2023-2024學(xué)年山東省淄博市臨淄中學(xué)高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat17頁2023-2024學(xué)年山東省淄博市臨淄中學(xué)高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知隨機事件和互斥,且,,則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】因為和互斥,由求出,再由即可得到答案.【詳解】因為和互斥,所以,又,所以,因為,所以.故選:B.2．湘西州有甲草原：龍山縣八面山空中草原，乙草原：瀘溪縣濱江大草原，暑假期間兩草原供游客休閑旅游，記事件“只去甲草原”，事件“至少去一個草原”，事件“至多去一個草原”，事件“不去甲草原”，事件“一個草原也不去”.下列命題正確的是（

）A．E與G是互斥事件； B．F與I是互斥事件，且是對立事件；C．F與G是互斥事件； D．G與I是互斥事件.【答案】B【分析】根據(jù)互斥事件、對立事件的定義判斷即可；【詳解】依題意基本事件有“去甲草原”、“去乙草原”、“一個草原也不去”、“去甲、乙草原”共四個，事件“至少去一個草原”包含“去甲草原”、“去乙草原”、“去甲、乙草原”三個基本事件；事件“至多去一個草原”包含“去甲草原”、“去乙草原”、“一個草原也不去”三個基本事件；事件“不去甲草原”包含“去乙草原”、“一個草原也不去”兩個基本事件；對于A，事件，有可能同時發(fā)生，不是互斥事件，故A錯誤；對于B，事件與不可能同時發(fā)生，且發(fā)生的概率之和為1，是互斥事件，且為對立事件，故B正確；對于C，事件與有可能同時發(fā)生，不是互斥事件，故C錯誤；對于D，事件與有可能同時發(fā)生，不是互斥事件，故D錯誤.故選：B3．已知直線的方向向量是，平面的法向量是，則直線與平面的位置關(guān)系是（

）A．或 B．C．與相交但不垂直 D．【答案】A【分析】根據(jù)直線的方向向量與平面的法向量的位置關(guān)系可判斷直線與平面的位置關(guān)系.【詳解】，所以，所以或.故選：A.4．經(jīng)統(tǒng)計某射擊運動員隨機命中的概率可視為，為估計該運動員射擊4次恰好命中3次的概率，現(xiàn)采用隨機模擬的方法，先由計算機產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)的隨機數(shù)，用0，1，2沒有擊中，用3，4，5，6，7，8，9表示擊中，以4個隨機數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)：7525，0293，7140，9857，0347，4373，8638，7815，1417，55500371，6233，2616，8045，6011，3661，9597，7424，7610，4281根據(jù)以上數(shù)據(jù)，則可估計該運動員射擊4次恰好命中3次的概率為A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)20組隨機數(shù)可知該運動員射擊4次恰好命中3次的隨機數(shù)共8組，據(jù)此可求出對應(yīng)的概率．【詳解】由題意，該運動員射擊4次恰好命中3次的隨機數(shù)為：7525，0347，7815，5550，6233，8045，3661，7424，共8組，則該運動員射擊4次恰好命中3次的概率為.故答案為A.【點睛】本題考查了利用隨機模擬數(shù)表法求概率，考查了學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握．5．某天下課以后，教室里最后剩下兩名男同學(xué)和兩名女同學(xué)，若沒有兩位同學(xué)一起走，則第二位走的是男同學(xué)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)古典概率模型計算概率即可.【詳解】由題意知本題是一個等可能事件的概率，∵試驗發(fā)生包含的事件是個同學(xué)要第二個離開教室，共有種結(jié)果，滿足條件的事件是第二位走的是男同學(xué)，共有種結(jié)果，∴根據(jù)等可能事件的概率得到，故選：C.6．已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的運算性質(zhì)和定義，結(jié)合投影向量進行求解即可.【詳解】因為空間向量，，所以向量在向量上的投影向量為：，故選：C7．如圖，二面角等于，是棱上兩點，分別在半平面內(nèi)，，，且，則的長等于（

）

A． B． C．4 D．2【答案】C【分析】根據(jù)題意，可得，再由空間向量的模長計算公式，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由二面角的平面角的定義知，∴，由，得，又，∴，所以，即.故選：C.8．已知空間向量，，，則（

）A． B．0 C．4 D．【答案】A【分析】先根據(jù)已知條件求出，再由可求得結(jié)果.【詳解】因為，所以，因為，，所以，所以，故選：A二、多選題9．已知空間四點，則下列說法正確的是（

）A． B．C．點到直線的距離為 D．四點共面【答案】BD【分析】根據(jù)空間向量的坐標表示公式、夾角公式，結(jié)合四點共面的性質(zhì)、點到線距離公式逐一判斷即可.【詳解】A：因為，所以，因此本選項不正確；B：因為，所以，因此本選項正確；C：，，所以所以點到直線的距離為，因此本選項不正確；D：因為，所以有，因此是共線向量，所以四點共面，因此本選項正確，故選：BD10．在平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是60°，M為與的交點，若，則下列正確的是（

