第三全微分及其應(yīng)用

第三節(jié)全微分一元函數(shù)y=f(x)

的增量概念：考慮二元函數(shù)z=f(x,y)關(guān)于x

的偏增量關(guān)于y

的偏增量全增量一元函數(shù)y=f(x)

的微分概念：若函數(shù)的增量：能表示為：則稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)

x

處是可微的，并稱(chēng)

為函數(shù)的微分當(dāng)例如：存在時(shí)，考慮邊長(zhǎng)分別為x

和y

的矩形的面積：當(dāng)兩邊長(zhǎng)分別取得增量和時(shí)的改變量

第一部分是的線(xiàn)性函數(shù)

第二部分

第一部分是的線(xiàn)性函數(shù)

第二部分定義：如果函數(shù)z=f(x,y)的全增量可以表示為其中A

、B

與

x,

y

無(wú)關(guān)(僅與x,y

有關(guān))則稱(chēng)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微，并稱(chēng)Ax+B

y

為z=f(x,y)

在點(diǎn)(x,y)處的全微分，記作dz

或證明：定義：如果函數(shù)z=f(x,y)的全增量可以表示為則稱(chēng)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微，記作問(wèn)題1：函數(shù)

z=f(x,y)在什么條件下可微？問(wèn)題2：在可微的條件下，A=？，B=？如果

z=f(x,y)

在點(diǎn)(x,y)可微，必存在，證明：因?yàn)閦=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微，故且z=f(x,y)

在點(diǎn)(x,y)

處的微分可表示為定理1（必要條件）則函數(shù)在該點(diǎn)(x,y)處的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)（1）令，得（2）令，同理得：所以，當(dāng)函數(shù)可微時(shí)，全微分可寫(xiě)成若分別取z=x

和z=y

，則記分別稱(chēng)為z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處對(duì)

x

和

y

的偏微分。疊加原理：二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微分之和。疊加原理也適用于二元以上的多元函數(shù)的情形。如設(shè)u=f(x,y,z)則有（1）對(duì)于一元函數(shù)，可微可導(dǎo)；幾點(diǎn)說(shuō)明：（2）對(duì)于多元函數(shù)，可微一定連續(xù)，（3）對(duì)于多元函數(shù)，若可微，則偏導(dǎo)數(shù)一定存在，問(wèn)題3：對(duì)于多元函數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)是否一定可微？例1但f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處不可微。證明：證明：用反證法證明函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處不可微。如果f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處可微，則必有由定理1即有例1但f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處不可微。因此必有但當(dāng)即有與k有關(guān)矛盾！所以函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處不可微。上述例子有兩個(gè)重要性（1）它具體說(shuō)明了即使函數(shù)在某點(diǎn)處的各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)可微。（2）它給出了證明函數(shù)在某點(diǎn)不可微的一般方法。定理2（可微的充分條件）:如果

z=f(x,y)

的偏導(dǎo)數(shù)

在點(diǎn)(x,y)

的某鄰域內(nèi)連續(xù)，則z=f(x,y)

在點(diǎn)(x,y)

處可微。問(wèn)題1：函數(shù)

z=f(x,y)在什么條件下可微？多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在例2：計(jì)算解：在點(diǎn)(2,1)處的全微分。全微分的計(jì)算當(dāng)函數(shù)可微時(shí)，全微分可表示為所以全微分的計(jì)算實(shí)際上就是偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算問(wèn)題。例3：計(jì)算函數(shù)的全微分解：解解答思考題：若f(x,y)在點(diǎn)(0,0)的某鄰域內(nèi)有定義

若f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處可微，則必有若f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處不可微，則表達(dá)式可以存在，但它不代表函數(shù)在(0,0)處的微分。作業(yè)習(xí)題93:1(1,3),2,4,5定義：如果函數(shù)z=f(x,y)的全增量可以表示為其中A

、B

與

x,

y

無(wú)關(guān)(僅與x,y

有關(guān))則稱(chēng)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微，并稱(chēng)Ax+B

y

為z=f(x,y)

在點(diǎn)(x,y)處的全微分，記作dz

或內(nèi)容回顧定理1（必要條件）：如果

z=f(x,y)

在點(diǎn)(x,y)處可微，則函數(shù)在該點(diǎn)(x,y)處的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)