專題07 二次函數(shù)的應(yīng)用重難點題型專訓(xùn)【八大題型】（解析版）

專題07二次函數(shù)的應(yīng)用重難點題型專訓(xùn)【八大題型】【題型目錄】【知識梳理】知識點：二次函數(shù)的應(yīng)用1.審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個，已知量與變量之間的基本關(guān)系是什么，找出等量關(guān)系(即函數(shù)關(guān)系)。2.設(shè)出兩個變量，注意分清自變量和因變量，同時還要注意所設(shè)變量的單位要準(zhǔn)確。3.列函數(shù)表達(dá)式，抓住題中含有等量關(guān)系的語句，將此語句抽象為含變量的等式，這就是二次函數(shù)。4.按題目要求，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解答相應(yīng)的問題。5.檢驗所得解是否符合實際：即是否為所提問題的答案。6.寫出答案。【經(jīng)典例題一圖形面積與周長問題】【例1】（2022·浙江溫州·統(tǒng)考二模）已知拋物線與軸交于A，B兩點，P為拋物線頂點，且當(dāng)時，y隨的增大而減小，若△ABP為等邊三角形，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將拋物線表達(dá)式分別轉(zhuǎn)化為兩點式和頂點式，得到A（-1，0）、B（5，0）及頂點P（2，-9a）；過點P作與點H，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，可知，，利用勾股定理計算PH的值，再由計算a值即可．【詳解】解：∵，令，解得，，即A（-1，0）、B（5，0）；∵，∴其頂點坐標(biāo)為（2，-9a），對稱軸為，∵當(dāng)時，y隨的增大而減小，∴拋物線開口向上，即，∵△ABP為等邊三角形，∴，如圖，過點P作與點H，則，在中，，又∵，即（），∴．故選：B．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)與實際問題（圖形問題）、等邊三角形的性質(zhì)以及勾股定理的知識，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出圖形并運用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題．【變式訓(xùn)練】1．（2023·河北石家莊·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，利用一個直角墻角修建一個的四邊形儲料場，其中．若新建墻與總長為，則該儲料場的最大面積是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先添加輔助線，把直角梯形分成矩形和含直角三角形，求出梯形的上、下底和高，最后由梯形面積公式得出面積與之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)直接求解．【詳解】如圖，過點作于點，易得：四邊形為矩形，

∴，，設(shè)，∴，，∴，，則四邊形的面積為：，整理得：，∴當(dāng)長為時，儲料場的面積最大為．故選：．

【點睛】此題考查了梯形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、二次函數(shù)的運用，利用梯形的面積建立二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·遼寧大連·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點在拋物線上，過點A作y軸的垂線，交拋物線于另一點B，點C、D在線段AB上，且C、D兩點關(guān)于y軸對稱，過點C作x軸的垂線交拋物線于點E．連接ED，當(dāng)是等腰直角三角形時，線段CD的長為．【答案】【分析】設(shè)與y軸相交于點F，設(shè)，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求出點E的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求解即可．【詳解】解：設(shè)與y軸相交于點F，設(shè)，∵C、D兩點關(guān)于y軸對稱，∴，∴∵是等腰直角三角形，∴，∴，∵點在拋物線上，∴，解得，∴，把代入，得，解得，（不符合題意，舍去）∴．故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，解一元二次方程等知識，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·浙江溫州·八年級校考期中）如何裁剪出符合要求的長方形紙片？素材如圖，是腰長為的等腰直角三角形卡紙，校藝術(shù)節(jié)上，甲、乙、丙三名同學(xué)分別用這樣的卡紙試圖裁剪出不一樣的長方形紙片，并使長方形的四個頂點都在的邊上．

素材甲同學(xué)按圖的方式裁剪，想裁出面積為三角形面積的的長方形紙片，乙同學(xué)按圖的方式裁剪，想裁出面積為三角形面積的的長方形紙片，丙同學(xué)想裁出面積最大的長方形紙片．

任務(wù)計算紙片周長請幫甲同學(xué)計算此長方形紙片的周長．任務(wù)判斷裁剪方案請幫乙同學(xué)判斷此裁剪方案是否能夠?qū)崿F(xiàn)，說明理由．任務(wù)計算最大面積請幫丙同學(xué)計算出長方形紙片面積的最大值．【答案】任務(wù)1：80cm；任務(wù)2：乙同學(xué)不能實現(xiàn)，見解析；任務(wù)3：【分析】任務(wù)設(shè)，則，依據(jù)題意列出方程求得值，再利用正方形的周長公式解答即可；任務(wù)設(shè)，則，依據(jù)題意列出方程，通過計算，方程沒有實數(shù)根，說明乙同學(xué)的方案不能實現(xiàn)；任務(wù)利用配方法，分別求得兩個方案中的面積的最大值即可得出結(jié)論．【詳解】解：任務(wù)由題意得：，，．設(shè)，則，矩形的面積為三角形面積的，，化簡得，解得：或，矩形的邊長為，，周長為；任務(wù)由題意得：，，，，．設(shè)，則，矩形的面積為三角形面積的，，整理得：．，方程無實數(shù)根，乙同學(xué)的方案不能實現(xiàn)；任務(wù)圖方案：，當(dāng)時，矩形的面積最大為；圖方案：，當(dāng)時，面積最大為，長方形紙片面積的最大值為．【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，配方法，二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的極值，利用配方法解答是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題二圖形運動問題】【例2】（2023·浙江溫州·統(tǒng)考三模）如圖，正方形的邊長為，點P，Q同時從點A出發(fā)，速度均為，若點P沿向點C運動，點Q沿向點C運動，則的面積與運動時間之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分兩種情況討論：當(dāng)Q、P兩點分別在、上時，可得，；當(dāng)Q、P兩點分別在、上時，連接，可得，，根據(jù)的面積為正方形的面積減去面積、面積和面積，進(jìn)而有，，綜上可以求出S與t的關(guān)系式，即可求解．【詳解】解：當(dāng)Q、P兩點分別在、上時，，，的面積為：，；當(dāng)Q、P兩點分別在、上時，連接，如圖所示：根據(jù)題意有：，則，∵正方形的邊長為，∴，∴，同理可得，∵根據(jù)的面積為正方形的面積減去面積、面積和面積，∴，∴，∴，，則有，故C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的知識，掌握函數(shù)圖象的性質(zhì)以及分類討論是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·浙江寧波·?？寄M預(yù)測）已知拋物線：頂點為D，將拋物線向上平移，使得新的拋物線的頂點落在直線l：上，設(shè)直線l與y軸的交點為，原拋物線上的點P平移后的對應(yīng)點為Q，若，則點Q的縱坐標(biāo)為（）A． B． C．4 D．【答案】B【分析】先根據(jù)頂點的變化規(guī)律寫出平移后的拋物線的解析式，即可求得平移的距離，根據(jù)，得出Q點的縱坐標(biāo)為．【詳解】解：∵，由題意得向上平移后的拋物線解析式為，∴拋物線向上平移了5個單位，由題意得，∵，∴Q點的縱坐標(biāo)為．故選B．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與幾何變換，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，根據(jù)題意得到關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·福建福州·九年級福建省羅源第一中學(xué)?？计谥校c在邊長為的正方形的邊上，點在邊上，，則面積的最小值為．【答案】/【分析】將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，證明，則，，設(shè)，則，在中，由得出，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖所示，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，則，在中，∴設(shè)，則，在中，當(dāng)時，∴的最小值為故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，二次函數(shù)與圖形問題，構(gòu)造二次函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．3．（2020秋·廣東廣州·九年級中山大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，點P從點A出發(fā)沿AB邊向點B以1個單位每秒的速度移動，同時點Q從點B出發(fā)沿邊向點C以2個單位每秒的速度移動．如果P，Q兩點在分別到達(dá)B，C兩點后就停止移動，設(shè)運動時間為t秒，回答下列問題：

