+b）=（c﹣b）c，化為：b2+c2﹣a2=bc．∴cosA==，A∈（0，π），∴A=．由正弦定理可得：==，∴b=sinB，c=sinC，∴△ABC周長(zhǎng)=1+b+c=1+sinB+sinC=1+=1+2∵B∈，∴∈，∴∴△ABC周長(zhǎng)的取值范圍是（2，3]．故答案為：（2，3]．例5.如圖，在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，a=b（sinC+cosC），若A=，D為△ABC外一點(diǎn)，DB=3，DC=2，則平面四邊形ABDC面積的最大值為．【解答】（本題滿分為12分）解：在△ABC中，∵a=b（sinC+cosC），∴sinA=sinB（sinC+cosC），…（1分）∴sin（π﹣B﹣C）=sinB（sinC+cosC），∴sin（B+C）=sinB（sinC+cosC），∴sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC+sinBcosC，…（3分）∴cosBsinC=sinBsinC，又∵C∈（0，π），故sinC≠0，…（4分）∴cosB=sinB，即tanB=1．又∵B∈（0，π），∴B=．…（6分）在△BCD中，DB=3，DC=2，∴BC2=22+32﹣2×3×2×cosD=13﹣12cosD．又A=，B=，∴△ABC為等腰直角三角形，∴S△ABC=BC2=，…（9分）又∵S△BDC=×BD×DC×sinD=3sinD，…（10分）∴S四邊形ABDC=+3sinD=．…（11分）∴當(dāng)D=時(shí)，四邊形ABDC的面積有最大值，最大值為+3．故答案為：+3．…（12分）練1．（2018?衡陽(yáng)三模）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知A≠，且3sinAcosB+bsin2A=3sinC．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若A=，求△ABC周長(zhǎng)的最大值．【解答】解：（I）∵3sinAcosB+bsin2A=3sinC，∴3sinAcosB+bsin2A=3sinAcosB+3cosAsinB，∴bsinAcosA=3cosAsinB，∴ba=3b，∴a=3；（Ⅱ）由正弦定理可得==，∴b=2sinB，c=2sinC∴△ABC周長(zhǎng)=3+2（sinB+sinC）=3+2[sin（﹣C）+sinC]=3+2sin（+C）∵0＜C＜，∴＜+C＜，∴＜sin（+C）≤1，∴△ABC周長(zhǎng)的最大值為3+2．練2．（2016秋?伊春區(qū)校級(jí)期中）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c且滿足csinA=acosC，（I）求角C的大??；（II）求sinA﹣cos（B+）的最大值，并求取得最大值時(shí)角A，B的大?。窘獯稹拷猓海↖）△ABC中，∵csinA=acosC，由正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC，∴tanC=1，∴C=．（II）由上可得B=﹣A，∴sinA﹣cos（B+）=sinA+cosA=2sin（A+）．∵0＜A＜，∴＜A+＜，∴當(dāng)A+=時(shí)，所求的式子取得最大值為2，此時(shí)，A=，B=．練3．（2015?南市區(qū)校級(jí)模擬）在△ABC中，已知內(nèi)角A=，邊BC=2．設(shè)內(nèi)角B=x，面積為y．（1）若x=，求邊AC的長(zhǎng)；（2）求y的最大值．【解答】解：（1）△ABC中，已知內(nèi)角A=，邊BC=2，內(nèi)角B=x，故由正弦定理可得=，即=，解得AC=2．（2）由三角形內(nèi)角和公式可得0＜B＜，由正弦定理可得AC=4sinx，∴y=?AC?BC?sinC=4sinx?sin（﹣x）=4sinx（cosx+sinx）6sinxcosx+2sin2x=2sin（2x﹣）+．再由﹣＜2x﹣＜，可得當(dāng)2x﹣=時(shí)，y取得最大值為2+=3．練4．（2013秋?望江縣校級(jí)月考）已知函數(shù)，其中（1）若x∈[0，π]，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間和最小值；（2）在△ABC中，a、b、c分別是角A．B．C的對(duì)邊，旦f（A）=﹣1，求的值；（3）在第二問的條件下，若，求△ABC面積的最大值．【解答】解：（1）f（x）=====，由解得，又x∈[0，π]，因此函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為．其最小值為==﹣2+1=﹣1．（2）由f（A）=﹣1，可得，化為，∵A∈（0，π），∴，∴，解得．即A=60°．由正弦定理可得====2．（3）由（2）可知：A=60°．∴3=a2=b2+c2﹣2bccos60°≥2bc﹣bc=bc，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=時(shí)取等號(hào)．∴△ABC面積==，即最大值為．練5．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若向量=（a，b+c），=（cosC+sinC，﹣1）相互垂直．（1）求角A的大?。唬?）若a=，求△ABC周長(zhǎng)的最大值．【解答】解：（1）向量=（a，b+c），=（cosC+sinC，﹣1）相互垂直，∴acosC+asinC=b+c，∴sinAcosC+sinAsinC=sin（A+C）+sinC，∴sinAsinC=cosAsinC+sinC，∵sinC≠0，∴sinA=cosA+1，∴sinA﹣cosA=1，即sin（A﹣）=，∴A﹣=，∴A=，（2）∵a=，A=，由正弦定理可得====2，∴b=2sinB，C=2sinC，∴△ABC周長(zhǎng)為a+b+c=+2sinB+2sinC=+2sinB+2sin（﹣B）=+2sinB+cosB+sinB=+3sinB+cosB=+2sin（B+），∵0＜B＜，∴＜B+＜，當(dāng)B+=時(shí)，即B=時(shí)，周長(zhǎng)有最大值，即為+2=3．題型七三角形中范圍問題例1．（2016春?靜?？h期中）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊邊長(zhǎng)分別為a，b，c且滿足csinA=acosC，則sinA﹣cos（）的取值范圍為（，2]．