n元格蘊(yùn)涵代數(shù)不等式及其性質(zhì)

n元格蘊(yùn)涵代數(shù)不等式及其性質(zhì)

為了為不確定性信息理論提供可靠的邏輯基礎(chǔ)，徐揚(yáng)將網(wǎng)格與隱藏代相結(jié)合，提出了網(wǎng)格嵌入代的概念，然后研究了性質(zhì)、格值邏輯系統(tǒng)以及基于不確定性信息的不確定性思維和自動思維。胡長河研究了剩余網(wǎng)格的性質(zhì)，白麗軍重點(diǎn)研究了基于網(wǎng)格的算法。作為一門參考植物，明代的格思迭代具有重要的理論和實(shí)踐應(yīng)用價(jià)值。近年來，它引起了人們的廣泛興趣。因此，這項(xiàng)工作的作者在n元格的不均勻方程的解及其解集中獲得了這種分解的充要條件和解集的幾個(gè)性質(zhì)。此外，在b是l的情況下，確定n元格中包含的所有極小解，并給出具體的解集。1l,,,,,o,定義1.1設(shè)(L,∧,∨,′)是一有泛界0,I的有余格,≤是L上的偏序關(guān)系,若映射→:L×L→L滿足,對任意的x,y,z∈L(1)x→(y→z)=y→(x→z);(2)x→x=I;(3)若x→y=y→x=I,則x=y;(4)x→y=y′→x′;(5)(x→y)→y=(y→x)→x;則稱(L,∧,∨,′,→O,I)是一個(gè)擬格蘊(yùn)涵代數(shù).若它還滿足:(6)(x∨y)→z=(x→z)∧(y→z);(7)(x∧y)→z=(x→z)∨(y→z).則(L,∧,∨,′,→)稱為格蘊(yùn)涵代數(shù).若對所有的x,y,z∈L還滿足x∨y∨[(x∧y)→z]=I,則(L,∧,∨,′,→)稱為格H蘊(yùn)涵代數(shù).定義1.2設(shè)L是一個(gè)格,對任意的x,y∈L,如果b=x∨y蘊(yùn)涵著x=b或y=b,則稱b為格L的并既約元.注:在下文中,對任意的自然數(shù)n,n均表示集合{1,2,…,n}.定理1.3設(shè)(L,∧,∨,′,→0,I)是一個(gè)格蘊(yùn)涵代數(shù),則(L,∧,∨)是一個(gè)分配格.引理1.4設(shè)p是分配格L的交既約元,則p≤∨kj=1kj=1xj蘊(yùn)涵著存在j∈k使得p≤xj.2又藥物型的2.定義2.1在格蘊(yùn)涵代數(shù)L中,稱含有未知量并且運(yùn)算是由(∨,∧,′,→)中的一些運(yùn)算符號所組成的不等式為格蘊(yùn)涵代數(shù)不等式.下文中若無特殊說明L均表示格蘊(yùn)涵代數(shù).已知ai,b∈L,i=1,2,…,n需確定使得:∨ni=1ni=1(ai∧xi)≥b.記S={(x1,x2,…xn)|∨ni=1ni=1(ai∧xi)≥b}當(dāng)b=0時(shí),S≠?恒成立,且,下面設(shè)b≠0.定理2.2對任意的b∈L,S≠??∨ni=1ni=1ai≥b.證明必要性若S≠?,則存在X=(x1,x2,…,xn)∈S,使得∨ni=1ni=1(ai∧xi)≥b,而對任意的i∈n,ai∧xi≤ai,所以b≤∨ni=1ni=1(ai∧xi)≥∨ni=1ni=1ai;充分性因?yàn)椤舗i=1ni=1ai≥b,故b≤b(∨ni=1ni=1ai∧b-∨ni=1ni=1ai∧→b)所以(b,b,…,b)∈S,即S≠?.定理2.3設(shè)X=(x1,x2,…,xn)∈S,則∨ni=1ni=1xi≥b,而且S形成一個(gè)并半格.證明設(shè)X=(x1,x2,…,xn)∈S,則∨ni=1ni=1xi≥∨ni=1ni=1(ai∧xi)≥b;若X1,X2∈S,設(shè)X1=(x1111,x1212,…,x1n1n),X2=(x21,x22,…,x2n),則即X1∨X2∈S,所以S形成一個(gè)并半格.定理2.4如果S≠?,則對任意的X∈S,若X1≥X,則X1∈S.證明設(shè)X1=(x11,x12,…,x1n),X=(x1,x2,…,xn)如果X1≥X而且X∈S,∨ni=1(ai∧x1i)≥∨ni=1(ai∧xi)≥b,所以X1∈S.定理2.5如果S≠?,則I=(I,I,…,I)∈S.證明因?yàn)镾≠?,由定理2.2知,∨ni=1ai≥b,故∨ni=1(ai∧I)=∨ni=1ai≥b,所以I=(I,I,…,I)∈S.由定理2.5知,若S≠?,則S恒I解,如果能找出S的最小解或極小解,由定理2.4和2.5知,則可以得到∨ni=1(ai∧xi)≥b的所有解.下面將從b是L的并既約元的情況下,去找出該出方程的最小解或是極小解,進(jìn)而得到其具體解集.定理2.6如果b是L的交既約元,則S≠???i∈n,使得ai≥b.證明由定理2.2知,S≠??∨ni=1ai≥b又因?yàn)閎是L的交既約元,故由定理1.4和引理1.5知,∨ni=1ai≥b??i∈n使得ai≥b.定理2.7如果S≠?且b是L的并既約元,若j∈n且aj≥b,則X*j=(x*1,x*2,…,x*n)=(0,…0,b,0,…,0)是S的一個(gè)極小元.證明若j∈n且aj≥b,由于(a1∧0)∨…∨(aj-1∧0)∨(aj∧b)∨(aj+1∧0)∨…∨(an∧0)=(aj∧b)=b≥b,所以X*j∈S.以下證明X*j是M的極小元,設(shè)X=(x1,x2,…,xn)∈S,使得X≥X*j,則當(dāng)i≠j時(shí),xi=x*i=0;當(dāng)i=j時(shí),由X≤X*j可得xj≤b;b≤∨ni=1(aj∧xi)=aj∧xj,故xj≥b,因此xj=b,故X=X*,所以X*j是S的一個(gè)極小元.定理2.8如果S≠?且b是L的并約元,則對每個(gè)X∈S,存在S中的一個(gè)極小元X*j,使得X≥X*j.證明如果S≠?,則存在X=(x1,x2,…,xn)∈S,使得b≤∨ni=1(ai∧xi),又因?yàn)閎是L的交并既約元,由引理1.5知,存在j∈n,使得b≤aj∧xj,故xj≥b;設(shè)則X≥X*j,由定理2.7知,X*j是S的一個(gè)極小元.定理2.9如果S≠?且b是L的并既約元,則S是每個(gè)極小元都具有形式,且S有|G(b)|個(gè)極小元,其中證明如果S≠?且b是L的并既約元,由定理2.8知,S存在極小元,設(shè)X=(x1,x2,…,xn)是S的極小元,即b≤∨ni=1(ai∧xi)而b是L的并既約元,則存在j∈n,使得b≤aj∧xj,故b≤xj;設(shè)X*j=,顯然X*j≤X,b≤aj;由定理2.7知,X*j∈S,由于X是S的極小元,故X*j=X;所以S的每個(gè)極大元都具有形式,并且對于極小元必然有:(a1∧0)∨…∨(aj-1∧1