(1)運動開始后第幾秒時的面積等于．(2)設(shè)五邊形的面積為S，寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)t為何值時S最?。壳骃的最小值．【答案】(1)秒或秒(2)，當(dāng)時，【分析】（1）設(shè)運動開始后第秒時的面積等于，由三角形面積公式即可求解；（2）由即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)運動開始后第秒時的面積等于，由題意得，整理得：，解得：，，答：運動開始后第秒或秒時的面積等于．（2）解：，，，，當(dāng)時，；答：，當(dāng)時，．【點睛】本題考查了一元二次方程及二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)圖形找出等量關(guān)系式，掌握二次函數(shù)最值的求法是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題三拱橋問題】【例3】（2021秋·浙江紹興·九年級校聯(lián)考期中）一座拱橋的示意圖如圖所示，當(dāng)水面寬為12m時，橋洞頂部離水面4m．已知橋洞的拱形是拋物線，以水平方向為x軸（向右為正向），若A為原點建立坐標(biāo)系時，該拋物線的表達(dá)式為則B為原點建立坐標(biāo)系時，該拋物線的表達(dá)式為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意得出A點坐標(biāo)，進(jìn)而利用頂點式求出函數(shù)解析式即可．【詳解】解：以B為原點建立坐標(biāo)系，如圖所示：由題意可得出：，將（﹣12，0）代入得出，，解得：，∴選取點B為坐標(biāo)原點時的拋物線解析式是：．故選：A．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，利用頂點式求出函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·浙江嘉興·九年級校聯(lián)考期中）三孔橋橫截面的三個孔都呈拋物線形，兩小孔形狀、大小完全相同．當(dāng)水面剛好淹沒小孔時，大孔水面寬度為10米，孔頂離水面1.5米；當(dāng)水位下降，大孔水面寬度為14米時，單個小孔的水面寬度為4米，若大孔水面寬度為20米，則單個小孔的水面寬度為（）A．4米 B．5米 C．2米 D．7米【答案】B【分析】根據(jù)題意，可以畫出相應(yīng)的拋物線，然后即可得到大孔所在拋物線解析式，再求出頂點為A的小孔所在拋物線的解析式，將x=﹣10代入可求解．【詳解】解：如圖，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意可得MN=4，EF=14，BC=10，DO=，設(shè)大孔所在拋物線解析式為y=ax2+，∵BC=10，∴點B（﹣5，0），∴0=a×（﹣5）2+，∴a=-，∴大孔所在拋物線解析式為y=-x2+，設(shè)點A（b，0），則設(shè)頂點為A的小孔所在拋物線的解析式為y=m（x﹣b）2，∵EF=14，∴點E的橫坐標(biāo)為-7，∴點E坐標(biāo)為（-7，-），

∴-=m（x﹣b）2，∴x1=+b，x2=-+b，∴MN=4，∴|+b-（-+b）|=4∴m=-，∴頂點為A的小孔所在拋物線的解析式為y=-（x﹣b）2，∵大孔水面寬度為20米，∴當(dāng)x=-10時，y=-，∴-=-（x﹣b）2，∴x1=+b，x2=-+b，∴單個小孔的水面寬度=|（+b）-（-+b）|=5（米），故選：B．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．2．（2023·吉林長春·東北師大附中?？既＃┤鐖D，同學(xué)們在操場上玩跳大繩游戲，繩甩到最高處時的形狀是拋物線型，搖繩的甲、乙兩名同學(xué)拿繩的手的間距為6米，到地面的距離與均為米，繩子甩到最高點C處時，最高點距地面的垂直距離為米．身高為米的小吉站在距點О水平距離為m米處，若他能夠正常跳大繩（繩子甩到最高時超過他的頭頂），則m的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)題意建立直角坐標(biāo)系，提取出點的坐標(biāo)求出拋物線解析式，根據(jù)能跳繩及高度大于米列不等式即可得到m的值．【詳解】解：以O(shè)為坐標(biāo)原點，所在直線為y軸所在直線為x軸，由題意可得，，，，設(shè)拋物線解析式為，將點代入可得，，解得：，∴，∵身高為米的小吉站在距點О水平距離為m米處能夠正常跳大繩，即跳繩高度要高于米，∴，當(dāng)時，整理得，解得，，即身高為米的小吉站在距點О水平距離1米處和5米處時，繩子恰好在頭頂上，∵繩子甩到最高時要超過他的頭頂，∴，故答案為．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用及坐標(biāo)求法，解題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，會根據(jù)題意得出點的坐標(biāo)．3．（2023·陜西西安·陜西師大附中校考模擬預(yù)測）某公司生產(chǎn)A型活動板房的成本是每個3500元．圖1表示A型活動板房的一面墻，它由長方形和拋物線構(gòu)成，長方形的長，寬，拋物線的最高點E到的距離為．

(1)按圖1中所示的平面直角坐標(biāo)系，求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)現(xiàn)將A型活動板房改造成為B型活動板房．如圖2，在拋物線與之間的區(qū)域內(nèi)加裝一扇長方形窗戶，點G、M在上，點F、N在拋物線上，窗戶的成本為150元/．已知，求每個B型活動板房的成本．（每個B型活動板房的成本＝每個A型活動板房的成本＋一扇窗戶的成本）【答案】(1)(2)每個B型活動板房的成本為3725元【分析】（1）根據(jù)題意得出，設(shè)該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)題意得出，繼而求出矩形的面積，列式求解即可．【詳解】（1）∵長方形的長，寬，拋物線的最高點E到的距離為，∴，∴，∴，設(shè)該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，把代入，得，解得，∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）∵，∴，當(dāng)時，，∴，，∴，∴（元），所以，每個B型活動板房的成本為3725元．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，準(zhǔn)確理解題意，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題四銷售問題】【例4】（2023秋·貴州遵義·九年級統(tǒng)考期末）某商店銷售一種進(jìn)價為40元/千克的海鮮產(chǎn)品，據(jù)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，月銷售量（千克）與售價（元/千克）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分信息如下表，下列說法錯誤的是（

）售價（元/千克）50607080…銷售量（千克）250240230220…A．與之間的函數(shù)關(guān)系式為B．當(dāng)售價為72元時，月銷售利潤為7296元C．當(dāng)每月購進(jìn)這種海鮮的總進(jìn)價不超過5000元時，最大利潤可達(dá)到16900元D．銷售這種海鮮產(chǎn)品，每月最高可獲得利潤16900元【答案】C【分析】根據(jù)題意，可設(shè)與之間的函數(shù)關(guān)系式為，再把將、代入，聯(lián)立方程組，并解出，得出與之間的函數(shù)關(guān)系式，即可判斷選項A；再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，得出當(dāng)時，月銷售量為千克，然后算出月銷售利潤，即可判斷選項B；設(shè)月銷售利潤為，根據(jù)月銷售利潤等于每千克的利潤乘以數(shù)量，得出，再根據(jù)題意，得出月銷售量不超過千克，再根據(jù)一次函數(shù)，得出售價，然后代入，計算即可判斷選項C；再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷選項D，綜合即可得出答案．【詳解】解：∵月銷售量（千克）與售價（元/千克）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，∴設(shè)與之間的函數(shù)關(guān)系式為，將、代入，可得：，解得：，∴與之間的函數(shù)關(guān)系式為，故選項A正確；當(dāng)時，，∴月銷售利潤為：（元），故選項B正確；設(shè)月銷售利潤為，∴，∵每月購進(jìn)這種海鮮的總進(jìn)價不超過元，∴（千克），即月銷售量不超過千克，∴當(dāng)時，即，解得：，∴（元），故選項C錯誤；∵，∴當(dāng)時，有最大值，最大值為，即最高利潤為元，故選項D正確．故選：C【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、求一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的應(yīng)用、二次函數(shù)的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵在理解題意，正確得出函數(shù)解析式．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·云南臨滄·九年級統(tǒng)考期末）為慶祝第五個中國農(nóng)民豐收節(jié)，宣傳玉龍縣特色農(nóng)產(chǎn)品，“迎盛會·慶豐收·促振興”農(nóng)特產(chǎn)品展銷推薦會在白華生態(tài)農(nóng)貿(mào)市場舉行．某農(nóng)戶銷售一種商品，成本價為每千克40元，按規(guī)定，該商品每千克的售價不低于成本價，且不高于60元．經(jīng)調(diào)查每天的銷售量（千克）與每千克售價（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：售價（元/千克）405060銷售量（千克）12010080設(shè)銷售該商品每天的利潤為（元），則的最大值為（