【解答】解：∵在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊邊長(zhǎng)分別為a，b，c且滿足csinA=acosC，∴由正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC，∵sinA≠0，∴sinC=cosC，∴C=，∴B=﹣A，0＜A＜，∴sinA﹣cos（B+）=sinA﹣cos（﹣A+）=sinA+cosA=2sin（A+），∵＜A+＜，可得：＜sin（A+）≤1，∴sinA﹣cos（）=2sin（A+）∈（，2]．故答案為：（，2]．例2．（2012秋?和平區(qū)校級(jí)期末）在鈍角△ABC中，已知a=1，b=2，則最大邊的取值范圍是＜x＜3．【解答】解：根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，得到c的范圍為1＜c＜3，當(dāng)∠C為直角時(shí)，c==，當(dāng)∠C為鈍角時(shí)，得到c＞，當(dāng)∠C為銳角時(shí)，B為鈍角，此時(shí)b為最大邊，1＜b＜3，則最大邊的范圍為＜x＜3．故答案為：＜x＜3例3．（2018春?武清區(qū)期中）在銳角△ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若c=b（1+2cosA），則的取值范圍是（）A．（1，） B．（） C．（） D．（） 【解答】解：銳角△ABC中，∵c=b（1+2cosA），∴sinC=sinB（1+2cosA），∴sin（A+B）=sinB+2cosAsinB，∴sinAcosB+cosAsinB=sinB+2cosAsinB，∴sin（A﹣B）=sinB，∴A﹣B=B，即A=2B，∴===2cosB，A+B+C=3B+C=π，C∈（0，），∴2B＜，∴＜B＜，∴＜2cosB＜即的取值范圍是（，）．故選：B．例4．（2015?新課標(biāo)Ⅰ）在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，則AB的取值范圍是（﹣，+）．【解答】解：方法一：如圖所示，延長(zhǎng)BA，CD交于點(diǎn)E，則在△ADE中，∠DAE=105°，∠ADE=45°，∠E=30°，∴設(shè)AD=x，AE=x，DE=x，CD=m，∵BC=2，∴（x+m）sin15°=1，∴x+m=+，∴0＜x＜4，而AB=x+m﹣x=+﹣x，∴AB的取值范圍是（﹣，+）．故答案為：（﹣，+）．例5．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，A=，則b+c的取值范圍是（）A．（，1] B．（，] C．[，1] D．[，] 【解答】解：∵，A=，∴由正弦定理，余弦定理可得：+=，整理可得：a=，∴由正弦定理=1，可得b=sinB，c=sinC=sin（﹣B），∴b+c=sinB+sinC=sinB+sin（﹣B）=sinB+cosB=sin（B+），∵0＜B＜，可得：＜B+＜，∴b+c=sin（B+）∈（，1]．故選：A．練1．（2017?和平區(qū)二模）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知=（Ⅰ）若b=2，求a的值；（Ⅱ）若角A是鈍角，且c=3，求b的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）由題意及正弦定理，得，即sinCcosB﹣2sinCcosA=2sinAcosC﹣sinBcosC，則sinCcosB+sinBcosC=2（sinCcosA+sinAcosC），∴sin（B+C）=2sin（A+C）．∵△ABC中，A+B+C=π，∴sinA=2sinB，故a=2b．由b=2，得a=4；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a=2b，由余弦定理可得：cosA=＜0，則b＞．在△ABC中，b+c＞a，即b+3＞2b，則b＜3．∴b的取值范圍為（）．練2．（2018?和平區(qū)三模）在△ABC中，已知內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a=6，c=3．（1）若cosB=，求b及cosC﹣2cosA的值；（Ⅱ）求角C的取值范圍．解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB=36+9﹣2×=25，…2分解得：b=5，…3分而cosC===，…5分cosA===﹣，…6分可得：cosC﹣2cosA=﹣2×（﹣）=1…7分（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得，…8分由a=6，c=3，可得：sinC=sinA，…9分∵0＜A＜π，∴0＜sinA≤1，…10分∴0，…11分∵c＜a，可得C＜A，可得C為銳角，…12分∴C的取值范圍是：（0，]…13分練3．（2017?南開區(qū)二模）已知向量=（sin，1），=（cos，cos2），f（x）=?（Ⅰ）若f（x）=1，求cos（+x）的值；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函數(shù)f（A）的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）∵=（sin，1），=（cos，cos2），∴f（x）=?=sincos+cos2=sin+cos+=sin（+）+=1，即sin（+）=，∴cos（x+）=1﹣2sin2（+）=；（Ⅱ）∵△ABC中，（2a﹣c）cosB=bcosC，∴2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC，即2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosB=，∵B為三角形內(nèi)角，∴B=，∵0＜A＜，∴＜+＜，∴＜sin（+）＜1，即1＜sin（+）+＜，則f（A）=sin（+）+∈（1，）．練4．（2015春?河?xùn)|區(qū)校級(jí)期中）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，向量；，若（I）求角A的大?。↖I）若a=1，求b+c的取值范圍．【解答】解：（1）根據(jù)題意，向量；，若，則有?=acosC﹣（b+c）=0，變形可得：a2+b2﹣c2=2b2+bc，即b