固體物理學(xué)復(fù)習(xí)總結(jié)

第一章晶體結(jié)構(gòu)1.晶體：組成固體的原子（或離子）在微觀(guān)上的排列具有長(zhǎng)程周期性結(jié)構(gòu)；eg：?jiǎn)尉Ч?。晶體具有的典型物理性質(zhì)：均勻性、各向異性、自發(fā)的形成多面體外形、有明顯確定的熔點(diǎn)、有特定的對(duì)稱(chēng)性、使X射線(xiàn)產(chǎn)生衍射。非晶體：組成固體的粒子只有短程序，但無(wú)長(zhǎng)程周期性；eg：非晶硅、玻璃準(zhǔn)晶：有長(zhǎng)程的取向序，沿取向序的對(duì)稱(chēng)軸方向有準(zhǔn)周期性，但無(wú)長(zhǎng)程周期性，不具備晶體的平移對(duì)稱(chēng)性；eg：快速冷卻的鋁錳合金2.三維晶體中存在7種晶系14種布拉菲格子；對(duì)于簡(jiǎn)單格子晶胞里有幾個(gè)原子就有幾個(gè)原胞，復(fù)式格子中包含兩個(gè)或更多的格子。3.典型格子特點(diǎn)：scbccfcchcpDiamond晶胞體積每晶胞包含的格點(diǎn)數(shù)12468原胞體積最近鄰數(shù)（配位數(shù)）6812124填充因子0.5240.680.740.740.34典型晶體NaClCaOLiKCuAuZnMgSiGe4.sc正格子基矢：；sc倒格子基矢：；fcc正格子基矢：；fcc倒格子基矢：；bcc正格子基矢：；bcc倒格子基矢：；倒格子原胞基，，正格子和倒格子的基矢關(guān)系為；設(shè)正格子原胞體積為V,倒格子原胞體積為Vc，則。W-S原胞體積和倒格子原胞體積大小相等。5.晶向指數(shù)：晶列是連接任意兩個(gè)格點(diǎn)所形成的直線(xiàn)，而晶列的取向稱(chēng)為晶向，如果從一個(gè)原子到最近的原子的位移矢量為，則晶向就用來(lái)表示，記作,標(biāo)志晶向的這組數(shù)稱(chēng)為晶向指數(shù)，如涉及負(fù)的指數(shù)按慣例在頭上加一橫線(xiàn)來(lái)表示。密勒指數(shù)：找出該晶面在晶軸上的以晶軸長(zhǎng)度量度的截距，取這些截距的倒數(shù)，化為具有相同比例的三個(gè)最小整數(shù)，擴(kuò)在圓括號(hào)里即為密勒指數(shù)，用來(lái)標(biāo)志晶面系。晶面簇的晶面間距d=,其中為倒格失的長(zhǎng)度。第二章固體的結(jié)合1.晶體四種結(jié)合的特點(diǎn)：離子結(jié)合：正負(fù)離子間的庫(kù)侖作用，離子晶體硬度大、固態(tài)下不導(dǎo)電、熔點(diǎn)高、可見(jiàn)光透明、溶于極性液體；金屬結(jié)合：金屬離子實(shí)和游離電子的相互作用，無(wú)方向性，無(wú)飽和性，金屬晶體硬度大、導(dǎo)電導(dǎo)熱性好，強(qiáng)反射本領(lǐng)不透明、表面具有光澤；共價(jià)結(jié)合：原子間電子云重疊作用，具有飽和性和方向性，由于結(jié)合強(qiáng)度不同形成的晶體物理性質(zhì)有較大差別；VanderWaals結(jié)合：分子間的電偶極矩作用，極性分子可以具有固有極矩，非極性分子可以產(chǎn)生瞬時(shí)偶極矩作用，結(jié)合強(qiáng)度低，晶體熔點(diǎn)低。兩原子間的相互作用勢(shì)，其中第一項(xiàng)為吸引能W，第二項(xiàng)為排斥能E；若要兩粒子穩(wěn)定的結(jié)合到一起，需要W>E，即m<n。晶體的結(jié)合能，其中為求解的一階微分為零時(shí)的r值為平衡狀態(tài)下的相互作用勢(shì)。