）A．B．C．向量與的夾角是60°D．【答案】BD【分析】A選項，利用空間向量基本定理進行推導(dǎo)即可；B選項，利用空間向量基本定理求出，由；C選項，由圖可知與的夾角為鈍角，也即與的夾角為鈍角；D選項，首先根據(jù)數(shù)量積的定義求出，，，再根據(jù)數(shù)量積的運算律求出及，最后根據(jù)夾角公式計算可得；【詳解】對于A選項，，故A錯誤；對于B選項，，，，故，B正確；對于C選項，，三角形是等邊三角形，因為，，，可知與的夾角為鈍角，也即與的夾角為鈍角，C選項錯誤.對于D選項，因為頂點為端點的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是，故，，，所以，故，所以，所以，故D正確.故選：BD.11．在某次數(shù)學(xué)測試中，對多項選擇題的要求是：“在每小題給出的四個選項中，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.”已知某道多項選擇題的正確答案是，且某同學(xué)不會做該題（該同學(xué)至少選一項且可能全選），下列結(jié)論正確的是（

）A．該同學(xué)僅隨機選一個選項，能得分的概率是；B．該同學(xué)隨機至少選擇二個選項，能得分的概率是；C．該同學(xué)僅隨機選三個選項，能得分的概率是；D．該同學(xué)隨機選擇選項，能得分的概率是.【答案】BC【分析】列出所有情況，根據(jù)選項結(jié)合古典概型公式即可得到答案.【詳解】該同學(xué)隨機選一個選項，共有4個基本事件，分別為，，，.隨機選兩個選項，共有6個基本事件，分別為，，，，，.隨機選三個選項，共有4個基本事件，分別為，，，.隨機選四個選項，共有1個基本事件，即.對A，僅隨機選一個選項，能得分的概率是，故A錯誤.對B，隨機至少選擇二個選項，能得分的情況有，共4種，能得分的概率是，故B正確.對C，僅隨機選三個選項，能得分的情況只有，則概率是，故C正確.對D，隨機選擇選項，能得分的概率是，故D錯誤.故選：BC.12．在正三棱柱中，已知，，為中點，點在直線上，點在直線上，則（