）A．1800 B．1600 C．1400 D．1200【答案】B【分析】設(shè)出與的函數(shù)關(guān)系式，把，代入求出關(guān)系式，再根據(jù)題意列出利潤的二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和實際情況求解最大值即可．【詳解】提示：設(shè)與的函數(shù)關(guān)系式，把，代入，得，解得，∴，由題意得，∵，開口方向向下，∴當(dāng)時，隨的增大而增大，又∵，∴時，（元）．故選：B．【點睛】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出相關(guān)函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·河北邢臺·九年級校考階段練習(xí)）某批發(fā)商銷售一種成本是40元/副的防寒手套，當(dāng)每副防寒手套的售價定為60元時，一天內(nèi)可賣出100副．經(jīng)調(diào)研得知，該防寒手套的單價每降低1元，每天的銷量可增加10副．（1）當(dāng)防寒手套的單價在定價的基礎(chǔ)上降低2元時，每天的銷售量為副．（2）該批發(fā)商每天要獲利2240元，為盡可能讓利于顧客，贏得市場，那么這種防寒手套的售價應(yīng)降價元．當(dāng)每副防寒手套的定價為元時，該批發(fā)商可獲得最大利潤．【答案】120655【分析】（1）利用平均每天的銷售量(每副降低的價格)，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)每天利潤為，每副手套應(yīng)降價元，則化簡求最大值即可．【詳解】解：（1）∵該防寒手套的單價每降低1元，每天的銷量可增加10副，∴當(dāng)防寒手套的單價在定價的基礎(chǔ)上降低2元時，每天銷售量可增加（副）∴每天的銷量為：（副）故答案為：120；（2）設(shè)這種防寒手套的售價應(yīng)降價元，則每副防寒手套的銷售利潤為元，平均每天的銷售量為副，依題意得，解得，．∵盡可能讓利于顧客，贏得市場，∴每副防寒手套應(yīng)降價6元．設(shè)利潤為w，依據(jù)題意可知，．∵，當(dāng)時，批發(fā)商可獲得最大利潤．即每副防寒手套的定價為55元．故答案為：6；55.【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出方程和函數(shù)關(guān)系式．3．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）“端午節(jié)”吃粽子是中國傳統(tǒng)習(xí)俗，在“端午節(jié)”來臨前，某超市購進(jìn)一種品牌粽子，每盒進(jìn)價是40元，并規(guī)定每盒售價不得少于50元，日銷售量不低于350盒，根據(jù)以往銷售經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每盒售價定為50元時，日銷售量為500盒，每盒售價每提高1元，日銷售量減少10盒，設(shè)每盒售價為x元，日銷售量為p盒．(1)當(dāng)時，__________；(2)當(dāng)每盒售價定為多少元時，日銷售利潤W（元）最大？最大利潤是多少？(3)小強說：“當(dāng)日銷售利潤最大時，日銷售額不是最大，”小紅說：“當(dāng)日銷售利潤不低于8000元時，每盒售價x的范圍為．”你認(rèn)為他們的說法正確嗎？若正確，請說明理由；若不正確，請直接寫出正確的結(jié)論．【答案】(1)(2)當(dāng)每盒售價定為65元時，日銷售利潤W（元）最大，最大利潤是元．(3)他們的說法正確，理由見解析【分析】（1）根據(jù)每盒售價定為50元時，日銷售量為500盒，每盒售價每提高1元，日銷售量減少10盒，列式計算即可；（2）根據(jù)銷售量乘以每盒的利潤得到，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案；（3）設(shè)日銷售額為元，則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷當(dāng)日銷售利潤最大時，日銷售額不是最大，即可判斷小強的說法；當(dāng)時，由，解得，由拋物線開口向下，得到當(dāng)時，，即可判斷小紅的說法．【詳解】（1）解：當(dāng)時，（盒），故答案為：（2）由題意得，，又∵，即，解得，∵，∴當(dāng)時，W最大，最大值為，∴當(dāng)每盒售價定為65元時，日銷售利潤W（元）最大，最大利潤是元．（3）他們的說法正確，理由如下：設(shè)日銷售額為元，則，∵，∴當(dāng)時，最大，最大值為，∴當(dāng)日銷售利潤最大時，日銷售額不是最大，即小強的說法正確；當(dāng)時，，解得，∵拋物線開口向下，∴當(dāng)時，，∴當(dāng)日銷售利潤不低于元時，每盒售價x的范圍為．故小紅的說法正確．【點睛】此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意正確列出函數(shù)解析式是基礎(chǔ)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和正確計算是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題五投球問題】【例5】（2022秋·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）一位運動員在離籃筐水平距離4m處起跳投籃，球運行路線可看作拋物線，當(dāng)球離開運動員的水平距離為1m時，它與籃筐同高，球運行中的最大高度為3.5m，最后準(zhǔn)確落入籃筐，已知籃筐到地面的距離為3.05m，該運動員投籃出手點距離地面的高度為（

）A．1.5m B．2m C．2.25m D．2.5m【答案】C【分析】根據(jù)圖象，求得圖象上點的坐標(biāo)，設(shè)出函數(shù)解析式，代入點求出，進(jìn)一步求得問題的解．【詳解】解：如圖，以地面為橫軸，距離運動員右側(cè)2.5米處的點O畫縱軸，建立平面直角坐標(biāo)系由題意可知，點C的坐標(biāo)為（0，3.5），點B的坐標(biāo)為（1.5，3.05），設(shè)函數(shù)解析式為y=ax2+3.5，代入B（1.5，3.05）得，2.25a+3.5=3.05解得，a=-0.2，因此函數(shù)解析式為：y=-0.2x2+3.5，當(dāng)x=-2.5時，y==2.25；所以，球出手時離地面2.25米時才能投中．故選C．【點睛】此題主要考查根據(jù)函數(shù)的特點，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，再進(jìn)一步利用解析式解決問題．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·浙江溫州·九年級期末）把一個距離地面1米的小球豎直向上拋出，該小球距離地面的高度h（米）與所經(jīng)過的時間t（秒）之間的關(guān)系為，若存在兩個不同的t的值，使足球離地面的高度均為a（米），則a的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將（0，1）代入求得函數(shù)解析式為，再由題意可得方程，由存在兩個不同的的值，使足球離地面的高度均為，故△，即可求出相應(yīng)的范圍．【詳解】解：將（0，1）代入，得：，解得：，∴，令，則可得方程，∵存在兩個不同的的值，使足球離地面的高度均為，∴方程有兩個不相等的實根，整理得：，△，解得：，又，∴的取值范圍為：，故選：D．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到相應(yīng)的方程及將實際問題轉(zhuǎn)化為方程問題．2．（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）如圖①是古代的一種遠(yuǎn)程投石機，其投出去的石塊運動軌跡是拋物線的一部分，且石塊在離發(fā)射點水平距離米處達(dá)到最大高度米．現(xiàn)將該投石機放置在水平地面上的點處，如圖②，石塊從投石機豎直方向上的點處被投出，投向遠(yuǎn)處的防御墻，垂直于水平地面且與之間的距離超過米．已知高米，高米，若石塊正好能打中防御墻，設(shè)投石機離防御墻的水平距離為米，則的取值范圍是．