體積彈性模量；Evjen晶胞（該晶胞內(nèi)所有離子的代數(shù)和為零）中馬德龍常數(shù)（第二章ppt31~34頁(yè)例1和例2）。電離度用來(lái)描述共價(jià)結(jié)合中離子性的成分，電離度越大，離子性越強(qiáng)；電離能：原子失去最外層一個(gè)電子所需能量；親和能：中性原子獲得一個(gè)電子成為負(fù)離子釋放的能量。電負(fù)性：元素的原子在化合物中把電子吸引向自己的本領(lǐng)叫做元素的電負(fù)性，隨著原子序號(hào)的遞增，元素的電負(fù)性呈現(xiàn)周期性變化，同一周期，從左到右元素電負(fù)性遞增，同一主族，自上而下元素電負(fù)性遞減。VanderWaals結(jié)合中原子間的Lennard－Jones勢(shì)。金屬中原子間的結(jié)合采取密堆積的方式。晶體振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)振動(dòng)模：一個(gè)簡(jiǎn)正振動(dòng)是整個(gè)晶體所有原子都參與的振動(dòng)，而且其振動(dòng)頻率相同，稱(chēng)為一個(gè)振動(dòng)模；格波：晶體中的原子都在它的平衡位置附近不斷地作微振動(dòng)，由于原子間的相互關(guān)聯(lián)，以及晶體的周期性，這種原子振動(dòng)在晶體中形成格波。一個(gè)格波就是一種振動(dòng)模，稱(chēng)為一種聲子，若聲子的頻率為，波矢為q，則聲子的能量為（），準(zhǔn)動(dòng)量為（）。一維單原子鏈的色散關(guān)系，大致圖像如右：設(shè)m（m為1或2或3）維晶體內(nèi)有N個(gè)原胞，原胞內(nèi)原子個(gè)數(shù)為n，則晶格振動(dòng)的波矢數(shù)目=晶體的原胞數(shù)N；格波振動(dòng)頻率數(shù)目=晶體的自由度數(shù)mNn；獨(dú)立的振動(dòng)模式數(shù)=晶體的自由度數(shù)mNn。對(duì)于三維晶體，有3Nn種聲子，其中3N種聲學(xué)聲子，(3n-3)N種光學(xué)聲子。根據(jù)能量守恒和準(zhǔn)動(dòng)量守恒確定晶格振動(dòng)譜的實(shí)驗(yàn)方法有：中子的非彈性散射、光子散射、X射線(xiàn)散射；準(zhǔn)動(dòng)量守恒：；能量守恒：；其中“+”和“-”分別表示吸收和發(fā)射聲子的過(guò)程。中子的非彈性散射：中子的能量和聲子的能量具有相同的數(shù)量級(jí)，中子的德布羅意波長(zhǎng)正好是晶格常數(shù)的數(shù)量級(jí)，因此可以較易測(cè)定被聲子散射前后中子能量和動(dòng)量的變化，較易獲得聲子能量（頻率）和動(dòng)量（波矢）的信息，即能方便地獲得聲子譜；局限：如固態(tài)氦-Ⅲ的原子核對(duì)中子有很大的俘獲截面，形成氦-Ⅳ，從而無(wú)法獲得氦-Ⅲ的中子散射譜；光子散射：由于一般可見(jiàn)光范圍的波失k只有的數(shù)量級(jí)，因此相互作用的聲子波失q也是在的數(shù)量級(jí)，從而用可見(jiàn)光只能測(cè)量布里淵區(qū)中心（即q~0）附近很小一部分區(qū)域的色散關(guān)系，無(wú)法測(cè)量整個(gè)布里淵區(qū)的色散關(guān)系。X射線(xiàn)散射：X射線(xiàn)的波數(shù)矢量與晶體倒格子矢量同數(shù)量級(jí)，因此測(cè)量范圍可以遍及整個(gè)布里淵區(qū)，但X射線(xiàn)的能量遠(yuǎn)大于聲子的能量，導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)技術(shù)上很難精確地直接測(cè)量X光在散射前后的能量差，確定聲子的能量是很困難的。