）A．B．平面C．異面直線與所成角的余弦值為D．線段長度的最小值為【答案】ABD【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得；【詳解】在正三棱柱中，為中點，所以，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，，，所以，，,，故A正確；所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以，因為，即，又平面，所以平面，故B正確；異面直線與所成角為異面直線與所成角的余弦值為，故C錯誤；，，,設(shè)向量，,令，則，，所以，線段EF長度的最小值為，故D正確；故選：ABD三、填空題13．一只袋子中裝有7個紅玻璃球，3個綠玻璃球，從中無放回地任意抽取兩次，每次只取一個，取得兩個紅球的概率為，取得兩個綠球的概率為，則至少取得一個紅球的概率為.【答案】【分析】“至少取得一個紅球”與“取得兩個綠球”為對立事件，利用對立事件的概率公式求出概率.【詳解】由于事件A“至少取得一個紅球”與事件B“取得兩個綠球”是對立事件，則至少取得一個紅球的概率為.故答案為：.14．已知向量，，且與互相垂直，則的值是.【答案】/【分析】向量的垂直用坐標表示為，代入即可求出答案.【詳解】，，因為與互相垂直，所以,即，解得：.故答案為：15．設(shè)，是兩個不共線的空間向量，若，，，且，，三點共線，則實數(shù)的值為.【答案】/【分析】由列方程，化簡求得的值.【詳解】∵，，，∴，又∵A，C，D三點共線，∴，∵，不共線，∴，∴，∴.故答案為：16．一個數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)的百位、十位、個位上的數(shù)字依次記為，，，當且僅當，，中有兩個不同數(shù)字的和等于剩下的一個數(shù)字時，稱這個三位數(shù)為“有緣數(shù)”（如213，341等）．現(xiàn)從1，2，3，4這四個數(shù)字中任取三個數(shù)組成一個數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)，則這個三位數(shù)為“有緣數(shù)”的概率是．【答案】/【分析】首先求出基本事件總數(shù)，再求出滿足“有緣數(shù)”的數(shù)字個數(shù)，再根據(jù)古典概型的概率公式計算可得；【詳解】解：從1，2，3，4這四個數(shù)字中任取三個數(shù)組成一個數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)的個數(shù)為，1，2，3，4這四個數(shù)字中兩個的和等于第三個的有123，134，因此“有緣數(shù)”個數(shù)為，所以這個三位數(shù)為“有緣數(shù)”的概率．故答案為：．四、解答題17．在2016珠海航展志愿服務(wù)開始前，團珠海市委調(diào)查了北京師范大學(xué)珠海分校某班50名志愿者參加志愿服務(wù)禮儀培訓(xùn)和賽會應(yīng)急救援培訓(xùn)的情況，數(shù)據(jù)如下表：單位：人參加志愿服務(wù)禮儀培訓(xùn)未參加志愿服務(wù)禮儀培訓(xùn)參加賽會應(yīng)急救援培訓(xùn)88未參加賽會應(yīng)急救援培訓(xùn)430（1）從該班隨機選1名同學(xué)，求該同學(xué)至少參加上述一個培訓(xùn)的概率；（2）在既參加志愿服務(wù)禮儀培訓(xùn)又參加賽會應(yīng)急救援培訓(xùn)的8名同學(xué)中，有5名男同學(xué)A，A，A，A，A名女同學(xué)B，B，B現(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機選1人，求A被選中且B未被選中的概率.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)知未參加志愿服務(wù)禮儀培訓(xùn)又未參加賽會應(yīng)急救援培訓(xùn)的有30人，故至少參加上述一個培訓(xùn)的共有人.從而求得概率；（2）從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機選1人，列出其一切可能的結(jié)果，從而求得被選中且未被選中的概率.【詳解】解：由調(diào)查數(shù)據(jù)可知，既未參加志愿服務(wù)禮儀培訓(xùn)又未參加賽會應(yīng)急救援培訓(xùn)的有30人，故至少參加上述一個培訓(xùn)的共有人.從該班隨機選1名同學(xué)，該同學(xué)至少參加上述一個培訓(xùn)的概率為；從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機選1人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：，，，共15個，根據(jù)題意，這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的，事件“被選中且未被選中”所包含的基本事件有：，共2個，被選中且未被選中的概率為.18．在棱長為1的正方體中，E為線段的中點，F(xiàn)為線段AB的中點．(1)求直線與所成角的余弦值；(2)求直線到平面的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）以為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，進而根據(jù)向量夾角公式計算即可；（2）利用向量法求線面距離作答即可.【詳解】（1）在正方體中，以為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，，，，所以，，所以直線與所成角的余弦值為.（2）由（1）知，，，，，顯然，所以，而平面，平面，于是平面，因此直線到平面的距離等于點到平面的距離，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，所以點到平面的距離為，所以直線FC到平面的距離是.19．某項考試按科目、科目依次進行，只有當科目成績合格時，才可繼續(xù)參加科目的考試．已知每個科目只允許有一次補考機會，兩個科目成績均合格方可獲得證書．現(xiàn)某人參加這項考試，科目每次考試成績合格的概率均為，科目每次考試成績合格的概率均為．假設(shè)各次考試成績合格與否均互不影響．(1)求他在科目考試第一次合格的概率；(2)在這項考試過程中，假設(shè)他不放棄所有的考試機會，求他可獲得證書的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)獨立事件概率計算公式求解即可；（2）先計算他考試的次數(shù)為2、3、4且獲得證書的概率，進而即可求解.【詳解】（1）科目考試合格的概率為，則他在科目考試第一次合格的概率為.（2）他考試的次數(shù)為2且獲得證書的概率為，他考試的次數(shù)為3且獲得證書的概率為，他考試的次數(shù)為4且獲得證書的概率為，所以他可獲得證書的概率為.20．如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，為的中點．(1)證明：；(2)求點B到直線EF的距離.【答案】(1)證明見解析(2)2【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明，再利用線面垂直的性質(zhì)、判定推理作答.（2）由（1）中信息，以點A作原點建立空間直角坐標系，再利用空間向量求解作答.【詳解】（1）在四邊形中，，取中點，連接，由，得，則四邊形是平行四邊形，又，因此是矩形，即有，有，，從而，即，而平面，平面，則，又平面，于是平面，而平面，所以.（2）由（1）知，三線兩兩垂直，以點A作原點，以所在直線為軸建立空間直角坐標系，所以，，，所以，，所以，所以點B到直線EF的距離為.21．甲、乙兩人組成“九章隊”參加青島二中數(shù)學(xué)學(xué)科周“最強大腦”比賽，每輪比賽由甲、乙各猜一個數(shù)學(xué)名詞，已知甲每輪猜對的概率為，乙每輪猜對的概率為．在每輪比賽中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．(1)求甲兩輪至少猜對一個數(shù)學(xué)名詞的概率；(2)求“九章隊”在兩輪比賽中猜對三個數(shù)學(xué)名詞的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)相互獨立事件的乘法概率公式計算即可；（2）兩人分別猜兩次，總共四次中有一次沒猜對，分四種情況計算可得答案.【詳解】（1）設(shè)甲兩輪至少猜對一個數(shù)學(xué)名詞為事件，.（2）設(shè)事A＝“甲第一輪猜對”，B＝“乙第一輪猜對”，C＝“甲第二輪猜對”，D＝“乙第二輪猜對”，E＝““九章隊”猜對三個數(shù)學(xué)名詞”，所以，則，由事件的獨立性與互斥性，得，故“九章隊”在兩輪活動中猜對三個數(shù)學(xué)