【答案】【分析】根據(jù)題意得出石塊運動軌跡所在拋物線的頂點坐標(biāo)是，，設(shè)石塊運動軌跡所在拋物線的解析式為，待定系數(shù)法求解析式，進(jìn)而將分別代入解析式，求得的值，即可求解．【詳解】解：依題意，石塊運動軌跡所在拋物線的頂點坐標(biāo)是，，，設(shè)石塊運動軌跡所在拋物線的解析式為，將代入得，∴，令，即，解得：（，舍去），，令，即，解得：（舍去），，∴的取值范圍是，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意求得二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·河南信陽·校考三模）實心球是中考體育項目之一．在擲實心球時，實心球被擲出后的運動路線可以看作是拋物線的一部分，已知小軍在一次擲實心球訓(xùn)練中，第一次投擲時出手點距地面1.8m，實心球運動至最高點時距地面3.4m，距出手點的水平距離為4m．設(shè)實心球擲出后距地面的豎直高度為y（m），實心球距出手點的水平距離為x（m）．如圖，以水平方向為x軸，出手點所在豎直方向為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．

(1)求第一次擲實心球時運動路線所在拋物線的表達(dá)式．(2)若實心球投擲成績（即出手點與著陸點的水平距離）達(dá)到12.4m為滿分，請判斷小軍第一次投擲實心球能否得滿分．(3)第二次投擲時，實心球運動的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系．記小軍第一次投擲時出手點與著陸點的水平距離為，第二次投擲時出手點與著陸點的水平距離為，則______（填“＞”“＜”“＝”）．【答案】(1)(2)不能得滿分(3)＜【分析】（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為，將代入解得a即可；（2）令，解得x，與12.4m比較即可；（3）令，解得x，根據(jù)（2）所得即可比較與．【詳解】（1）由題意，可知拋物線最高點的坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的表達(dá)式為，將代入，得，解得．∴第一次擲實心球時運動路線所在拋物線的表達(dá)式為；（2）令，解得（負(fù)值已舍去），∴實心球出手點與著陸點的水平距離為m．∵，即，∴，∴小軍第一次投擲實心球不能得滿分．（3）∵，解得（負(fù)值已舍去），，，，，∴．故答案為：＜．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用以及待定系數(shù)法求解析式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題六噴水問題】【例6】（2022秋·浙江紹興·九年級新昌縣七星中學(xué)?？计谥校W(xué)校組織學(xué)生去紹興進(jìn)行研學(xué)實踐活動，小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)在賓館房間的洗手盤臺面上有一瓶洗手液（如圖①）．于是好奇的小王同學(xué)進(jìn)行了實地測量研究．當(dāng)小王用一定的力按住頂部下壓如圖②位置時，洗手液從噴口B流出，路線近似呈拋物線狀，且噴口B為該拋物線的頂點．洗手液瓶子的截面圖下面部分是矩形．小王同學(xué)測得∶洗手液瓶子的底面直徑，噴嘴位置點距臺面的距離為，且三點共線．小王在距離臺面處接洗手液時，手心到直線的水平距離為，若小王不去接，則洗手液落在臺面的位置距的水平面是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意得出各點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求拋物線解析式進(jìn)而求解．【詳解】解：根據(jù)題意：所在直線為x軸，的垂直平分線所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，噴口B為拋物線頂點，共線的三點所在直線為拋物線的對稱軸，根據(jù)題意，，設(shè)拋物線解析式為，將Q點坐標(biāo)代入解析式得，，解得：，所以拋物線解析式為：，當(dāng)時，即，解得：，或（舍去），所以洗手液落在臺面的位置距的水平距離是.故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是明確待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式及準(zhǔn)確進(jìn)行計算．【變式訓(xùn)練】1．（2020秋·浙江湖州·九年級統(tǒng)考期末）同學(xué)發(fā)現(xiàn)在賓館房間的洗手盤臺面上有一瓶洗手液（如圖①）．于是好奇的小王同學(xué)進(jìn)行了實地測量研究．當(dāng)小王用一定的力按住頂部A下壓如圖②位置時，洗手液從噴口B流出，路線近似呈拋物線狀，且a＝﹣．洗手液瓶子的截面圖下部分是矩形CGHD．小王同學(xué)測得：洗手液瓶子的底面直徑GH＝12cm，噴嘴位置點B距臺面的距離為16cm，且B、D、H三點共線．小王在距離臺面15.5cm處接洗手液時，手心Q到直線DH的水平距離為3cm，若學(xué)校組織學(xué)生去南京進(jìn)行研學(xué)實踐活動，若小王不去接，則洗手液落在臺面的位置距DH的水平距離是（）cm．A．12 B．12 C．6 D．6【答案】B【分析】根據(jù)題意得出各點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求拋物線解析式進(jìn)而求解．【詳解】解：如圖：根據(jù)題意，得Q（9，15.5），B（6，16），OH＝6，設(shè)拋物線解析式為y＝﹣x2+bx+c，所以拋物線解析式為y＝﹣x2+x+14．當(dāng)y＝0時，即0＝﹣x2+x+14，解得：x＝6+12（負(fù)值舍去），又OH=6，所以洗手液落在臺面的位置距DH的水平距離是12cm．故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是明確待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式及準(zhǔn)確進(jìn)行計算．2．（2023·河北保定·?？寄M預(yù)測）如圖，這是噴灌架為一坡地草坪噴水的平面示意圖，噴水頭的高度（噴水頭距噴灌架底部的距離）是1米，噴灌架噴射出的水流可以近似地看成拋物線．現(xiàn)將噴灌架置于坡度為的坡地底部點O處，草坡上距離O的水平距離為30米處有一棵高度約為米的石榴樹．