晶體比熱的實(shí)驗(yàn)規(guī)律：高溫時(shí)，晶體的比熱為；低溫時(shí)，晶體的比熱按趨于零。頻率為的平均聲子數(shù)；在Debye模型下聲子總數(shù)；晶體的平均內(nèi)能。其中三維情況下模式密度，即；二維；一維。晶體比熱的Einstein模型：晶體中原子的振動(dòng)是相互獨(dú)立的，所有原子都具有同一頻率；高溫時(shí)與實(shí)驗(yàn)相吻合，低溫時(shí)以比更快的速度趨于零。Debye模型：晶體視為連續(xù)介質(zhì),格波視為彈性波，有一支縱波兩支橫波，且二者波速相等，晶格振動(dòng)頻率在之間(為德拜頻率)；高低溫時(shí)均與實(shí)驗(yàn)相吻合，且溫度越低，與實(shí)驗(yàn)吻合的越好。能帶理論絕熱近似：電子運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)高于離子運(yùn)動(dòng)速度，可以將離子的運(yùn)動(dòng)與電子的運(yùn)動(dòng)分離，這樣就將復(fù)雜的多體問(wèn)題簡(jiǎn)化為多電子問(wèn)題；平均場(chǎng)近似：讓其余電子對(duì)一個(gè)電子的相互作用等價(jià)為一個(gè)不隨時(shí)間變化的平均場(chǎng)，通過(guò)分離變量求解，將多電子系統(tǒng)化為單電子系統(tǒng)，獲得N個(gè)形式完全相同的薛定諤方程，只須求解一個(gè)方程；周期場(chǎng)：在一般情況下，晶格振動(dòng)幅度不大，對(duì)晶格周期性勢(shì)場(chǎng)的偏離較小，可近似認(rèn)為所有的原子核處于平衡位置，即為周期場(chǎng)近似，單電子薛定諤方程，其中；通過(guò)上述三個(gè)近似，將復(fù)雜多體問(wèn)題簡(jiǎn)化為周期勢(shì)場(chǎng)下的單電子問(wèn)題。能帶中電子的排布原則：服從泡里不相容原理（費(fèi)米子）、服從能量最小原理和洪特定則；Bloch定理：對(duì)于周期性勢(shì)場(chǎng)，即，其中取布拉維格子的所有格矢，則單電子薛定諤方程的本征函數(shù)是按布拉維格子周期性調(diào)幅的平面波，即且；布洛赫定理也可以表述為對(duì)上述定理中薛定諤方程的每一本征解，存在一波矢，使得，對(duì)屬于布拉維格子的所有格矢成立，具有此形式的波函數(shù)稱(chēng)為Bloch波函數(shù)；晶體中運(yùn)動(dòng)電子的波函數(shù)介于自由電子與孤立原子之間，是兩者的組合自由電子：，孤立原子：；給定一個(gè)波函數(shù)，證明它是一個(gè)Bloch波，即證。4.近自由電子模型：假設(shè)晶體勢(shì)很弱，晶體電子的行為很像是自由電子，零級(jí)近似下的解為自由電子，微擾取為周期場(chǎng)，這種模型得到的結(jié)果可以作為簡(jiǎn)單金屬（Na,K,Al等）價(jià)帶的粗略近似。緊束縛模型：假定原子勢(shì)很強(qiáng)，晶體電子基本上是圍繞著一個(gè)固定原子運(yùn)動(dòng)，零級(jí)近似下的解為孤立原子，微擾取為其它原子的作用，因而較適合于原子內(nèi)層電子的情況，所得結(jié)果可以作為固體中狹窄的內(nèi)殼層能帶的粗略近似，如過(guò)渡金屬的3d能帶。5.定性的說(shuō)明孤立原子分立能級(jí)組成晶體的能帶:孤立的原子中，電子具有分離的能級(jí)如1s,2s,2p等，如果晶體內(nèi)含有N個(gè)相同的原子，那么原先每個(gè)原子中具有相同能量的所有價(jià)電子，現(xiàn)在處于共有化狀態(tài)。