（1）噴射出的水流與坡面之間的最大鉛直高度是米；（2）若要對這棵石榴樹進(jìn)行噴灌，則需將噴灌架向后移動米．【答案】5【分析】（1）設(shè)噴射出的水流與坡面之間的鉛直高度為米，則，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值即可；（2）設(shè)將噴灌架向后移動米，根據(jù)時拋物線上的點的縱坐標(biāo)值等于時的函數(shù)值，再列一元二次方程即可．【詳解】（1）設(shè)噴射出的水流與坡面OA之間的鉛直高度為米，則，∴最大鉛直高度是米；（2）設(shè)將噴灌架向后移動米，則圖中時拋物線上的點的縱坐標(biāo)值等于時的函數(shù)值，當(dāng)時，點B的縱坐標(biāo)為，當(dāng)時，，解得，（不符合題意，舍去）．故答案為：5．【點睛】本題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，正確理解題意、熟練掌握待定系數(shù)法及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）如圖，一灌溉車正為綠化帶澆水，噴水口離地豎直高度為米如圖，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標(biāo)系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形，其水平寬度米，豎直高度米，下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點離噴水口的水平距離為米，高出噴水口米，灌溉車到綠化帶的距離為米．(1)求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程；(2)求下邊緣拋物線與軸交點的坐標(biāo)；(3)要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，求的取值范圍．【答案】(1)，噴出水的最大射程為(2)點的坐標(biāo)為(3)【分析】（1）由頂點得，設(shè)，再根據(jù)拋物線過點，可得的值，從而解決問題；（2）由對稱軸知點的對稱點為，則下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的，可得點的坐標(biāo)；（3）根據(jù)，求出點的坐標(biāo)，利用灌溉車行駛時距離綠化帶的增減性可得的最大值和最小值，從而得出答案．【詳解】（1）解：如圖，由題意得是上邊緣拋物線的頂點，設(shè)，又拋物線過點，∴，，上邊緣拋物線的函數(shù)解析式為，當(dāng)時，，解得，舍去，噴出水的最大射程為；（2）解：∵對稱軸為直線，點的對稱點為，下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的，點的坐標(biāo)為；（3）解：∵，點的縱坐標(biāo)為，，解得，，，當(dāng)時，隨的增大而減小，當(dāng)時，要使，則，當(dāng)時，隨的增大而增大，且時，，當(dāng)時，要使，則，，灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，的最大值為，再看下邊緣拋物線，噴出的水能澆灌到綠化帶底部的條件是，的最小值為，綜上所述，的取值范圍是．【點睛】本題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與方程的關(guān)系等知識，讀懂題意，建立二次函數(shù)模型是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題七增長率問題】【例7】（2022秋·廣西梧州·九年級統(tǒng)考期中）某市為解決當(dāng)?shù)亟逃按蟀囝~”問題，計劃用三年時間完成對相關(guān)學(xué)校的擴(kuò)建，年市政府已投資億人民幣，若每年投資的增長率相同，預(yù)計年投資額達(dá)到億元人民幣，設(shè)每年投資的增長率為，則可得（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)增長率方程解答．【詳解】設(shè)每年投資的增長率為，由題意得，故選：C．【點睛】此題考查增長率二次函數(shù)關(guān)系式，掌握增長率問題的計算公式：，a是前量，b是后量，x在增長率．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·安徽淮北·九年級淮北市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）進(jìn)入夏季后，某電器商場為減少庫存，對電熱取暖器連續(xù)進(jìn)行兩次降價，設(shè)平均每次降價的百分率為，降價后的價格為y元，原價為a元，則y與x的函數(shù)關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】∴第一次降價后的價格是a×(1?x)，第二次降價為a×(1?x)×(1?x)=a(1?x)2∴y=a(1?x)2.故選D.2．（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）為了打造“清潔能源示范城市”，東營市2016年投入資金2560萬元用于充電樁的安裝，并規(guī)劃投入資金逐年增加，2018年在2016年的基礎(chǔ)上增加投入資金3200萬元.（1）從2016年到2018年，東營市用于充電樁安裝的資金年平均增長率為多少？（2）2019年東營市計劃再安裝A、B兩種型號的充電樁共200個.已知安裝一個A型充電樁需3.5萬元，安裝一個B型充電樁需4萬元，且A型充電樁的數(shù)量不多于B型充電樁的一半.求A、B兩種型號充電樁各安裝多少個時，所需資金最少，最少為多少？【答案】（1）從2016年到2018年，東營市用于充電樁安裝的資金年平均增長率為50%；（2）A、B兩種型號充電樁分別安裝66個，134個時所需資金最少，最少為767萬元【分析】(1)設(shè)從2016年到2018年，東營市用于充電樁安裝的資金年平均增長率為x，根據(jù)等量關(guān)系，列出方程，即可求解；(2)設(shè)安裝A型充電樁a個，則安裝B型充電樁個，所需資金為萬元，列不等式，求出a的范圍，再求出的函數(shù)解析式，進(jìn)而可求出答案.【詳解】（1）設(shè)從2016年到2018年，東營市用于充電樁安裝的資金年平均增長率為x，根據(jù)題意得：，解得:，（舍去）.答：從2016年到2018年，東營市用于充電樁安裝的資金年平均增長率為50%；（2）設(shè)安裝A型充電樁a個，則安裝B型充電樁個，所需資金為萬元.根據(jù)題意，得:，解得:，，∵，∴隨a的增大而減小.∵a為整數(shù)，∴當(dāng)時，最小，最小值為（萬元）.此時，.答：A、B兩種型號充電樁分別安裝66個，134個時，所需資金最少，最少為767萬元.【點睛】本題主要考查一次函數(shù)，二次函數(shù)以及一元一次不等式的實際應(yīng)用，找到數(shù)量關(guān)系，列出函數(shù)解析式和一元一次不等式，是解題的關(guān)鍵.3．（2023春·浙江杭州·八年級?？计谥校┠成痰赀M(jìn)購一商品，第一天每件盈利（毛利潤）10元，銷售500件．(1)第二、三天該商品十分暢銷．銷售量持續(xù)走高．在售價不變的基礎(chǔ)上，第二、三天的銷售量達(dá)到605件，求第二、三天的日平均增長率；(2)經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價不變的情況下，若每件漲價1元，日銷量將減少20件．①現(xiàn)要保證每天總毛利潤6000元，同時又要使顧客得到實惠，則每件應(yīng)張價多少元？②現(xiàn)需按毛利潤的交納各種稅費，人工費每日按銷售量每件支出0.9元，水電房租費每日102元，若剩下的每天總純利潤要達(dá)到5100元，則每件漲價應(yīng)為多少？【答案】(1)(2)①每件應(yīng)張價5元；②每件漲價應(yīng)為8元【分析】（1）設(shè)第二、三天的日平均增長率為x，利用第三天的銷售量=第一天的銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）①設(shè)每件應(yīng)張價y元，則每件盈利（毛利潤）為元，銷售數(shù)量為件，根據(jù)每件盈利（毛利潤）×銷售數(shù)量＝每天總毛利潤列方程求解即可；②設(shè)每件漲價應(yīng)為z元，則每天總毛利潤為元，每天總純利潤為元，根據(jù)每天總純利潤要達(dá)到5100元，列方程求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)第二、三天的日平均增長率為x，根據(jù)題意，得，解得：，(不符合題意，舍去)，∴，答：第二、三天的日平均增長率為10%．（2）解：①設(shè)每件應(yīng)張價y元，根據(jù)題意，得，解得：，，∵要使顧客得到實惠，∴，答：每件應(yīng)張價5元；②設(shè)每件漲價應(yīng)為z元，根據(jù)題意，得，解得：，∴，答：每件漲價應(yīng)為8元．【點睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，設(shè)恰當(dāng)未知數(shù)，找出等量關(guān)系，列出方程是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題八其他問題】【例8】（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）如圖，一個滑道由滑坡（段）和緩沖帶（段）組成，如圖所示，滑雪者在滑坡上滑行的距離（單位：m）和滑行的時間（單位：s）滿足二次函數(shù)關(guān)系，并測得相關(guān)數(shù)據(jù)：滑雪者在緩沖帶上滑行的距離（單位：m），和在緩沖帶上滑行時間（單位：s）滿足：，滑雪者從A出發(fā)在緩沖帶上停止，一共用了24s，則滑坡的長度為（

）滑行時間01234滑行距離04.51428.548A．275米 B．384米 C．375米 D．270米【答案】D【分析】由滑行時間為0時，滑行距離為0可得，故設(shè)，取兩組數(shù)據(jù)代入，求出解析式，滑雪者在段對應(yīng)的二次函數(shù)取得最大值時即為滑雪者停下時，由此求出滑雪者在段的滑行時間，即可得出在段的滑行時間，最后代入函數(shù)解析式求出段的長度即可．【詳解】解：由滑行時間為0時，滑行距離為0可得，設(shè)，取兩組數(shù)據(jù)代入可得：，解得：，，滑雪者在緩沖帶上滑行時間為：s，滑雪者在滑坡上滑行時間為：s，令，，滑坡的長度為270米．故選：D．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用，滑雪者在段對應(yīng)的二次函數(shù)取得最大值時即為滑雪者停下時，由此求出滑雪者在段的滑行時間是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·陜西·模擬預(yù)測）如圖，使用家用燃?xì)庠顭_同一壺水所需的燃?xì)饬縴（單位：m3）與旋鈕的旋轉(zhuǎn)角度x（單位：度）近似滿足函數(shù)關(guān)系

．如圖記錄了某種家用燃?xì)庠顭_同一壺水的旋鈕角度x與燃?xì)饬縴的三組數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù)，可推斷出此燃?xì)庠顭_一壺水最節(jié)省燃?xì)獾男o角度約為（）A．18° B．28° C．37° D．58°【答案】C【分析】根據(jù)已知的三個點可以大致畫出函數(shù)圖像，并判斷對稱軸的位置在36和54之間即可選擇答案．【詳解】解：根據(jù)題意可知拋物線的開口向上，由已知的三個點描點、連線得到函數(shù)的大致圖像，由圖知拋物線的對稱軸的位置在36和54之間，比36稍大，大約37．因此可推斷出此燃?xì)庠顭_一壺水最節(jié)省燃?xì)獾男o角度約為37°．故選：C．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)圖像的對稱性，判斷對稱軸的位置是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·湖北武漢·九年級?？茧A段練習(xí)）中國跳水隊被稱為“夢之隊”，跳水運動員在進(jìn)行跳水訓(xùn)練時，身體(看成點)在空中的運動路線是如圖所示的拋物線．已知跳板長為1米，距水面的高為3米，C為入水點，訓(xùn)練時跳水曲線在離起跳點B水平距離1米時達(dá)到距水面最大高度k米，分別以、所在直線為橫軸和縱軸，點O為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系．若跳水運動員在入水時點C與點O的距離在3.5米至4米(含米和4米)才能達(dá)到訓(xùn)練要求，則k的取值范圍是【答案】【分析】根據(jù)題意設(shè)出拋物線拋物線解析式的頂點式，再根據(jù)跳水運動員在入水時點C與點O的距離在3.5米至4米，即當(dāng)時，，時，解不等式即可得．【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)拋物線解析式為：，將點代入可得：，即，∴，若跳水運動員在入水時點C與點O的距離在3.5米至4米，則當(dāng)時，，解得：，當(dāng)時，，解得：，故，故答案為：．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意利用頂點式求出二次函數(shù)解析式是解題基礎(chǔ)，判斷入水的位置對應(yīng)的拋物線上點的坐標(biāo)特點是解題關(guān)鍵．3．（2023·北京海淀·校考三模）天橋中幡是第一批被正式列入非遺名錄的雜技藝術(shù)，2023年的春晚舞臺上，中幡雜技表演《龍躍神州》成為一大亮點，其中有一個環(huán)節(jié)，若干個雜技演員等距排成一列，由第一位雜技演員將中幡向后高高拋出，最后一位雜技演員用頭部接住中幡，中幡底部在空中運動的路線可以看作是拋物線的一部分．以第一位雜技演員的立足點為原點，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，中幡從拋出到被接住的過程中，中幡底部的豎直高度y（單位：m）和水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系．

某次訓(xùn)練，中幡底部的水平距離x和豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下：水平距離x/m00.822.844.8p豎直高度y/m22.963.83.963.62.962根據(jù)上述數(shù)據(jù)，回答下列問題：(1)表格中的______．(2)求滿足條件的拋物線的解析式；(3)若這次訓(xùn)練相鄰兩位演員的間距都為，最后一位演員身高為，當(dāng)中幡底部位于距頭部水平距離小于等于0.6米，距頭部豎直距離小于等于0.3米，可以成功接到中幡，若此次訓(xùn)練成功，則舞臺上至少______位演員．【答案】(1)(2)(3)6【分析】（1）先求出拋物線的對稱軸為直線，再根據(jù)對稱性即可得；（2）根據(jù)（1）可知拋物線的頂點坐標(biāo)為，從而可得，，再將點代入計算即可得；（3）設(shè)舞臺上有位演員，最后一位演員成功接到中幡時，中幡底部的水平距離為米，則從第一位雜技演員到最后一位演員的水平距離為米，中幡底部的豎直高度米，根據(jù)題意建立不等式組，利用二次函數(shù)的圖象解不等式組，由此即可得．【詳解】（1）解：由表格可知，拋物線的對稱軸為直線，則由對稱性得：，故答案為：．（2）解：由（1）可知，拋物線的頂點坐標(biāo)為，則，，將點代入得：，解得，則滿足條件的拋物線的解析式為．（3）解：設(shè)舞臺上有位演員，最后一位演員成功接到中幡時，中幡底部的水平距離為米，則從第一位雜技演員到最后一位演員的水平距離為米，中幡底部的豎直高度米，由題意得：，即，解方程得：或，畫出二次函數(shù)的圖象如下：

由函數(shù)圖象可知，不等式②的解集為或，若此次訓(xùn)練成功，即不等式組有解，則，解得，，即，，又為正整數(shù)，的最小值為6，即舞臺上至少6位演員，故答案為：6．【點睛】本題考查了求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識點，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【重難點訓(xùn)練】1．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考二模）廊橋是我國古老的文化遺產(chǎn)，如圖是某座下方為拋物線形的廊橋示意圖．已知拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，為保護(hù)廊橋的安全，在該拋物線上距水面高為8米的點E，F(xiàn)處要安裝兩盞警示燈，則這兩盞燈的水平距離是（

）A．米 B．10米 C．米 D．米【答案】A【分析】已知拋物線上距水面高為8米的E、F兩點，可知E、F兩點縱坐標(biāo)為8，把代入拋物線解析式，可求E、F兩點的橫坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的對稱性求長．【詳解】解：由于兩盞警示燈E、F距離水面都是8米，因而兩盞警示燈之間的水平距離就是直線與拋物線兩交點的橫坐標(biāo)差的絕對值．故有，即，解得，．所以兩盞警示燈之間的水平距離為：米．故選：A【點睛】本題考查的是二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用，注意利用函數(shù)對稱的性質(zhì)來解決問題．2．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考一模）游樂園里的大擺錘如圖1所示，它的簡化模型如圖2，當(dāng)擺錘第一次到達(dá)左側(cè)最高點A點時開始計時，擺錘相對地面的高度y隨時間t變化的圖象如圖3所示．?dāng)[錘從A點出發(fā)再次回到A點需要（

）秒．

A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)圖象即可解答．【詳解】由函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)當(dāng)擺錘第一次到達(dá)左側(cè)最高點到第一次到達(dá)右側(cè)最高點一共用了4秒，從右側(cè)最高點回到左側(cè)最高點也是4秒，∴擺錘從A點出發(fā)再次回到A點需要秒，故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象，正確從圖象中獲取信息是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·浙江溫州·九年級期末）洗手盤臺面上有一瓶洗手液．當(dāng)同學(xué)用一定的力按住頂部下壓如圖位置時，洗手液從噴口流出，路線近似呈拋物線狀，且噴口為該拋物線的頂點．洗手液瓶子的截面圖下面部分是矩形．同學(xué)測得：洗手液瓶子的底面直徑，噴嘴位置點距臺面的距離為，且、、三點共線．在距離臺面處接洗手液時，手心到直線的水平距離為，不去接則洗手液落在臺面的位置距的水平面是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得出各點坐標(biāo)，設(shè)拋物線解析式為，利用待定系數(shù)法求拋物線解析式進(jìn)而求解．【詳解】解：如圖：根據(jù)題意，得，設(shè)拋物線解析式為，把點代入得：，解得：，所以拋物線解析式為，當(dāng)時，即，解得：或（舍去），又，所以洗手液落在臺面的位置距的水平距離是．故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是明確待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式及準(zhǔn)確進(jìn)行計算．4．（2022秋·浙江舟山·九年級?？茧A段練習(xí)）加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，可食用率p與加工時間t（單位：分鐘）滿足的函數(shù)關(guān)系（a，b，c是常數(shù)），如圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù)．根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可得到最佳加工時間為（）A．分鐘 B．分鐘 C．分鐘 D．分鐘【答案】C【分析】先結(jié)合函數(shù)圖象，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，將解析式配方成頂點式后，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：由題意知，函數(shù)經(jīng)過點，則，解得：，∴，∴當(dāng)時，可食用率最高，∴最佳加工時間為3.75分鐘，故選C．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求最值問題是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·浙江寧波·九年級?？计谀┤鐖D是王叔叔晩飯后步行的路程（單位：）與時間（單位：）的函數(shù)圖像，其中曲線段是以為頂點的拋物線的一部分．下列說法正確的是（