這些被共有化的外層電子，由于泡利不相容原理的限制，不能再處于相同的能級(jí)上，這就使得原來(lái)相同的能級(jí)分裂成N個(gè)和原能級(jí)相近的新能級(jí)，與此相對(duì)應(yīng)的能級(jí)即擴(kuò)展形成能帶。6.能隙，一維，二維其中，。用能帶論解釋絕緣體、半導(dǎo)體和金屬的導(dǎo)電性：絕緣體：原子中的電子是滿(mǎn)殼層分布的，價(jià)電子剛好填滿(mǎn)了許可的能帶，形成滿(mǎn)帶，導(dǎo)帶和價(jià)帶之間存在一個(gè)很寬的禁帶，一般情況下，價(jià)帶之上的能帶沒(méi)有電子，在電場(chǎng)的作用下沒(méi)有電流產(chǎn)生；導(dǎo)體：在一系列能帶中除了電子填充滿(mǎn)的能帶以外，還有部分被電子填充的能帶—導(dǎo)帶，后者起著導(dǎo)電作用；半導(dǎo)體：禁帶寬度較窄，約2eV以下，依靠熱激發(fā)即可以將滿(mǎn)帶中的電子激發(fā)到導(dǎo)帶中，因而具有導(dǎo)電能力，熱激發(fā)到導(dǎo)帶中的電子數(shù)目隨溫度按指數(shù)規(guī)律變化，半導(dǎo)體的電導(dǎo)率隨溫度的升高按指數(shù)形式增大。金屬—半導(dǎo)體—絕緣體的能帶圖簡(jiǎn)略如下：N個(gè)原胞構(gòu)成的晶體，每一條能帶能容納的電子數(shù)為2N，為原胞數(shù)目的二倍；二價(jià)金屬：Be(4)、Mg(12)、Zn(30)，原胞中有2個(gè)價(jià)電子它們卻是導(dǎo)體，因?yàn)榇嬖谀軒Ы化B。滿(mǎn)帶是不導(dǎo)電的，不滿(mǎn)帶參與導(dǎo)電，金剛石是典型的絕緣體。課后習(xí)題：1.1的六方密排，1.3,1.4，1.5,1.6，2.3,2.6，3.2,3.3，3.8,4.1,4.3，4.4,4.8,4.9，4.12的詳細(xì)解答見(jiàn)《固體物理學(xué)習(xí)題解答》。補(bǔ)充習(xí)題：在sc結(jié)構(gòu)中，求面（hkl）的法向與晶向[uvw]的夾角。解：面（hkl）的法向矢量晶向[uvw]的矢量表示為設(shè)面（hkl）的法向與晶向[uvw]的夾角為θ，則一個(gè)二維晶格的原胞為邊長(zhǎng)AB=4，AC=3，夾角的平行四邊形，求倒格子的基矢量。解：以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如右圖平面直角坐標(biāo)系，則原胞基矢，，將二維晶格補(bǔ)為三維晶格，取原胞基矢，則三維晶格原胞體積設(shè)所求的倒格子原胞基矢分別為，則五度軸不存在的證明證明：設(shè)AB為晶體中某一晶面上的一條晶列，其中可由B點(diǎn)繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)θ角得到，其中可由A點(diǎn)繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)-θ角得到，由圖可知//AB，由同族晶列格點(diǎn)的周期性相等得（n為整數(shù)）由幾何關(guān)系知故，即n只能取-1、0、1、2、3五個(gè)值，對(duì)應(yīng)的，0，m只能取2,3,4,6結(jié)合晶格滿(mǎn)足平移對(duì)稱(chēng)性和周期性，得證5度軸不存在4.設(shè)離子晶體總的相互作用能為：，其中，λ、ρ、z均為常數(shù)，求：當(dāng)離子晶體分別為SC、FCC、BCC結(jié)構(gòu)時(shí)的體積彈性模量K.解：設(shè)離子晶體原子間距離為r，則晶體的體積，對(duì)U(r)求一階倒數(shù)，并令，可求得離子晶體平衡時(shí)原子間距滿(mǎn)足又故體積彈