）A．線段的函數(shù)表達(dá)式為B．，王叔叔步行的路程為C．曲線段的函數(shù)表達(dá)式為D．，王叔叔步行的速度由慢到快【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)圖象中的信息，利用數(shù)形結(jié)合及求相關(guān)線段的解析式解答即可．【詳解】解：A、設(shè)線段的函數(shù)解析式為，把代入得，，解得：，∴線段的函數(shù)解析式為，故該選項不符合題意；B、，王叔叔步行的路程為m，故該選項不符合題意；C、當(dāng)時，由圖象可得m，即拋物線頂點為，設(shè)拋物線的解析式為將代入得：，解得，∴曲線段的函數(shù)解析式為，故該選項符合題意；D、在A點的速度為，A到B點的平均速度為，∴，王叔叔步行的速度由快到慢，故該選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，正確的識別圖象、數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．6．（2021·浙江湖州·模擬預(yù)測）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C1：y＝a1x2（a1≠0）與拋物線C2：y＝a2x2+bx（a2≠0）的交點P在第三象限，過點P作x軸的平行線，與物線C1，C2分別交于點M，N．若＝，則的值是（

）A． B．n﹣1 C．n D．【答案】B【分析】令，求得P的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)兩拋物線的對稱軸求得PM＝﹣，PN＝2（﹣）＝﹣﹣，由＝，得到＝，整理即可得到，即可求得＝n﹣1．【詳解】解：令a1x2＝a2x2+bx，解得x1＝0，x2＝，∴P的橫坐標(biāo)為，∵拋物線：的對稱軸為y軸，拋物線的對稱軸為直線x＝﹣，∴PM＝﹣，PN＝2（﹣）＝﹣﹣，∵＝，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝n﹣2，∴﹣1＝n﹣2，∴＝n﹣1，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，求得P的橫坐標(biāo)，表示出PM、PN是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·浙江溫州·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，拋物線交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，點D為拋物線的頂點，點C關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點為點E，點G，F(xiàn)分別在x軸和y軸上，則四邊形EDFG周長的最小值為（

）A．6 B． C． D．【答案】B【分析】利用拋物線的解析式求得點C、D和E的坐標(biāo)，利用軸對稱的性質(zhì)和將軍飲馬模型作出點D關(guān)于y軸的對稱點，點E關(guān)于x軸的對稱點，連接，交x軸于點G，交y軸于點F，此時EDFG周長取最小值，利用點的坐標(biāo)的性質(zhì)和勾股定理即可求得結(jié)論．【詳解】解：令，則，∴，∵，∴，拋物線的對稱軸為直線，∵點C關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點為點E，∴，∴，作點D關(guān)于y軸的對稱點，點E關(guān)于x軸的對稱點，連接，交x軸于點G，交y軸于點F，如圖，則，，，，此時，∴此時四邊形EDFG周長最小，延長，它們交于點H，如圖，則，∴，∴四邊形EDFG周長的最小值為，故選B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、拋物線與x軸的交點，軸對稱的性質(zhì)、勾股定理和拋物線上點的坐標(biāo)的特征，利用軸對稱的性質(zhì)找出點F和G的位置是解決本題的關(guān)鍵．8．（2022秋·浙江寧波·九年級校考期中）如圖，拋物線與軸交于點和點兩點，與軸交于點，點為拋物線上第三象限內(nèi)一動點，當(dāng)時，點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)分別求出、、的長度；然后通過勾股定理逆定理判斷出，得出；由得出；作點關(guān)于軸的對稱點，連接；即可構(gòu)造出，從而得出；根據(jù)平行線的斜率相同以及點的坐標(biāo)求出直線的表達(dá)式；最后聯(lián)立方程組求解即可；【詳解】解：令，則解得：，∴，∴，，當(dāng)時，∴∴在中∴∴∴∵∴如圖，作點關(guān)于軸的對稱點，連接；則，∴∴∴設(shè)直線的表達(dá)式為：將代入得：∴直線的表達(dá)式為：解方程組得：或∵點在第三象限∴點的坐標(biāo)為故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖像的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理逆定理、直角三角形兩銳角互余等知識點；綜合運用上述知識求出直線的函數(shù)表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．9．（2020秋·浙江溫州·九年級期末）一名男生參加拋實心球測試，已知球的高度與水平距離之間的關(guān)系是，則這名男生拋實心球的成績是_____．【答案】【分析】根據(jù)題意，令，解方程即可求解．【詳解】解：依題意，令中，，即，整理得：解得：（舍去），∴這名男生拋實心球的成績是，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，正確的計算是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋·浙江湖州·九年級統(tǒng)考期末）教練對小明推鉛球的錄像進(jìn)行技術(shù)分析，建立平面直角坐標(biāo)系（如圖），發(fā)現(xiàn)鉛球與地面的高度和運動員出手點的水平距離之間的函數(shù)關(guān)系為，由此可知鉛球的落地點與運動員出手點的水平距離是________m．【答案】10【分析】根據(jù)鉛球落地時，高度，實際問題可理解為當(dāng)時，求的值即可；【詳解】當(dāng)時，得：，解得：，（舍去）即鉛球的落地點與運動員出手點的水平距離是故答案為：10【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，利用時求出的值是解題關(guān)鍵．11．（2022秋·浙江溫州·九年級樂清外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）圖1為水壺給圓柱形玻璃杯加水的情景，水流呈拋物線狀流出．水流從出水口A流出，落在玻璃杯內(nèi)底部邊緣點B處，矩形是該玻璃杯的截面，與該水流所在的拋物線在同一平面內(nèi)，其示意圖如圖2所示．此拋物線與邊交于點F，經(jīng)過連接點G，且A，G兩點到直線的鉛直高度相等，都為2分米．已知該玻璃杯底面直徑分米，高分米（玻璃厚度忽略不計），分米，點A到直線的水平距離為分米．則出水口A到連接點G的距離是______分米；隨著該玻璃杯內(nèi)水面的上升，當(dāng)水流的落點恰好在水面中心時，該玻璃杯離加滿水還差______分米（假設(shè)該水壺的位置、水流的拋物線形狀均保持不變，水量足夠）．【答案】10.21【分析】以所在直線為x軸、所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，可得點，點G的縱坐標(biāo)是2，可得到水流所在的拋物線的解析式為，再把代入，可得點G的坐標(biāo)為；再把代入，即可求解．【詳解】解∶以所在直線為x軸、所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：根據(jù)題意得：點，點G的縱坐標(biāo)是2，設(shè)水流所在的拋物線的解析式為，把代入，得：，解得：，∴水流所在的拋物線的解析式為，當(dāng)時，，解得：，∴點G的坐標(biāo)為，∴分米，即出水口A到連接點G的距離是1分米；當(dāng)時，，分米，即當(dāng)水流的落點恰好在水面中心時，該玻璃杯離加滿水還差分米．故答案為：1，【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確建立平面直角坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋·浙江溫州·九年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點在軸正半軸上，頂點在軸的負(fù)半軸上，頂點在第四象限，已知點坐標(biāo)為，以為頂點的拋物線恰好經(jīng)過點，則的值為______．【答案】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)即可得到全等三角形，進(jìn)而得到線段的長度，最后利用二次函數(shù)的待定系數(shù)法即可求得結(jié)果．【詳解】解：過作軸，交軸于；過點做于，；過點作于，∵∴∵正方形∴且∴∵∴∵，∴在和中∴∴≌∴且∵∴∵∴∵且∴四邊形為正方形∴∴∴∴即∴設(shè)函數(shù)解析式為∴將代入解析式得到解得：故答案為：【點睛】本題考查了二次函數(shù)與正方形性質(zhì)的綜合應(yīng)用，掌握二次函數(shù)的頂點式與正方形性質(zhì)的綜合應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋·浙江麗水·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，，在第一象限內(nèi)取一點C，使得，且，拋物線的圖象過點C．（1）該拋物線的表達(dá)式為：______；（2）當(dāng)該拋物線的對稱軸直線l平移至直線后，恰好將的面積分成相等的兩部分，m的值為______．【答案】；【分析】（1）首先構(gòu)造全等三角形，求出點C的坐標(biāo)，然后利用點C的坐標(biāo)求出拋物線的解析式；（2）首先求出直線與的解析式，設(shè)直線l與、交于點E、F，則可求出的表達(dá)式，根據(jù)，列出方程求出直線l的解析式．【詳解】解：（1）過點C作軸于點D，如圖所示：則，∵，，∴，，在與中，，∴，∴，，∴，∴，∵點在拋物線上，∴，解得：，∴拋物線的解析式為：；故答案為：；（2）在中，，，由勾股定理得：，∴，設(shè)直線的解析式為，∵，，，:解得：，∴，同理求得直線的解析式為：，設(shè)直線l與、分別交于點E、F，則，中，邊上的高，由題意得：，即：，∴，整理得：，解得或（不合題意，舍去），∴當(dāng)直線l解析式為時，恰好將的面積分為相等的兩部分．故答案為：．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題型，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、全等三角形、平行四邊形、等腰直角三角形等知識點．試題難度一般，但需要仔細(xì)分析，認(rèn)真計算．14．（2022秋·浙江紹興·九年級校聯(lián)考期中）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點．點D是拋物線上的一個點，作交拋物線于D、E兩點，以線段為對角線作菱形，點P在x軸上，若時，則菱形對角線的長為________．【答案】或【分析】設(shè)菱形對角線的交點為M，則，，設(shè)點D的橫坐標(biāo)為t，由此表示出的長，的長，進(jìn)而可得的長，根據(jù)建立方程，求解即可．【詳解】解：如圖，由拋物線的解析式可知，拋物線的對稱軸為直線，設(shè)菱形對角線的交點為M，則，，∵點D是拋物線上的一個點，且，設(shè)點D的橫坐標(biāo)為t，∴，∵，∴點D，點E關(guān)于對稱軸對稱，∴點P和點Q在對稱軸上，∴，∴，∴，∵，∴，解得，(舍去)，，(舍去)，∴或．故答案為：或．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及二次函數(shù)的對稱性，菱形的性質(zhì)等內(nèi)容，利用菱形的性質(zhì)由點D的坐標(biāo)表示出的長是解題關(guān)鍵．三、解答題15．（2023春·浙江杭州·八年級校聯(lián)考期中）對于向上拋的物體，如果空氣阻力忽略不計，有下面的關(guān)系式：（h是物體離起點的高度，v0是初速度，g是重力系數(shù)，取，t是拋出后經(jīng)過的時間）．雜技演員拋球表演時，以的初速度把球向上拋出，球的起點離開地面．(1)秒時球離起點的高度是多少？(2)幾秒后球離起點的高度達(dá)到？(3)球經(jīng)過多少時間才落地？【答案】(1)秒時球離起點的高度是；(2)秒或秒后球離起點的高度達(dá)到；(3)球經(jīng)過秒后落地．【分析】（1）把代入即可求解；（2）把代入求t即可；（3）令問題可解．【詳解】（1）解：由題意，將分別代入函數(shù)關(guān)系式，得，當(dāng)時，代入解得，∴秒時球離起點的高度是；（2）解：當(dāng)時，，解得．故秒或秒后球離起點的高度達(dá)到；（3）解：當(dāng)球落地時，則，解得（舍去），．故球經(jīng)過秒后落地．【點睛】本題為二次函數(shù)實際應(yīng)用問題，解答時注意將相應(yīng)的函數(shù)值或自變量值代入函數(shù)關(guān)系式中求解即可．16．（2023春·浙江杭州·八年級?？计谥校┠撤鲐毠ぷ餍〗M對果農(nóng)進(jìn)行精準(zhǔn)扶貧，幫助果農(nóng)將一種有機生態(tài)水果拓寬了市場．與去年相比，今年這種水果每千克的平均批發(fā)價降低了元，產(chǎn)品比去年增加了，批發(fā)銷售總額比去年增加了．已知去年這種水果批發(fā)銷售總額為萬元．(1)設(shè)這種水果去年的產(chǎn)量是千克，請列方程求這種水果去年的產(chǎn)量是多少千克？并求出這種水果今年每千克的平均批發(fā)價？(2)某水果店從果農(nóng)處直接批發(fā)，專營這種水果．調(diào)研發(fā)現(xiàn)，若每千克的平均銷售價為元，則每天可售出千克；若每千克的平均銷售價每降低元，每天可多賣出千克，設(shè)水果店一天的利潤為元，求：①若該水果店采取降價催銷的方式銷售水果，水果店一天的利潤為元，則降價多少元？②當(dāng)每千克的平均銷售價為多少元時，該水果店一天的利潤最大？最大利潤是多少？（利潤計算時，其它費用忽略不計）【答案】(1)去年產(chǎn)量為千克；今年每千克的平均批發(fā)價為元(2)①降價元；②當(dāng)每千克的平均銷售價為元時，該水果店一天的利潤最大，最大利潤是元【分析】（1）根據(jù)題意，去年產(chǎn)量是千克，今年這種水果產(chǎn)品比去年增加了，由此即可求解；去年這種水果批發(fā)銷售總額為萬元，批發(fā)銷售總額比去年增加了，由此即可求解；（2）①設(shè)降價為元，根據(jù)銷售利潤的計算方法即可求解；②根據(jù)利潤的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)圖像的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)去年產(chǎn)量是千克，今年這種水果產(chǎn)品比去年增加了，∴今年的產(chǎn)量為，∵去年這種水果批發(fā)銷售總額為萬元，今年批發(fā)銷售總額比去年增加了，∴今年批發(fā)銷售總額為（萬元），∴去年每千克的平均批發(fā)價，今年這種水果每千克的平均批發(fā)價降低了元，∴今年每千克的平均批發(fā)價，∴，整理得，，解得，，檢驗：當(dāng)時，原分式方程有意義，∴去年產(chǎn)量為千克，∴今年每千克的平均批發(fā)價（元），即今年每千克的平均批發(fā)價為元．（2）解：若每千克的平均銷售價為元，則每天可售出千克；若每千克的平均銷售價每降低元，每天可多賣出千克，設(shè)水果店一天的利潤為元，①由（1）可知，今年的批發(fā)價是元，每千克的平均銷售價為元，∴每千克的平均利潤為（元），設(shè)降價元，則現(xiàn)在每千克平均銷售價為元，則利潤為（元），現(xiàn)在每天賣出千克，∴一天的利潤為（元），當(dāng)時，，整理得，，解得，（舍去），，∴降價元；②∵利潤為，∴當(dāng)時，利潤最大，則每千克的銷售價為（元），∴當(dāng)每千克的平均銷售價為元時，該水果店一天的利潤最大，最大利潤是元．【點睛】本題主要考查方程與實際問題的綜合，理解題目中的數(shù)量關(guān)系，掌握分式方程的運用，二次函數(shù)求最值的方法是解題的關(guān)鍵．17．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考二模）酶是一種綠色添加劑，合理地使用酶制作面包，能增加面粉的拉伸面積，從而既能降低原料的成本，又能改善面包的口味．下表是A種酶對面粉拉伸面積的影響表．種酶添加量0510152030405060面粉拉伸面積9092.59597.510012012010060下表是B種酶對面粉拉伸面積的影響表．種酶添加量01234567面粉拉伸面積4550555662646256(1)求面粉拉伸面積與種酶的添加量的函數(shù)關(guān)系式；(2)已知添加種酶時，面粉拉伸面積不小于時，效果較好，如何添加種酶？(3)研究發(fā)現(xiàn)，將兩種酶復(fù)合使用，效果更好，而當(dāng)兩種酶均達(dá)到效果最好時復(fù)合，效果最好．直接寫出如何添加種酶和種酶，使復(fù)合效果最好．【答案】(1)(2)當(dāng)添加種酶不小于且不大于時，面粉拉伸面積不小于，效果較好；(